高中数学选修2-3第二章_随机变量及其分布学案1_2_3

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高中数学第二章随机变量及其分布学案新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

二随机变量及其分布1．条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．3．二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．4．均值与方差的性质(1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．(3)D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2.5．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7.(2)P(μ－2σ<X≤ μ＋2σ)≈0.954 5.(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.1．求分布列时要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．2．要注意识别独立重复试验和二项分布．3．在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意D(aX＋b)≠a D(X)＋b，D(aX＋b)≠a D(X)．4．易忽略判断随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．主题1 条件概率口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？【解】记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球．(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P (AB )＝4×36×5＝25. (3)利用条件概率的计算公式，可得 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝2523＝35.条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P （AB ）P （B ）⎝ ⎛⎭⎪⎫或P （B |A ）＝P （AB ）P （A ）求解． (2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n （AB ）n （A ）求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110B.15C.25D.12解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.主题2 相互独立事件的概率与二项分布为了解某校今年高三毕业班报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，其中第2组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选3人，设X 表示体重超过60 kg 的学生人数，求X 的分布列．【解】 (1)设该校报考飞行员的人数为n ，前三个小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝2p 1，p 3＝3p 1，p 1＋p 2＋p 3＋（0.037＋0.013）×5＝1，解得p 1＝0.125，p 2＝0.25，p 3＝0.375.又p 2＝0.25＝12n，解得n ＝48，所以该校报考飞行员的总人数为48.(2)由(1)可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60 kg 的概率为P ＝1－(0.125＋0.25)＝58，依题意有X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，58，故P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫58k·⎝ ⎛⎭⎪⎫383－k，k ＝0，1，2，3.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P27512 135512 225512 125512求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P (A B)＝P (A )P (B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P (A ＋B)＝1－P (A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{}甲组研发新产品成功，F ＝{}乙组研发新产品成功，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{}至少有一种新产品研发成功，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (EF )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (EF )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (EF )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为X 0 100 120 220 P2151541525数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.主题3 离散型随机变量的均值与方差(2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解】 (1)由题意知，X 所有可能取值为200，300，500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4. 因此X 的分布列为X 200 300 500 P0.20.40.4(2)200瓶，因此只需考虑200≤n ≤500. 当200≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n .因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n . 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．求离散型随机变量的期望与方差的步骤一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字)．(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E (ξ)，D (ξ)．解：(1)由已知，随机变量η的取值为：2，3，4，5，6. 投掷一次正方体骰子所得点数为X ，则P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝13，P (X ＝3)＝12，即P (η＝2)＝16×16＝136，P (η＝3)＝2×16×13＝19， P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518， P (η＝5)＝2×13×12＝13，P (η＝6)＝12×12＝14.故η的分布列为P 2 3 4 5 6 η136195181314(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14，因为随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14，所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.主题4 正态分布设X ～N (10，1)．(1)证明：P (1<X <2)＝P (18<X <19)； (2)设P (X ≤2)＝a ，求P (10<X <18)．【解】 (1)因为X ～N (10，1)，所以，正态曲线φμ，σ(x )关于直线x ＝10对称，而区间(1，2)和(18，19)关于直线x ＝10对称，所以⎠⎛12φμ，σ(x )d x ＝⎠⎛1819φμ，σ(x )d x ，即P (1<X <2)＝P (18<X <19)．(2)因为P (X ≤2)＋P (2<X ≤10)＋P (10<X <18)＋P (X ≥18)＝1，P (X ≤2)＝P (X ≥18)＝a ， P (2<X ≤10)＝P (10<X <18)，所以，2a ＋2P (10<X <18)＝1，即P (10<X <18)＝1－2a 2＝12－a .根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点(1)正态曲线与x 轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x ＝μ对称，则正态曲线在对称轴x ＝μ的左右两侧与x 轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P (X ≥μ＋c )＝P (X ≤μ－c )(c >0)对目标概率进行转化求解．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈95.45%，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈99.73%.) A ．1 193 B ．1 359 C ．2 718D ．3 413解析：选B.对于正态分布N (－1，1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9，所以投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.1359＝1 359., [A 基础达标]1．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.447 B ．0.628 C ．0.954D ．