广东省广州市2020版九年级上学期数学期中考试试卷A卷
【初三数学】广州市九年级数学上期中考试测试卷及答案
新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．6 B ．－6 C ．5 D ．－5 5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 3第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图10．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是 ．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 ．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t－1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是 度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为 ．第10题图第16题图第15题图三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程x2－3x＋1＝018．（本题8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝2的根；（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.19．(本题8分) 关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两根为x1、x2且x12＋x22＝7，求m的值.20．(本题8分) 如图，△ABC是等边三角形.（1）作△ABC的外接圆；（2）在劣弧BC上取点D，分别连接BD，CD，并将△ABD绕A点逆时针旋转60°；（3）若AD＝4，直接写出四边形ABDC的面积.21．(本题8分) 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点E，AE＝6，，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G.（1）求CD的长；（2）求EG的长.第18题图第20题图AB C第21题图A B22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D .（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD ≤MN ，设AD ＝x 米.①若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； ②求矩形菜园ABCD 面积的最大值；（2）如图2，若a ＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD 面积的最大值是 米2.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是△ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，且PA，设∠APB ＝α，∠CPB ＝β.（1）如图1，若∠ACP ＝45°，将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC ，连结新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．6B ．－6C ．5D ．－5A BCDMN NM DC BA第22题图2第22题图15．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 310．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（ ）A ．1 B．2C ．3D ．4第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图第10题图二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是 ．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 ．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t －1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是 度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为 ．三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题8分）解方程x 2－3x ＋1＝018．（本题8分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程ax 2＋bx ＋c ＝2的根； （2）直接写出不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集.19．(本题8分) 关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0有实数根. （1）求m 的取值范围；第16题图第15题图第18题图（2）若两根为x 1、x 2且x 12＋x 22＝7，求m 的值.20．(本题8分) 如图，△ABC 是等边三角形. （1）作△ABC 的外接圆；（2）在劣弧BC 上取点D ，分别连接BD ，CD ，并将△ABD 绕A 点逆时针旋转60°；（3）若AD ＝4，直接写出四边形ABDC 的面积.21．(本题8分) 如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝10，C 为⊙O 上一点，AC 平分∠DAB 交⊙O 于点E ，AE ＝6，，AD ⊥CD 于D ，F 为半圆弧AB 的中点，EF 交AC 于点G . （1）求CD 的长； （2）求EG 的长.22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D .（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD ≤MN ，设AD ＝x 米.①若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； ②求矩形菜园ABCD 面积的最大值；（2）如图2，若a ＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD 面积的最大值是 米第20题图ABC第21题图AB A BCDMN NM DC BA第22题图2第22题图12.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是△ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，且PA ，设∠APB ＝α，∠CPB ＝β.（1）如图1，若∠ACP ＝45°，将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC ，连结新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．（x +1）2＝2（x +1） B ．C ．ax 2+bx +c ＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣12．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0有实根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜3B ．m ≤3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠23．方程x （x ﹣1）＝x 的根是（ ） A ．x ＝2B ．x ＝﹣2C ．x 1＝﹣2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ） A ．（x +1）（x ﹣2）＝0 B ．（x ﹣1）（x +2）＝1 C ．（x +2）2＝1D ．5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A ．y ＝3（x ﹣2）2+1 B ．y ＝3（x +2）2﹣1 C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+16．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0 12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．16．抛物线y＝﹣x2+15有最点，其坐标是．17．水稻今年一季度增产a吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x，则第三季度化肥增产的吨数为．18．已知二次函数y＝+5x﹣10，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0 x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式． 21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值． 22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．故选：B．【点评】当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，解得m．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是x1＝，x2＝．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．抛物线y＝﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下，∴该抛物线有最大值；当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15；∴顶点坐标是（0，15）．故答案是：高、（0，15）．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 a （1+x ）2 ．【分析】第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产的百分率为x ．解：依题意可知：第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．故答案为a （1+x ）2．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 y 1＜y 2＜y 3【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣5，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，然后根据二次函数的性质得到y 1，y 2，y 3的大小关系．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣5，抛物线开口向上，所以当x ＞﹣5时，y 随x 的增大而增大，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，所以y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；【分析】先移项得x 2﹣4x ＝﹣1，再把方程两边加上4得到x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；先移项，然后分解因式得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可．解：x 2﹣4x +1＝0x 2﹣4x ＝﹣1，x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，∴x ﹣2＝±， ∴x 1＝2+，x 2＝2﹣；x （x ﹣2）＝4﹣2xx （x ﹣2）+2（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x +2）＝0，∴x ﹣2＝0或x +2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了因式分解法解一元二次方程．20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可解决，解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，可设抛物线为：y ＝a （x ﹣2）2+4，把（1，2）代入得：2＝a +4，解得：a ＝﹣2，所以抛物线为：y ＝﹣2（x ﹣2）2+4，即y ＝﹣2x 2+8x ﹣4，【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m ＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣，再代入可得答案．解：（1）由题意得：△＝（﹣3）2﹣4×1×m ＝9﹣4m ＞0，解得：m ＜；（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，∴x2＝2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【分析】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x ﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点；（3）利用二次函数的性质确定x的范围．解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，△＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点；即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；解：设每件童装应降价x 元，根据题意列方程得，（40﹣x ）（20+2x ）＝1200，解得x 1＝20，x 2＝10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去），答：每件童装降价20元；【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润的运用．24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？【分析】设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，列出面积与x 的二次函数关系式，求最值．解：设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，则其面积S ＝x •＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ． ∵0＜2x ＜12，∴0＜x ＜6．∵S ＝﹣x 2+6x ＝﹣（x ﹣3）2+9，∴a ＝﹣1＜0，S 有最大值，当x ＝3时，S 最大值＝9．∴设计费最多为9×1000＝9000（元）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x＝0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C 的坐标；（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），∴B（5，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），（3）∵∠BOC＝90°，∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，由题意得：OB＝5，OC＝5，由勾股定理得；BC＝＝5，S＝π•＝π，答：过O，B，C三点的圆的面积为π．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x＝0时，求抛物线与y轴的交点；令y＝0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y＝kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5 x2+40 x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．。
