高中数学离散型随机变量综合测试题(附答案)
离散型随机变量的均值与方差(含答案)
离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案）一、选择题1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =，0.1p =【答案】B【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得6n =，0.4p =．考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13B ．23C ．15D ．25【答案】A考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易3．若随机变量),(~p n B ξ，91035==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52D.53 【答案】A【解析】由题意可知，()5,3101,9E np D np p ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩解得5,1,3n p =⎧⎪⎨=⎪⎩故选A.考点：n 次独立重复试验.【题型】选择题 【难度】较易4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ）ξ0 1Pm nA ．()()3,E m D n ξξ== B ．()()2,E m D n ξξ== C ．()()21,E m D m m ξξ=-=- D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( )A.71 B.61 C.51D.41 【答案】A【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴149,7n p ==，故选A.考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）A ．252和254 B ．52和54 C ．252和1254 D ．254和1254【答案】C【解析】因为随机变量ξ～(5,0.5)B ，所以5.25.05=⨯=ξE ，25.15.05.05=⨯⨯=ξD ，所以E η=252，D η=1254. 考点：二项分布，数学期望，方差. 【题型】选择题 【难度】较易7．设随机变量ξ的分布列为下表所示，且 1.6E ξ=，则a b -= （ ）A ．－0.2B ．0.1C ．0.2D ．－0.4 【答案】A【解析】由题中分布列可得0.8a b +=，20.3 1.6a b ++=，则0.3,0.5a b ==，0.2a b -=-，故选A.考点：随机变量的期望. 【题型】选择题 【难度】较易8．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X 表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ） A ．4B ．4.5C ．4.75D ．5【答案】B考点：随机变量的期望.【题型】选择题【难度】较易9．随机变量X的分布列如表所示，2EX=，则实数a的值为( )Xa234P 13b1614A.0B.13C.1D.32【答案】A【解析】11111,3644b b+++=∴=Q,又11112342,03464a a⨯+⨯+⨯+⨯=∴=Q.考点:随机变量的期望. 【题型】选择题【难度】较易10．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布1(5,)4B，则()Eξ-的值为（）A．14B．14-C．54D．5 4 -【答案】D【解析】因为1(5,)4Bξ:，所以15()5.44E Eξξ-=-=-⨯=-故选D.考点：二项分布的含义和性质. 【题型】选择题【难度】较易11．已知102a <<，随机变量ξ的分布列如下表，则当a 增大时 （ ） ξ1-0 1Pa12a - 12A.()E ξ增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小，()D ξ减小 【答案】B考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般12．甲命题：若随机变量2~(3,)N ξσ，若(2)0.3P ξ≤=，则(4)0.7P ξ≤=.乙命题：随机变量~(,)B n p η，且300E η=，200D η=，则13p =，则正确的是（ ） A ．甲正确，乙错误 B ．甲错误，乙正确 C ．甲错误，乙也错误 D ．甲正确，乙也正确 【答案】D考点：正态分布，期望，方差，命题的真假判定． 【题型】选择题 【难度】一般13．据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30 000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（ ）A ．方案一的平均损失比方案二的平均损失大B ．方案二的平均损失比方案一的平均损失大C ．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D ．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算 【答案】A 【解析】用1X 表示方案i （1,2i =）的损失，则1()300000.054000150040005500E X =⨯+=+=，2()300000.05150000.2150030004500E X =⨯+⨯=+=．综上可知，采用方案一的平均损失大．考点：期望的实际应用． 【题型】选择题【难度】一般14．若X 是离散型随机变量，1221(),()33P X x P X x ====且12x x <，又42(),()39E X D X ==，则12x x +的值为（ ）A ．3B ．53C ．73D ．113【答案】A考点：离散型随机变量期望与方差．【题型】选择题 【难度】一般15．设随机变量()2,X B p :，随机变量()3,Y B p :，若()519P X ≥=，则()31D Y +=（ ）A ．2B ．3C ．6D ．7 【答案】C【解析】∵随机变量()2,X B p :，∴()()()20251101C 19P X P X p ≥=-==--=，解得13p =， ∴()1223333D Y =⨯⨯=，∴()231963D Y +=⨯=，故选C ． 考点：二项分布，方差． 【题型】选择题 【难度】一般16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95313222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()952==ξP ，()812095944=⋅==ξP ，()81169462=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，故()812668116681204952=⨯+⨯+⨯=ξE ，故选B.考点：离散型随机变量的数学期望. 【题型】选择题 【难度】一般17．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若()0,()1E X D X ==，则,a b 的值分别是（ ）X 1-0 1 2Pabc112A.51,248B.51,62C.31,53D.51,124【答案】D考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般 二、填空题18．已知随机变量η=23+ξ，且()2D ξ=，则()D η=________. 【答案】18【解析】η=23+ξ，则()()99218D D ηξ==⨯=. 考点：方差的性质. 【题型】填空题 【难度】较易19．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则(68)E X += .X 1 2 3 P 0.2 0.40.4【答案】21.2 【解析】由分布列得()2.24.034.022.01=⨯+⨯+⨯=X E ，则()()2.218686=+=+X E X E .