高中数学-随机变量及其概率分布练习
【必刷题】2024高二数学下册概率分布应用专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学下册概率分布应用专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知随机变量X服从二项分布，若P(X=1)=0.2，P(X=0)=0.8，则X的数学期望E(X)等于（）A. 0.2B. 0.8C. 1D. 22. 在一次试验中，事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.4，且A、B相互独立，则P(A∩B)等于（）A. 0.12B. 0.24C. 0.3D. 0.43. 投掷一枚均匀的骰子，设X为出现的点数，Y为出现的点数平方，则D(X)与D(Y)的关系是（）A. D(X) = D(Y)B. D(X) > D(Y)C. D(X) < D(Y)D. 无法确定4. 已知随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ^2)，且μ=60，σ=10，则P(50<ξ<70)等于（）A. 0.6826B. 0.3174C. 0.4772D. 0.34135. 某班有50名学生，其中有30名喜欢打篮球，20名喜欢打乒乓球，10名既喜欢打篮球又喜欢打乒乓球，则至少喜欢一项运动的学生人数为（）A. 40B. 45C. 50D. 556. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，取到红球或绿球的概率是（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.87. 设随机变量X的分布列为：X=1的概率为0.3，X=2的概率为0.5，X=3的概率为0.2，则E(X^2)等于（）A. 1.9B. 2.1C. 2.3D. 2.58. 在一次抽奖活动中，设中奖的概率为0.1，不中奖的概率为0.9，某人连续抽奖3次，恰好中奖2次的概率是（）A. 0.027B. 0.0729C. 0.243D. 0.29169. 已知随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X=2)等于（）A. F(2) F(1)B. F(2) F(2)C. F(2+) F(2)D. F(2+) F(1)10. 一批产品中有10%的次品，随机抽取10件产品，恰好有2件次品的概率是（）A. 0.1937B. 0.3874C. 0.341D. 0.0678二、判断题：1. 随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)都是其分布的特征数。
高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率练习含解析新人教A版选修23110513
高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率练习含解析新人教A版选修23110513[A 基础达标]1．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于( )A．56B．910C．215D．115解析：选C．P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝215，故选C．2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A．14B．13C．12D．1解析：选B．记“第一位同学没有抽到中奖券”为事件A，P(A)＝34，“最后一位同学抽到中奖券”为事件B，P(AB)＝34×13＝14，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1434＝14×43＝13.3．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )A．49B．29C．12D．13解析：选C．由题意可知．n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.所以P(A|B)＝n（AB）n（B）＝612＝12.4．在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝{x|0<x<12}，B＝{x|14<x<34}，则P (B |A )等于( )A ．12B ．14C ．13D ．34解析：选A ．P (A )＝121＝12.因为A ∩B ＝{x |14<x <12}，所以P (AB )＝141＝14，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1412＝12.5．甲、乙两人从1，2，…，15这15个数中，依次任取一个数(不放回)，则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是( )A ．12B ．715C ．815D ．914 解析：选D ．设事件A ＝“甲取到的数是5的倍数”，B ＝“甲所取的数大于乙所取的数”，又因为本题为古典概型概率问题，所以根据条件概率可知，P (B |A )＝n （A ∩B ）n （A ）＝4＋9＋143×14＝914.故选D ． 6．如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形HOE (阴影部分)内”，则P (A )＝________，P (B |A )＝________．解析：因为圆的半径为1，所以圆的面积S ＝πr 2＝π，正方形EFGH 的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 22＝2，所以P (A )＝2π.P (B |A )表示事件“已知豆子落在正方形EFGH 中，则豆子落在扇形HOE (阴影部分)”的概率，所以P (B |A )＝14.答案：2π 147．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张．已知第1次抽到A ，则第2次也抽到A 的概率是________．解析：设“第1次抽到A ”为事件A ，“第2次也抽到A ”为事件B ，则AB 表示两次都抽到A ，P (A )＝452＝113，P (AB )＝4×352×51＝113×17，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝117.答案：1178．(2019·长春高二检测)分别用集合M ＝{2，4，5，6，7，8，11，12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是________．解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A ，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B ，则n (A )＝7，n (AB )＝4，所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝47.答案：479．某考生在一次考试中，共有10题供选择，已知该考生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该考生在第一题不会答的情况下及格的概率．解：设事件A 为从10题中抽5题，第一题不会答；设事件B 为从10题中依次抽5题，第一题不会答，其余4题中有3题或4题会答．n (A )＝C 14C 49，n (B )＝C 14(C 36C 13＋C 46C 03)．则P ＝C 14（C 36C 13＋C 46C 03）C 14C 49＝2542. 所以该考生在第一题不会答的情况下及格的概率为2542.10．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动． (1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列． (2)求男生甲或女生乙被选中的概率．(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (A |B )． 解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X＝2)＝C 14C 22C 36＝15.所以X 的分布列为(2)则P (C )＝C 34C 36＝420＝15；所以所求概率为P (C —)＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (AB )＝C 14C 36＝15.