高中数学随机变量及其分布数学期望
随机变量与数学期望
③ 随机变量的矩母函数和其分布函数之间存在一一 对应4.9.1 (马尔科夫不等式)若X为一个非负随 机变量，则对于任意a>0，
命题4.9.2 (切比雪夫不等式)假设X为期望为， 方差为2，则对于任意k>0,
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
例4.5.2 某厂找到并修复电力中断所需的时间 (小时)是一个随机变量，称为X，其密度函数
如果当故障持续时间为x，修复的费用为x3，那 么这种故障的预期费用是多少？
方法一：先求Y=X3的密度函数，再求Y期望； 方法二：利用命题4.5.1（计算较简单）。
4.5 期望的性质
数学期望的性质
① 线性性质：若a和b是常数，则 ② 随机变量和的期望：
不能求方差，因为那里各项不独立。
4.7 协方差和相关系数
相关系数的定义
相关系数的性质(证明方法类似于第2章样本相 关系数)
Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即 P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相 关系数为-1)。
4.7 协方差和相关系数
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
问题：若从均值为的总体中取n个样本(n充 分大)，那么样本均值 与总体均值有什么 关系？
定理4.9.1 (弱大数定律)令X1, X2, …为一列独 立同分布的随机变量，且其期望为E[Xi]= ， 方差有限。则对于任意>0，
说明：样本均值可用于估计总体均值。
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
连续型随机变量独立等价性条件(密度函数)：
4.3 随机变量的联合分布
例4.3.4 设X和Y为相互独立的随机变量且有相同的密 度函数，
试求随机变量X/Y的密度函数。 解：
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
高中数学中的随机变量与期望值计算
高中数学中的随机变量与期望值计算随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机试验的结果。
在高中数学中，我们经常会遇到与随机变量相关的问题，并需要计算其期望值。
本文将探讨随机变量的概念、期望值的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、随机变量的概念随机变量是一种将随机试验结果与数值联系起来的函数。
它可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量的取值只能是一系列可数的数值，如掷骰子的点数；而连续随机变量的取值可以是任意的实数，如测量某物体的长度。
随机变量的概率分布函数描述了它的取值与对应概率之间的关系。
对于离散随机变量，概率分布函数可以用概率质量函数表示；对于连续随机变量，概率分布函数可以用概率密度函数表示。
二、期望值的计算方法期望值是随机变量的平均值，它表示了随机变量在大量试验中的平均表现。
在高中数学中，我们常用数学期望来表示期望值。
对于离散随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。
对于连续随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。
三、期望值的性质期望值具有一些重要的性质，这些性质在实际问题中具有重要的应用价值。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有E(aX + b) = aE(X) + b。
这个性质使得我们可以简化复杂问题的计算过程。
2. 期望值与函数的关系：如果Y是随机变量X的函数，那么E(Y) = E(g(X)) =Σ(g(x) * P(X=x))或E(g(X)) = ∫(g(x) * f(x))dx。
这个性质使得我们可以通过函数的期望值来计算随机变量的期望值。
3. 期望值的不变性：如果随机变量X和Y具有相同的概率分布函数，那么E(X) = E(Y)。
这个性质使得我们可以通过寻找具有相同概率分布的随机变量来简化问题的计算。
四、期望值的应用期望值在实际问题中有广泛的应用。
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
38 随机变量及其分布、期望与方差(高2019届理科数学总复习讲义)
高2019届理科数学总复习讲义第三十八讲 随机变量及其分布、期望与方差知识提要1、 随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母,ξη等表示。
（1） 离散型随机变量。
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
（2） 连续型随机变量。
如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
（3） 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量。
2、 离散性随机变量的分布列（1） 概率分布（分布列）。
设离散性随机变量ξ可能取的值为12,,x x ···,,i x ···,ξ取每一个值（1,2,i x =···）的概率()i i P x p ξ==，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
（2）二项分布。
如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在ｎ次独立重复试验中这个事件恰好发生ｋ次的概率是：()k k n k n P k c p q ξ-==（其中k=0，1，···，n ，q=1-p ），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n,p)，其中n,p 为参数。
3、期望（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称1122n n E x P x P x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅为ξ的数学期望，简称期望。
（2）离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量值的平均水平。
(3 ) 数学期望的性质：(),()E c C E a b aE b ξξ=+=+（,,a b c 为常数）。
3、 方差：（1）221122()()D x E P x E P ξξξ=-+-+···2()n n x E P ξ+-+···为ξ的方差。
随机变量的数学期望 ppt课件
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
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2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
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24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
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12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
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32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
随机变量函数的数学期望
(二) 方差的性质
1、常数的方差等于0
证明： D(c) E(c Ec)2 E(c c)2 0
2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明：
D( c) E[ c E( c)]2 E[ c E c]2 E( E )2 D
§4.1 数学期望与方差
一.数学期望
随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.