0.997解析：选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)，所以正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ>2)＝0.023，所以P (ξ<－2)＝0.023.所以P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.2．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知，天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400D ．2 600元解析：选B.出海效益的均值为E (X )＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．3．盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B.110C.49D.25解析：选C.A ＝{}第一次取到新球，B ＝{}第二次取到新球，则n (A )＝C 15C 19，n (AB )＝C 15C 14.所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝C 15C 14C 15C 19＝49.4．某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )A ．C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126B ．A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126C ．C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫126解析：选B.根据射手每次射击击中目标的概率是12，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126，恰有两次连续击中目标的概率为A 24C 36，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126·A 24C 36＝A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126. 5．甲命题：若随机变量ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.3，则P (ξ≤4)＝0.7.乙命题：随机变量η～B (n ，p )，且E (η)＝300，D (η)＝200，则p ＝13，则正确的是( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲错误，乙也错误D ．甲正确，乙也正确解析：选D .随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，所以曲线关于ξ＝3对称，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.7，所以甲命题正确；随机变量η～B (n ，p )，且E (η)＝np ＝300，D(η)＝np (1－p )＝200，解得p ＝13，所以乙命题正确．6．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________．解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B (4，35)．则E (X )＝4×35＝125.答案：1257．两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中有35个合格，乙加工了60个，其中有50个合格，令事件A 为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B 为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P (A |B )＝________．解析：由题意知P (B )＝40100，P (AB )＝35100，故P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝3540＝78.答案：788．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23(23)2(13)1＝49.答案：499．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“入市”．若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同)．(1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率．解：(1)三人恰好买同一支股票的概率为P 1＝10×110×110×110＝1100.(2)三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P 2＝10×C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×910＝27100.由(1)知，三人恰好买到同一支股票的概率为P 1＝1100，所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为P ＝P 1＋P 2＝1100＋27100＝725.10．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )．解：(1)ξ的所有可能取值为0，1，2. 依题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15.P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35.P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.所以ξ的分布列为(2)则P (C)＝C 34C 36＝420＝15.所以所求概率为P (C)＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.[B 能力提升]11．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销运动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ )．解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝(1－14－12)×(1－16－23)＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0，40，80，120，160.P (ξ＝0)＝14×16＝124， P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14， P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512， P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14， P (ξ＝160)＝14×16＝124，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×24＋40×4＋80×12＋120×4＋160×24＝80.12．某学校的功能室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N (μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)．求至少两支灯管需要更换的概率．解：(1)因为ξ～N (μ，σ2)，P (ξ≥12)＝0.8，P (ξ≥24)＝0.2，所以P (ξ<12)＝0.2，显然P (ξ<12)＝P (ξ>24)．由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝12＋242＝18，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月．(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B (4，0.2)，故至少两支灯管需要更换的概率P ＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－C 04×0.84－C 14×0.83×0.21≈0.18.13．(选做题)(2017·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a ：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a 、b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？解：(1)按方案a 抽奖一次，获得奖金的概率P ＝C 22C 25＝110.顾客A 只选择方案a 进行抽奖，则其可以按方案a 抽奖三次．此时中奖次数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，110.设所得奖金为w 1元，则E (w 1)＝3×110×30＝9.即顾客A 所获奖金的期望为9元．(2)按方案b 抽奖一次，获得奖金的概率P 1＝C 23C 25＝310.若顾客A 按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次，则由方案a 中奖的次数服从二项分布B 1⎝⎛⎭⎪⎫2，110，由方案b 中奖的次数服从二项分布B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，310，设所得奖金为w 2元，则E (w 2)＝2×110×30＋1×310×15＝10.5.若顾客A 按方案b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2，310.设所得奖金为w 3元，则E (w 3)＝2×310×15＝9.结合(1)可知，E (w 1)＝E (w 3)<E (w 2)．所以顾客A 应该按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次．。

