《确定圆的条件》习题1
确定圆的条件
练一练
3.小明不慎把家里的
圆形玻璃打碎了，其中 四块碎片如下图所示， 为了配到与原来大小一 样的圆形玻璃，小明带 到商店去的一块玻璃应 该是哪一片?
驶向胜利 的彼岸
请你帮助玻璃店的工 人师傅设计一种解决问 题的方案.
挑战自我
已知在同一平面上的四个点，过其 中三个点可以作几个圆？
本节课你有 哪些收获呢？
作业
必做题：课本22页1（1），2. 选做题:过四点能否作圆呢?
做一做，你能发现什么?
3. 过三点你能作出几个圆呢?
E M
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A O
A F
B N
C
●
B
┏
●
●
C
确定圆的条件（一）
小明不慎把家里的 圆形玻璃打碎了， 其中四块碎片如下 图所示，为了配到 与原来大小一样的 圆形玻璃，小明带 到商店去的一块玻 璃应该是哪一片?
做一做,你能发现什么?
1.经过一点你可以作几个圆?试试看.
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O O
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A
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O
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O
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O ●O
●
O
A
O
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B
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O
2. 过已知两点，你能作出几个圆呢?
做一做，你能发现什么?
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O ●O
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A
O
O
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B
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做一做，你能发现什么?
3. 过三点你能作出几个圆呢?
E M
A F
B N
C
试一试
已知：△ABC 求作：⊙O，使它经过三点A、B、
C.
三角形的三个顶点确定一个圆, 这圆叫做三角形的外接圆.这个 三角形叫做圆的内接三角形.
北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 同步达标测评
北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》同步达标测评（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝60°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．120°C．135°D．150°2．如图，△ADC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，若∠A＝66°，则∠BCD等于（）A．14°B．24°C．34°D．66°3．如图，△ABC中，∠A＝70°，O为△ABC的外心，则∠BOC的度数为（）A．110°B．125°C．135°D．140°4．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若AD＝8，∠B＝30°，则AC 的长度为（）A．3B．4C．4D．45．如图，△ABC内接于⊙O，射线AO交BC边于点D，AD平分∠BAC，若AD＝BC＝8，则⊙O的半径长为（）A．3B．4C．5D．66．△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC、OB，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD ＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．4C．4D．49．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10B．8C．6D．410．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠CBD的大小为（）A．20°B．21°C．23°D．25°二．填空题（共8小题，满分40分）11．如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，则∠D等于．12．如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD ＝8，BC＝，则AD的长为．13．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为．14．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为．15．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．16．如图，△ABC内接于半径为3cm的⊙O，且∠BAC＝30°，则BC的长为m．17．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．18．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是．三．解答题（共4小题，满分40分）19．如图所示，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，D为☉O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．20．如图，AB是⊙O的直径，三角形ABC内接于⊙O，OE⊥AC，OE的延长线交⊙O于点D．（1）若AB＝6，BC＝2，求DE的长；（2）若OE＝DE，判断四边形OBCD的形状．21．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若△ABC的外接圆为⊙O，判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由．