考点：离散型随机变量与分布列. 【题型】填空题 【难度】较易20．已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =，标准差()Y σ= ．【答案】1；455考点：二项分布，期望与标准差． 【题型】填空题 【难度】一般21．设p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则()D ξ的最大值为_________.ξ0 1 2p12p - p12【答案】1【解析】由随机变量ξ的分布列的性质，得101,201,p p ⎧≤-≤⎪⎨⎪≤≤⎩解得0≤p ≤12.()1E p ξ=+，则()D ξ=()()()22222111501112112224p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--⨯+--⨯=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当0p =时，()D ξ取最大值，()max D ξ=15144-+=.考点：离散型随机变量及其分布列.【题型】填空题【难度】一般三、解答题22．某大学依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为23，每次考B科合格的概率均为12.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（1）求甲恰好3次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）518（2）分布列见解析，期望()83Eξ=考点：独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题【难度】一般23．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.【答案】（1）茎叶图见解析，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（2）分布列见解析，115 EX考点：茎叶图，独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题 【难度】一般24．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数 [5059)，[6069)，[7079)，[8089)，[90100)，甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数13565（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计附：()()()()()()2n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++.临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010k 2.706 3.841 5.024 6.635（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” （2）分布列见解析，4 5考点：独立性检验，离散型随机变量的期望与方差.【题型】解答题【难度】一般25．某校高三年级有400人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X名女生被选取，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.028(2)280(3)分布列见解析，3 2考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和期望.【题型】解答题【难度】一般26．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：050:为优；51100:为良；100151:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如下.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18 （2）分布列见解析，1.8考点：古典概型，二项分布. 【题型】解答题 【难度】一般27．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（2）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关（2）分布列见解析，65考点：独立性检验，离散型随机变量的分布列.【题型】解答题【难度】一般28．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：的原始成绩均分布在[]C B A 、、三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示. （1）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A C 、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.百分制 85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D【答案】(1)50,0.004n x ==，0.018y = (2)9991000 （3）分布列见解析，94E ξ=所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P12202722027552155()127272190123.22022055554Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式，数学期望计算公式等有关知识的综合运用．【题型】解答题【难度】一般。
高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题(附答案)-文档资料
高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题（附答案）散型随机变量的均值与方差习题课一、选择题1．已知随机变量X的分布列是X 1 2 3P 0.4 0.2 0.4则E(X)和D(X)分别等于()A．1和0 B．1和1.8C．2和2 D．2和0.8[答案] D[解析] E(X)＝10.4＋20.2＋30.4＝2D(X)＝(2－1)20.4＋(2－2)20.2＋(2－3)20.4＝0.8. 2．已知随机变量X的分布列为X 0 1 2P 715715115且＝2X＋3，且E()等于()A.35B.65C.215D.125[答案] C[解析] ∵E(X)＝0175＋1715＋2115＝35，E()＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.6[答案] B[解析] ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，E(X)＝30.4＝1.2＝65.4．已知X的分布列为X 1 2 3 4P 14131614则D(X)的值为()A.2912B.121144C.179144D.1712[答案] C[解析] ∵E(X)＝114＋213＋316＋414＝2912，E(X2)＝1214＋2213＋3216＋4214＝8512，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝179144.5．已知X的分布列为X －1 0 1P 121316若＝2X＋2，则D()的值为()A．－13 B.59C.109D.209[答案] D[解析] E(X)＝－112＋013＋116＝－13，D(X)＝－1＋13212＋0＋13213＋1＋13216＝59，D()＝D(2X＋2)＝4D(X)＝459＝209.6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为() A.65 B.1825C.625D.18125[答案] B[解析] 由X～B3，25，D(X)＝32535＝1825.7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1[答案] B[解析] 由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96n＝6p＝0.48．