高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布学案1,2,3

⾼中数学选修2-3第⼆章随机变量及其分布学案1,2,3第⼆章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列 2.1.1 离散型随机变量学案编制张永国⽬标定位：1.理解随机变量的意义（难点）2.学会区分离散型随机变量与⾮离散型随机变量（难点）3.理解随机变量所表⽰试验结果的含义，并恰当定义随机变量（重点、易混点）⼀、⾃主学习：随机变量的概念1.定义:在随机实验中,随着________变化⽽变化的__________称为随机变量.2.表⽰:随机变量常⽤字母_____,_____,_____,_____等表⽰. 思考探究:任何随机试验的结果可以⽤实数表⽰吗?离散型随机变量的概念:定义:所有取值可以__________的随机变量,称为离散型随机变量. ⼆、典例剖析:例1.下列变量中哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)2010年5⽉1⽇参观上海世博会的旅客⼈数. (2)2012年伦敦奥运会上中国取得的⾦牌数 (3)某⼈投篮10次投中的次数(4)2012年某天济南⾄北京的动车D36次列车到北京的时间. ⾃主解答:⽅法技巧:例2.写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表⽰的随机试验的结果:(1)通常棉花纤维德长度在(10,60)记⼀根棉花纤维的长度为X,若规定棉花纤维的长度不⼩于25mm 的位优质棉,记变量Y=?≥25 1250纤维长度纤维长度＜;(2)⼀个袋中装有5个⽩球和5个⿊球,从中任取2个,其中所含⽩球的个数ξ⾃主解答:⽅法技巧:例3.指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.(1)⼀个袋中装有4个⽩球和4个⿊球,从中任取3个,其中所含⽩球的个数;(2)郑州⾄武汉的电⽓化铁道线上,每隔50有⼀电线铁塔,从郑州⾄武汉的电⽓化铁道线上将电线铁塔进⾏编号,其中某⼀电线铁塔的编号;(3)江西九江市长江⽔位监测站所测⽔位在(0,29]这⼀范围内变化,该⽔位站所测⽔位.⾃主解答:⽅法技巧:三、⽜⼑⼩试1.抛掷均匀硬币⼀次,随机变量为( )A. 出现正⾯向上的次数B. 出现正⾯向上或反⾯向上的次数C. 掷硬币的次数D. 出现正、反⾯向上次数之和2.10件产品中有4件次品,从中任取2件,可为随机变量的是( )A. 取到产品的件数B. 取到次品的件数C. 取到正品的概率D. 取到次品的概率3.电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某⼈随机打开收⾳机对表,他所等待的时间为η分,则η的所有可能取值为_______,每⼀个可能取值表⽰___________.4.下列变量中是离散型随机变量的是_______.①某⽆线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X;②连续不断射击,⾸次命中⽬标需要的射击次数X;③将⼀个骰⼦掷3次,3次出现的点数之和X.5.袋中装有50个⼤⼩相同的球,其中记上0号的5个,记上n号的有n个(n=1,2,3…,9)现从中任取⼀球,记所取的球的号码是ξ(1)判断ξ是否是离散性随机变量?如果是,ξ取哪些值?如果不是,请说明理由.(2)说明ξ=5表⽰的试验结果.6.⼀个袋中有4个⽩球和3个红球,从中任取2个,则随机变量可能为( )A.所取球的个数B.其中含红球的个数C.所取⽩球与红球的总数D.袋中球的总数7.下列变量中,不是随机变量的是( )A. ⼀射⼿射击⼀次的环数B. ⽔在标准⼤⽓压下沸腾的温度C. 抛掷两枚骰⼦,所得点数之和D. 某电话总机在时间区间(0,t)内收到的呼叫次数8.写出下⾯随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表⽰的随机试验的结果:⼀袋中装有5只同样⼤⼩的球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋中随机取出3只球,被取出的球最⼤号码数ξ.9⼩王参加⼀次⽐赛,⽐赛共设三关,第⼀、⼆关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进⼊下⼀关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过⼀关可⼀次性获胜得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),⼩王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,32,43,54且每个问题回答正确与否相互独⽴,⽤ξ表⽰⼩王所获奖品的价值,写出ξ的所有可能取值.四、学后反思：2.1.2 离散型随机变量的分布列学案编制张永国⽬标定位：1.理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念（重点）2.掌握离散型随机变量分布列的表⽰法和性质（重点）3.理解两点分布和超⼏何分布及其导出过程，并能进⾏简单应⽤（难点）⼀、⾃主学习：离散型随机变量的概率分布列1.定义:若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…x n ,X 取每⼀个值x i (i=1,2,…,n)的概率P(X=x i )=_______,以表格的形式如下,此表称为离散型随机变量X 的概率分布列,P(X=x i )=_______,(i=1,2,…,n)表⽰X 的分布列.或者⽤图象直观表⽰.横坐标是___________,纵坐标为________.2.表⽰:离散型随机变量分布列可以⽤________、________、________表⽰.3.性质:①p i _________,i=1,2,3,…,n; ②∑=ni i p 1=_________.思考探究:1.如何求离散型随机变量在某⼀范围内的概率?2.离散型随机变量的各个可能取值表⽰的事件是什么关系?两点分布与超⼏何分布1.两点分布:若随机变量X 的分布列具有的形式,则称这样的分布列为两点分布列.如果随机变量X 的分布列为两点分布列,就称X 服从两点分布,⽽称p=__________为成功概率.2.