广东省广州市2020年九年级上学期期中数学试卷A卷
广东省广州市2020年九年级上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共16题；共28分)1. （2分）若关于x的一元二次方程的有两个实数根，则k的取值范围为（）A .B .C . 且k≠0D . 且k≠02. （2分） 8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7=0的一个根为零，则k=（）A . ﹣1B .C . 4D . ﹣73. （2分） (2017九上·梅江月考) 一元二次方程的根的情况为（）A . 有两个相等的实数根B . 有两个不相等的实数根C . 只有一个实数根D . 没有实数根4. （2分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A . 开口向上B . 与x轴有一个交点C . 对称轴是直线x=1D . 当x＞1时，y随x的增大而减小5. （2分） (2016九上·和平期中) 对抛物线y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A . 与x轴有两个公共点；B . 与y轴的交点坐标是（0，3）；C . 当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小；D . 开口向上．6. （2分）如果一条抛物线的形状与y=﹣2x2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的解析式是（）A . y=2（x﹣4）2﹣2B . y=﹣2（x﹣4）2﹣2C . y=﹣2（x﹣4）2+2D . y=﹣2（x+4）2﹣27. （2分）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）A . 39B . 40C . 50D . 608. （2分）(2018·马边模拟) 二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图像位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图像位于x轴的上方，则m的值为（）．A . 8B . -10C . -42D . -249. （2分）(2017·徐州模拟) 平面直角坐标系中，若平移二次函数y=（x﹣6）（x﹣7）﹣3的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A . 向左平移3个单位B . 向右平移3个单位C . 向上平移3个单位D . 向下平移3个单位10. （2分） (2020九上·醴陵期末) 已知二次函数y=ax2+bx+c（）的图像如图所示，则下列结论：（1）ac>0;（2）方程ax2+bx+c=0的两根之积小于0；（3）a+b+c<0；（4）ac+b+1 <0,其中符合题意的个数（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （1分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于________．12. （2分）若是方程的两根，那么________ ，________ ．13. （2分）我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．14. （1分）在平面直角坐标系中，先将抛物线y=2x2﹣4x+8关于x轴作对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，所得抛物线的解析式是________．15. （1分）抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．16. （1分）(2017·威海模拟) 如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数为________．二、解答题 (共8题；共76分)17. （10分） (2016九上·海南期中) 解下列方程：（1） x2﹣2x=﹣1；（2）（x+3）2=2x（x+3）．18. （10分）(2016·南充) 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．19. （5分） (2016九上·岳池期中) 岳一中初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n的值．20. （10分） (2019九上·江山期中) 已知某二次函数图象的顶点坐标为（1，－4），且经过点C（0，－3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标（A在点B的左边）及△ABC的面积．21. （10分） (2018九上·上杭期中) 已知抛物线的顶点为，与y轴交点为（1）求该抛物线的解析式，并画出抛物线的草图无需列表，要求标出抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）观察图象，写出当时，自变量x的取值范围．22. （6分）(2017·宝应模拟) 水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？23. （10分） (2016九上·余杭期中) 一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分．①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？24. （15分）(2016·宜宾) 如图，已知二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数y1的解析式；（2）将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y=m（m＞0）交y2于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y=m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C 在左侧），直线y=﹣m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．参考答案一、填空题 (共16题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、二、解答题 (共8题；共76分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、。
2020-2021学年广东省广州二中九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年广东省广州二中九年级（上）期中数学试卷1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 扇形B. 正方形C. 等腰直角三角形D. 正五边形2.下列方程属于一元二次方程的是()A. x2+y−2=0B. x+y=3C. x2+2x=3D. x+1x=−53.一元二次方程x2−x=0的解是()A. x1=−1，x2=0B. x1=1，x2=0C. x1=−1，x2=1D. x1=x2=14.若二次函数y=x2+3x+a−1的图象经过原点，则a的值为()A. 0B. 1C. −1D. 1或−15.二次函数y=−3(x+1)2−2的顶点坐标是()A. (−1,−2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (1,2)6.抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.在平面直角坐标系中，点(−6,5)关于原点的对称点的坐标是()A. (6,5)B. (6,5)C. (6,−5)D. (−6,−5)8.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是()A. y=(x−1)2+2B. y=(x+1)2+2C. y=x2+1D. y=x2+39.下列对二次函数y=x2−x的图象的描述，正确的是()A. 开口向下B. 对称轴是y轴C. 顶点坐标为(12,−14)D. 在对称轴右侧部分，y随x的增大而减小10.若一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第()象限．A. 四B. 三C. 二D. 一11. 若2是方程x 2−c =0的一个根，则c 的值为______．12. 某校九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛)，据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有______ 个班．13. 如图，已知∠EAD =32°，△ADE 绕着点A 逆时针旋转50°后能与△ABC 重合，则∠BAE = ______ 度.14. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y =−112x 2+23x +53，则该运动员此次掷铅球的成绩是______ m.15. 若α，β是一元二次方程x 2+3x −1=0(α≠β)的两个根，那么α2+2α−β的值是______．16. 已知函数y ={−x 2+2x(x >0)−x(x ≤0)的图象如图所示，若直线y =x +m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为______．17. 解方程：(1)x 2+4x −5=0；(2)3x(x −2)=2x −4．18.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(2,4)、B(1,2)、C(5,3)，如图，请作出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，并判断点B1是否在二次函数y= 2x2+5x+3的图象上．19.如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B顺时针旋转90°后，得到△CBE，求∠DCE的度数．20.已知x1、x2是关于x的一元二次方程(m−1)x2+2mx+m=0的两实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)是否存在实数m，使−x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．21.某地区2018年投入教育经费2500万元，2020年投入教育经费3025万元．(1)求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．22.如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．(1)求该抛物线的解析式；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？23.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E、F、G、H分别为各边上的动点，且AE=BF=CG=DH=x．(1)求证：EH=FG；(2)求四边形EFGH的面积S的最小值，并求出此时x的值；(3)当点E从点A运动到点B时，点F也随之运动，请直接写EF中点P的运动路径长______ ．24.如图1，点D为等边△ABC内部一点，满足BD=DC，且∠BDC=120°，点E为BD延长线与边AC的交点．DC；(1)求证：DE=12(2)若将△BDC绕点C顺时针能转至△B′D′C处，如图2，点B的对应点为点B′，连接AB′并取AB′的中点G，连接BG、D′G．①探究BG与D′G的关系，并说明理由；②当AB=3时，若将△BDC绕点C顺时针旋转一周，求线段BG的取值范围．25.如图，抛物线y=−x2+3x+c与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点B坐标为(4,0)．(1)求点C坐标；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作PH⊥x轴于H，交抛物线于点Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，线段PH的长为e．①求出d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(m2+9)=0(m为常数)的两根，则抛②若d，e为关于z的方程z2−(m+3)z+12物线上是否存在这样的点M，使得MP平分∠QMH，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D、该方程不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．根据一元二次方程的定义(含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)判断即可．本题考查了对一元二次方程的定义的理解，注意：含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，ax2+bx+c=0(a,b，c为常数，且a≠0)．3.【答案】B【解析】解：x2−x=0，x(x−1)=0，∴x=0或x−1=0，∴x1=0，x2=1．故选：B．提取公因式，得到x(x−1)=0，方程转化为x=0或x−1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．4.