2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二(下)期中数学试卷(文科)(J)
江苏省无锡市江阴市青阳中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上）1．已知集合A={x|=0}，则集合A的子集的个数为．2．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是．3．已知i为虚数单位，||=2，则正实数a=．4．函数的定义域是；值域是．5．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为（写序号）．6．函数的增区间是．7．若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．8．已知命题p：|x﹣1|＜2和命题q：﹣1＜x＜m+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围．9．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为．10．若f（x）为R上的奇函数，且在（﹣∞，0）内是增函数，又f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为．11．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log8（x+1），则f（﹣2013）+f已知函数f（x）=log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t ∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若为纯虚数（其中m∈R，），求实数m的值．16．设命题p：关于x的函数y=（a﹣1）x为增函数；命题q：不等式﹣x2+2x﹣2≤a对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．若x＞0，y＞0，且x+y＞2，（1），，时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．18．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．19．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．20．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．2017-2018学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上）1．已知集合A={x|=0}，则集合A的子集的个数为2个．【考点】子集与真子集；集合的表示法．【分析】求出集合A中的元素，从而求出集合A的子集的个数即可．【解答】解：由=0，得：，解得：x=2，故A={2}，故A的子集为∅，{2}，共2个，故答案为：2个．2．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是若tanα≠1，则α≠．【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可写出答案．【解答】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则”．故答案为：若tanα≠1，则．3．已知i为虚数单位，||=2，则正实数a=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵==1﹣ai，||=2，∴=2，化为a2=3，a＞0，解得a=．故答案为：．4．函数的定义域是[0，+∞）；值域是[0，1）．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据指数函数y=的性质，只要解不等式1﹣≥0，即可求得定义域；欲求值域，还是要依据指数函数y=的性质求解即可．【解答】解：∵1﹣≥0，∴x≥0，故定义域是[0，+∞）．又＞0，∴1﹣＜1，∴，∴值域是[0，1）故答案为：[0，+∞），[0，1）．5．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为②③①（写序号）．【考点】演绎推理的意义．【分析】由题意，根据三段论的形式“大前提，小前提，结论”直接写出答案即可【解答】解：用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提②矩形的对角线相等，小前提③正方形是矩形，结论①正方形的对角线相等，故答案为：②③①6．函数的增区间是（﹣∞，1）．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的同增异减性确定增区间．【解答】解：的定义域为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）令z=x2﹣3x+2 则原函数可以写为：y=是单调递减函数故原函数的增区间为：（﹣∝，1）故答案为：（﹣∝，1）7．若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为（3，0）．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可．【解答】解：若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则m=2，则函数g（x）=log a（x﹣m）=（其中a＞0，a≠1），令x﹣2=1，解得；x=3，g（x）=0，其图象过定点A的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．8．已知命题p：|x﹣1|＜2和命题q：﹣1＜x＜m+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围（2，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：|x﹣1|＜2，化为﹣2＜x﹣1＜2，解出x的范围．根据p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：命题p：|x﹣1|＜2，化为﹣2＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜3．命题q：﹣1＜x＜m+1，由p是q的充分不必要条件，∴3＜m+1，解得m＞2．则实数m的取值范围（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．9．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为b＞c＞a．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据指数幂和对数的性质进行判断即可．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），∴lnx∈（﹣1，0），则函数f（t）=t lnx，为减函数，∴f（）＞f（e）＞0，即b＞c＞a，故答案为：b＞c＞a；10．若f（x）为R上的奇函数，且在（﹣∞，0）内是增函数，又f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性求出f（2）=0，xf（x）＜0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且满足f（﹣2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是增函数∵xf（x）＜0，∴或根据在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数解得：x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）．11．