7交流电

第7章 交流电 章
§1 交流电概述
一、交流电（或交变电流，Alternating Current） 交流电（或交变电流， ） 非静电场 E(t ) →电动势 e(t ) →电压 u(t ) →电流 i(t ) ——若电源电动势随时间周期性变化，则电压、电流亦然。 若电源电动势随时间周期性变化， 若电源电动势随时间周期性变化 则电压、电流亦然。 交流电路的基本构成： 交流电路的基本构成： 交流电源 e(t )、 电阻R、 电感L、电容 。 电阻 、 电感 、电容C。 二、简谐交流电
e(t ) = ε cos(ωt +ϕe ) u(t ) = U cos(ωt + ϕu ) i(t ) = I cos(ωt +ϕi )
——简谐交流电是交流电的所有形式中最基本的形式。 简谐交流电是交流电的所有形式中最基本的形式。 简谐交流电是交流电的所有形式中最基本的形式
说明： 说明： 角频率、频率、 ① 角频率、频率、周期 角频率： 角频率：ω
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
串联电路两端的总电压为
i
u =∑Ui cos(ωt +ϕi )
元件的串并联——矢量图解法 §3 元件的串并联 矢量图解法
一、同频简谐量的叠加 2、在并联电路中 通过各分支两端的电压u 通过各分支两端的电压 相等 各分支的电流分别为
i1 = I1 cos(ωt +ϕ1 )
i2 = I2 cos(ωt &Z = = 2R I π 位相差 ϕ = ϕLR −ϕIR = − 4
iC L u L u uC C R uR
L R
IC UL ULR= UC= U I ϕCR ϕLR I O U LR R
§4 交流电路的复数解法
一、交流电的复数表示 可表达为复函数： 某简谐量 a(t ) = Acos(ωt + ϕ) 可表达为复函数：
有效值：按照平均焦耳热功率相同的标准， 有效值：按照平均焦耳热功率相同的标准，将交流电折 算成直流电参量（ 算成直流电参量（Ieff，Ueff）。 热功率 P =
∫
T
0
Ri dt T= ∫ RI 2cos2 (
2
0
T
1 2 2 = RIeff ⇒ Ieff = RI 2 2 2 1U Ueff ⇒Ueff = U = = 2 R R
§2 交流电路中的元件 三种基本元件特性一览表 元件 Z = U I ϕ = ϕu −ϕi 电阻 电感 电容
R
Lω
1 Cω
说 明 阻抗与频率无关，电流 与 阻抗与频率无关，电流i与 电压u时刻成正比 时刻成正比。 电压 时刻成正比。 阻抗与频率成正比，电流 阻抗与频率成正比，电流i 与电压u无简单比例关系 无简单比例关系。 与电压 无简单比例关系。 阻抗与频率成反比，电流 阻抗与频率成反比，电流i 与电压u无简单比例关系 无简单比例关系。 与电压 无简单比例关系。
u = U cosωt e(t ) u U i = = cosωt 由欧姆定律： 由欧姆定律： R R 电阻的阻抗 ZR =R 电流与电压同位相 电阻的相位差 ϕR = 0 ——电流与电压同位相
设电阻电压
R u(t )
§2 交流电路中的元件
三、电感元件
i(t )
设电感电压 u = U cosωt L u(t ) e(t ) di u= L 又由 dt di U U U sinωt (+I0 ) 得到： 得到： = cosωt ⇒ i = ∫ cosωtdt = dt L L Lω 在此我们只关心交变部分 U π U cos(ωt − ) ∴i = sinωt = Lω 2 Lω 阻高频， 阻高频 电感的阻抗 ZL =Lω ——阻高频，通低频 π ——电压的变化超前于电流 电压的变化超前于电流 电感的相位差 ϕL = 2
3. 线性电路条件
§2 交流电路中的元件
一、元件的阻抗与相位差 在简谐交流电路中， 在简谐交流电路中，考虑任意集中元件中流过的电流和相应 的电压间的峰值（或有效值）与位相关系，定义： 的电压间的峰值（或有效值）与位相关系，定义： U Ueff = 元件的阻抗 Z = Ieff I 元件的相位差 ϕ = ϕu −ϕi ——电压超前于电流的位相 电压超前于电流的位相 I Z−1 = 还可定义元件的导纳 还可定义元件的导纳 Y = U i(t ) 二、电阻元件
显然结果亦应为同频简谐量： 显然结果亦应为同频简谐量：a = Acos(ωt + ϕ) 其中的峰值A和位相 其中的峰值 和位相 ϕ ——可利用矢量图解法（旋转矢量法）方便地求得。 可利用矢量图解法（旋转矢量法）方便地求得。 可利用矢量图解法 每个a 对应一个以角频率ω为角速度 为角速度、 ① 每个 i 对应一个以角频率 为角速度、沿逆时针方向 旋转的矢量 A i ② A 的大小等于峰值 i i 的大小等于峰值A ③ A 与水平轴的夹角等于ai 的位相 ωt +ϕi 与水平轴的夹角等于 i 合成量a ④ 合成量 的峰值和初位相分别等于上述各矢量 A 的 i 的长度A及其与水平方向的初始夹角 合矢量 A的长度 及其与水平方向的初始夹角 ϕ