【答案】B【解析】解：把(0,0)代入y=x2+3x+a−1得a−1=0，解得a=1，所以a的值为1．故选：B．根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5.【答案】A【解析】解：∵二次函数y=−3(x+1)2−2是顶点式，∴顶点坐标为(−1,−2)．故选：A．因为顶点式y=a(x−ℎ)2+k，其顶点坐标是(ℎ,k)，对照求二次函数y=−3(x+1)2−2的顶点坐标．此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．通过解方程x2−2x−3=0可得到抛物线与x轴的交点坐标，于是可判断抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点个数．【解答】解：当y=0时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3．则抛物线与x 轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)．抛物线y =x 2−2x −3与x 轴的交点个数是2个，故选C ．7.【答案】C【解析】解：点P(−6,5)关于原点对称点的坐标是(6,−5)，故选：C ．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，属于基础题．根据二次函数的图象与几何变换的规律，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y =x 2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y =x 2+2−1，即y =x 2+1．故选C ．9.【答案】C【解析】解：∵二次函数y =x 2−x =(x −12)2−14，∴该函数图象开口向上，故选项A 错误；对称轴是直线x =12，故选项B 错误；顶点坐标为(12,−14)，故选项C 正确；在对称轴右侧部分，y 随x 的增大而增大，故选项D 错误；故选：C ．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.【答案】D【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=(−2)2+4m<0，解得m<−1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=(m+1)x+m−1图象经过的象限．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，∴△<0，∴△=4−4(−m)=4+4m<0，∴m<−1，∴m+1<1−1，即m+1<0，m−1<−1−1，即m−1<−2，∴一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第一象限，故选：D．11.【答案】4【解析】解：根据题意，将x=2代入方程x2−c=0，得：4−c=0，解得c=4，故答案为：4．根据方程的解的概念将x=2代入方程x2−c=0，据此可得关于c的方程，解之可得答案．本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12.【答案】8【解析】解：设九年级共有x个班级．依题意得：12x(x−1)=28．解得：x1=8，x2=−7(不合题意舍去)．故答案为：8．赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，x个班比赛总场数=x(x−1)÷2，即可列方程求解．本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×(队数−1)÷2，进而得出方程是解题关键．13.【答案】18【解析】解：∵△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，∴∠DAE=∠BAC=32°，∠CAE=50°，∴∠BAE=∠CAE−∠BAC=50°−32°=18°，故答案为：18．由旋转的性质可得∠DAE=∠BAC=32°，∠CAE=50°，即可求解．本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．14.【答案】10【解析】解：令函数式y=−112x2+23x+53中，y=0，0=−112x2+23x+53，整理得：x2−8x−20=0，(x−10)(x+2)=0，解得x1=10，x2=−2(舍去)，即该运动员此次掷铅球的成绩是10m．故答案为：10．根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．15.【答案】4【解析】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x−1=0的两个根，∴α2+3α=1，α+β=−3，∴α2+2α−β=α2+3α−(α+β)=1−(−3)=4．故答案为：4．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出α2+3α=1，α+β=−3，再将其代入α2+2α−β=α2+3α−(α+β)中即可求出结论．是解题的关本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于−ba键．16.【答案】0<m<14【解析】【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质，属于中档题．直线与y=−x有一个交点，与y=−x2+2x有两个交点，则有m>0，x+m=−x2+2x 时，Δ=1−4m>0，即可求解．【解答】解：直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则直线与y=−x有一个交点，∴m>0，∵与y=−x2+2x有两个交点，∴x+m=−x2+2x时，Δ=1−4m>0，∴m<1，4∴0<m<1；4．故答案为0<m<1417.【答案】解：(1)∵x2+4x−5=0，∴(x+5)(x−1)=0，解得x1=−5，x2=1；(2)∵3x(x−2)−2(x−2)=0，∴(x−2)(3x−2)=0，则x−2=0或3x−2=0，．解得x1=2，x2=23【解析】利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求作．由题意，B1(−1,−2)，当x=−1，y=2x2+5x+3=2−5+3=0，∴B1在抛物线y=2x2+5x+3上．【解析】分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可，可得B1(−1,−2)，再利用待定系数法判断即可．本题考查作图−旋转变换，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC =90°，∴∠BAD =∠BCD =45°，由旋转的性质可知∠BAD =∠BCE =45°，∴∠DCE =∠BCE +∠BCA =45°+45°=90°．【解析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE 的度数．本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．20.【答案】解：(1)根据题意得△=4m 2−4(m −1)⋅m ≥0，m −1≠0， 解得m ≥0且m ≠1；(2)存在，理由如下：根据根与系数的关系得x 1+x 2=−2m m−1，x 1⋅x 2=m m−1，∵−x 1+x 1x 2=4+x 2，∴x 1x 2=4+x 1+x 2，∴m m−1=4−2m m−1，∵m ≥0且m ≠1；∴m =4．【解析】(1)根据判别式即可求得；(2)根据根与系数的关系得x 1+x 2=−2m m−1，x 1⋅x 2=m m−1，然后利用−x 1+x 1x 2=4+x 2得m m−1=4−2m m−1，再解关于m 的方程即可；本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a .也考查了一元二次方程根的判别式．21.【答案】解：(1)设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意2019年为2500(1+x)万元，2020年为2500(1+x)2万元．则2500(1+x)2=3025，解得x 1=10%，x 2=−2.1(不合题意舍去)．答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．故2021年该地区将投入教育经费3327.5万元．【解析】(1)一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，2019年要投入教育经费是2500(1+x)万元，在2020年的基础上再增长x，就是2020年的教育经费数额，即可列出方程求解．(2)利用(1)中求得的增长率来求2021年该地区将投入教育经费．本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量．22.【答案】解：(1)根据题意，该抛物线的顶点坐标为(6,10)，设抛物线解析式为：y=a(x−6)2+10，将点B(0,4)代入，得：36a+10=4，解得：a=−16，故该抛物线解析式为y=−16(x−6)2+10；(2)根据题意，当x=6+4=10时，y=−16×16+10=223>6，∴这辆货车能安全通过．【解析】(1)先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；(2)令x=10，求出y与6作比较．本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．23.【答案】3√2【解析】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，∠A=∠C=90°，∵BF=DH，∴BC−BF=AD−DH，即CF=AH，又AE=CG，在△AEH和△CGF中，{AE=CG ∠A=∠C AH=CF，∴△HAE≌△FCG(SAS)，∴EH=FG；(2)解：由(1)同理可证：△GDH≌△EBF(SAS)，∴S=S矩形ABCD−2S△AEH−2S△GDH=3×5−2×12x(5−x)−2×12x(3−x)=2x2−8x+15 =2(x−2)2+7，∵2>0，∴当x=2时，S有最小值，最小值是7；(3)解：如图2，当点E在点A处时，F与B重合，中点P在P1处，即P1B=12AB=32，当点E在点B处时，AE=AB=BF=3，中点P在P2处，此时BP2=32，在Rt△P1BP2中，由勾股定理得：P1P2=√32+32=3√2，∴EF中点P的运动路径长为3√2，故答案为：3√2．(1)由矩形的性质得出∠A=∠C=90°，BC=DA，由BF=DH证出BF=AH，由SAS 证明△AEH≌△CGF，可得HE=FG；(2)同(1)的方法可得：△GDH≌△EBF(SAS)，根据面积差和配方法可得结论；(3)先确定EF中点P的运动路径长为线段P1P2的长，最后根据勾股定理可得结论．本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形和矩形的面积，勾股定理，几何动点问题等知识，本题难度适中，特别是(3)中，确定动点P的运动路径是本题的关键，也是难点．24.【答案】(1)证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵DB=DC，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=30°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∴∠BEC=90°，∴DE=1CD．2(2)解：①如图2中，结论BG⊥GD′，BG=√3GD′．理由：延长BG到T，使得GT=GB，连接B′T，TD′，延长BA交D′B′于K．∵AG=GB′，∠AGB=∠B′GT，BG=TG，∴△AGB≌△B′GT(SAS)，∴AB=TB′，∠ABG=∠GTB′，∴BK//TB′，∴∠K=∠KB′T，∵∠ABC=60°，BC=AB，∠CD′B′=120°，∴BC=TB′，∠KBC+∠CD′K=180°，∴∠K+∠BCD′=180°，∵∠KB′T+∠TB′D′=180°，∴∠BCD′=TB′D′，∵CD′=B′D′，∴△BCD′≌△TB′D′(SAS)，∴D′B=D′T，∠CD′B=∠TD′B′，∴∠BD′T=∠CD′B′=120°，∵GB=GT，∴D′G⊥BT，∠BD′G=∠TD′G=60°，∴∠BGD′=90°，∠D′BG=30°，∴BG=√3GD′，∴BG⊥GD′，BG=√3GD′．②如图3中，连接GE．由题意AB =BC =AC =3，∠ABC =60°，∵BE ⊥AC ，∴AE =EC =32，∠CBE =30°， ∴BE =√3EC =3√32， ∵AG =GB′AE =EC ，∴EG =12CB′=32， ∴BE −EG ≤BG ≤BE +EG ，∴3√32−32≤BG ≤3√32+32．【解析】(1)根据直角三角形30度角的性质证明即可．(2)①结论BG ⊥GD′，BG =√3GD′.延长BG 到T ，使得GT =GB ，连接B′T ，TD′，延长BA 交D′B′于K.利用全等三角形的性质证明△BD′T 是顶角为120°的等腰三角形，即可解决问题．②如图3中，连接GE.求出BE ，GE ，即可判断．本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：(1)将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=−42+12+c ， 解得c =4，故点C 的坐标为(0,4)；(2)①设直线BC 的表达式为y =kx +b ，则{0=4k +b b =4，解得{k =−1b =4， 故直线BC 的表达式为y =−x +4，设点P(t,4−t)，则点Q(t,−t 2+3t +4)，则d =PQ =|−t 2+3t +4−4+t|=|−t 2+4t|，e =PH =|4−t|，故d 与t 之间的函数关系式为{−t 2+4t(0≤t ≤4)t 2−4t(t >4)；②若d ，e 为关于z 的方程z 2−(m +3)z +12(m 2+9)=0(m 为常数)的两根， 则△=(−m −3)2−4×12(m 2+9)=−(m −3)2≥0，而−(m −3)2≤0，故△=0，即d =e ，即PQ =PH ，当点P 在x 轴上方时，∵MP 平分∠QMH ，过点P 作PG ⊥HM 于点G ，作PK ⊥QM 于点K ，则PK =PG ，而PQ =PH ，∴Rt △PMQ≌Rt △PGH(HL)，∴∠MQH =∠MHQ ，∴△QHM 为等腰三角形，∴PM ⊥QH ，而PQ =PH ，故PM 是HQ 的中垂线，∵d =e ，即−t 2+4t =4−t ，解得t =4(舍去)或1，故点P 的坐标为(1,3)，当y =3时，y =−x 2+3x +4=3，解得x =3−√132(不合题意的值已舍去)， 故点M 的坐标为(3−√132,3)；当点P 在x 轴下方时，同理可得：t=1或4(舍去)，,3)．综上，点M的坐标为(3−√132【解析】(1)将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=−42+12+c，即可求解；(2)①设点P(t,4−t)，则点Q(t,−t2+3t+4)，则d=PQ=|−t2+3t+4−4+t|= |−t2+4t|，即可求解；(m2+9)=0(m为常数)的两根，则△=②若d，e为关于z的方程z2−(m+3)z+12(−m−3)2−4×1(m2+9)=−(m−3)2≥0，故△=0，即d=e，即PQ=PH，再证2明△QHM为等腰三角形，则PM是HQ的中垂线，进而求解．本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