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log8（x+1），则f（﹣2013）+f当x≥0时，f（x）为周期为4的函数，且f （x）为偶函数，从而可得出f（﹣2013）+f+f（2），而由f（x+2）=﹣f（x）可以得出f（2）=f（0），这样带入x∈[0，2）时的解析式便可求出f（1）+f（2）的值，从而得出答案．【解答】解：f（x）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x+4）]=f（x+4）；∴x≥0时，f（x）是周期为4的函数；又f（x）为偶函数；∴f（﹣2013）+f+f+f（2+503×4）=f（1）+f（2）=f（1）+f（﹣2）=f（1）﹣f（0）=log82﹣log81=．故答案为：．12．已知函数f（x）=log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点；对数函数的值域与最值．【分析】先利用对数函数的图象性质，即“底、真同，对数为正”的特点，将数f（x）=log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0问题转化为在区间上恒成立或在区间上恒成立，通过解决一次不等式恒成立问题即可得解【解答】解：由对数函数的图象性质，f（x）=log a（2x﹣a）＞0⇔或由在区间上恒成立，得即a∈∅由在区间上恒成立，得即a∈故答案为13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作f（x）的图象，从而由f2（x）﹣af（x）=f（x）（f（x）﹣a）=0可得f（x）=a 有三个不同的解，从而结合图象解得．【解答】解：作f（x）的图象如下，，f2（x）﹣af（x）=f（x）（f（x）﹣a）=0，∴f（x）=0或f（x）=a；∵f（x）=0有两个不同的解，故f（x）=a有三个不同的解，故a∈（0，1）；故答案为：（0，1）．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t ∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是﹣1≤a≤1．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），结合图象分析可得4≥4a2；解可得答案．【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，则当x≥a2时，f（x）=x﹣2a2，0≤x≤a2时，f（x）=﹣x，由奇函数对称性，有则当x≤﹣a2时，f（x）=x+2a2，﹣a2≤x≤0时，f（x）=﹣x，图象如图：易得其图象与x轴交点为M（﹣2a2，0），N（2a2，0）因此f（x）在[﹣a2，a2]是减函数，其余区间是增函数．f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），故当﹣2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a2；有﹣2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2；解可得：﹣1≤a≤1；故答案为﹣1≤a≤1．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若为纯虚数（其中m∈R，），求实数m的值．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由得：a2+b2=10．①，又复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上得a=﹣3b．②，由①②联立方程组解得a，b的值，则复数z可求．（2）由利用复数代数形式的乘除运算化简，再由纯虚数的条件得到实部等于零，虚部不等于零即可求出实数m的值．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R，a＞0），由得：a2+b2=10．①又复数（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=（a﹣2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a﹣2b=2a+b即a=﹣3b．②由①②联立方程组，解得或．∵a＞0，∴a=3，b=﹣1．∴z=3﹣i；（2）由，可得==，∵为纯虚数，∴，解得m=﹣5．16．设命题p：关于x的函数y=（a﹣1）x为增函数；命题q：不等式﹣x2+2x﹣2≤a对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一次函数与二次函数的单调性分别化简命题p，q，由命题“p或q”为真，且“p 且q”为假，可得命题p、q一真一假．即可得出．【解答】解：当命题p为真命题时，a＞1．当命题q为真命题时，由﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1，∴a≥﹣1．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．①当p真q假时，则，无解；②当p假q真时，则，得﹣1≤a≤1，∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．17．若x＞0，y＞0，且x+y＞2，（1），，时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．【考点】反证法的应用；归纳推理．【分析】（1）分别代入，计算，即可得出结论；（2）利用反证法，证明即可．【解答】解：（1）当，时，=1+2=3＞2，==1＜2；当时， ==8＞2， =＜2；当时， =＜2， =＜2（2）命题：若x ＞0，y ＞0且x +y ＞2，则，至少有一个小于2．证明：假设≥2，≥2，∵x ＞0，y ＞0，∴1+y ≥2x ，1+x ≥2y ．∴2+x +y ≥2x +2y ，∴x +y ≤2．这与已知x +y ＞2矛盾． 假设不成立．∴和中至少有一个小于2．18．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x 米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升． （1）将y 表示为x 的函数；（1）若x ∈[4，8]，求总用氧量y 的取值范围． 【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x ∈[4，8]可知在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x ＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x ∈[4，8]，所以在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，所以当x=6时，y 取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：．19．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．【考点】幂函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，利用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值范围为（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’20．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；（2）当a＞1时，f（x）在R上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）根据f（1）=，求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．2018年8月2日。
江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题(精编含解析)