(一)离散型随机变量的数学期望
定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)
若级数 xk pk 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 k 1
ba 2
2
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
2.随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)
(若1)若 Xg是(x离k ) 散pk绝型对 随机收变敛量,则,它E的(Y分) 布E律[g为( XP{)X] =xk}=gp(kx. k
K=1,2,..
k x) 2
f
(x)dx
1
a (x3 kx)2 dx
2a a
a2 (15a4 42ka2 35k) E(C)=C.
(2) E( +C)=E +C
证明：对离散型随机变量
E( C) (xi C) p(xi ) xi p(xi ) Cp(xi ) E C
E1 0.2 (80 85 90 95 100) 90 E2 0.2 (85 87.5 90 92.5 95) 90 D1 (80 90)2 0.2 (85 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。
2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称∑=-=ni i ip X E x X D 12))(()(为随机变量的方差。
2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
3.性质：)()(2X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6 B．1C．3.5 D．2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765D ．0.222.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：3.已知随机变量ξ的分布列为则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2D ．D (X )＝pq 2【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则σ(X 3)＝( )A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5D ．3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差．【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72D ．0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：课后练习【补救练习】1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.642．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.83.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．【巩固练习】1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8C．9 D．122.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.43.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4 B．2,2.4C．2,5.6 D．6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.6.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【拔高练习】1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。
对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。
数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。
3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。
二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。
解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。
则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。
解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。
解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。
解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。
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反 思 感
求悟 随机变量X的数学期望的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用数学期望的定义求E(X).
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，
罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为
0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数
X的分布列；（2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
0.3 P（X=0)=
3
P（X=1)=
C
1 3
0.7
0.32
C P（X=2)=
2 3
0.72
0.3
0.7 P（X=3)=
3
X0
1
2
3
P 0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0 0.331来自C1 30.7
0.32
解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6. 设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
市一中为了了解疫情期间上网课对学生们上学迟到
的影响情况，每天记录由于上网课迟到的同学人数， 下表是10天中每天迟到人数的情况
人数 0
1
2
3
天数 3
3
2
2
那么学校每天平均有多少人迟到呢？
第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的数学期望
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2 ··· xi
···
P
p1
p2 ··· pi
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
一、复习回顾
3、独立性重复事件与二项分布
事件A发生的次数设为X，事件A发生的概率为p，不发生的概率为q＝1－p，那么在
n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝ Cnkpkqn－k ，其中k＝0,1,
4.超几何分布
一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中
任取n件，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值
为m时的概率为
P( X
m)
CMm
C nm N M
CNn
离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布
引例
市一中为了了解疫情期间上网课对学生们上学迟到的 影响情况，每天记录由于上网课迟到的同学人数，下 表是10天中每天迟到人数的情况
2，…，n.于是得到X的分布列
X0
1 … k …n
由于表中的第二行恰好是二项式展开式 P Cn0p0qn Cn1p1qn－1 … Cnkpkqn－k … Cnnpnq0
(q＋p)n＝C0np0qn＋Cn1p1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0 的各对应项的值，
所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 X～B(n，p).
X1
0
1
2
3
pk 0.7 0.1 0.1 0.1
X2
0
1
2
3
pk 0.5 0.3 0.2 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？ 甲0.6，乙0.7
多维探究
一、离散型随机变量的数学期望
命题角度1 一般离散型随机变量的数学期望 例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加 考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一 直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次 为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和数学期望.
1.3
人数和对应频率列表为
迟到人数
0
1
频率
0.3
0.3
2
3
0.2
0.2
0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 1.3
概率可以理解为频率的稳定值所以随机变X的概率分布列：
迟到人数X
0
1
概率
P1
P2
2
3
P3
P4
离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
人数 0
1
2
3
天数 3
3
2
2
那么这所学校每天平均有多少人迟到呢？
计算10天中记录的迟到总和是： 0x3+1x3+2x2+3x2=13
平均每天迟到的人数为：
03 13 2 2 3 2 13 1.3
10
10
上式改写成
0 3 1 3 2 2 3 2
10
10
10
10
0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3 0.73
EX 2.1 3 0.7 连续罚球10次呢？
如果X~B（n，p），那么 EX=？
一般地,如果随机变量X服从二项分布， 小结：
即X～B（n,p），则 EX np
求证:若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np
ξ01
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
X x1 x2 ··· xi P p1 p2 ··· pi 则称 E( X ) x1 p1 x2 p2
··· xn
··· pn xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望（简称为期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
练习1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件
下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1， X2表示， X1，X2的概率分布下：
= np(q+p)n-1=np
所以 若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np．
小结：一般地,如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EX np
练一练: 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次
数的数学期望是 3 .
跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保 险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)