22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°；故选：B．2．解：∵AB是直径，∴∠CDB＝90°，∵∠A＝∠DBC＝66°，∴∠BCD＝90°﹣66°＝24°．故选：B．3．解：∵△ABC中，∠A＝70°，O为△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠A＝140°故选：D．4．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，又∵∠B＝∠D＝30°，∴AC＝AD＝4，故选：B．5．解：如图，连接OB．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，设半径为r，在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，即（8﹣r）2+42＝r2，解得r＝5故选：C．6．解：若外心在三角形的外部，则三角形是钝角三角形；若外心在三角形的内部，则三角形是锐角三角形；若外心在三角形的边上，则三角形是直角三角形，且这边是斜边．故选：A．7．解：∵，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：C．8．解：如图，连接OA，OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠CAB＝30°，CD＝2，∴AC＝2CD＝4，∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，∴∠CBA＝45°，∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，∵OA＝OC，∴OA＝AC＝4，∴⊙O的半径为4，故选：B．9．解：由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A．10．解：连接CD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，∴∠CDB+∠A＝180°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠BDC）＝25°，故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）11．解：∵∠A与∠D所对的弧都是，∴∠A＝∠D＝50°，故答案为：50°．12．解：连接AC，∵∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，∴＝，∴AC＝BC＝5，∴AB＝AC＝10，∵BD＝8，∴AD＝＝6，故答案为：6．13．解：连接AD，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝30°，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD是直径，∴∠BAD＝90°∴AB＝2AB＝8，∴⊙O的半径为4，故答案为：4．14．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：k＝﹣，b＝，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴n＝﹣×5+＝﹣8，∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，故答案为：n≠﹣8．15．解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．故答案为：不能．16．解：连接OB，OC．如图，∵∠BAC＝∠BOC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°．∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．∴BC＝OB＝OC＝3（cm）＝0.03（m）．故答案为：0.03．17．解：x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，①当直角边分别为3，4时，斜边为：＝5，此时直角三角形外接圆的直径为5，②当直角边为3，斜边为4时，此时直角三角形外接圆直径为4．故答案为4或5．18．解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径为7﹣3＝4，∴该圆的半径是2；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径＝7+3＝10，∴圆的半径为5，故答案为2或5．三．解答题（共4小题，满分40分）19．证明：（1）∵AB是☉O的直径，OD⊥AC，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，即BD平分∠ABC；（2）连接AD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，由圆周角定理得，∠DOA＝2∠ADB＝60°，∴△AOD为等边三角形，∴OD＝OA，∵∠DOA＝60°，∠C＝90°，∴BC＝AB＝OD．20．解：（1）∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AO＝OB，∴OE＝BC＝×2＝1，∴DE＝OD﹣OE＝3﹣1＝2；（2）四边形OBCD的形状是菱形，理由如下：连接OC，∵OE＝DE，∴OE＝OA，∴∠OAE＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OBC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴OB＝BC，∴OD＝BC，∴AO＝OB，AE＝EC，∴OD∥BC，∴四边形OBCD为平行四边形，∵OB＝OD，∴平行四边形OBCD为菱形．21．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：根据网格可知：AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）点D在⊙O上，理由如下：根据网格可知：△ABC的外接圆如图，∵OD＝OA，∴点D在⊙O上．则点D与⊙O的位置关系是：点D在⊙O上．22．（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4＝∠5，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．由（1）知：BD＝CD∴DB＝DE＝DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．。