超⼏何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{X=k}发⽣的概率为P(X=k )=________________________,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n}且n ≤N, M ≤N,n,M,N ∈N称分布列则称随机变量X 服从超⼏何分布.思考探究：1分布列是两点分布列吗?⼆、典例剖析:例1.⼀袋中装有6个同样⼤⼩的⿊球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X 表⽰取出球的最⼤号码,求X 的分布列. ⾃主解答:⽅法技巧:例2.设随机变量ξ的分布列P(ξ=5k)=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a 的值; (2)求P(ξ≥53)的值;(3)求P(101＜ξ＜107)的值.⾃主解答:⽅法技巧:例3.从某医院的3名医⽣,2名护⼠中随机选派2⼈参加抗震救灾,设其中医⽣的⼈数为X,写出随机变量X 的分布列.⾃主解答:⽅法技巧: 三、⽜⼑⼩试1.⼀盒中放有⼤⼩相同的红⾊,绿⾊,黄⾊三种⼩球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的⼀半,现从该盒中随机取出⼀个球,若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得-1分,试写出从该盒中随机取出⼀球所得分数ξ的分布列.2.设b 和c 分别是先后抛掷⼀枚骰⼦得到的点数,⽤随机变量ξ表⽰⽅程x 2+bx+c=0实根的个数(重根按⼀个计算),求ξ的分布列.3.设X 是⼀个随机变量,其概率分布列是，则q 的值是__________.4.设随机变量ξ的分布是P(ξ=k)=),4,3,2,1()1(=+k k k c其中c 为常数,求P（21＜ξ＜25）的值.5.若离散型随机变量的分布列为试求出常数n,并写出X 的分布列.6.从⼀副不含⼤⼩王的52张扑克牌中任意抽取3张,求⾄少有2张A 的概率(⽤组合数表⽰).７.某项试验的成功率是失败率的2倍,⽤随机变量ξ描述1次试验的成功次数, 则Ｐ(ξ＝１)等于 ( ) Ａ.０Ｂ.21 Ｃ．31 Ｄ．32８.已知离散型随机变量的分布列为则k 的值为＿＿＿＿＿＿．９.某产品４０件,其中有次品３件,现从其中任取３件,求取出的３件产品的次品数X 的分布列．四、学后反思:2.2⼆项分布及其应⽤2.2.1 条件概率学案编制张永国⽬标定位：1.理解条件概率的定义（难点）2.掌握条件概率的两种计算⽅法3.利⽤条件概率公式解决⼀些简单的实际问题条件概率1.定义:⼀般地，设A,B 为两个事件,且P(A)>0,称P(B │A)=_______为在事件A 发⽣的条件下,事件B 发⽣的条件概率;其中P(B │A)读作“A 发⽣的条件下B 发⽣的概率”.2.性质:(1) 0≤P(B │A)≤1;(2)如果B 和C 是两个互斥事件,则P(B ∪C │A)=________+__________. 思考探究:1.P(A │B) =P(B │A)吗?为什么?2 .已知P(B │A)=21, P(AB) =103,则P(A)=________.3. 试探究P(B │A) 与P(A B)的联系.⼆、典例剖析:例1.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第⼀次闭合后出现红灯闪烁的概率是21,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为61,求出第⼀次闭合后出现红灯闪烁的条件下第⼆次闭合后出现红灯闪烁的概率. ⾃主解答:⽅法技巧:例2.已知⼀个盒⼦中有6只节能灯,其中4只是不合格产品,任取两次,每次取⼀只,每⼀次取后不放回,若已知第⼀次取到的节能灯是合格品,求第⼆次取到的也是合格品的概率. ⾃主解答:⽅法技巧:例3.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考⽣⾄少能答对其中4道题即可通过;若⾄少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考⽣能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率. ⾃主解答:⽅法技巧: 四、⽜⼑⼩试:1.抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦所出现的点数的所有可能结果为 ={1,2,3,4,5,6}.记事件A={2,3,5,},B={1,2,4,5,6},则P(A │B)= ( ) A.21 B.51 C.52 D.53 2.根据历年的⽓象资料统计,某地4⽉份刮东风的概率是31,既刮东风⼜下⾬的概率是154,则在4⽉份刮东风的条件下,该地下⾬概率是________.3.⼀个盒⼦内装有4个产品,其中3个⼀等品,1个⼆等品,从中取出两次,每次任取⼀个且不放回,设事件A 为“第⼀次取到的是⼀等品”,事件B 为“第⼆次取到的是⼀等品”,试求条件概率P(B │A).4.若B 与C 是互斥事件且P(B │A)=31, P(C │A)= 21,则P(B ∪C │A)=_________. 5.某种元件⽤满6000⼩时未坏的概率是43,⽤满10000⼩时未坏的概率是21,现有⼀个此种元件,已经⽤过6000⼩时未坏,则它能⽤到10000⼩时的概率为__________.6.下列关系式中,正确的是 ( )A. P(A │B)= P(B │A).B. 0＜P(B │A)＜1.C. P(AB)= P(A)· P(B │A).D. P(A ∩B │A)= P(B).7.四张奖劵中有1张能中奖,现分别由4名同学⽆放回地抽取,若已知第⼀名同学没有抽到中奖奖劵,则最后⼀名同学抽到中奖奖劵的概率是 ( ) A.41 B. 31 C. 21D.1 8.市场上供应的灯泡中,甲⼚产品占70%,⼄⼚产品占30%,甲⼚产品的合格率是95%,⼄⼚的产品合格率是80%,则从市场上买到⼀个是甲⼚⽣产的合格灯泡的概率是 ( ) A.0.665 B.0.56 C. 0.24 D.0.285 9.已知P(A │B)=73,P(AB)= 31则P(B)=________. 10.⼀个家庭中有两个⼩孩,求:(1)该家庭中有⼀个是⼥孩的概率; (2)两个都是⼥孩的概率;(3)已知其中⼀个是⼥孩,另⼀个也是⼥孩的概率.11.某⽣在⼀次⼝试中,共10题供选择,已知该⽣会回答其中的6题,随机从中抽取5题供考⽣回答,答对3题及格,求该考⽣在第⼀题不会答的情况下及格的概率.五、学后总结反思。