1．-2【解析】分析：由为的子集，得到中的所有元素都属于，从而可得，进而可求出的值. 详解：集合，且，，解得，故答案为.点睛：本题主要考查子集的基本定义，属于简单题.2．【解析】分析：利用共轭复数的定义求得，代入，再由复数的乘除运算法则化简可得结果. 详解：，于是可得，故答案为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.4．【解析】分析：利用对数函数的定义域，指数函数的单调性解不等式组即可的得结果.详解：要使函数有意义，则，故答案为.点睛：求定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.5．【解析】分析：利用指数函数的性质判断的范围，利用对数函数的性质判断的范围，结合幂函数的单调性可得结果.详解：由指数函数的性质可得，，，递增，，又由对数函数的性质可得，，故答案为.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．充分不必要【解析】分析：根据分式不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.详解：由得，,可得或，“”是“”的充分不必要条件，故答案为充分不必要.点睛：本题主要考查分式不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将分式不等式充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.8．【解析】二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；观察发现，三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度，则，故答案为. 【方法点睛】本题通过观察维测度与二维测度、二维测度与三维测度之间的关系，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.9．【解析】试题分析：∵二次函数f（x）=x2+mx-1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得考点：二次函数性质10．【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合思想求解可得到结论.详解：点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.11．【解析】分析：根据时，可推导出，由此能求出结果.详解：函数，，故答案为.点睛：本题主要考查分段函数的解析式以及函数周期性的应用，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.13．③【解析】分析：利用条件和函数为奇函数，结合时，，综合考虑函数图像，逐一判断四个结论的真假，可得结论.详解：是定义在上的奇函数，对，均有，，可得函数的周期为，且的图象关于对称，故①错误；无最大值，故②错误；方程的实数根个数等于与y-=图象的交点个数，结合函数图象简图，由图可知轴左边有六个交个，轴右边有四个交个共有个交点，即方程有个实数根，故③正确；当时，，则，当时，不符合，故④错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.14．（2，3]【解析】分析：函数恰有4个零点，等价于的图象与有四个交点，只需，与，，与轴都有两个交点，画出图象，利用数形结合思想求解即可.详解：当时，在上，要使恰有四个零点，则满足，即，解得，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．15．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）且真，则都是真命题，解这两个不等式后取交集即可得到实数的取值范围.（2）是的必要不充分条件，则的范围是的范围的子集，由此得到的取值范围.试题解析：（1）由，得.当时，，即为真命题时，.由得，所以为真时，.若为真，则所以实数的取值范围是.16．（1）或；（2）当时，是偶函数.【解析】分析：（）由可得，根据一元二次不等式的解法，分三种情况讨论求解即可；（2）由是偶函数，可得函数定义域关于原点对称，结合（）可知，；经检验可得结论.详解：（）因为即，当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．当时，不等式的解为，所以函数的定义域为．当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．点睛：本题主要考查分函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.17．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由函数(其中为常数且，）的图象经过点,，知，由此能求出；（2）设，则在上是减函数，故当时，，由此能求出实数的取值范围.学科&网试题解析：（1）由已知可得且且.（2）解：由（1）可得令，只需，易得在为单调减函数，. 18．（1）43.5（万元）；（2）当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.【解析】试题分析：（1）当时，此时甲城市投资万元，乙城市投资万元，即可得到总收益；（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元，得出函数的解析式，进而可求解最大值总收益．试题解析：（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元所以总收益=43.5（万元）令，则所以当，即万元时，的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．点睛：本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案．19．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）⇒，再由f（x）=-1即可求得x的值；（2）由, 在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；（3）作出,的图象，对m分0＜m≤1与1＜m, 三种情况讨论即可求得答案．试题解析：解：(1)由知即∴(3)图象如图当时，当时，当时，综合.20．(1)；(2)；(3)答案见解析.解析：(1)根据题意得：的对称轴是，故在区间递增，因为函数在区间上存在零点，故有，即，故所求实数的范围是；（2）若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域是函数的值域的子集，时，的值域是，下面求，的值域，③时，的值域是，要使，只需，计算得出；综上，的范围是.（3）根据题意得，计算得出，①时，在区间上，最大，最小，，计算得出：或（舍去）；②时，在区间上，最大，最小，，计算得出：；③时，在区间上，最大，最小，，计算得出：或，故此时不存在常数满足题意，综上，存在常数满足题意，或.点睛：本题是道函数综合题目，在判定零点的时候可以运用零点的存在定理求解，当遇到“对任意的，总存在”时候要转化为两个函数值域的包含关系，从而求解。
江苏省江阴四校高二数学下学期期中试题文