-2020学年九上数学期中原创A卷(广东)(考试版)【测试范围：人教版九上第21-24章】
绝密★启用前2019-2020学年上学期期中原创卷A 卷九年级数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：人教版九上第21~24章。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．用配方法解关于x 的一元二次方程2480x x --=，配方后的方程是 A ．2(2)8x +=B ．2(2)8x -=C ．2(2)12x +=D ．2(2)12x -=3．如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30︒，则∠CBD 的度数是A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．80︒4．对于抛物线y ＝﹣（x +2）2﹣1，下列说法错误的是 A ．开口向下B ．对称轴是直线x ＝﹣2C ．x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大D ．x ＝﹣2，函数有最大值y ＝﹣15．如图，在O e 中，»AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为»AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°6．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k -…且0k ≠D ．1k >-且0k ≠7．已知点()()121,,2,A y B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是 A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>8．如图，ABC △中，63∠=︒CAB ，在同一平面内，将ABC △绕点A 旋转到AED △的位置，使得DC AB ∥，则BAE ∠等于 A ．54︒B ．56︒C ．64︒D ．66︒第8题图 第9题图 第10题图9．如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为A ．6πB． C．D ．2π10．如图为二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，给出下列说法：①ab ＜0；②方程ax 2+bx +c =0的根为1213x x =-=，；③a +b +c ＞0；④当x ＜1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，1x <-或3x >．其中，正确的说法有 A ．①②④B ．①②⑤C ．①③⑤D ．②④⑤第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若关于x 的方程1(1)1aa xx ++-=是一元二次方程，那么a 的值是____________．12．二次函数()2215y x =---的最大值是____________．13．将二次函数22y x =-向右平移3个单位，向上平移1个单位后，所得的函数解析式为____________． 14．如图，△ABC 中,∠BAC =90°,将ABC △绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE,点B 的对应点D 恰好落在BC 边上,若AC,60B ∠=︒,则CD 的长为____________．第14题图 第15题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，BC ⊥AB ，过点C 作半圆的切线，切点为D ，射线CD 交BA 的延长线于点E ，若CD ＝ED ，AB ＝4，则EA ＝____________．16．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图1).如果曲线APB 表示的是落点B 离点O 最远的一条水流(如图2)，水流喷出的高度(y 米)与水平距离(x 米)之间的关系式是294(0)4y x x x =-++>，那么圆形水池的半径至少为______米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．解方程:（1）2230x x --=； （2）22310x x +-=.18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt △ABC 的三个顶点分别为A （0，4），B （﹣4，2），C （0，2）．（1）画△A 1B 1C 1，使它与△ABC 关于点C 成中心对称；（2）平移△ABC ，使点A 的对应点A 2坐标为（﹣2，4），画出平移后对应的△A 2B 2C 2； （3）若将△A 1B 1C 1绕点P 旋转可得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心P 的坐标．19．已知二次函数223y x x =--.（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数图象.（2）结合图象回答：①当1x >时，y 随着x 的增大而 . ②不等式2230x x --<的解集是 .四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E . F ． （1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BD，BF =2，求⊙O 的半径．21．如图，抛物线y =﹣12x 2﹣x +4与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，点B 的坐标；（2）P 为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP 面积的最大值．22．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，其中AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线P A ．（1）求证：∠P AC ＝∠ABC ；（2）若∠P AC ＝30°，AC ＝3，求劣弧AC 的长．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20 m 长的篱笆围成一个矩形ABCD （篱笆只围,AB BC 两边），设AB x =m . （1）若花园的面积为962m ，求x 的值；（2）若在P 处有一棵树与墙,CD AD 的距离分别是11m 和5m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值.24．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点M 在⊙O 上，M D ∠=∠．（1）判断BC 、MD 的位置关系，并说明理由； （2）若AE ＝16，BE ＝4，求线段CD 的长．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点．（1）求,A C 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．。
2019-2020学年九年级数学上学期期中原创卷A卷(广东)(全解全析)
1. 【答案】B2019-2020 学年上学期期中原创卷A 卷九年级数学·全解全析【解析】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：B ．2. 【答案】D【解析】解 x 2 - 4x - 8 = 0 ，x 2 - 4x = 8 ，x 2 - 4x + 4 = 8 + 4 ，∴ ( x - 2)2 = 12 ， 故选 D.3. 【答案】C【解析】如图，连接 CD ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD =90°，∴∠D =∠A =30°，∴∠CBD =90°−∠D =60°．故选C．4.【答案】C【解析】∵y＝﹣（x+2）2﹣1，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2，当x＝﹣2 时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2 时，y 随x 的增大而减小，故选项C 的说法错误.故选C．5.【答案】B【解析】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°，∵∠AOP=55°，∴∠POB=45°，故选B．6.【答案】D【解析】 方程kx2 - 2x -1 = 0 有两个不相等的实数根，∴其判别式∆=b2 - 4ac > 0 ，即(-2)2 - 4k ⨯(-1) > 0 ，解得k >-1，又 一元二次方程二次项系数不为0，∴k ≠ 0 ，∴ k 的取值范围为k >-1且k ≠ 0 .故选D.7.【答案】A【解析】当x=1 时,y1=−(x+1) 2 +2=−(1+1) 2 +2=−2；当x=2 时,y2 =−(x+1) 2 +2=−(2+1) 2 +2=−7；所以2 >y1 >y2 .故选A.8.【答案】A【解析】∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB＝63°，由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝63°，∴∠ADC＝∠ACD＝63°，= = 6π ，∴∠CAD ＝54°，∴∠CAE ＝9°，∴∠BAE ＝54°， 故选 A ．9. 【答案】A【解析】连接 OB ，∵四边形 OABC 是平行四边形，∴AB =OC ，∴AB =OA =OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =60°，∵OC ∥AB ，∴S △AOB =S △ABC ，∴图中阴影部分的面积=S60 ⋅ π⨯ 36 扇形 AOB故 选 A ． 10．【答案】B【解析】根据图象可知：360①对称轴- b2a= 1＞0，故 ab ＜0，正确；②方程 ax 2+bx +c =0 的根为 x 1 = -1，x 2 = 3 ，正确； ③x =1 时，y =a +b +c ＜0，错误；④当 x ＜1 时，y 随 x 值的增大而减小，错误； ⑤当 y ＞0 时， x < -1或 x > 3 ，正确． 正确的有①②⑤．故选：B ．11．【答案】1【解析】∵关于x 的方程(a +1)x1+a -x = 1 是一元二次方程，∴1+|a|=2，且a+1≠0，解得：a=1，故答案为1.12．【答案】-5【解析】∵y=-2(x-1)2-5中a =-2 < 0 ,∴当x=1 时，有最大值-5.故答案为-5 .13．【答案】y=-2x2+12x-17【解析】二次函数y=-2x2向右平移3 个单位，可得y=-2(x-3)2，再向上平移1个单位后，可得y=-2(x-3)2+1，∴y=-2x2+12x-17.14．【答案】4【解析】在Rt△ABC 中,AC=4,∠B=60°，∴AB=4，BC=8，由旋转得，AD=AB，∵∠B=60°，∴BD=AB=4，∴CD=BC−BD=8−4=4，故答案为4.15．【答案】2．【解析】连接OD，∵AB 是半圆O 的直径，CB⊥AB，∴CB 是⊙O 的切线，∵CD 切半圆O 于点D，3∴CD ＝CB ，∵CD ＝ED ，∴CE ＝2BC ，∴∠E ＝30°，∵CD 切半圆 O 于点 D ，∴∠ODE ＝90°，∴OE ＝2OD ，∵AB ＝4，∴OA ＝OD ＝2，∴OE ＝4，∴AE ＝OE ﹣OA ＝2， 故答案为 2． 9 16．【答案】2 【解析】在 y = -x 2 + 4x + 9 (x > 0) 4 中，当 y =0 时， -x 2+ 4x + 9= 0(x > 0) ，4解得 x = - 1， x = 9，12 2 2x > 0 ，∴ x = 92 ，即OB = 9 ，2∴圆形水池的半径至少为 9米时，才能使喷出的水流不至于落在池外，29故答案为： ．217．【解析】（1） x 2 - 2x - 3 = 0 ，(x - 3)(x +1) = 0 ， x 1 = 3 ， x 2 = -1 .（3 分）（2） 2x 2 + 3x -1 = 0 ， ∵ a = 2，b = 3，c = -1 ，∴∆= 9 - 4⨯ 2⨯(-1) = 17 > 0 ，x =-3 ±417，x =-3 +1 417，2=-3 -417.（6 分）18.【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2分）（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（4分）（3）P(-1, 2) ．理由如下：∵△A1B1C1与△A2B2C2关于P 点成中心对称，∴P 点是B1B2 的中点，又∵B1B2的坐标为(4, 2)、(-6, 2) ，∴点P 坐标为(-1, 2) .（6 分）19.【解析】（1）完成表格如下：函数图象如下：x（3 分）（2）①由函数图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大；（4分）②不等式x2 - 2x - 3 < 0 的解集是-1 <x < 3.（6 分）20.【解析】（1）直线BC与⊙O的位置关系是相切，（1分）理由是：连接OD,∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD 平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，∵OD 为半径，∴直线BC 与⊙O 的位置关系是相切.（4 分）（2）设⊙O 的半径为R，则OD=OF=R，3 ⎩ ⎨在Rt △ BDO 中,由勾股定理得：OB 2 =BD 2 +OD 2 ，即(R +2) 2 =(2 ) 2 +R 2 ，解得：R =2.所以⊙O 的半径为 2.（7 分） 121．【解析】（1）设 y =0，则 0=﹣ 2∴x 1=﹣4，x 2=2x 2﹣x +4∴A （﹣4，0），B （2，0）.（3 分）（2）作 PD ⊥AO 交 AC 于 D ，设 AC 解析式 y =kx +b ，⎧4 = b∴ ⎨0 = -4k + b ，⎧ k = 1 解得 ， ⎩b = 4∴AC 的解析式为 y =x +4.1设 P （t ，﹣ 21 t 2﹣t +4），则 D （t ，t +4），1 1 ∴PD =（﹣ 21t 2﹣t +4）﹣（t +4）=﹣ 2t 2﹣2t =﹣ 2（t +2）2+2， ∴S △ACP = 2PD ×4=﹣（t +2）2+4，∴当 t =﹣2 时， △ ACP 最大面积为 4.（7 分） 22．【解析】（1）∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵PA 是⊙O 切线，∴OA ⊥PA ，∴∠BAP ＝90°，⎩∴∠PAC +∠BAC ＝90°，∠BAC +∠ABC ＝90°，∴∠PAC ＝∠ABC ．