高中数学 2.1 随机变量及其概率分布教案苏教版选修2-3-苏教版高中选修2-3数学教案

2.1随机变量及其概率分布教案教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．教学过程一．问题情境在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是 0，1，…，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点？二．学生活动上述现象中的X ，Y ，Z ，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数X ：0X =，表示成活0棵；1X =，表示成活1棵；…… 三．建构数学 1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．如：上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量，0Z =，表示新生婴儿是男婴；1Z =，表示新生婴儿是女婴．例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？解（1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量X 的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量Y 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}．说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为{1}X =，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为{0}X =．(3) 在例1（2）中，也可用{1}Y =，{2}Y =，{3}Y =，{4}Y =分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用{3}Y ≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中{1}X =的概率可以表示为{1}P X ==（） {P 抛一枚硬币， 1}2=正面向上，其中{1}P X =（）常简记为1P X =（）．同理，0P X =1（）=2．这一结果可用表2-1-1来描述．例1（2）中随机变量Y 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．上面的两个表格分别给出了随机变量X ，Y 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．2．随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是1x ，2x ，…，n x ，且()i i P X x p ==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．我们将表2-1-3称为随机变量X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量X 的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1）0i p ≥；（2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=．四．数学运用 1．例题：例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．解由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)P X ==，3(1)P X ==，概率分布表如下．说明：1．本题中，随机变量X 只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X ~0-1分布或X ~两点分布．此处“~”表示“服从”．2．求随机变量X 的分布列的步骤：（1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…；（2）求出相应的概率()i i P X x p ==；（3）列成表格的形式。