初三数学确定圆的条件试题
初三数学确定圆的条件试题1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____。
【答案】三角形内部，直角三角形，钝角三角形【解析】根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点即可判断.锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是钝角三角形.【考点】三角形的外心点评：本题是三角形的外心的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.【答案】【解析】根据等边三角形的性质及三角形的外心的形成即可求得结果.由题意得等边三角形的外接圆半径是【考点】等边三角形的性质，三角形的外接圆点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.3.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.【答案】其外接圆，三角形三条边的垂直平分线，三角形三个顶点【解析】根据三角形的外心的形成即可得到结果.三角形的外心是其外接圆的圆心,它是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.【考点】三角形的外心点评：本题是三角形的外心的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.4.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.【答案】【解析】根据圆内接正三角形的性质即可求得结果.由题意得⊙O的内接正三角形的边长为【考点】圆内接正三角形的性质点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.5.下列条件,可以画出圆的是( )A．已知圆心B．已知半径C．已知不在同一直线上的三点D．已知直径【答案】C【解析】根据确定圆的条件依次分析各项即可判断.A.已知圆心，B.已知半径，D.已知直径，均无法画出圆，故错误；C.已知不在同一直线上的三点，可以画出圆，本选项正确.【考点】确定圆的条件点评：本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.三角形的外心是( )A．三条中线的交点B．三条边的中垂线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点【答案】B【解析】根据三角形的外心的形成即可得到结果.三角形的外心是三条边的中垂线的交点，故选B.【考点】三角形的外心点评：本题是三角形的外心的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.7.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )A．1个或3个B．3个或4个C．1个或3个或4个D．1个或2个或3个或4个【答案】C【解析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．故选C．【考点】确定圆的条件点评：分类讨论问题是初中数学的重点也是难点，在中考压轴题中极为常见，一般难度较大，需特别注意.8.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).【答案】如图所示：【解析】分别作AB、BC的垂直平分线相交于点O，则点O即可所求.【考点】基本作图点评：作图能力是学生必须具备的基本能力，因为此类问题在中考中比较常见，一般以作图题形式出现，属于基础题，难度不大.9.已知:AB是⊙O中长为4的弦,P是⊙O上一动点,cos∠APB=, 问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形?若不存在,试说明理由;若存在,求出这个三角形的面积.【答案】存在，4【解析】由题意可知AB不是直径，故取优弧的中点为P点,过P作PD⊥AB于D,则PD是圆上所有的点中到AB 距离最大的点.当P为优弧的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB, 则等腰三角形APB即为所求,由作法知:圆心O必在PD上,连接AO,则由垂径定理得AD=AB=2.又∠AOD=∠1+∠2,可得∠AOD=∠2+∠1=∠2+∠3=∠APB,即可得到cos∠AOD的值，设OD=x,OA=3x,则即可表示出AD，再根据三角形的面积公式即可求得结果.∵AB不是直径(否则∠APB=90°,而由cos∠APB=知∠APB<90°,矛盾)∴取优弧的中点为P点,过P作PD⊥AB于D,则PD是圆上所有的点中到AB 距离最大的点.∵AB的长为定值,∴当P为优弧的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB,则等腰三角形APB即为所求.由作法知:圆心O必在PD上,如图所示,连接AO,则由垂径定理得AD= AB="2."又∠AOD=∠1+∠2,而∠2=∠3,∠1=∠2故∠AOD=∠2+∠1=∠2+∠3=∠APB,即cos∠AOD= ,∴cos∠AOD=,设OD=x,OA=3x,则AD= ,即="2" ,故x=,∴AO=3x=,OD=x=,∴PD=OP+OD=OA+OD=+=2,∴S△APB=AB·PD=4.【考点】垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积.【答案】【解析】过O作OE⊥AB于E,连接OB, 可得∠AOE=∠AOB,AE=AB,即可得到∠C=∠AOB=∠AOE，解方程x2-7x+12=0可得DC=4,AD=3,根据勾股定理可得AB、AE的长，证得Rt△ADC∽Rt△AEO,根据相似三角形的性质可得AO的长，即可求得结果.过O作OE⊥AB于E,连接OB,则∠AOE=∠AOB,AE=AB,∴∠C=∠AOB="∠AOE."解方程x2-7x+12=0可得DC=4,AD=3,故AB=,AE=,证得Rt△ADC∽Rt△AEO,故,又AC=="5," AD=3,AE=,故AO=,从而S⊙O=.【考点】垂径定理，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定和性质点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.。