（3 分）（2）连接 OC ，∵∠PAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠PAC ＝30°，∴∠AOC ＝2∠B ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝3，60 ⋅ π⋅ 3∴ AC 的长＝ 180 ＝π.（7 分）23．【解析】（1）x (20 - x ) = 96 ， x 1 = 8 ， x 2 = 12 ， x 的值为 8 或 12.（4 分）⎧x ≥ 5（2）依题意得⎨20 - x ≥ 11 ，得5 ≤ x ≤ 9 ， S = x (20 - x ) = -(x -10) 2 +100 ，当5 ≤ x ≤ 9 时， S 随 x 的增大而增大，所以，当 x = 9 时， S 的值最大，最大值为 99.所以花园面积 S 的最大值为 99 m 2.（9 分）24. 【解析】（1）BC 、MD 的位置关系是平行，理由：∵∠M ＝∠D ，∴ BD = MC ，∴∠M ＝∠MBC ，∴BC ∥MD .（4 分）（2） 连接 OC ，∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点 E ，AE ＝16，BE ＝4， ∴ ∠OEC = 90︒，EC = ED ，AB = AE + BE = 20 ， ∴OC = OB = 10, OE = OB - BE = 6 ，∴ CE∴ CD = 2CE = 16 ，= 8 ，即线段 CD 的长是 16．（9 分）25. 【解析】（1）OA ＝OC ＝4OB ＝4，故点 A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）.（2 分）（2）抛物线的表达式为 y = a (x +1)(x - 4) = a (x 2 - 3x - 4) ， 即﹣4a ＝﹣4，解得 a ＝1，故抛物线的表达式为 y ＝x 2 - 3x - 4 .（5 分）（3） 直线 CA 过点 C ，设其函数表达式为： y ＝kx - 4 ， 将点 A 坐标代入上式并解得 k ＝1，故直线 CA 的表达式为：y ＝x ﹣4，过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H ，∵OA ＝OC ＝4，2 （ ∴∠OAC ＝∠OCA ＝45︒ ，∵ PH ∥y 轴，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45︒ ，设点 P （x ，x 2 - 3x - 4），则点 H （x ，x ﹣4），PD ＝ 2 x - 4 - x 2 + 3x + 4） 2=- 2 x 2 + 2 2x2∵ -2 2＜0，∴PD 有最大值，当 x ＝2 时，其最大值为2 ， 此时点 P （2，﹣6）．（9 分）。
2019-2020学年广州市广州中学九年级(上)期中考试数学试卷(含答案和解析)
2019-2020学年广州市广州中学九年级（上）期中考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．在下列方程中，一元二次方程是（）A．x2﹣2xy+y2＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1C．x2﹣2x＝3 D．x+＝02．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3D．m≥33．已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大4．二次函数y＝x2+x﹣6的图象与x轴交点的横坐标是（）A．2和﹣3 B．﹣2和3 C．2和3 D．﹣2和﹣35．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为（）A．cm B．3cm C．2cm D．9cm9．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α10．如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm二．填空题（共6小题）11．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为．12．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．13．如图，△ABC绕着点C旋转至△DEC，点B，C，D共线，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则BD＝．14．如图⊙O中，∠BAC＝74°，则∠BOC＝．15．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为．16．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝．三．解答题（共9小题）17．解方程（1）3x2﹣5x+2＝0（2）（x+1）（x+3）＝818．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式是s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行一段时间才能停下来，求出滑行的时间及最大的滑行距离．19．在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完填空；（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出点A1的坐标；（2）作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，写出线段C1C2的长度．20．如图，⊙O的直径AB＝10CM，弦长AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求BC的长；（2）求△ABD的面积．21．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．（2）2023年预计全省5G基站数量达到27万座，这一数量能否继续保持前两年的年平均增长率？请通过计算说明．22．小明遇到这样一个问题：已知：＝1．求证：b2﹣4ac≥0．经过思考，小明的证明过程如下：∵＝1，∴b﹣c＝a．∴a﹣b+c＝0．接下来，小明想：若把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），恰好得到a﹣b+c＝0．这说明一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x＝﹣1．所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：b2﹣4ac≥0．根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：＝﹣2．求证：b2≥4ac．请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程．23．已知如图△ABC中，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E．（1）∠A＝68°，求∠CED的大小；（2）当DE＝BE时，证明：△ABC为等腰三角形．24．如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．（1）写出AE与BD的大小关系；（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．（3）△ABC的边长为5，△CDE的边长为2，把△CDE绕点C逆时针旋转一周后回到图①位置，求出线段AE长的最大值和最小值．25．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线L：y＝x+m 过顶点C和点B．（1）求抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（2）点D（0，），在x轴上任取一点Q（x，0），连接DQ，作线段DQ的垂直平分线l1，过点Q作x轴的垂线，记l2，l2的交点为P（x，y），在x轴上多次改变点Q的位置，相应的点P也在坐标系中形成了曲线路径D2，写出点P（x，y）的路径D2所满足的关系式（即x，y所满足的关系式），能否通过平移、轴对称或旋转变换，由抛物线D1得到曲线D2？请说明理由．（3）抛物线D1上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广州市广州中学九年级（上）期中考试数学试卷参考答案和试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、方程含有两个未知数，故不是；B、方程的二次项系数为0，故不是；C、符合一元二次方程的定义；D、不是整式方程．故选：C．2．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根可得△＝（﹣2）2﹣4m ＞0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，∴m＜3，故选：A．3．【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：函数y＝（x﹣1）2，对称轴为直线x＝1，开口方向上，故当x＜1时，y随x的增大而减小．故选：C．4．【分析】利用二次函数的图象与x轴交点性质．【解答】解：二次函数y＝x2+x﹣6的图象与x轴交点的横坐标是当y＝0时，一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根．解得x1＝2，x2＝﹣3．故选：A．5．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意．故选：B．6．【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，连接OA，AM＝AB＝4，由勾股定理知，OM＝3．故选：B．7．【分析】根据圆周角定理可知∠B＝∠D＝30°，∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，已知了∠D的度数，易求出∠CAD的度数．【解答】解：∵AD是⊙O的直径∴∠ACD＝90°由圆周角定理知，∠D＝∠B＝30°∴∠CAD＝90°﹣∠D＝60°．故选：D．8．【分析】根据圆周角定理可求出∠COB的度数，再利用特殊角的三角函数值及垂径定理即可解答．【解答】解：∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，又∵OC＝cm，CD⊥AB于点E，∴，解得CE＝cm，CD＝3cm．故选：B．9．【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，∵∠EDB+∠ADB＝180°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，∴∠CAD＝180°﹣α，故选：C．10．【分析】证明△ADF∽△DBE，推出＝＝＝，推出＝，设BE＝3a，则DE＝5a，推出BC＝3a+5a＝8a，AC＝8a×＝a，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a2的值即可解决问题．【解答】解：如图，∵正方形的边DF∥CB，∵∠AFD＝∠ADEB＝90°，∴△ADF∽△DBE，∴＝＝＝，∴＝，设BE＝3a，则DE＝5a，∴BC＝3a+5a＝8a，AC＝8a×＝a，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（a）2+（8a）2＝（10+6）2，解得a2＝，红、蓝两张纸片的面积之和＝×a×8a﹣（5a）2，＝a2﹣25a2，＝a2，＝×，＝30cm2．故选：A．二．填空题（共6小题）11．【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m＝3，解得：m＝2．故答案为：2．12．【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．13．【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2BC，根据旋转的性质可求出CD的长，则BD可求出．∴AC＝2BC＝2，∵△ABC绕着点C旋转至△DEC，∴CD＝AC＝2，∴BD＝BC+CD＝1+2＝3，故答案为：3．14．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠BOC＝2∠BAC＝2×74°＝148°．故答案为148°．15．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．故答案为x1＝﹣2，x2＝1．16．【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．故答案为：2．三．解答题（共9小题）17．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）分解因式得：（3x﹣2）（x﹣1）＝0，3x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝，x2＝1；（2）整理得：x2+4x﹣5＝0，x+5＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣5，x2＝1．18．【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．【解答】解：依题意：该函数关系式化简为S＝﹣5（t﹣2）2+20，当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．故滑行的时间为2秒，最大的滑行距离20米．19．【分析】（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出点A1的坐标即可；（2）作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，写出线段C1C2的长度即可．【解答】解：如图所示：（1）△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1如图所示；点A1的坐标为（2，﹣1）；（2）△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2如图所示．线段C1C2的长度为＝．20．【分析】（1）先根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．（2）求得AD和BD的长后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵AB是直径∴∠ACB＝∠ADB＝90°在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝10cm，AC＝6cm∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64∴BC＝＝8（cm）；（2）∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD，∴AD2+BD2＝102∴AD＝BD＝＝5（cm）．∴△ABD的面积＝×（5）2＝25．