所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝25.[B 能力提升]11．(2019·唐山高二检测)将三颗骰子各掷一次，设事件A 表示“三个点数都不相同”，B 表示“至少出现一个6点”，则概率P (A |B )等于( )A ．6091B ．12 C ．518D ．91216解析：选A ．因为P (A |B )＝P （AB ）P （B ），P (AB )＝C 13C 15C 1463＝6063＝60216，P (B )＝1－P (B —)＝1－5363＝1－125216＝91216.所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝6021691216＝6091.12．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．解析：设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 为“取出的数是3的倍数”．则P (C )＝12，且所求概率为P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C )＝P （AC ）P （C ）＋P （BC ）P （C ）－P （ABC ）P （C ）＝2×(25100＋16100－8100)＝3350. 答案：335013．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P （A 1B 1）P （A 1）＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.14．(选做题)在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设“该考生6道题全答对”为事件A ，“该考生恰好答对了5道题”为事件B ，“该考生恰好答对了4道题”为事件C ，“该考生在这次考试中通过”为事件D ，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E ，则D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，且A ，B ，C 两两互斥，由古典概型的概率公式知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620，又AD ＝A ，BD ＝B ，所以P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P（AD）P（D）＋P（BD）P（D）＝P（A）P（D）＋P（B）P（D）＝C610C62012 180C620＋C510C110C62012 180C620＝1358.。
最新高考数学附加题加分练习(八)随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为.现512甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，C2nC29由题意知＝，化简得n 2－n －30＝0，C2nC29512解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6.(2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，69233×69×814P (X ＝3)＝＝，P (X ＝4)＝＝.3×2×69×8×71143×2×1×69×8×7×6184所以取球次数X 的概率分布为X 1234P2314114184所求数学期望E (X )＝1×＋2×＋3×＋4×＝.23141141841072．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝，乙的命中率为P 2，在射击23比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；12(2)在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值范围．解 (1)所求概率P ＝＋＝.(C12·23·13)(C12·12·12)(23·23)(12·12)13(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝[C ·P 2·(1－P 2)]＋P ＝P 2－P .(C12·23·13)12(23·23)289492而ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ，由E (ξ)≥5知，·12≥5，(89P 2－49P 2)解得≤P 2≤.3454又0≤P 2≤1，∴≤P 2≤1.343．(2018·南通调研)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m 个．(1)若m ＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若m ＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．解 (1)当m ＝1时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3，所以P (A )＝＝.31－(7＋3)312131(2)当m ＝2时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (ξ＝0)＝＝＝，C2C15＋C2C25＋C2C35＋C2C45C 2311104652293P (ξ＝1)＝＝＝，C15C25＋C25C35＋C35C45＋C45C55C 2312054654193P (ξ＝2)＝＝＝，C15C35＋C25C45＋C35C55C 2311104652293P (ξ＝3)＝＝＝，C15C45＋C25C55C 23135465793P (ξ＝4)＝＝＝，C15C55C 2315465193所以ξ的概率分布为ξ01234P229341932293793193所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.229341932293793193110934．(2018·启东模拟)如图，已知正六棱锥S －ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝)的值；3(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C ＝35(种)取法．其中X ＝37的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个．3因此P (X ＝)＝＝.36C37635(2)由题意知，X 的可能取值为，2，，2，3.3633其中X ＝的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；3其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个；其中X ＝的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个；6其中X ＝2的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个；3其中X ＝3的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．3因此P (X ＝)＝，P (X ＝2)＝，P (X ＝)＝，36359356635P (X ＝2)＝，P (X ＝3)＝.312353235所以随机变量X 的概率分布为X3262333P (X )6359356351235235所求数学期望E (X )＝×＋2×＋×＋2×＋3×＝36359356635312353235.363＋66＋1835。
高三数学天天练38 概率、随机变量及其分布
天天练38 概率、随机变量及其分布
一、选择题
1．(·成都一诊)把J 、Q 、K 3张方块牌随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A ：“甲得方块J ”与事件B ：“乙得方块J ”是( )
A ．不可能事件
B ．必然事件
C ．对立事件
D ．互斥但不对立事件
2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( )
A.45
B.35
C.25
D.15
3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34 4.