2_3+确定圆的条件(1) (1)
课题：2.3 确定圆的条件【学习目标】1、经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程。
2、理解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念，会过不在同一条直线上的三点作一个圆。
.【重点难点】重点：三角形的外接圆，外心，圆的内接三角形，会过不在同一条直线上的三点作一个圆。
难点：不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程【新知导学】读一读：阅读课本P50-P52想一想:如何确定一个圆？需要哪两个要素？练一练：1、操作（1）：经过图中的点A作圆；（2）：经过图中的A、B两点作圆；2、经过两点A、B能够作个圆，圆心在3、经过同一平面内三个点A、B、C能否作一个圆？假如能，请你作出这个圆，指出圆心的位置；假如不能，请你说明理由。
【新知归纳】确定一个圆。
叫做这个三角形的外接圆。
叫做这个三角形的外心。
叫做这个圆的内接三角形。
一批日期9、二批日期9、教师评价家长签字【例题教学】例1、作出以下三角形的外接圆，并指出圆心的位置。
（要求：尺规作圆，不写做法）DC BA例2、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 则这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点R D ．点M例3、如图，等腰ABC ∆中，13AB AC cm ==，10BC cm =，AD 是高。
求ABC ∆外接圆的半径和面积。
【当堂训练】 1、判断：（1）经过三点一定能够作圆。
（ ）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。
（ ） （3）三角形的外心到三个顶点的距离相等。
（ ）（4）经过不在一直线上的四点能作一个圆。
（）2、三角形外接圆的圆心是( )A.三个内角平分线的交点;B.三条边的中线的交点C.三条边垂直平分线的交点D.三边的三条高的交点3、如图：点A、B、C都在⊙O上，△ABC是⊙O的________三角形；⊙O是△ABC的________圆。
4、经过已知点A,且半径为2cm的圆有个，这些圆的圆心的集合是：5、如下图,O为△ABC的外心,若∠BAC=70°,则∠OBC=________.OCB6、（1）解决“破镜重圆”的问题（作出破镜所在的圆）：（2）设所画圆⊙O，已知AB=BC=60，∠ABC=120°，求此圆的半径。
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件 同步练习题(含答案)
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画( )A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是( )A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm 和24 cm ，则这个三角形的外接圆的直径长为_____cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．8．已知直线l ：y ＝x －4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P 为直线l 上一动点，则当点P 的坐标为_____时，过P ，A ，B 不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．B 组(中档题)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_____11．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC ＝_____，CD ＝_____12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是_____13．如图，已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.(1)求证：ACsinB＝2R；(2)若在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3，求BC的长及sinC的值．14．已知：如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．C组(综合题)15．如图，在正方形ABCD中，AB＝42，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG 的最小值为_____．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm和24 cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是8．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，则当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．∴△ABC外接圆的半径为5米．∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．B组(中档题)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片311．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC CD ＝9013．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是m ≤1或m ≥2．13．如图，已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R. (1)求证：ACsinB＝2R ；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sinC 的值．