21．【分析】（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2023年底全省5G基站数量＝2022年底全省5G基站数量×（1+增长率），即可求出2023年底全省5G基站数量，再与27万座比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：1.5×4（1+x）2＝17.34，整理，得：6x2+12x﹣11.34＝0，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．（2）17.34×（1+70%）＝29.478（万座），∵29.478＞27，∴这一数量不能继续保持前两年的年平均增长率．22．【分析】由＝﹣2可得出4a+2b+c＝0，进而可得出一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x ＝2，结合根的判别式△≥0即可证出b2≥4ac．【解答】证明：∵＝﹣2，∴4a+c＝﹣2b，∴4a+2b+c＝0．∵把x＝2代入一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），恰好得到4a+2b+c＝0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x＝2，∴△＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac．23．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠A+∠BED＝180°，则可证明∠CED＝∠A＝68°；（2）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠CDE，而∠CDE＝∠ABC，所以∠C＝∠ABC，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论．【解答】（1）解：∵∠A+∠BED＝180°，∠DEB+∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A＝68°；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD，∵∠CDE+∠EDB＝90°，∠C+∠EBD＝90°，∴∠C＝∠CDE，∵∠CDE＝∠ABC，∴∠C＝∠ABC，∴△ABC为等腰三角形．24．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而判断出△ACE≌△BCD，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACE＝∠BCD，判断出△ACE≌△BCD，即可得出结论；（3）判断出点E在AC的延长线上时，AE达到最大，点E在线段AC上时，AE达到最小，即可得出结论．【解答】解：（1）AE＝BD，理由：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（2）AE＝BD，理由：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（3）∵△ABC的边长为5，△CDE的边长为2，∴AC＝5，CE＝2，在△ACE中，AC+CE＞AE，∴当点E在AC的延长线上时，AE达到最大，最大值为AE＝AC+CE＝5+2＝7，在△ACE中，AC﹣CE＜AE，∴当点E在线段AC上时，AE达到最小AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3，即：线段AE长的最大值为7，最小值3．25．【分析】（1）先求出点B的坐标，再将B，C的坐标代入抛物线解析式即可；（2）根据题意画出图象，由垂直平分线的性质可知PD＝PQ，根据勾股定理列出方程，化简可得出x，y 所满足的关系式；（3）分两种情况讨论，结合锐角三角函数分别求出直线CM的解析式，再求出直线与抛物线的交点即可．【解答】解：（1）在直线L：y＝x+m中，当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝﹣m，∵C（0，﹣3），∴B（3，0），∵抛物线D1：y＝ax2+b的顶点为C（0，﹣3），∴y＝ax2﹣3，将B（3，0）代入，得，a＝，∴抛物线D1：y＝ax2+b的解析式为y＝x2﹣3；（2）如图1，连接PD，则PD＝PQ，∵P（x，y），D（0，），Q（x，0），∴x2+（y﹣）2＝y2，整理，得y＝x2+，∴路径D2所满足的关系式为y＝x2+，∵﹣（﹣3）＝，∴可将抛物线D1向上平移个单位长度得到曲线D2；（3）∵C（0，﹣3），B（3，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，①如图2，若点M在点B上方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°+15°＝60°，∴OE＝OC•tan30°＝，设直线CE解析式为y＝kx﹣3，将E（，0）代入，可得，k＝，∴y CE＝x﹣3，联立，得，解得，或，∴M1（3，6）；②如图2，若M在点B下方，设MC交x轴于点F，则∠OFC＝45°﹣15°＝30°，∴OF＝OC•tan60°＝3，设直线CF解析式为y＝kx﹣3，将F（3，0）代入，可得，k＝，∴y CF＝x﹣3，联立，得，解得，或，∴M2（，﹣2），综上所述，M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．。
广东省2020年(春秋版)九年级上学期数学期中考试试卷A卷(新版)
广东省2020年（春秋版）九年级上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2015九上·黄陂期中) 对于抛物线y=ax2﹣4ax+3a下列说法：①对称轴为x=2；②抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）；③顶点坐标为（2，﹣a）；④若a＜0，当x＞2时，函数y随x的增大而增大，其中正确的结论有（）个．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A . 点A在圆上B . 点A在圆内C . 点A在圆外D . 无法确定3. （2分） (2019九上·西城期中) 下列关于二次函数的说法正确的是（）A . 它的图象经过点B . 它的图象的对称轴是直线C . 当时，随的增大而减小D . 当时，有最大值为04. （2分）(2017·南宁模拟) 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的大小是（）A . 20°B . 35°C . 130°D . 140°5. （2分） (2018九上·港南期中) 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 交于点A（x1 ， y1），B（x2 ，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（）A .B .C . 0D . 96. （2分） (2016九上·新泰期中) 图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G 的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．在整个运动过程中，点C运动的路程是（）A . 4B . 6C . 4 ﹣2D . 10﹣47. （2分）(2020·皇姑模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，BC∥OD，若∠C＝130°，则∠B 的度数为（）A . 50°B . 60°C . 70°D . 80°8. （2分）反比例函数的图象上有两个点为，，则与的关系是（）A .B .C .D . 不能确定9. （2分） (2019九上·准格尔旗期中) 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为米，拱顶距离水平面米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A .B .C .D .10. （2分） (2018九上·阜宁期末) 抛物线上部分点坐标如表所示，下列说法错误的是（）x…－3－2－101…y…－60466…A . 抛物线与y轴的交点为(0，6)B . 抛物线的对称轴是在y轴的右侧；C . 抛物线一定经过点(3 ， 0)D . 在对称轴左侧， y随x增大而减小．二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）(2019·上海模拟) 已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为________．12. （1分）(2020·铁西模拟) 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象如图所示，则反比例函数y＝的图象所在的象限是第________象限.13. （1分）(2016·防城) 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2 ．将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次，则点C经过的路径长是________．14. （1分） (2020九上·高平期末) 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中错误的有________．15. （1分） (2019九上·鼓楼期中) 圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为________°16. （1分） (2017九上·和平期末) 如图，点D、E、F分别在正三角形ABC的三边上，且△DEF也是正三角形，若△ABC的边长为a，△DEF的边长为b．则△AEF的内切圆半径为________．17. （1分）如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D 两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是________ ．18. （1分）(2019·青羊模拟) 如图，直线y=2x+b与双曲线y= （k＞0）交于点A、D，直线AD交y轴、x轴于点B、C，直线y=- +n过点A，与双曲线y= （k＞0）的另一个交点为点E，连接BE、DE，若S△ABE=4，且S△ABE：S△DBE=3：4，则k的值为________．三、解答题 (共10题；共124分)19. （12分）(2018·长沙) 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有________；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形________“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1 ， S2 ， S3 ， S4 ．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；① = ；② = ；③“十字形”ABCD的周长为12 ．20. （15分）(2018·拱墅模拟) 已知y关于x的二次函数（）．（1）当，时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标．（2）在（1）的条件下，Q（m，t）为该函数图象上的一点，若Q关于原点的对称点P也落在该函数图象上，求m的值．（3）当该函数图象经过点（1，0）时，若A（，），B（，）是该函数图象上的两点，试比较与的大小．21. （15分）(2017·吉安模拟) 如图，反比例函数y= （x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB= ．（1）求m的值；（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y= （x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；（3）若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，问线段AN与线段ME的大小关系如何？请说明理由．22. （15分） (2018九上·华安期末) 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（1，4）、点B（－4，n）．（1）求和的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．23. （12分） (2017九下·睢宁期中) 如图，抛物线y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）和y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的顶点分别为M、N，与y轴分别交于E、F．（1）①函数y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）的最大值是________；②当y1、y2的值都随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________；（2）当EF=MN时，求a值，并判断四边形EMFN是何种特殊的四边形；（3）若y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程a （x+1）2﹣1=0的解．24. （10分） (2018九上·滨湖月考) 如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P.（1）求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；（2）若AE＝2，试求AP·AF的值.25. （10分）(2015·金华) 图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点A′处．①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．26. （10分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人李明第X天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图形来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？（利润=出厂价﹣成本）27. （10分）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．28. （15分） (2019九上·浏阳期中) 如图，四边形内接于，，对角线为的直径，与交于点．点为延长线上，且．（1）证明：；（2）若，，求的长；（3）若交于点，连接．证明：为的切线．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共8题；共8分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：三、解答题 (共10题；共124分)答案：19-1、答案：19-2、。