在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图中阴影部分)中的概率是( )
A.π4
B.14
C.π16
D.116
5．(·郑州二模)设X ～B (4，p )，其中0<p <12，且P (X ＝2)＝8
27，那么P (X ＝1)＝( )
A.881
B.1681
C.827
D.3281
6．(·江西九校联考(二))先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有的点数为1、2、3、4、5、6)两次，落在水平桌面上，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则P (B |A )＝( )
A.13
B.12
C.16
D.14。
高中数学概率与统计概率分布练习题及答案
高中数学概率与统计概率分布练习题及答案1. 离散型随机变量问题1一次买彩票，抽奖号码是从1到30的整数，每个号码中奖的概率是相等的。
求以下事件的概率：a) 中奖号码小于等于10b) 中奖号码是偶数c) 中奖号码是质数解答1a) 中奖号码小于等于10的概率为10/30，即1/3。
b) 中奖号码是偶数的概率为15/30，即1/2。
c) 中奖号码是质数的概率为8/30，即4/15。
问题2某商品的销售量每天可以是0、1、2或3箱，各箱销售的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2。
求销售量的概率分布表。
解答2销售量的概率分布表如下：销售量 | 0 | 1 | 2 | 3--- | --- | --- | --- | ---概率 | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.22. 连续型随机变量问题3某地每天的气温符合正态分布，均值为20摄氏度，标准差为3摄氏度。
求以下事件的概率：a) 气温大于等于15摄氏度b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间解答3a) 气温大于等于15摄氏度的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.8413。
b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.6827。
问题4某工厂生产的铆钉的长度符合正态分布，均值为5毫米，标准差为0.2毫米。
若从工厂中随机抽取一只铆钉，求其长度在5.2毫米到5.5毫米之间的概率。
解答4将问题转化为标准正态分布，得到长度在1到2.5之间的概率约为0.3944。
以上是高中数学概率与统计概率分布的练习题及答案。
苏教版高中数学选修2-3同步练习：随机变量及其概率分布
2.1 随机变量及其概率分布基础训练1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是离散型随机变量的是【 】A ．①B ．②C ．②③D ．①③2．下列叙述中，是离散型随机变量的为【 】A .某人早晨在车站等出租车的时间B .将一颗均匀硬币掷十次，出现正面或反面的次数C .连续不断的射击，首次命中目标所需要的次数D .袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性3.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则【 】A ．3n =B ．4n =C ．10n =D ．不能确定4.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为【 】A ．1112B ．3136C ．536D ．112 5.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是【 】A . ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B . ξ取所有可能值的概率之和为1C . ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D . ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和6．抛掷两枚骰子一次，设η为第一枚骰子与第二枚骰子的点数之差，则它的所有可能取值为【 】A .N ∈≤≤ηη,50B . N ∈≤≤ηη,61C . Z ∈≤≤-ηη,05D . Z ∈≤≤-ηη,557． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η8.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取球两次，设两次小球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数？｛Y＝4｝的概率是多少？拓展训练1．下列叙述中，是随机变量的有【】①某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差；②标准状态下，水沸腾的温度；③某大桥一天经过的车辆数；④向平面上投掷一点，此点坐标.A．②③B．①②C．①③④D．①③2.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的实验结果是【】A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能的取值有【】A.17个B.18个C.19个D.20个4.袋中有大小相同的红球６个，白球５个，从袋中每次任取一球（不放回），直到取出球是白球为止，取球次数是一个随机变量，这个随机变量的可能取值为．5.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，（1）他收旅客的租车费η是否也是一个随机变量？如果是，找出租车费η与行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?这种情况下，停车累计时间是否也是一个随机变量？参考答案基础训练1.B2.C3.C4.B5.D6.D7. (1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…8．可取2～10之间的所有整数，共有9个；｛Y ＝4｝表示“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号”.所以253553)4(=⨯==Y P拓展训练1.C2. D3.A4.1，2，3，4，5，65. （1）依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2.随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b (其中a 、b 是常数)也是随机变量.（2）由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟.停车累计时间不足五分钟，按五分钟计.所以，停车累计时间也是随机变量，可能取10～15之间的任一值.。
高考数学全程训练计划：天天练34 概率、随机变量及分布
天天练34 概率、随机变量及分布小题狂练○34一、选择题1．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中,是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③答案：C解析：从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶,两个奇数,两个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件．又①②④中的事件可以同时发生,不是对立事件．2．[2018·全国卷Ⅱ]从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3答案：D解析：设两名男同学为A,B,三名女同学为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的情形有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,故所求概率为310＝0.3.3．[2018·全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案：B解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.4．