解：(1)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， ∵AD 为直径， ∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC2R ，∵∠B ＝∠ADC ，∴sinB ＝AC2R .∴ACsinB＝2R. (2)由(1)知AC sinB ＝2R ，同理可得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC＝2R. ∴2R ＝3sin60°＝2.∴BC ＝2R ·sin ∠BAC ＝2sin45°＝ 2. 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BE ＝BC ·cosB ＝2cos60°＝22， AE ＝AC ·cos ∠BAC ＝3cos45°＝62. ∴AB ＝AE ＋BE ＝62＋22. ∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.14．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.(1)求证：△ABD ≌△CBE ；(2)如图2，当点D 是△ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BECD 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝∠CBE.又∵BA ＝BC ，BD ＝BE ， ∴△ABD ≌△CBE(SAS)． (2)四边形BECD 是菱形．证明：∵△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE. ∵点D 是△ABC 的外接圆圆心， ∴AD ＝BD ＝CD.又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝EC ＝CD. ∴四边形BECD 是菱形．C 组(综合题)15．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝42，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，连接DG ，则线段DG的最小值为。
确定圆的条件定理
确定圆的条件定理1. 你知道吗，不在同一直线上的三个点就能确定一个圆！就像盖房子，三根柱子立好了，房子的框架不就出来啦！比如我们要在操场上画个圆做游戏，找三个不在一条直线上的点，用绳子一拉，嘿，圆就出来啦！2. 圆心和半径也能确定圆呀！这就好像是给圆找到了家，半径就是圆的活动范围。
好比你要做一个特定大小的蛋糕，知道了中心和半径，就能做出那个完美的圆蛋糕啦！3. 一个圆的圆心确定了，不就像人有了心脏一样重要嘛！有了它，圆才有了灵魂。
想想看，画圆的时候，先确定圆心，就像给圆安了家，多神奇啊！比如画一个钟的表面，确定圆心才能把时针分针都放对位置呀！4. 半径呀，那可是确定圆的关键角色呢！没有半径，圆怎么能有大小呢？这就如同汽车没了轮子怎么跑呀！像我们做手工，要剪个圆形卡片，知道半径才能剪出合适大小的圆呢！5. 确定圆的条件定理真的好有趣啊！当你知道了这些，不就像掌握了圆的秘密武器嘛！比如说要给小伙伴画个秘密基地的范围，确定圆心和半径，不就清晰明了嘛！6. 嘿，你想想看，要是没有这些确定圆的条件定理，那我们周围得乱成啥样呀！就像没有方向的船在海上漂。
比如要建个圆形的花坛，不按照定理来，那可就歪七扭八啦！7. 确定圆的条件定理真的是太重要啦！这就像人不能没有目标一样。
好比做一个圆形的披萨，按照定理来，才能做出美味又好看的披萨呀！8. 哇塞，确定圆的条件定理简直就是魔法呀！能把那些点和线变成完美的圆。
就像变魔术一样神奇呢！比如画一个漂亮的圆形气球，不就是靠这些定理嘛！9. 你说，确定圆的条件定理是不是很了不起呀！它们让一切变得有章可循。
就像给混乱的世界带来秩序。
像我们做一个圆形的灯笼，靠的就是这些定理呀！10. 确定圆的条件定理，那就是圆的根本呀！没有它们，圆都不知道会变成啥样呢！比如要在地上画个圆做游戏标记，不就是靠这些定理嘛！我的观点结论：确定圆的条件定理真的非常重要，在我们的生活中处处都能用到，它们让我们能准确地画出、做出各种圆形的东西，给我们带来了很多便利和乐趣呀！。
北师大版九年级数学下册第三章圆第5节确定圆的条件课堂练习
第三章圆第5节确定圆的条件课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A．三角形内B．三角形外C．斜边的中点D．不能确定2．如图所示，△ABC内接于△O，△C＝45°．AB＝4，则△O的半径为()A．22B．4C．23D．53．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为()A．0B．1C．2D．0或1 4．有下列四个命题:△经过三个点一定可以作圆;△等弧所对的圆周角相等;△三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;△在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.其中正确的有()A．0B．1C．2D．35．有一边长为23的正三角形，则它的外接圆的面积为（）A．23πB．43πC．4πD．12π6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则()A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内7．用一根铁丝围成一个正方形，正方形的边长是4.71厘米，如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的直径是（）厘米？(π取3.14)A．6B．3C．60D．208．下列命题：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；③平分弦的直径垂直于这条弦；④平面上任意三点确定一个圆.⑤圆内接四边形的对角互补.其中，真命题有()．A．两个B．三个C．四个D．五个评卷人得分二、填空题9．已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．10．如图，O的半径为1，P是O外一点，2OP ，Q是O上的动点，线段PQ 的中点为M，连接OP、OM.则线段OM的最小值是__________．11．下面是“作出弧AB所在的圆”的尺规作图过程．已知：弧AB．求作：弧AB所在的圆．