高二数学选修2-3：2.1.1-2.1.2离散型随机变量及其分布列学案

§2.1.1§2.1.2离散型随机变量及其分布列学习目标：1．理解随机变量的定义；2．掌握离散型随机变量的定义；3．理解离散型随机变量的分布列的定义．学习重点：随机变量、离散型随机变量的意义；理解离散型随机变量的分布列。

学习难点：对随机变量意义的理解与应用学习方法：尝试、变式、互动一、新知探究新知1：随机变量的定义：随着试验结果变化而变化的变量称为 ,常用字母、、、 …表示．新知2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种，试验结果的范围相当于函数的，随机变量的范围相当于函数的．新知3：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量．新知4：离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ,,,,,21 ，X 取每一个值),,2,1(n i x i =的概率i i．则①分布列表示：②等式表示：新知5：离散型随机变量的分布列具有的性质：（1）；（2）新知6：两点分布列：称X 服从；二、例题配置例1 在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个，其值域是．随机变量0X =表示；4X =表示；3X <表示；“抽出3件以上次品”可用随机变量表示．例2①电灯泡的寿命X 是离散型随机变量吗？②随机变量⎩⎨⎧≥<=小时寿命小时寿命1000,11000,0Y 是一个离散型随机变量吗？例3编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.求随机变量X 的概率分布列；。

人教版高中选修2-3第二章随机变量及其分布课程设计

人教版高中选修2-3第二章随机变量及其分布课程设计1. 课程简介本章主要讲解随机变量的概念及其分布，包括离散型和连续型随机变量，常见的分布如二项分布、正态分布等。

该课程适用于高中选修2-3课程学习，需要学生掌握基本的概率统计方法和数学知识。

2. 教学目标本章课程教学目标如下：•理解随机变量的概念及其特点；•掌握离散型随机变量及其分布，例如二项分布、泊松分布等；•掌握连续型随机变量及其分布，例如正态分布、指数分布等；•学会应用概率统计方法进行问题求解。

3. 教学重点和难点本章课程教学重点和难点如下：•随机变量的概念和特点；•离散型和连续型随机变量的概念和特点；•常见的离散型和连续型随机变量的分布特征和应用。

4. 教学内容及时间安排本章课程教学内容及时间安排如下：教学内容时间安排随机变量的概念和特点 1 课时离散型随机变量及其分布 2 课时连续型随机变量及其分布 2 课时常见随机变量的分布及应用 1 课时5. 教学方法本章课程教学采用以下方法：•讲授：通过讲解理论和解题方法，让学生掌握基本知识和应用能力；•课堂练习：通过课堂练习，帮助学生巩固知识和提高解题能力；•课前预习：督促学生在课前预习，提前掌握相关知识，利于课堂提问和交流。

6. 学生评价方式本章课程学生评价方式包括以下几个方面：•课堂表现：包括听课态度、课堂提问和参与度等；•课后作业：针对每一节课的作业，包括单项选择题、计算题和应用题等；•期中考试：对本章节进行考核，包括知识点的理解和应用能力的检验；•期末考试：对本章节进行复习和总结，综合考核学生的能力。