0
π2 −π 2
元件的串并联——矢量图解法 §3 元件的串并联 矢量图解法
一、同频简谐量的叠加 1、在串联电路中 通过各元件的电流i 通过各元件的电流 相等 各元件两端的电压分别为
u1 = U1 cos(ωt +ϕ1 )
u2 =U2 cos(ωt +ϕ2 )
ui = Ui cos(ωt +ϕi )
三、关于简谐交流电的几点基本假设 1. 似稳条件 2. 集中元件条件 将电场和磁场分别集中在自身内部很小范围内的 电阻、电容、电感元件。 电阻、电容、电感元件。 ——在此基础上，用电阻电压、电容电压、电感 在此基础上， 电阻电压、电容电压、 在此基础上 电压的概念表述似稳电场的功 的概念表述似稳电场的功。 电压的概念表述似稳电场的功。 以上三种元件还须满足： 以上三种元件还须满足： • • 元件是单纯的。 元件是单纯的。 的值恒定不变， 的值恒定不变 与电流无关。 元件是线性： 、 元件是线性： R、L 、 C的值恒定不变，与电流无关。 当多个独立的电源同时存在于电路中时， 当多个独立的电源同时存在于电路中时，其影响 彼此独立，互不干扰，满足叠加原理。 彼此独立，互不干扰，满足叠加原理。
i i
元件的串并联——矢量图解法 §3 元件的串并联 矢量图解法
串联。已知电阻R、电容C，角频率ω， 例1 RC 串联。已知电阻 、电容 ，角频率 ，求串联电路 的 总阻抗Z，以及总电压与总电流的位相差。 总阻抗 ，以及总电压与总电流的位相差。 解 设电流为 i = I cosωt 则电阻电压为： 则电阻电压为： R =IZRcosωt = IRcosωt u
元件的串并联——矢量图解法 §3 元件的串并联 矢量图解法
串并联，电路如图所示。 例2 RLC 串并联，电路如图所示。已知ZL = ZC = R ，求该电 路的总阻抗Z，以及总电压与总电流的位相差。 路的总阻抗 ，以及总电压与总电流的位相差。 解 I=I i i U = 2I R
LR
L R
ϕIR = π 2
ii = Ii cos(ωt +ϕi )
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
流过并联电路的总电流为
i
i = ∑Ii cos(ωt +ϕi )
元件的串并联——矢量图解法 §3 元件的串并联 矢量图解法
二、矢量图解法 设某简谐量a由各同频简谐量叠加而成： 设某简谐量 由各同频简谐量叠加而成： 由各同频简谐量叠加而成
a =∑ai = ∑Ai cos(ωt +ϕi )
iC L u L u uC C R uR
2 2 2 U = UR + UL = ILR R2 + ZL = 2ILR R U IC L ULR= UC= U ϕLR = tan−1(UL UR ) = π 4 I ϕCR ϕLR IC =UC ZC = U R = 2ILR O U ILR 2 2 R I = IC + ILR + 2IC ILR cosϕCR ϕCR =ϕLR + π 2 = ILR 2 + 1+ 2 2(−1 2) = ILR = 3π 4 IC sinϕCR π −1 I 与 ILR 的夹角ϕIR = tan = ILR + IC cosϕCR 2
三、关于简谐交流电的几点基本假设 1. 似稳条件 频率f足够低 以保证基尔霍夫定律仍能成立。 足够低， 频率 足够低，以保证基尔霍夫定律仍能成立。 当电动势、电流随时间周期性变化时， 当电动势、电流随时间周期性变化时，将激发交 变的电磁场，并以光速传播出去。 变的电磁场，并以光速传播出去。 波长： 波长： λ = c f = 2πc ω ——若波长大小与电路的尺寸 接近甚至更小： 若波长大小与电路的尺寸l接近甚至更小 ——若波长大小与电路的尺寸 接近甚至更小： 则同一支路上的电流不再处处相等， 则同一支路上的电流不再处处相等， 此时涡旋电场的影响非常复杂， 此时涡旋电场的影响非常复杂，导致电压的概念 不再适用。 不再适用。 频率f足够低的判据： λ >> l 频率 足够低的判据： 足够低的判据 电磁波的波长大小远大于电路的尺寸， 电磁波的波长大小远大于电路的尺寸，保证电源的变 化几乎同时传至电路的每一部分。 似稳电磁场） 化几乎同时传至电路的每一部分。 （似稳电磁场）
I cos(ωt − π 2) = Cω 总电压为： 总电压为：u =uR + uC = U cos(ωt + ϕ)
对电流、电压做矢量图。 对电流、电压做矢量图。 易知： 易知： U = U + U
2 R 2 2 C
电容电压为： 电容电压为： C = IZC cos(ωt − π 2) u u
uR R
§2 交流电路中的元件