作法：如图，（1）在弧AB上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的弧AB所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是_____．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是________，半径是________．13．以矩形ABCD的顶点A为圆心作A，要使B、C、D三点中至少有一点在A 内，且至少有一点在A外，如果12BC=，5CD=，则A的半径r的取值范围为________．14．已知正ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正ABC的最小圆的半径是_____．15．如图，ABC与DEF均为等边三角形，△O是ABC的内切圆，同时也是DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE=_____cm．16．如图，在△O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且△BAC=30°，则△O的半径是．评卷人得分三、解答题17．尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆△O；（2）若AC＝4，△B＝30°，则△ABC的外接圆△O的半径为．18．（1）如图，已知AB、CD是大圆△O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆△O．判断CD与小圆△O的位置关系，并说明理由；（2）已知△O，线段MN，P是△O外一点．求作射线PQ，使PQ被△O截得的弦长等于MN．（不写作法，但保留作图痕迹）19．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD△BC，垂足为点F，△ABC的平分线交AD 于点E，连接BD，CD．(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的直径．参考答案：1．C【解析】【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．【详解】△直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，△直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.2．A【解析】【详解】试题解析：连接OA，OB．45,C∠=︒90AOB∴∠=︒，△在Rt AOB△中，2 2.OA OB==故选A.点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3．D【解析】【详解】分析：分两种情况讨论：△A、B、C三个点共线，不能做圆；△A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；故选D．4．C【解析】【分析】根据圆的认识、圆周角定理、三角形外心的性质对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：△经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题错误；△等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题正确；△三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题正确；△在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题错误．故选：C．【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知圆的性质、圆周角定理、三角形外心的性质及其垂径定理的推论是解答此题的关键．5．C【解析】【详解】解：△正三角形的边长为3，可得其外接圆的半径为223cos3023︒÷⨯=，故其面积为4π故选C．【点睛】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60度．6．D【解析】【分析】由已知可得AB+BC=AC，故可知可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．【详解】△A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5，△AB+BC=AC，△可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．故选D．【点睛】本题主要考查确定圆的条件，正确确定A、B、C三点的位置关系是解决本题的关键．7．A【解析】【分析】根据正方形的周长与圆的周长公式即可列出方程进行求解.【详解】设圆的直径为d，依题意得4×4.71=3.14×d解得d=6，故选A.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键根据题意找到等量关系进行求解.8．B【解析】【分析】根据三角形的内心△进行判断；根据三角形的外心对△进行判断；根据垂径定理对△进行判断；根据确定圆的条件△进行判断；根据圆内接四边形的性质对△进行判断；【详解】①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；正确.②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；正确.③平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦；故错误.④平面上不在同一条直线上的三点确定一个圆.故错误.⑤圆内接四边形的对角互补.正确.正确的有3个.故选B.【点睛】考查三角形的内心，外心，垂径定理等，比较基础.难度不大.9．5【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，那么外接圆的半径等于斜边的一半，计算即可解答．根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．【详解】△三角形的三条边长分别为6，8，10，62+82=102，△此三角形是以10为斜边的直角三角形，△这个三角形外接圆的半径为10÷2=5．故答案为5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．10．