7. 教学资源本章课程教学资源包括以下几个方面：•人教版高中数学选修2-3教材及相关资料；•草稿纸、笔、计算器等学习工具；•电脑投影仪及相关软件等教学设备。

8. 总结通过本章课程的学习，学生可以理解和掌握随机变量的概念及其分布特征，掌握基本的概率统计方法，并能够应用概率统计方法进行问题求解。

高中数学选修2_3第二章随机变量与分布教学案

第二章随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量第一课时思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例：例1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③ ２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3Pξ<=，则（）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（） A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量2． 1．2离散型随机变量的分布列一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

高中数学第二章随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列教案新人教A版选修2-3

2.1.2离散型随机变量的分布列教学内容分析：教科书引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，即所有随机事件发生的概率，那么如何通过随机变量来刻画这些规律？教科书通过掷骰子实验的例子来展示刻画的方法，并从中概括出离散型随机变量分布列的概念。

学情分析：学生已学习随机变量，具有一定的知识基础教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布；过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要教学重点与难点重点：离散型随机变量的分布列的概念；难点：求简单的离散型随机变量的分布列；教具准备：与教材内容相关的资料。

教学方法：分析法，讨论法，归纳法教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1、在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：(1)取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

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机变量的分布列为
X
0
1
分布列.
-1 0
1
1-2q 试求出常数n,并写出X的
6.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽取3张,求至少有2张A的概率
(用组合数表示).
７.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功
次数,
则Ｐ(ξ＝１)等于 ( )Ａ.０Ｂ. Ｃ．Ｄ．
８.已知离散型随机变量的Ｘ
分布列为
则k的值为＿＿＿＿＿
Ｐ
１２３ … ｎ …
＿．
９.某产品４０件,其中有次品３件,现从其中任取３件,求取出的３件产品
的次品数X的分布列．
自主小结
2.2二项分布及其应用 2.2.1 条件概率学案编制审核 2013年4月
教学目标：
1.理解条件概率的定义（难点） 2.掌握条件概率的两种计算方法
第二章随机变量及其分布
2.1离散型随机变量及其分布列 2.1.1 离散型随机变量学案编制审核 2013年4月
教学目标： 1.理解随机变量的意义（难点） 2.学会区分离散型随机变量与非离散型随机变量（难点） 3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当定义随机变量（重点、易混点）问题导入随机变量的概念 1.定义:在随机实验中,随着________变化而变化的__________称为随机变量. 2.表示:随机变量常用字母_____,_____,_____,_____等表示. 离散型随机变量的概念: 定义:所有取值可以__________的随机变量,称为离散型随机变量. 问题探究离散性随机变量概念例1.下列变量中哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)2010年5月1日参观上海世博会的旅客人数. (2)2012年伦敦奥运会上中国取得的金牌数 (3)某人投篮10次投中的次数 (4)2012年某天济南至北京的动车D36次列车到北京的时间. 自主解答:
问题探究:
一、概念理解 1.P(A│B) =P(B│A)吗? 因为________ 2 .已知P(B│A)=, P(AB) =,则P(A)=________. 3. P(B│A) 与P(A B)的联系. ________ 二、应用举例: 例1.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为,求出第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁的概率. 自主解答:
2.设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程
x+bx+c=0实根的个数(重根按一个计算),求ξ的分布列.
3.设X是一个随机变量,其概率分布列是
，则q的值是__________.
X
4.设随机变量ξ的分布是P(ξ=k)=其中c
为常数,求P（＜ξ＜）的值.
P
P 9n-n 3-8n 5.若离散型随
A. P(A│B)= P(B│A).
B. 0＜P(B│A)＜1.
C. P(AB)= P(A)· P(B│A).
D. P(A∩B│A)= P(B).
7.四张奖劵中有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取,若已知第一
名同学没有抽到中奖奖劵,则最后一名同学抽到中奖奖劵的概率是 ( )
A. B. C. D.1
9小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获胜得价值分别为1000元,3000 元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为且每个问题回答正确与否相互独立,用ξ表示小王所获奖品的价值,写出ξ的所有可能取值.
③将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X.
5.袋中装有50个大小相同的球,其中记上0号的5个,记上n号的有n个
(n=1,2,3…,9)现从中任取一球,记所取的球的号码是ξ(1)判断ξ是否是离散
性随机变量?如果是,ξ取哪些值?如果不是,请说明理由.(2)说明ξ=5表示的