[2019·湖北七市教科研协作体模拟]从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于12的概率为( )A.225B.13125C.18125 D.29125答案：A解析：从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,基本事件总数n ＝53＝125. 其各位数字之和等于12包含的基本事件有： 由2,5,5能组成3个满足条件的三位数, 由4,4,4能组成1个满足条件的三位数, 由3,4,5能组成6个满足条件的三位数, 满足条件的三位数共有3＋1＋6＝10个, ∴其各位数字之和等于12的概率为P ＝10125＝225.5．[2019·石家庄高中毕业班模拟考试(一)]已知函数f(x)＝2x(x ＜0),其值域为D,在区间(－1,2)上随机取一个数x,则x∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23 答案：B解析：因为函数y ＝2x是R 上的增函数,所以函数f(x)的值域是(0,1),所以所求概率是13,故选B.6．[2019·河南名校联考]现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为( )A.110B.25C.12D.710 答案：C解析：由题意知共有10个几何体,其中旋转体为球和圆台,共5个,根据古典概型,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率P ＝510＝12.故选C.7．[2019·湖南三湘名校第三次联考]已知以原点O 为圆心,1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),该小米落入阴影部分的概率为( )A.12B.14C.16D.18 答案：B解析：由图形的对称性知,所求概率为14π×12π×12＝14.故选B.8．[2019·贵阳检测]在△ABC 中,AB ＝5,AC ＝12,BC ＝13,一只小蚂蚁从△ABC 的内切圆的圆心处开始随机爬行,当蚂蚁(在三角形内部)与△ABC 各边距离不小于1时,其行动是安全的,则这只小蚂蚁在△ABC 内任意爬行时,其行动是安全的概率为( )A.14B.49C.12D.23 答案：A解析：设△ABC 内切圆的半径为r,则12×5×12＝5＋12＋132×r ,∴r＝2,由题意,与△ABC 各边距离等于1的点组成的图形△A′B′C′与△ABC 相似,△A′B′C′内切圆的半径为1,∴△A′B′C′与△ABC 的相似比为12,∴△A′B′C′与△ABC 的面积之比为14,∴这只小蚂蚁在△ABC 内任意爬行时,其行动是安全的概率是14,故选A.二、非选择题9．一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未完全击毁的概率为________．答案：0.4解析：∵一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,∴P(目标未受损)＝0.4,P(目标受损)＝1－0.4＝0.6,目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形,它们是对立事件,P(目标受损)＝P(目标受损但未完全击毁)＋P(目标受损且击毁),即0.6＝P(目标受损但未完全击毁)＋0.2,∴P(目标受损但未完全击毁)＝0.6－0.2＝0.4.10．如图,在等腰直角△ABC 中,过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M,则使得AM 小于AC 的概率为________．答案：34解析：当AM ＝AC 时,△ACM 为以A 为顶点的等腰三角形,∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM<67.5°时,AM<AC,所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.11．某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲、乙不在同一个兴趣小组的概率为________．答案：23解析：本题考查古典概型．甲、乙两名学生参加兴趣小组的结果共有9种,其中甲、乙不在同一个兴趣小组的结果有6种,故所求的概率为69＝23.12．[2019·重庆适应性测试]从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个,则所取3个数之和为偶数的概率为________.答案：25解析：依题意,从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个,共有10种不同的取法,其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数,有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数,另一个是偶数,有3种取法),因此所求的概率为410＝25.课时测评○34一、选择题1．[2019·海淀模拟]抛掷一枚均匀的骰子2次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不相互独立的是( )A ．第二次得到6点B ．第二次的点数不超过3C ．第二次的点数是奇数D ．两次得到的点数和是12答案：D解析：事件“第二次得到6点”、“第二次的点数不超过3”、“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立,而对于事件“两次得到的点数和是12”,由于第一次得到6点,所以第二次也是6点,故不相互独立,故选D.2．[2019·湖南郴州质量监测]甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是( ) A ．1 B.16C.12D.13 答案：D解析：甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙,丙乙甲,共6种,其中甲排在左边的站法为2种, ∴甲排在左边的概率是26＝13.故选D.3．[2019·绵阳诊断]某射手每次射击击中目标的概率是23,且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次,则有3次连续击中目标,另外2种未击中目标的概率为( )A.89B.7381C.881D.19答案：C解析：因为该射手每次射击击中目标的概率是23,所以每次射击不中的概率为13,设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5),“该射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则P(A)＝P(A 1A 2A 3A 4A 5)＋P(A 1A 2A 3A 4A 5)＋P(A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881. 4．一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M 是AB 的中点,一只蝴蝶在几何体ADF －BCE 内自由飞翔,则它飞入几何体F －AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.13D.12 答案：D解析：因为V F －AMCD ＝13×S AMCD ×DF＝14a 3,V ADF －BCE ＝12a 3,所以它飞入几何体F －AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.5．欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技术之高超,若铜钱直径2 cm,中间有边长为1 cm 的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是( )A.14πB.12πC.1π D.2π答案：C解析：根据几何概型的求解方法可知,用正方形的面积除以圆的面积即为所求概率,故P ＝S 正方形S 圆＝1π.故选C.6．[2019·山西运城模拟]已知五条长度分别为1,3,5,7,9的线段,现从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )A.110 B.310C.12D.710 答案：B解析：从五条中任取三条,共有1、3、5,1、3、7,1、3、9,1、5、7,1、5、9,1、7、9,3、5、7,3、5、9,3、7、9,5、7、9十种情况．其中仅3、5、7,3、7、9,5、7、9三种情况可以构成三角形,故构成三角形的概率P ＝310.7．[2019·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星,其中这两个等边三角形的三边分别对应平行,且各边都被交点三等分,若往该图案内投掷一点,则该点落在图中阴影部分内的概率为( )A.14B.13C.12D.23 答案：C解析：设六角星的中心为点O,分别将点O 与两个等边三角形的六个交点连接起来,则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形,并且与其余六个小三角形也是全等的,所以所求的概率P ＝12,故选C.8．[2019·成都测试]小明在花店定了一束鲜花,花店承诺将在第二天早上7：30～8：30之间将鲜花送到小明家．若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8：00～9：00之间,则小明在离开家之前收到鲜花的概率是( )A.18B.14C.34D.78 答案：D解析：如图,设送花人到达小明家的时间为x,小明离家去上班的时间为y,记小明离家前能收到鲜花为事件A.(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x,y)|7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},这是一个正方形区域,面积为S Ω＝1×1＝1,事件A 所构成的区域为A ＝{(x,y)|y≥x,7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},即图中的阴影部分,面积为S A ＝1－12×12×12＝78.这是一个几何概型,所以P(A)＝S A S Ω＝78,故选D.二、非选择题9．[2019·怀化二模]设a∈{1,2,3},b∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，4，6,求函数y ＝log b a 1x 是减函数的概率为________．答案：58解析：∵f(x)＝1x 在区间(0,＋∞)上是减函数,又函数y ＝log b a 1x 是减函数,∴ba>1,∵a∈{1,2,3},b∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，4，6,则b a ＝16,14,12,43,2,3,4,6,共8个值, 其中满足b a >1的有43,2,3,4,6,共5个值,∴函数y ＝log b a 1x 是减函数的概率为58.10．[2019·南昌市项目第一次模拟]在圆x 2＋y 2＝4上任取一点,则该点到直线x ＋y －22＝0的距离d∈[0,1]的概率为________．答案：13解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为O(0,0),半径r ＝2,所以圆心O 到直线x ＋y －22＝0的距离为d 1＝|0＋0－22|12＋12＝2＝r, 所以直线x ＋y －22＝0与圆O 相切．不妨设圆x 2＋y 2＝4上的点到直线x ＋y －22＝0的距离d∈[0,1]的所有点都在AB 上,其中直线AB 与直线x ＋y －22＝0平行,直线AB 与直线x ＋y －22＝0的距离为1,所以圆心到直线AB 的距离为r －1＝1,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝12,所以12∠AOB＝π3,得∠AOB＝2π3,所以所求的概率P ＝23π·22π·2＝13.11．某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等将1个,一等奖10个,二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C,求：(1)P(A),P(B),P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解析：(1)P(A)＝11 000,P(B)＝101 000＝1100,P(C)＝501 000＝120.故事件A,B,C 的概率分别为11 000,1100,120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M ＝A∪B∪C. ∵A、B 、C 两两互斥,∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.。
新教材高中数学习题课二随机变量及其分布新人教A版选择性必修第三册
习题课（二） 随机变量及其分布一、选择题1．已知事件A 发生时，事件B 一定发生，P (A )＝13P (B )，则P (A |B )等于( )A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 因为P (AB )＝P (A )＝13P (B )，所以P (A |B )＝P AB P B ＝13.2．甲击中目标的概率是12，如果击中赢10分，否则输11分，用X 表示他的得分，计算X 的均值为( )A ．0.5分B ．－0.5分C ．1分D ．5分解析：选B E (X )＝10×12＋(－11)×12＝－0.5.3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 3 5 P0.5m0.2则数学期望E (ξ)等于( A ．1 B ．0.6 C ．2＋3mD ．2.4解析：选D 由题意得m ＝1－0.5－0.2＝0.3， 所以E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A 因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X＋1)＝4×32＝6.5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127 B.1124 C.827D.924解析：选C 设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49， 所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝124A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83 B.113 C.89D.119解析：选B 法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181， P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881， P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， 所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113.法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5， 设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83， 从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.二、填空题7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.解析：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P ABP A ＝11025＝14. 答案：148．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X <10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X >30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质， 可知P (X <10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X >30)＝1， 故P (X >30)＝1－0.3－0.4＝0.3. 答案：0.39．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1， 每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1 000,0.1)，∴E (ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X 的期望为2E (ξ)＝200. 