0.5【解析】【分析】设OP与△O交于点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=1 2OQ=12，则点M在以N为圆心，12为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为12．【详解】解：设OP与△O交于点N，连结MN，OQ，如图，△OP=2，ON=1，△N是OP的中点，△M为PQ的中点，△MN为△POQ的中位线，△MN=12OQ=12×1=12，△点M在以N为圆心，12为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为12，△线段OM的最小值为0.5．故答案为0.5．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．11．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【解析】【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【详解】△分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，△OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），△点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点睛】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．12．（5，2）25【解析】【分析】找出三角形两边的垂直平分线的交点即可确定三角形的外心，再利用勾股定理即可求出半径．【详解】△△ABC 外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，又△BC 与AB 的垂直平分线交于点(5,2)，△点(5,2)到三角形三个顶点距离相等，△(5,2)点是三角形的外接圆圆心.△△ABC 外接圆的半径为，224225+=.故答案为（5，2）；25.【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心.利用三角形两边的垂直平分线的交点确定△ABC 外接圆的圆心是解题的关键.13．513r <<【解析】【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B 、C 、D 与△A 的位置，确定△A 的半径的取值范围．【详解】根据题意画出图形如下所示：△AB=CD=5，AD=BC=12，△AC=BD=22512+=13．△B 、C 、D 中至少有一个点在△A 内，且至少有一个点在△A 外，△点B 在△A 内，点C 在△A 外．△5＜r ＜13．故答案是：5＜r＜13．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．14．23【解析】【分析】能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，求出△ABC外接圆的半径即可解决问题．【详解】如图，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆的半径，设△O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，作OE△BC于E，△△ABC是等边三角形，△△A=60°，△BOC=2△A=120°，△OB=OC，OE△BC，△△BOE=60°，BE=EC=3，△sin60°=BEOB，△OB=23考点：（1）三角形的外接圆与外心；（2）等边三角形的性质15．12．【解析】【详解】试题分析：设AB与△O相切于M，连接OB，OM，得到OM△AB，由△O是等边△ABC的内切圆和等边三角形的性质，求出圆的半径，连接OD，过O作ON△DE于N，由△O 是等边△DEF的外接圆．解直角三角形即可得到结论．试题解析：设AB与△O相切于M，连接OB，OM，△OM△AB，△△O是等边△ABC的内切圆△△ABO=30°，OA=OB，△BM=12AB=12，△OM=36，连接OD，过O作ON△DE于N，△△O是等边△DEF的外接圆．△OD=OM=36，△ODN=30°，△DN=14，△DE=2DN=12．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．三角形的外接圆与外心．16．1【解析】【分析】连接OB，OC，根据△BAC=30°可得△BOC=60°，则△OBC为等边三角形，则OB=BC=1，即可得圆的半径是1．【详解】如图，连接OB，OC，△△BAC=30°，△△BOC=2△BAC=60°．△OB=OC，△△BOC是等边三角形．△OB=BC=1．故答案为：1．17．（1）答案见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．【详解】解：（1）作法如下：△作线段AB的垂直平分线，△作线段BC的垂直平分线，△以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；（2）连接OA，OC，△△B＝30°，△△AOC＝60°，△OA＝OC，△△AOC是等边三角形，△AC＝4，△OA＝OC＝4，即圆的半径是4，故答案为4．【点睛】本题考查了尺规作三角形外接圆、圆中的计算问题，解题的关键是熟知“三角形边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心”．18．（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）过点O作ON△CD，连接OA，OC，根据垂径定理及其推论可得△AMO=△ONC=90°，AM=CN，从而求证△AOM△△CON，从而判定CD与小圆O的位置关系；（2）在圆O上任取一点A，以A为圆心，MN为半径画弧，交圆O于点B，过点O 做AB的垂线，交AB于点C，然后以点O为圆心，OC为半径画圆，连接PO，取PO的中点D，以点D为圆心，OD为半径画圆，交以OC为半径的圆于点E，连接PE，交以OA为半径的圆于F,H两点，FH即为所求.【详解】解：（1）过点O作ON△CD，连接OA，OC△AB、CD是大圆△O的弦，AB＝CD，M是AB的中点，ON△CD△△AMO=△ONC=90°，AM=12AB,CN12CD，△AM=CN又△OA=OC△△AOM△△CON △ON=OM△CD与小圆O相切（2）如图FH即为所求【点睛】本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键.19．