2016-2017学年第二学期高二期中考试数学（文科）一、填空题(每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上)． 1、 已知复数z 满足i z i +=-1)1(，则z 的模为____▲______．2、 已知集合{}|47M x x =-≤≤，{}3,5,8N =，则MN =____▲_____．3、 命题“R x ∀∈，220x +>”的否定是_ ▲ 命题．（填“真”或“假”之一）4、 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 ▲ ．5、 已知函数2()2f x x x =-在定义域[1,]n -上的值域为[1,3]-，则实数n 的取值范围 ▲ ．6、 已知数列{}n a 中，2,11≥=n a 时，,121-+=-n a a n n 猜想n a 的表达式是 ▲ ．7、 函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为_______▲__________．8、 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =+-(b 为常数)，则(1)f -的值为 ___▲____．9、 若f (x )为奇函数，且在(-∞，0)上是减函数，又f (-2) = 0，求不等式x ·f (x )＜0的解集为 ▲ ． 10、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是___▲___．11、已知实数a ≠0，函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a ) = f (1＋a )，则a 的值为_▲__．12、设函数f (x )是定义在(-1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f (a – 2) – f (4 – a 2)＜0， 实数a 的取值范围______▲________．13、已知f (x )是定义在R 上函数，且)(1)23(x f x f -=+当x ∈[0，3)时，f (x )=|212|2+-x x ．若函数y = f (x )– a 在区间[–3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围 是__▲___．14 、已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,)(2x ax x ax x x f ，若2121,,x x R x x ≠∈∃使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤).15、设关于x 的不等式x (x －a －1)<0(a ∈R )的解集为M ,不等式x 2－2x －3≤0的解集为N . (1)当a ＝1时，求集合M ； (2)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围．16、设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R ；命题q ：函数2()21f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减．（1）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题p 为真命题时，a 的取值集合为N ．当""N x ∈是""M x ∈的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围．17、己知二次函数f (x ) = ax 2+ bx (a 、b 为常数)满足条件f (x – 3) = f (5 – x )，且方程f (x )= x 有等根．（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ， n (m ＜n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[3m ，3n ]？如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．18、某隧道长2150m ，通过隧道的车辆速度不能超过20s m /．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为40s m /)，匀速通过该隧道，设车队的速度为s xm /，根据安全和车流量的需要，当100≤<x 时，相邻两车之间保持20m 的距离；当2010≤<x 时，相邻两车之间保持m x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31612的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为)(s y ．（1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73)．19、已知函数)(x f y =是定义在[]1,1-上的奇函数，且,1)1(=f 若[]2121,1,1,x x x x ≠-∈，0)()(2121>--x x x f x f .（1）判断函数)(x f 的单调性，并证明； （2）解不等式：)11()21(-<+x f x f ; （3）若12)(2+-≤am m x f 对所有[]1,1-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围.20、已知函数()21,f x x x a x =+-+∈R . （1）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由; （2）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间； （3）求函数()f x 的最小值)(a g .2016-2017学年第二学期高二期中考试数学答案1、12、{}5,33、假4、)1,31(- 5、[]3,1 6、2n a n = 7、)2,1( 8、-3 9、()),2(2,+∞⋃-∞- 10、 []1,0 11、43- 12、)5,2()2,3(⋃ 13、)21,0( 14、)4,(-∞15．解析 (1)当a ＝1时，由已知得x (x －2)<0，解得0<x <2. 所以M ＝{x |0<x <2}----4分(2)由已知得N ＝{x |－1≤x ≤3}． - ---------------------5分 ①当a <－1时，因为a ＋1<0，所以M ＝{x |a ＋1<x <0}因为M ⊆N ，所以－1≤a ＋1<0，所以－2≤a <－1. ． - ----------------------8分 ②当a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ，所以a ＝－1成立． ----------------------10分 ③当a >－1时，因为a ＋1>0，所以M ＝{x |0<x <a ＋1}．因为M ⊆N ，所以0<a ＋1≤3，所以－1<a ≤2. ----------------------13分 综上所述，a 的取值范围是[－2,2] ----------------------14分16、（1）若p 真：22,0<<-<∆a ----------------------2分若q 真：1-≥a ----------------------4分 命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假真假假，真p q q p ∴ ----------------------5分 当p 真q 假，12-<<-a当p 假q 真，2≥a综上： 12-<<-a 或2≥a ----------------------9分 （2）当""N x ∈是""M x ∈的充分不必要条件M N 是∴的真子集 ----------------------11分 ⎩⎨⎧≥-≤-∴225m m （等号不同时取） -------------------13分32≤≤∴m -------------------14分17、（1）由)5()3(x f x f -=-，得对称轴为1=x ，即12=-ab----------------3分 又f (x ) = x 有等根，1=b ， ---------------6分所以解析式为x x x f +-=221)(- --------------7分（2）213,2121)1(2121)(22≤≤+--=+-=n x x x x f --------------9分 61≤<∴n m --------------11分所以函数在[]n m ,上单调递增，n n f m m f ==∴)(,)(--------------13分0,4=-=∴n m --------------14分18、解：（1）当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×(55－1)x ＝3780x(s )； -------------3分当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋(16x 2＋13x )×(55－1)x ＝2700＋9x 2＋18xx--------------6分＝18＋9x ＋2700x(s )．所以y ