高中数学——随机变量及其分布章末归纳总结
2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点(含答案)
解 (1)设乙厂生产的产品为 m 件，依题意得14＝ 5 ， 98 m
∴m＝35．
(2)∵上述样本数据中满足 x≥175 且 y≥75 的只有 2 件，
∴估计乙厂生产的优质品为 35×2＝14(件)． 5
(3)依题意，ξ可取 0,1,2，
则 P(ξ＝0)＝C33＝ 1 ，P(ξ＝1)＝C23C12＝ 6 ，
AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nAB． nA
例 3．(2019·山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个
数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
A．1 8
B．1 4
C．2 5
D．1 2
【答案】B
解 由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ 7 ＋ 1 ＝ 8 ． 15 15 15
[变式探究 2] 若本例中的 X 表示取到的粽子的种类，求 X 的分布列．
解 由题意知 X 的所有可能值为 1,2,3，且
P(X＝1)＝C33＋C35＝1＋10＝ 11 ，
C310
＝2×3×
1－1 3
＋2×
1－3 4
×1＋
1－2 5
×3×1＝23．
54
5
3
4 3 60
3 人中只有 1 人被选中的概率
P3 ＝ P(A －B
－C ∪ －A B －C ∪ －A
－B C) ＝ 2 ×
1－3 4
×
1－1 3
＋
1－2 5
×3×
1－1 3
＋
5
4
1－2 5
×
第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第七章随机变量及其分布列章末总结-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
=
=
2
.
3
=
4
,
15
典例分析
(2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每
次取球互不影响,
6
3
所以第 1 次取出的是白球,第 3 次取到黑球的概率为10 = 5.
4
2
2
(3)依题意,每次取到白球的概率为10 = 5,且每次互不影响,故ξ~B 3, 5 ,
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解: 设“第1次抽到理科题”为事件 A ，“第2次抽到理科题”为事件 B ，则“第1次和第2次都抽
这时称 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)．
当 X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
要点四 超几何分布
(1) 若随机变量 X 服从超几何分布，则满足如下条件：
①该试验是不放回地抽取 n 次；
②随机变量 X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有 N 件产品，其中次品的件数分别为 M，(M≤N)，从中任取 n(n≤N)
<
>
/m
<
>
/m
<
典例分析
（2）因为 n(AB) =
>
m
<
A23
= 6 ，所以 P(AB) =
>
/m
<
>
m
高中数学《第二章随机变量及其分布小结》136PPT课件
休假次数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
（１）从该单位任选两名职工，用 表示这两人休年假次数之和，记“函数
f (x) x2 x 1 在区间 (4 ，6) 上有且只有一个零点”为事件 A ，求事件 A 发生的概率 P ； （２）从该单位任选两名职工，用 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求
随机变量 的分布列及数学期望 E .
C
n N
,k
0,1, 2,L
,m
其中m min{M, n}，且 n N , M N , n, M , N N ．
称分布列
X
0
P
C0M CnN M CnN
1
C C 1 n1 M NM CnN
…
m
…
C C m nm M NM CnN
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何 分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 （ hypergeometriC distribution ) .
注 意：区别互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对 另一个事件发生的概率没有影响.
3．两个相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立 ，那么 A 与 B ，A 与 B ，A 与 B 也 是 相 互 独 立.
4．相互独立事件同时发生的概率的计 算公式:
（I）该合唱团学生参加活动 的人均次数为
1 10
2 50 100
3
40
230 100
2.3
参加人数
50 40 30 20 10
活动次数
1
2
3
随机变量及其分布章末复习
)
已知随机变量 P( 1)
N (1, 4)，(0.5) 0.6915, 则 , P( 0) .
1 3 1．已知 P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，P(AB)＝( 2 5 5 A. 6 3 C. 10 9 B. 10 1 D. 10
变量可能取的每一个值，以及取每一个值所表示的意义．
离散型随机变量的期望与方差试题，主要考查观察问题、
分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集、处理 信息的能力．主要题型： (1)离散型随机变量分布列的判断； (2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差； (3) 根据离散型随机变量的分布列、期望与方差的性质求参 数．
(1) 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2) 求这三人该课程考核都合格的概率． ( 结果保留三位小
数)．
解析：
件；
记“甲理论考核合格”为事件A1，记为A1的对立事
记“乙理论考核合格”为事件A2，记为A2的对立事件； 记“丙理论考核合格”为事件A3，记为A3的对立事件； 记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事 件B2，“丙实验考核合格”为事件B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格 ”为事件C，记为C的对
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保 险公司缴纳每辆 900 元的保险金，对在一年内发生此种事故 的每辆汽车， 单位可获 9 000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔 1 偿一次)， 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 ， 9 1 1 ， ，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在 10 11 此保险中： (1)获赔的概率； (2)获赔金额 ξ 的分布列．
第七章 随机变量及其分布【章末复习】高二数学单元复习(人教A版2019选择性必修第三册)
10
1 P(C|A)＝PPAAC＝310＝13.
10
2 重点题型
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59. ∴所求概率为59. 方法二 ∵n(A)＝1×C19＝9， n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5，
∴P(B∪C|A)＝59. ∴所求的条件概率为59.
跟踪训练3 某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、 特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐 橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分 类标准得到的数据如表：
等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10
(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中 随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均 值E(ξ)；
解 用分层随机抽样的方法从这 50 箱脐橙中抽取 10 箱，特级品的箱数
为 10×5105＝3， 非特级品的箱数为10－3＝7，ξ的取值为0,1,2,3. 则 P(ξ＝0)＝CC03C31037＝274，P(ξ＝1)＝CC13C31027＝2410， P(ξ＝2)＝CC23C31017＝470，P(ξ＝3)＝CC33C31007＝1120，
当 a＝38 时，X＝38×6＝228，P＝550＝110； 当 a＝39 时，X＝39×6＝234，P＝1500＝15； 当 a＝40 时，X＝40×6＝240，P＝1500＝15； 当 a＝41 时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝2500＝25； 当 a＝42 时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝550＝110，
品牌
甲Leabharlann 乙其他市场占有率
第七章 随机变量及其分布(章末小结课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
（2）小红和小明在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1， ， ， 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明谁的盈利多？请说明理由.
方法总结 求离散型随机变量的均值、方差的步骤： 明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； 求出随机变量取各个值的概率； 列出分布列； 用期望、方差公式求解； 标准差代入公式 求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养.
题型7 正态分布
例7 某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是( ).
方法总结 正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向 ， ， 这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率.解题过程渗透了直观想象、数学运算以及数据分析的素养.
高尔顿与高尔顿板
一、高尔顿简介
弗朗西斯·高尔顿（ ， —1911）是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟，虽然不像达尔文那样声名显赫，但也不是无名之辈.并且，高尔顿幼年是神童，长大是才子，九十年的人生丰富多彩，是个名副其实的博学家.他涉猎范围广泛，研究水平颇深，纵观科学史，在同辈学者中能望其项背之人寥寥可数.他涉足的领域包括天文、地理、气象、机械、物理、统计、生物、遗传、医学、生理、心理等，还有与社会有关的人类学、民族学、教育学、宗教学，以及优生学、指纹学、照相术、登山术等等.
随机变量及其分布知识点总结资料讲解.doc
圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机 量的分布列一 般 地 ， 离 散 型 随 机 量 X 可 能 取 的x 1 , x 2 , , x i ,, x n ， X 取 每 一 个 x i (i1,2, , n) 的 概 率P( Xx i ) p i ， 称以下表格Xx 1 x 2 ⋯ x i ⋯ x n Pp 1p 2⋯p i⋯p n随机 量 X 的概率分布列， 称X 的分布列 .离散型随机 量的分布列具有下述两个性 ：（ 1） P i ≥ 0, i1,2, , n （ 2） p 1 p 2 p n 11．两点分布如果随机 量X 的分布列X1P 1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率 .2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的 N 件 品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品， 事件X k 生的概率 ：P( X k ) C M k C N n k M , k 0,1,2,3,..., mC nN 随机 量 X 的概率分布列如下：X1 ⋯ mPC M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1M⋯C M m C N n m MC N nC N nC N n其中 mmin M , n , 且nN , M N , n, M , N N * 。
注：超几何分布的模型是不放回抽 二、条件概率一般地， A,B 两个事件 , 且 P( A)0 ,称P(B | A)P( AB )在事件 A 生的条件下 , 事件 B 生的条件概率 .P( A)0≤ P(B | A) ≤ 1如果 B 和 C 互斥，那么 P[( B U C ) | A] P( B | A) P(C | A)三、 相互独立事件A ，B 两个事件， 如果事件 A 是否 生 事件 B 生的概率没有影响( 即 P( AB) P( A)P( B) ), 称事件 A 与事件B 相互独立。
即 A 、 B 相互独立P( AB) P( A) P(B)一般地，如果事件A ,A , ⋯,A n 两两相互独立，那么n 个事件同 生的概率，等于每个事件 生的概率的 ，12即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 ) P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、 n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验中，记A i是“第i次试验的结果” ，显然， P( A1 A2A n ) P( A1 )P( A2 )P( A n )“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：一般地，在 n次独立重复中，事件 A生的次数 X，在每次中事件 A生的概率 p，那么在 n次独立重复中，事件 A 恰好生 k次的概率P( X k ) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q 1 p) ，而称p为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p，则P( X k ) C n k p k (1 p)n k， k 0,1,2, ,nX01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ~ B(n, p) ，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 E( X ) x1 p1 x2 p2x i p i x n p n为X 的数学期望或均值，简称为期望 . 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y 也是变量Y ax1 b ax2 b ⋯ax i b ⋯ax n bP p1 p2⋯p ⋯pi n则 EY aE( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1 p 0 (1 p)p 3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 DX ( x1 E (X )) 2 p1 ( x2 E( X )) 2 p2 (x n E ( X 并称DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X ) p(1 p)2．若X ~ B(n, p)，则D ( X )np(1 p)3．D ( aX b)a2 D ( X )即若 X 服从两点分布，则E( X )p。
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(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
我们已学过的几种典型事件有：古典概型、几何概型、 互斥事件、相互独立事件、独立重复试验，求解这些事件 的概率是概率中常见的题型，也是高考中必考查的内容之
次射击，此人恰有两次击中目标的概率为 ( 81 A. 125 36 C.125
[答案] B
)
54 B. 125 27 D.125
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
2 恰有两次击中目标的概率为 C3 ×(0.6)2×(1－
54 0.6)＝125， 所以选 B.独立重复试验的概率是高考考查的热 点问题，主要出现在选择题和填空题里，有时也会出现在 解答题中，因此我们必须熟练地掌握解决这类问题的基本 方法．
(选修2-3)
[解析]
记 Ai 表示事件：电流能通过 Ti，i＝1,2,3,4，
A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． － － (1)－ A ＝－ A 1· A 2· A 3，A1，A2，A3 相互独立， － － P(－ A )＝P(－ A 1· A 2· A 3)＝P(－ A 1)P(－ A 2)P(－ A 3)＝(1－p)3. 又 P(－ A )＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.
人 教 A 版 数 学
(1)求p； (2)求电流能在M与N之间通过的概率．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[分析] 本题考查相互独立事件、互斥事件的概率求
法．第1问利用对立事件求三个元件均不通电流的概率即可， 第2问转化为互斥事件的概率，利用加法公式求解．
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
)
人 教 A 版 数 学
[答案] D
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析] 从 100 个球中任取 10 个球的方法有 C10 100种，
4 从 100 个球中取 10 个球，恰有 6 个红球的方法有 C6 · C 80 20. 4 C6 C 80 20 所以其概率为 C10 ，故选 D.以概率为背景，实则考查两 100
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
求离散型随机变量的均值与方差是高考考查的重点内 容之一，一定要熟练掌握．求离散型随机变量的均值与方 差的一般步骤是：先列出随机变量X的分布列，再代入均值
人 教 A 版 数 学
与方差的公式计算，另外还要熟记特殊分布(两点分布及二
项分布)的均值与方差的计算公式
人 教 A 版 数 学
一．解决概率问题的基本步骤是：
第一步：确定事件的性质．古典概型、互斥事件、独 立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件的某 一类． 第二步：判断事件的运算，和事件、积事件，确定事
件有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘公式．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
第三步：运用公式求概率． m 古典概型： P(A) ＝ . 互斥事件： P(A∪B) ＝ P(A) ＋ n P(B)． P(AB) 条件概率：P(B|A)＝ P(A) . 独立事件：P(AB)＝P(A)P(B)．
人 教 A 版 数 学
个计数原理， 排列组合的基本知识和基本方法是高考的热 点题型，不过这类问题的难度不大，只要掌握古典概型成 比例的求概率的基本思想方法， 并能灵活地运用排列组合 的思想方法即可解决问题．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例 2]
某人射击一次击中目标的概率为 0.6，经过 3
k n k n 次独立重复试验：Pn(k)＝Ck . np (1－p)
－
人 教 A 版 数 学
说明：概率问题常与排列、组合知识相结合．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例 1]
设袋中有 80 个红球，20 个白球，若从袋中任
取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为 (
6 C4 C 80 100 A. 10 C100 4 6 C80 C20 C. C10 100 4 C6 C 80 10 B. 10 C100 6 4 C80 C20 D. C10 100
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例4]
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，
黄、白乒乓球的数量的比为 s： t. 现从箱中每次任意取出一 个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其 放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数 最多不超过n次，以X表示取球结束时已取到白球的次数．
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3如图，由M到N的电路中
有4个元件，分别标为 T1 ， T2 ，T3 ， T4 ，电流能通过 T1 ， T2 ， T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过 各元件相互独立．已知 T1 ， T2 ， T3 中至少有一个能通过电 流的概率为0.999.
人 教 A 版 数 学
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
－ (2)B＝A4＋－ A 4· A1· A3＋－ A 4· A 1· A2· A3， － P(B)＝P(A4＋－ A 4· A1· A3＋－ A 4· A 1· A2· A3) － ＝P(A4)＋P(－ A 4· A1· A3)＋P(－ A 4· A 1· A2· A3) ＝P(A4)＋P(－ A 4)P(A1)P(A3)＋P(－ A 4)P(－ A 1)P(A2)P(A3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.9891.
人 教 A 版 数 学
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
(1)X 的可能取值为 0,1,2，…，n.
X 的分布列如下表： X 0 1 2 … n－ 1 n