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10频数 4 6 6 4s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()A．s3s2 B．s2s3C．s1s3 D．s2s1[答案] B[解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.s1＝120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2]＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，s2s3，故选B.二、填空题9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．[答案] 0.196[解析] 由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq ＝100.02(1－0.02)＝0.196.10．(2019福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.[答案] nm[解析] 设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，X～B(n，1m)．则E(X)＝n1m＝nm.11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．[答案] 48[解析] 设小王选对个数为X，得分为＝5X，则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6，E()＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48.12．若X的分布列如下表：X 1 2 3 4P 14141414则D14X＝________.[答案] 564[解析] E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－52214＝54，D14X＝116D(X)＝564.三、解答题13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．[解析] 由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.10.20.15＝0.003，P(X＝1)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056，同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，所以E(X)＝00.003＋10.056＋20.329＋30.612＝2.55台．14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值．[解析] 考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6121316＝16.(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知～B3，13，且＝3－.所以P(＝0)＝P(＝3)＝C33133＝127，P(＝1)＝P(＝2)＝C2313223＝29，P(＝2)＝P(＝1)＝C1313232＝49，P(＝3)＝P(＝0)＝C03233＝827.故的分布列为0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝0127＋129＋249＋3827＝2.解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故～B3，23.即：P(＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝323＝2.15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，表示所取球的标号．(1)求的分布列、均值和方差；(2)若＝a＋b，E()＝1，D()＝11，试求a，b的值．[解析] (1)的分布列为：0 1 2 3 4P 1212011032015E()＝012＋1120＋2110＋3320＋415＝1.5.D()＝(0－1.5)212＋(1－1.5)2120＋(2－1.5)2110＋(3－1.5)2320＋(4－1.5)215＝2.75.(2)由D()＝a2D()，得a22.75＝11，即a＝2.又E()＝aE()＋b，所以当a＝2时，由1＝21.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－21.5＋b，得b＝4，a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．16．(2019湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．[分析] (1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C030.93＝0.729，P(X＝1)＝C130.10.92＝0.243，P(X＝2)＝C230.120.9＝0.027，P(X＝3)＝C330.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 0.729 0.243 0.027 0.001X的数学期望为E(X)＝30.1＝0.3.[点评] 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．第 11 页。
离散型随机变量练习题
离散型随机变量的分布列1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是A.5B.9C.10D.25 2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P （ξ=12）等于A.C 1012（83）10·（85）2 B.C 911（83）9（85）2·83 C.C 911（85）9·（83）2D.C 911（83）9·（85）2 3.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是______.4.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤6）=_______.5.（2004年天津，理18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.6.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的分布列.7.（2004年春季安徽）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及E ξ.8.(05重庆卷)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。
某顾客从此10张券中任抽2张，求：(1) 该顾客中奖的概率；(2) 该顾客获得的奖品总价值ξ (元)的概率分布列和期望E ξ。