试验结果.
6.一个袋中有4个白球和3个红球,从中任取2个,则随机变量可能为 ( )
)=________________________,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n}且n≤N,
M≤N,n,M,N∈N称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超
几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.
X0
1…
m
P
…
问题探究:
一、概念理解1.求离散型随机变量在某一范围内的概率方法：
方法技巧:
例2.指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由. (1)一个袋中装有4个白球和4个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数; (2)郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号; (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位. 自主解答:
方法技巧:
课堂练习
1.抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为= {1,2,3,4,5,6}.记事件A={2,3,5,},B={1,2,4,5,6},则P(A│B)= ( ) A. B. C. D. 2.根据历年的气象资料统计,某地4月份刮东风的概率是,既刮东风又下雨的概率是,则在4月份刮东风的条件下,该地下雨概率是________. 3.一个盒子内装有4个产品,其中3个一等品,1个二等品,从中取出两次,每次任取一个且不放回,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B│A).
方法技巧:
课堂练习
1.抛掷均匀硬币一次,随机变量为 ( )
A. 出现正面向上的次数
B. 出现正面向上或反面向上的次数
C. 掷硬币的次数
D. 出现正、反面向上次数之和
2.10件产品中有4件次品,从中任取2件,可为随机变量的是 ( )
A. 取到产品的件数 B. 取到次品的件数
C. 取到正品的概率 D. 取到次品的概率
Xx x
x
…
x …
P
…
…
为了表达简单,也用等式.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P(X=x)=_______,(i=1,2,…,n)表示X的分布列.或者用图象直观表示.横坐
标是___________,纵坐标为________.
2.表示:离散型随机变量分布列可以用________、________、________表
示.
3.性质:①p_________,i=1,2,3,…,n; ②=_________.
四、学后反思：
2.1.2 离散型随机变量的分布列学案编制审核 2013年4月
教学目标： 1.理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念（重点） 2.掌握离散型随机变量分布列的表示法和性质（重点） 3.理解两点分布和超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用（难点）问题导学：离散型随机变量的概率分布列 1.定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x,x,…,x,…x,X取每一个值 x (i=1,2,…,n)的概率P(X=x)=_______,以表格的形式如下,此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的__________.
3.电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某人随机打开收音机
对表,他所等待的时间为η分,则η的所有可能取值为_______,每一个可能
取值表示___________.
4.下列变量中是离散型随机变量的是_______.
①某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X;
②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数X;
(2)两个都是女孩的概率;
(3)已知其中一个是女孩,另一个也是女孩
的概率.
11.某生在一次口试中,共10题供选择,已知该生会回答其中的6题,随机从中抽取5题供考生回答,答对3题及格,求该考生在第一题不会答的情况下
及格的概率.
自主小结课后反思
8.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格
率是95%,乙厂的产品合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合
格灯泡的概率是 ( )
A.0.665 B.0.56 C. 0.24 D.0.285
9.已知P(A│B)=,P(AB)= 则P(B)=________.
10.一个家庭中有两个小孩,求: (1)该家庭中有一个是女孩的概率;
方法技巧:
例2.已知一个盒子中有6只节能灯,其中4只是不合格产品,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回,若已知第一次取到的节能灯是合格品,求第二次取到的也是合格品的概率. 自主解答:
方法技巧:
例3.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题即可通过;若至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率. 自主解答:
A.所取球的个数
B.其中含红球的个数
C.所取白球与红球的总数 D.袋中球的总数
7.下列变量中,不是随机变量的是 ( )
A. 一射手射击一次的环数
B. 水在标准大气压下沸腾的温度
C. 抛掷两枚骰子,所得点数之和 D. 某电话总机在时间区间(0,t)内收到的呼叫次数 8.写出下面随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果: 一袋中装有5只同样大小的球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋中随机取出3只球,被取出的球最大号码数ξ.
两点分布与超几何分布
1.两点分布:若随机变量X的分布列具有
的形式
P
p
则称这样的分布列为两点分
X0 1
布列.如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称

高中数学选修2-3第二章_随机变量及其分布学案1_2_3

高中数学 第二章 随机变量及其分布学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案