答案： 200 三、解答题10．某一射手射击所得环数X 的分布列如下：X 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.09m0.290.22(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.11．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x ；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．(1)求样本容量及x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2， 频率为0.008×10＝0.08， 所以样本容量n ＝20.08＝25，x ＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.(2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 26＝115，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P25815115所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×5＋1×15＋2×15＝3.12．经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0,5,10,15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14， P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。
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高中数学-随机变量及其概率分布练习基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(·武汉模拟)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是________．解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.答案12352．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于________． 解析 由分布列的性质得：⎩⎨⎧0≤1－2q ＜1，0≤q 2＜1，0.5＋1－2q ＋q 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜q ≤12，q ＝1±22.∴q ＝1－22. 答案 1－223．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________．解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.答案134．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P (x ＝4)的概率为____________(不必化简)．解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，k ＝4.答案 C 47C 68C 10155．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为________． 解析 因为P (X ＝n )＝a n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝a⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45a . ∴4a 5＝1，则a ＝54. 则P ⎝⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 2＋a 6＝23a ＝56. 答案 566．(·西安质检)已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析 设X 取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，137．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________. 解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n . 所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.答案 108．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________． 解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35.∴随机变量X 的分布列为答案二、解答题9．(·长沙调研)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．解 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为10.(·重庆卷)奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望E(X)．解设A i(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，B j(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则A i与B j独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝C13C24C37＝1835.(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C33C37·13＝1105；P(X＝50)＝P(A3B)＝P(A3)P(B0)＝C33C37·23＝2105，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝C23C14C37·13＝435，P(X＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知，获奖金额X的分布列为从而有E(X)＝0×67＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·兰州模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于________．解P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－C14C22C36＝45.答案4 52．设随机变量X的概率分布列如下表所示：F(x)＝P(X≤x)，则当x F(x)等于________．解∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.答案5 63．(·青岛调研)为质检某产品的质量，现抽取5件，测量产品中微量元素x，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为________．解析5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23C25＝0.3，P(X＝1)＝C13·C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C22C25＝0.1.∴优等品数X的分布列为答案二、解答题4．(·广州质检)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X，求X的分布列与数学期望．解(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.因此X可能取0,1,2三个值．P(X＝0)＝C29C212＝611，P(X＝1)＝C19·C13C212＝922，P(X＝2)＝C23C212＝122.X的分布列为X 01 2P611922122故E(X)＝0×611＋1×922＋2×22＝2.。