答案1.B2.B3.3513 4. P （ξ=k ）=C k 50.3k 0.75－k ，k =0，1，…，5 5.（1）ξ的分布列为（2）E ξ=1. （3）“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P （ξ≤1）=54. 6.ξ的分布列为7. 的分布列为.9E ξ=8. （Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.离散型随机变量的期望值和方差1.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n 、p 的值为A.n =4，p =0.6B.n =6，p =0.4C.n =8，p =0.3D.n =24，p =0.1 2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为 A.2.44 B.3.376C.2.376D.2.4 3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则A.E ξ=3.5，D ξ=3.52B.E ξ=3.5，D ξ=1235C.E ξ=3.5，D ξ=3.5D.E ξ=3.5，D ξ=1635 4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是A.E ξ=0.1B.D ξ=0.1C.P （ξ=k ）=0.01k ·0.9910－k D.P （ξ=k ）=C k 10·0.99k ·0.0110－k 5.已知ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于 A.71 B.61 C.51 D.41 6.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则D ξ等于A.0.2B.0.8C.0.196D.0.8047.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为_______.8.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.答案1—6. BCBAAC 7. 1.2.8. P （ξ=5）=473314C C C =354， P （ξ=6）=472324C C C =3518，P （ξ=7）=471334C C C =3512， P （ξ=8）=470344C C C =351，E ξ=5×354+6×3518+7×3512+8×351=35220=744.。
(完整版)离散型随机变量综合测试题(附答案)
离散型随机变量综合测试题（附答案）选修2-3 2.1.1 离散型随机变量一、选择题 1．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是( ) A．①中的X B．②中的X C．③中的X D．④中的X [答案] C [解析] ①，②，④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量． 2．一个袋子中有质量相等的红，黄，绿，白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是( ) A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和 D．倒出的三个小球的颜色的种数[答案] D [解析] A小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C三个小球的质量之和是一个定值，可以预见，但结果只有一种，不是随机变量，就更不是离散型随机变量；D颜色的种数是一个离散型随机变量． 3．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是( ) A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 [答案] D [解析] 只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是，应选D. 4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是( ) A．2 B．2或1 C．1或0 D．2或1或0 [答案] C[解析] 这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故ξ可能取值有两种0,1，故选C. 5．下列变量中，不是离散型随机变量的是( ) A．从2010张已编号的卡片(从1号到2010号)中任取一张，被取出的号数ξ B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η C．某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1 D．从2010张已编号的卡片(从1号到2010号)中任取2张，被取出的卡片的号数之和η1 [答案] C [解析] 离散型随机变量的取值能够一一列出，故A，B，D都是离散型随机变量，而C不是离散型随机变量，所以答案选C. 6.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D [解析] 由随机变量的概念知四个命题都正确，故选D. 7．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度．随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( ) A．只有X和ξB．只有Y C．只有Y和ξ D．只有ξ [答案] B [解析] 某城市1天之内的温度不能一一列举，故不是离散型随机变量，故选B. 8．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X. 其中是离散型随机变量的是( ) A．①②B．①③ C．①④ D．①②④ [答案] A [解析] ①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量． 9．抛掷一枚均匀骰子一次，随机变量为( ) A．掷骰子的次数 B．骰子出现的点数 C．出现1点或2点的次数 D．以上都不正确 [答案] B 10．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( ) A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 [答案] C [解析] 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C. 二、填空题11．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有______种． [答案] 21 [解析] 从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1、2、3、4、5、6、7中任取两个球．∴共有C27＝21种． 12．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________． [答案] {0,1,2,3,4,5} 13．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的最大号码，则ξ＝6表示的试验结果是___________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _____________. [解析] 从6个球中选出3个球，其中有一个是6号球，其余的2个球是1,2,3,4,5号球中的任意2个． [点评] “ξ＝6”表示取出的3个球的最大号码是6，也就是说，从6个球中随机选出3个球，有一个球是6号球，其余的2个球是1,2,3,4,5号球中的任意2个． 14．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种． [答案] 24 [解析] 后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A34＝24(种)．三、解答题 15．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ. (1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出ξ＝1所表示的事件． [解析] (1)ξ可能取的值为0,1,2,3. (2)ξ＝1表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品． 16．