（1）见解析（2）是【解析】【详解】试题分析：()1利用等弧对等弦即可证明．()2利用等弧所对的圆周角相等，BAD CBD∠=∠再等量代换得出DBE DEB∠=∠，从而证明DB DE DC==，所以B E C，，三点在以D为圆心，以DB为半径的圆.试题解析:(1)证明：△AD为直径，AD△BC，△由垂径定理得：.BD CD=△根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由(1)知：.BD CD=△△1=△2，又△△2=△3，△△1=△3，△△DBE =△3+△4，△DEB =△1+△5， △BE 是△ABC 的平分线，△△4=△5，△△DBE =△DEB ，△DB =DE .由(1)知：BD =CD△DB =DE =DC .△B ,E ,C 三点在以D 为圆心,以DB 为半径的圆上. 20．（1）见解析；（2）35【解析】【详解】试题分析：()1先根据：90ACB ∠=︒得出AD 为圆O 的直径，可得出ACB AED ∠=∠．再由AD 是ABC 中BAC ∠的平分线可知CAD EAD ∠=∠，由HL 得出ACD AED △≌△，根据全等三角形的性质可知=.AC AE ()2根据勾股定理求出AB 的长，设,CD DE x == 则8,DB BC CD x =-=-1064EB AB AE =-=-=，在Rt BED △中，根据勾股定理得出x 的值，再由ACD △ 是直角三角形即可得出AD 的长． （1）证明△90ACB ∠=︒，且ACB ∠为圆O 的圆周角， △AD 为圆O 的直径，90AED ∴∠=︒，.ACB AED ∴∠=∠又AD 是ABC 中BAC ∠的平分线, △CAD EAD ∠=∠CD DE ∴=，△.ACD AED ≌△=.AC AE（2）△ABC 为直角三角形，且6,8AC CB ==，△根据勾股定理得：10.AB =由()1得到90,AED ∠=︒ 则有90BED ∠=︒，设,CD DE x == 则8,DB BC CD x =-=-1064EB AB AE =-=-=，在Rt BED △中，根据勾股定理得：222BD BE ED =+， 即222(8)4x x ，-=+解得： 3.x =3CD ∴=，又6AC =，ACD △为直角三角形， △根据勾股定理得：222226345.AD AC CD =+=+= 3 5.AD =。
确定圆的条件
判断： 判断： 1、经过三点一定可以作圆。（ × ） 、经过三点一定可以作圆。（ 2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分 、 线的交点。（ 线的交点。（√ ） 3、三角形的外心到三边的距离相等。（× ） 、三角形的外心到三边的距离相等。（ 4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。 、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。 （× ）
1、某一个城市在一块空地新建了三个 、 居民小区，它们分别为A、 、 ， 居民小区，它们分别为 、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学， 小区不在同一直线上，要想规划一所中学， 使这所中学到三个小区的距离相等。 使这所中学到三个小区的距离相等。请问 同学们这所中学建在哪个位置？ 同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确 定这个位置呢？ 定这个位置呢？
A B C
不在同一直线上的三点确定一个圆
画一画
如图,用尺规作过△ 如图 用尺规作过△ABC的三个 用尺规作过 的三个 顶点的圆
A
O B
C
定义
经过三角形各个顶点的圆 外接圆， 叫做三角形的外接圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心 外心， 的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做圆的内接三角形 内接三角形。 个三角形叫做圆的内接三角形。 A O 如图： 如图：⊙O是△ABC的 是 的 外接圆， 外接圆， △ABC是⊙O 是 的内接三角形， 的内接三角形，点O是 是 C △ABC的外心 的外心 外心是 三条边的垂 外心是△ABC三条边的垂 三条边的 直平分线的交点， 直平分线的交点，它到三角 形的三个顶点的距离相等。 三个顶点的距离相等 形的三个顶点的距离相等。
情境创设
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘 发现一圆形瓷器碎片， 时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位 考古学家画出这个碎片所在的整圆， 考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便 于进行深入的研究吗？ 于进行深入的研究吗？
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《确定圆的条件》习题
1．下列命题正确的是( )
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点
C．圆有且只有一个内接三角形
D．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点
2．已知AB＝7cm，则过点A、B，且半径为3cm的圆有( )
A．0个B．1个C．2个D．无数个
3．下列四边形中，一定有外接圆的是( )
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，求Rt△ABC的外接圆的半径和面积．5．(1)作四边形ABCD，使∠A＝∠C＝90°；
(2)经过点A、B、D作⊙O，⊙O是否经过点C？请说明理由．
6．活动与探究：
如图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？
7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条弧所在圆的圆心是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点M
8．已知直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径，则这个直角三角形的面积与其外接圆的面积的比为 ( )
A2πB：4πCπD．2：π。