广东省2020学年九年级数学上学期期中模拟试卷
九年级上学期期中数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=（）A．﹣1 B．4 C．﹣4 D．13．用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+6）2=4 D．（x﹣6）2=44．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．5．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+36．在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y37．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，则点B到C′的距离是（）A．4 B．C．D．39．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（）A．a2（a﹣4）2=10（a﹣4）+a﹣4B．a2+（a+4）2=10a+a﹣4﹣4C．a2+（a+4）2=10（a+4）+a﹣4D．a2+（a﹣4）2=10a+（a﹣4）﹣410．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＜y2≤y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣1 B．x0＞﹣5 C．x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，则a+b= ．12．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °．13．若二次函数y=（2﹣m）x|m|﹣3的图象开口向下，则m的值为．14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h=9.8t﹣4.9t2．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为．16．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2；正确的有（填序号）三．解答题（共9小题，满分74分）17．解方程：x2﹣4x﹣5=0．18．如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．19．淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？20．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形．（Ⅰ）旋转中心是点．（Ⅱ）旋转角是度，∠EDM= 度．（Ⅲ）若∠ED F=45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长．21．从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于x一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β．（1）求实数k的取值范围；（2）设，求t的最小值．题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q．（1）若=，求的值；（2）若点P为BC边上的任意一点，求证：﹣=．我选做的是题．22．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）23．（12分）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点．（1）抛物线与x轴的交点坐标为；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S=6，并求出此时P点的坐标．△PAB24．如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．25．已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O（1）求这个二次函数的解析式；（2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选：C．2．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=（）A．﹣1 B．4 C．﹣4 D．1【解答】解：∵点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，∴a=4，b=﹣3，∴a+b=1，故选：D．3．用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+6）2=4 D．（x﹣6）2=4【解答】解：方程移项得：x2+6x=5，配方得：x2+6x+9=14，即（x+3）2=14，故选：A．4．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，∴α+β=﹣，αβ=﹣3，∴+====﹣．故选：C．5．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3【解答】解：y=x2﹣6x+21=（x2﹣12x）+21= [（x﹣6）2﹣36]+21=（x﹣6）2+3，故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．故选：D．6．在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3【解答】解：∵A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上，∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7，y2=4a﹣4a﹣7=﹣7，y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴24a＜3a＜0，∴24a﹣7＜3a﹣7＜﹣7，∴y1＜y3＜y2，故选：A．7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，∴y1=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2=2，y2=﹣1﹣2+2=﹣1，y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6，∴y1＞y2＞y3，故选：A．8．如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，则点B到C′的距离是（）A．4 B．C．D．3【解答】解：∵△ABC中，BC=8，AD是中线，∴BD=DC=4，∵将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，∴∠C′DA=∠ADC=60°，DC=DC′，∴∠C′DB=60°，∴△BDC′是等边三角形，∴BC′=BD=DC′=4．故选：A．9．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（）A．a2（a﹣4）2=10（a﹣4）+a﹣4B．a2+（a+4）2=10a+a﹣4﹣4C．a2+（a+4）2=10（a+4）+a﹣4D．a2+（a﹣4）2=10a+（a﹣4）﹣4【解答】解：依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10（x+4）这两个数的平方和为：a2+（a+4）2，∵两数相差4，∴a2+（a+4）2=10（a+4）+a﹣4．故选：C．10．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＜y2≤y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣1 B．x0＞﹣5 C．x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3【解答】解：∵点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．且y1＜y2≤y0，∴a＜0，x0﹣（﹣5）＞|3﹣x0|，∴x0＞﹣1．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，则a+b= 2018 ．【解答】解：把x=﹣1代入方程有：a+b﹣2018=0，即a+b=2018．故答案是：2018．12．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= 55 °．【解答】解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°∴∠A′=55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°；故答案为：55°．13．若二次函数y=（2﹣m）x|m|﹣3的图象开口向下，则m的值为 5 ．【解答】解：∵y=（2﹣m）x|m|﹣3是二次函数，∴|m|﹣3=2，解得m=5或m=﹣5，∵抛物线图象开口向下，∴2﹣m＜0，解得m＞2，∴m=5，故答案为：5．14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为k≤4且k≠1 ．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3=0有实数根，∴，解得：k≤4且k≠1．故答案为：k≤4且k≠1．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h=9.8t﹣4.9t2．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为1s ．【解答】解：由题意知，小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式是：h=9.8t﹣4.9t2．令h=4.9，解得t=1s，故答案为：1s．16．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2；正确的有①③④（填序号）【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，①由旋转，可知：∠CAF=∠BAE，∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正确；②由旋转，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②错误；③∵∠EAD=∠DAF=45°，∴AD平分∠EAF，故③正确；④由旋转可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°，由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，即BE2+DC2=DF2，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE=DF，∴BE2+DC2=DE2，故答案为：①③④．三．解答题（共9小题，满分74分）17．（10分）解方程：x2﹣4x﹣5=0．【解答】解：（x+1）（x﹣5）=0，则x+1=0或x﹣5=0，∴x=﹣1或x=5．18．（9分）如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．【解答】解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（3，﹣2），B1（2，1），C1（﹣2，﹣3）．19．（9分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？【解答】解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：10000（1+x）2=12100，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）．则x=0.1=10%．答：捐款的增长率为10%．（2）根据题意得：12100×（1+10%）=13310（元），答：第四天该校能收到的捐款是13310元．20．（10分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM 是由△ADE逆时针旋转得到的图形．（Ⅰ）旋转中心是点 D ．（Ⅱ）旋转角是90 度，∠EDM= 90 度．（Ⅲ）若∠EDF=45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，∴旋转中心是点D．故答案为D；（Ⅱ）∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，∴∠ADC=∠EDM=90°∴旋转角是90度，∠EDM=90度．故答案为90，90；（Ⅲ）∵∠EDF=45°，∠EDM=90°，∴∠MDF=45°．∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，∴△DCM≌△DAE，∴DM=DE，CM=AE．在△EDF与△MDF中，，∴△EDF≌△MDF，∴EF=MF=MC+CF，∴△BEF的周长=BE+EF+BF=BE+MC+CF+BF=（BE+AE）+（CF+BF）=AB+BC=2．21．（12分）从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于x一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β．（1）求实数k的取值范围；（2）设，求t的最小值．题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q．（1）若=，求的值；（2）若点P为BC边上的任意一点，求证：﹣=．我选做的是甲题．【解答】题甲解：（1）∵一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β，∴△≥0，即4（2﹣k）2﹣4（k2+12）≥0，得k≤﹣2．（2）由根与系数的关系得：a+β=﹣[﹣2（2﹣k）]=4﹣2k，∴，∵k≤﹣2，∴﹣2≤＜0，∴，即t的最小值为﹣4．题乙：（1）解：∵AB∥CD，∴==，即CD=3BQ，∴===；（2）证明：四边形ABCD是矩形∵AB=CD，AB∥DC∴△DPC∽△QPB∴=﹣=﹣=1+﹣=1∴﹣=1．22．（12分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）【解答】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）（2）对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000解这个方程得：x1=30，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小．∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．23．（12分）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点．（1）抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（3，0）；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S=6，并求出此时P点的坐标．△PAB【解答】解：（1）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（3，0），故答案为：（﹣1，0）或（3，0）；（2）∵点A（﹣1，0），点B（3，0），y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线有最小值，此时y=﹣4，AB=3﹣（﹣1）=4，∵S△PAB=6，抛物线上有一个动点P，∴点P的纵坐标的绝对值为：，∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3，解得，x1=1+，x2=1﹣，x3=0，x4=2，∴点P的坐标为（1+，3）、（1﹣，3）、（0，﹣3）、（2，﹣3）．24．如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．把A（1，1），B（3，1）代入上式得，解得，∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x；解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+h（a≠0），把O（0，0），A（1，1）代入得解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣（x﹣2）2+．（2）分三种情况：①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，∴PQ=OQ=tcos45°=t，∴S=（t）2=t2．②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGP．∴AG=FH=t﹣2，∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC．因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．∵B（3，1），OP=t，∴PC=CN=t﹣3，∴BM=BN=1﹣（t﹣3）=4﹣t，∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2 S=﹣t2+4t﹣；（3）存在t1=1，t2=2．将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）①当点Q在抛物线上时， =×（t+）2+×（t+），解得t=2；②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1．25．已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O（1）求这个二次函数的解析式；（2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，A（﹣1，0），∵对称轴是直线x=1，∴B（3，0）；（1分）把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y=ax2﹣2x+c得；（2分）解得．∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）∵直线与y轴交于D（0，1），∴OD=1，由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4得E（1，﹣4）；连接CE，过E作EF⊥y轴于F（如图1），则EF=1，∴OC=OB=3，CF=1=EF，∴∠OBC=∠OCB=∠45°，BC==，；∴∠BCE=90°=∠BOD，，，∴，∴△BOD∽△BCE，（6分）∴∠CBE=∠DBO，∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°．（7分）（3）设P（1，n），∵PA=PC，∴PA2=PC2，即（1+1）2+（n﹣0）2=（1+0）2+（n+3）2解得n=﹣1，∴PA2=（1+1）2+（﹣1﹣0）2=5，∴S△EDW=PA2=5；（8分）法一：设存在符合条件的点M（m，m2﹣2m﹣3），则m＞0，①当M在直线BD上侧时，连接OM（如图1），则S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5，即，，整理，得3m2﹣5m﹣22=0，解得m1=﹣2（舍去），，把代入y=m2﹣2m﹣3得；∴；（10分）②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，连接OM1（如图1），则S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5，即，，整理，得3m2﹣5m﹣2=0，解得\，（舍去）把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，∴M1（2，﹣3）；综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）法二：设存在符合条件的点M（m，m2﹣2m﹣3），则m＞0，①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴，交DB于G；（如图2）设D、B到MG距离分别为h1，h2，则S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5，即，，，整理，得3m2﹣5m﹣22=0；解得m1=﹣2（舍去），；把代入y=m2﹣2m﹣3得；∴．（10分）②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1G1∥y轴，交DB于G1（如图2）设D、B到M1G1距离分别为h1、h2，则S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5，即，，，整理，得3m2﹣5m﹣2=0，解得，（舍去）把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，∴M1（2，﹣3）；综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；（如图3）则S△DHB=S△BDM=5，即，，∴DH=，∴；∴直线MH解析式为；联立得或；∵M在y轴右侧，∴M坐标为．（10分）②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1H1∥BD，交y轴于H1，连接BH1（如图3），同理可得，∴，∴直线M1H1解析式为，联立得或；∵M1在y轴右侧，∴M1坐标为（2，﹣3）综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）。
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广东省广州市2020版九年级上学期数学期中考试试卷A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2019九上·腾冲期末) 关于二次函数y＝ (x+1)2的图象，下列说法正确的是（）
A . 开口向下
B . 经过原点
C . 对称轴右侧的部分是下降的
D . 顶点坐标是(﹣1，0)
2. （2分） (2017九上·五华月考) 在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形EFCB，那么它们的相似比为（）
A .
B . 2
C .
D .
3. （2分） (2019九上·杭州月考) 367个不同人之中，必有两个人生日相同的概率为（）
A .
B .
C . 0．99
D . 1
4. （2分） (2017八下·门头沟期末) 如图，在△ 中，点分别在边上，且∥
，若，，则等于（）
A . 10
B . 4
C . 15
D . 9
5. （2分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、
30°，则∠ACB的大小为（）
A . 28°
B . 30°
C . 43°
D . 60°
6. （2分）有下列四个命题中，其中正确的有（）
①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A . 4个
B . 3个
C . 2个
D . 1个
7. （2分）如图，一次函数y1=mx＋n（m≠0）与二次函数y2=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象相交于两点A（－1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围（）
A . －1≤x≤9
B . －1≤x＜9
C . －1＜x≤9
D . x≤－1或x≥9
8. （2分）下列各组中的四条线段成比例的是（）.
A . 1cm，2cm，20cm，40cm
B . 1cm，2cm，3cm，4cm
C . 4cm，2cm，1cm，3cm
D . 5cm，10cm，15cm，20cm
9. （2分） (2015九上·宝安期末) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）
A . 函数有最小值
B . 当﹣1＜x＜3时，y＞0
C . 当x＜1时，y随x的增大而减小
D . 对称轴是直线x=1
10. （2分） (2020九上·遂宁期末) 如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）
A . AF= CF
B . ∠DCF=∠DFC
C . 图中与△AEF相似的三角形共有5个
D . tan∠CAD=
二、填空题 (共6题；共20分)
11. （1分）(2018·崇明模拟) 抛物线向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为________．
12. （1分）若，则 =________．
13. （1分） (2017七下·南平期末) 对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式：①AB=CD；
②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是________.
14. （1分）(2014·杭州) 点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH= AC，则∠ABC所对的弧长等于________（长度单位）．
15. （1分）如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC ，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到
△A′B′C ，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′=________.
16. （15分） (2017九上·义乌月考) 如图,已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，-2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2） H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x 轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．
三、解答题 (共8题；共89分)
17. （15分） (2018九上·建昌期末) 如图，二次函数的图象经过A(2，0)，B（0，-6）两点.
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P．使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.
18. （10分） (2017九上·上城期中) 如图，已知圆上两点，．
（1）用直尺和圆规求圆心（保留作图痕迹，不写画法）．
（2）若，此圆的半径为，求弦与劣弧所组成的弓形面积．
19. （5分）如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF=BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
20. （10分）(2018·汕头模拟) 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
21. （14分） (2015八下·镇江期中) 在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（9）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得
的全班数据统计表：
摸球的次数s15030060090012001500
摸到白球的频数n63a247365484606
0.4200.4100.4120.4060.403b
摸到白球的频率
（1）按表格数据格式，表中的a=________；b=________；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________；
（3）请推算：摸到红球的概率是________（精确到0.1）；
（4）试估算：口袋中红球有多少只？
（5）解决了上面4个问题后，请你从统计与概率方面谈一条启示．
22. （10分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC 周长的最小值．
23. （10分）(2017·陕西模拟) 如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点
的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24. （15分）(2017·花都模拟) 已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．
（1）
如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；
（2）
如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．
（3）
若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共20分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
16-2、
三、解答题 (共8题；共89分)
17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、
21-1、21-2、21-3、
21-4、21-5、
22-1、
22-2、23-1、
23-2、
24-1、
24-2、
24-3、。