写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的所取值表示的随机试验的结果： (1)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y. [解析] (1)设所取卡片的数字之和为ξ，则ξ的可能取值为3,4，…，11，其中ξ＝3，表示取出标有1,2的两张卡片，…，ξ＝11，表示取出标有5,6的两张卡片． (2)Y 可取0,1,2，…，n，…，Y＝i，表示被呼叫i次，其中i＝0,1,2，…. 17．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次是45，34，23，且每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果． [解析] X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000. X＝0，表示第一关就没有通过； X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过； X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过； X＝6 000，表示三关都通过． 18．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ； (2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数ξ； (3)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ分． [解析] (1)ξ可取0,1,2. ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2. (2)ξ可取3,4,5. ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. (3)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．。
离散型随机变量练习题
离散型随机变量练习题离散型随机变量（Discrete Random Variable）是概率论中的一个重要概念。
它描述了一种只能取到有限个或者可列无限个值的变量。
离散型随机变量可以用概率函数或者概率质量函数来描述其概率分布。
在本文中，我将为您介绍一些与离散型随机变量相关的练习题，帮助您更好地理解和应用这一概念。
练习题一：假设某次考试有40个学生参加，其中A、B、C、D四个成绩档次，按照如下分数划分：A档：90分及以上；B档：80-89分；C档：70-79分；D档：60-69分。
请问，如果随机选择一个参加考试的学生，他得到A档的概率是多少？解答一：设随机变量X表示某个学生的考试成绩。
由题意可知，X是一个离散型随机变量，它的取值为A、B、C、D四个档次。
我们需要计算X等于A档的概率，即P(X=A)。
根据题目给出的分数划分，可知A档的分数范围是90分及以上。
而考试的总分为100分，因此X等于A档的概率可以表示为：P(X=A) = （X取值为90及以上的人数）/（总人数）由于有40个学生参加考试，我们需要统计得分为90及以上的学生人数。
假设有10个学生得到了90分及以上的分数，那么：P(X=A) = 10/40 = 0.25因此，随机选择一个参加考试的学生，他得到A档的概率是0.25。
练习题二：某大型超市销售一种特殊商品。
根据历史数据，该商品的每日销售量（以件计）服从离散型随机变量X，其概率分布如下：X=0，P(X=0)=0.1X=1，P(X=1)=0.2X=2，P(X=2)=0.3X=3，P(X=3)=0.2X=4，P(X=4)=0.1X>4，P(X>4)=0.1请问，该商品每天销售量不超过3件的概率是多少？解答二：设随机变量X表示该商品的每日销售量。
根据题目给出的概率分布，我们可以得到以下信息：P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2= 0.8因此，该商品每天销售量不超过3件的概率是0.8。
高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题(附答案)
高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题（附答案）第二课时离散型随机变量的分布列2一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()A.1 0 1P 141214B.0 1 2P －143412C.0 1 2P 152535D.－1 0 1P 141412[答案] D[解析] 本题考查分布列的概念与性质．即的取值应互不相同且P(0，i＝1,2，…，n，i＝1nP(i)＝1.A中的取值出现了重复性；B中P(＝0)＝－140，C中i＝13P(i)＝15＋25＋35＝651.2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(＝0) B．P(2)C．P(＝1) D．P(＝2)[答案] C[解析] 即取出白球个数为1的概率．3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X4)＝()A.316B.14C.116D.516[答案] A[解析] P(2＜X4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.4．随机变量的概率分布列为P(＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜＜52则值为()A.23B.34C.45D.56[答案] D[解析] c12＋c23＋c34＋c45＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45c＝1.c＝54.P12＜＜52＝P(＝1)＋P(＝2)＝54112＋123＝56.5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④[答案] B[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．6．(2019东营)已知随机变量的分布列为P(＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(＝2)＝()A.19B.16C.13D.14[答案] C[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a ＝1，62a＝1，即a＝3，P(＝2)＝1a＝13.7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A.1120B.724C.710D.37[答案] B[解析] P＝C37C03C310＝724.8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是()A.15B.14C.25D.35[答案] C[解析] P＝2A44A55＝25.二、填空题9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：0 1 2P[答案] 15 35 1510．随机变量的分布列为：0 1 2 3 4 5P 192157458451529则为奇数的概率为________．[答案] 81511．(2019常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．[答案] 5612．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，则P(＞1)＝________.[答案] 12[解析] 依题意，P(＝1)＝2P(＝2)，P(＝3)＝12P(＝2)，P(＝3)＝P(＝4)，由分布列性质得1＝P(＝1)＋P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)4P(＝2)＝1，P(＝2)＝14.P(＝3)＝18.P(＞1)＝P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)＝12.三、解答题13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量，求的分布列．