高中数学热点题型专项训练之 离散型随机变量的分布列

第6讲 离散型随机变量的分布列
一、选择题
1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( ) A ．第一枚6点，第二枚2点 B ．第一枚5点，第二枚1点 C ．第一枚1点，第二枚6点 D ．第一枚6点，第二枚1点
解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选D . 答案 D
2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于 ( )． A.19
B.1
6
C.1
3
D.14
解析 ∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝1
3.
答案 C
3．若随机变量X 的概率分布列为
且p 1＝1
2p 2，则p 1等于
( )．
A.12
B.1
3
C.1
4
D.16
解析 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝1
3. 答案 B
4．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝1
2k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )． A.3
16
B.1
4
C.1
16
D.516
解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝3
16. 答案 A
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．
A.15
B.25
C.35
D.45
解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 2
2
C 36＝45
.
答案 D
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为 ( )． A.
1220 B.2755 C.27220 D.2155
解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，
说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 2
3
C 312＝27220
，故选C.
答案 C 二、填空题
7．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
10，(i ＝1,2,3,4)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
＜X ＜72＝
________.
解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35.
答案
3
5
8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
解析 η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 12C 12C 14C 14＝1
4，P (η＝1)＝2C 12C 1
2C 14C 14＝12，P (η＝
2)＝C 12C 1
2C 14C 14
＝14.
答案
9. 概率为16
25
，则该队员每次罚球的命中率为____________．
解析 由251612=-p 得5
3
=p
答案 35
10．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X 的取值集合是________．
解析 甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是0,1，故取出的红球个数X 的取值集合是{0,1,2,3}． 答案 {0,1,2,3} 三、解答题
11．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．
解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P ＝C 14C 16＋C 2
4C 210
＝3045＝23.
⎝ ⎛
⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210
＝1－1545＝23. (2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 1
6C 210
＝2
5，
P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 1
6
C 210＝215，
P (X ＝60)＝C 11C 13
C 210
＝115.
所以X 的分布列为：
12. 设ξ交时，ξ＝0 ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P (ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．
解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有
8C 23对相交棱，因此
P (ξ＝0)＝8C 2
3
C 212
＝8×366＝411.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212
＝1
11，
于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝6
11， 所以随机变量ξ的分布列是
因此E (ξ)＝1×611＋213．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，2
3.
(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η
的分布列．
解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P (X ＝0)＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－23＝19，
P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，
P (X ＝2)＝12×13×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，
P (X ＝3)＝12×13×23＝1
9. ∴X 的分布列为
(2)∵得分η＝5X ＋∵X 的可能取值为0,1,2,3.
∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P (η＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (η＝9)＝P (X ＝1)＝7
18，
P (η＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (η＝15)＝P (X ＝3)＝1
9. ∴得分η的分布列为
14. 4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率． 解 X 的取值分别为1,2,3,4.
X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参加考试次数X的分布列为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。