[解析] 可能取的值为0、1、2、...、10.由题意知P(＝m) ＝Cm10C10－m40C1050(m＝0、1、2、...、10)，的分布列为0 1 ... k (10)P C010C1040C1050C110C940C1050… Ck10C10－k40C1050… C1010C040C105014.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X)35；(3)求P110＜X＜710.[分析] 分布列有两条重要的性质：Pi0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X35或110710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可．[解析] (1)由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，得a＝115. (2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5)解法一：PX35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45；解法二：PX35＝1－PX＝15＋PX＝25＝1－115＋215＝45.(3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.15．(2009福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.(2)由题意可能的取值为2,3,4,5，P(＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，P(＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，P(＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，P(＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量的概率分布为：2 3 4 5P 13021531081516.(2019福建理，16)设S是不等式x2－x－60的解集，整数m，nS.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设＝m2，求的分布列．[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．(1)由x2－x－60得－23，即S＝{x|－23}．由于m，nZ，m，nS且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.且有P(＝0)＝16，P(＝1)＝26＝13，P(＝4)＝26＝13，P(＝9)＝16.故的分布列为：0 1 4 9P 161313。
离散型随机变量 有答案
高二数学离散型随机变量及其分布1．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（ ）A ．2枚都是4点B ．1枚是1点，另1枚是3点C ．2枚都是2点D ．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 【解题思路】由随机变量的意义可解. 【解答过程】A 表示的是随机试验中的其中一个结果，B ，C 中表示的是随机试验中的部分结果，而D 是代表随机试验中的所有试验结果.故选：D.2.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） A. 0 B.31 C. 21 D.32解析：该项试验一次结果只有成功和失败，随机变量ξ描述一次试验成功次数，则ξ的取值为1和0，设p P ==)1(ξ，则p P -==1)0(ξ，条件得)1(2p p -=，即得32=p 所以31)0(==ξP 答案：B 3.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X234P1212q -22q则q 等于（ ） A ．1 B ．212-C ．12D ．212+【答案】C【分析】利用分布列的性质求得正确答案. 【详解】依题意2213122=22=122q q q q +-+-+，即()22441=21=0q q q -+-，解得12q =， 经检验可知，12q =符合题意. 故选：C4. 设随机变量X 的分布列为)4,3,2,1()(===i aii X P ，则=<<)2721(X P ( ) A.52 B. 21 C.53 D.107解析：1)4()3()2()1(==+=+=+=X P X P X P X P 得,14321=+++aa a a 得10=a 所以531041)4(1)2721(=-==-=<<X P X P , 答案：C 5．(多选题)下列变量：①某机场候机室中一天的旅客数量为X ；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X ； ③某水电站观察到一天中长江的水位为X ；④某立交桥一天内经过的车辆数为X . 其中是离散型随机变量的是（ ） A ．①中的X B ．②中的X C ．③中的XD ．④中的X9．ABD【分析】利用离散型随机变量的概念，对选项逐一分析判断即可得解. 【详解】因为所有取值可以一一列出的随机变量为离散型随机变量， 而①②④中的随机变量X 的可能取值，我们都可以按一定的次序一一列出， 因此它们都是离散型随机变量；而③中的X 可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出， 因此它不是离散型随机变量. 故选：ABD.6．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则.【解题思路】利用概率和为可构造方程求得的值，由可求得结果.【解答过程】，，解得：，.故答案为：.7.某中学生准备到各类古遗迹打卡，这些古遗迹可分为文化纪念地、史迹等五类.已知该学生打卡第一类、第二类的概率都是23，打卡第三类、第四类和第五类的概率都是12，且是否打卡这五类古遗迹相互独立.用随机变量X 表示该学生打卡的类别数，则(4)P X ==____________.14.答案：29解析：记该学生打卡第一类、第二类的类别数为ξ，打卡第三类、第四类和第五类的类别数为η，因此，随机变量X ξη=+，则(4)(1,3)(2,2)P X P P ξηξη====+===1130202113222323211121112C C C C 332233229⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 8.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)设所取的2道题乙类题道数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)25(2)23，分布列答案见解析。
2025年高考数学一轮复习-离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练【含答案】
离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练[基础强化]一、选择题1．设随机变量X 的分布列如下：X 1234P161316p则p 为()A ．16B ．13C ．23D ．122．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)等于()A ．13B ．14C ．12D ．233．已知X 是离散型随机变量，P (X ＝1)＝14，P (X ＝a )＝34，E (X )＝74，则D (2X －1)＝()A ．25B ．34C ．35D ．564．设随机变量ξ的分布列为＝ak (k ＝1，2，3，4，5)，则P ξ等于()A ．35B ．45C ．25D ．155．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k，k ＝1，2，3，则m 的值是()A ．1736B ．2738C ．1719D ．27196．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X 的分布列为()7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝()A．19B．16C．13D．148．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价为每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：X200300400500P0.200.350.300.15若购进这种鲜花500束，则利润的均值为()A.706元B．690元C.754元D．720元9．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到三次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X.若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围为()A.0，12B0，712C.12，1D712，1二、填空题10．已知离散型随机变量X的分布列如下：X01P9C2－C3－8C则常数C＝________．11．设随机变量X的概率分布列为X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________．12．随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则E(X)＝________．[能力提升]13．设0<a<1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0，1)内增大时()A．D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大14．(多选)随机变量ξ的分布列为ξ012P a b2b2其中ab≠0，则下列说法正确的是()A.a＋b＝1B.E(ξ)＝3b2C.D(ξ)随b的增大而减小D.D(ξ)有最大值15．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．16．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a 元(a>1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．参考答案与解析1．B 由分布列的性质可知16＋13＋16＋p ＝1.∴p ＝13.2．D ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，由分布列的性质可知a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)＝1－13＝23.3．B 由题意知：1×14＋a ×34＝74，∴a ＝2.∴D (2X －1)＝4D (X )＝×14＋×34＝34.故选B.4．C 由题意知，分布列为ξ152535451P a 2a 3a 4a 5a由分布列的性质可得，a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.所以ξ＝＋＋＝115＋215＋315＝25，故选C.5．B 由题意得，＋49＋＝1，∴m ＝2738.6．A 由题可知P (X ＝0)＝C 23C 27＝321＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1－17＝67.7．C 由分布列的性质可知，12a ＋22a ＋32a ＝62a ＝1，得a ＝3，P (X ＝2)＝22a ＝13.8．A E (X )＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴利润为(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706.故选A.9．A 由题可知P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75，解得p >52或p <12.由p ∈(0，1)，得p .故选A.10.13解析：由9C 2－C ＋3－8C ＝1，得C ＝13或C ＝23，又当C ＝23时，9C 2－C ＝9×49－23>1，不合题意，当C ＝13时符合题意．∴C ＝13.11.512解析：由分布列的性质知13＋m ＋14＋16＝1，得m ＝14.P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝16＋14＝512.12．1解析：∵随机变量X 的取值为0，1，2，P (X ＝0)＝0.2，D (X )＝0.4，∴设P (X ＝1)＝a ，则P (X ＝2)＝0.8－a ，0≤a ≤0.8.则E (X )＝0×0.2＋a ＋2(0.8－a )＝1.6－a .又D (X )＝(a －1.6)2×0.2＋(a －0.6)2a ＋(a ＋0.4)2(0.8－a )＝0.4，整理得a 2－0.2a －0.24＝0，解得a ＝0.6或a ＝－0.4(舍)，∴E (X )＝1.6－0.6＝1.13．D 由题意可得，E (X )＝1(a ＋1)，所以D (X )＝（a ＋1）227＋（1－2a ）227＋（a －2）227＝6a 2－6a ＋627＝29＋34，所以当a 在(0，1)内增大时，D (X )先减小后增大．故选D.14．ABD 根据分布列的性质得a ＋b 2＋b2＝1，即a ＋b ＝1，故A 正确；根据数学期望公式得E (ξ)＝0×a ＋1×b＋2×b 2＝3b2，故B 正确；根据方差公式得D (ξ)2×a 2×b 22×b 2＝－94b 2＋52b ＝－942＋2536，因为0<b <1，所以当b ＝59时，D (ξ)取得最大值2536，故C 不正确，D 正确．故选ABD.15．乙解析：E (X )＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E (Y )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.因为E (Y )<E (X )，所以乙技术好．16．(1000，20000)解析：假设公司应要求顾客交保险金为100元，其公司收益的随机变量ξ的分布列为ξ100100－a P 0.9950.005则E (ξ)＝0.995×100＋0.005×(100－a )>0，解得a <20000，故a 的取值范围为(1000，20000).。
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高中数学离散型随机变量综合测试题（附答案）选修2-3 2.1.1 离散型随机变量
一、选择题
1．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；
④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是()
A．①中的X B．②中的X
C．③中的X D．④中的X
[答案] C
[解析] ①，②，④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；
③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量．
2．一个袋子中有质量相等的红，黄，绿，白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色的种数
[答案] D
[解析] A小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C三个小球的质量之和是一个定值，可以预见，但结果只有一种，不是随机变量，就更不是离散型随机变量；D颜色的种数是一个离散型随机变量．
3．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“4”表示的试验结果是()
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
[答案] D
[解析] 只有D中的点数差为6－1＝54，其余均不是，应选D.
4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量描述1次试验的成功次数，则的值可以是()
A．2 B．2或1
C．1或0 D．2或1或0
[答案] C
[解析] 这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故可能取值有两种0,1，故选
C.
5．下列变量中，不是离散型随机变量的是()
A．从2019张已编号的卡片(从1号到2019号)中任取一张，被取出的号数
B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数
C．某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差1 D．从2019张已编号的卡片(从1号到2019号)中任取2张，被取出的卡片的号数之和1
[答案] C
[解析] 离散型随机变量的取值能够一一列出，故A，B，D 都是离散型随机变量，而C不是离散型随机变量，所以答案选C.
6.给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；
②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 由随机变量的概念知四个命题都正确，故选D. 7．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度．随机变量是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是()
A．只有X和 B．只有Y
C．只有Y和 D．只有
[答案] B
[解析] 某城市1天之内的温度不能一一列举，故不是离散型随机变量，故选B.
8．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950～1200之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X. 其中是离散型随机变量的是()
A．①② B．①③
C．①④ D．①②④
[答案] A
[解析] ①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
9．抛掷一枚均匀骰子一次，随机变量为()
A．掷骰子的次数
B．骰子出现的点数
C．出现1点或2点的次数
D．以上都不正确
[答案] B
10．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“＝5”表示的试验结果是() A．第5次击中目标
B．第5次末击中目标
C．前4次未击中目标
D．第4次击中目标
[答案] C
[解析] 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C.
二、填空题
11．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现从中随机取出3个篮球，以表示取出的篮球的最大号码，则＝8表示的试验结果有______种．
[答案] 21
[解析] 从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1、2、3、4、5、6、7中任取两个球．共有C27＝21种．
12．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为，则的所有可能取值的集合为________．
[答案] {0,1,2,3,4,5}
13．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个球，以表示取出的最大号码，则＝6表示的试验结果是
___________________________________________________ _____________________
___________________________________________________ _____________________.
[解析] 从6个球中选出3个球，其中有一个是6号球，其余的2个球是1,2,3,4,5号球中的任意2个．
[点评] “＝6”表示取出的3个球的最大号码是6，也就是说，从6个球中随机选出3个球，有一个球是6号球，其余的2个球是1,2,3,4,5号球中的任意2个．
14．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为，则随机变量的可能取值共有________种．
[答案] 24
[解析] 后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A34＝24(种)．
三、解答题
15．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为.
(1)写出的所有可能取值；
(2)写出＝1所表示的事件．
[解析] (1)可能取的值为0,1,2,3.
(2)＝1表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．16．写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的所取值表示的随机试验的结果：
(1)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y.
[解析] (1)设所取卡片的数字之和为，则的可能取值为
3,4，…，11，其中＝3，表示取出标有1,2的两张卡片，…，＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．
(2)Y可取0,1,2，…，n，…，Y＝i，表示被呼叫i次，其中i＝0,1,2，….
17．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000
元的奖品(不重复设奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次是45，34，23，且每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．
[解析] X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000.
X＝0，表示第一关就没有通过；
X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过；
X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；
X＝6 000，表示三关都通过．
18．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数；
(3)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间分．
[解析] (1)可取0,1,2.
＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2.
(2)可取3,4,5.
＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；
＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；
＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
(3)的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．。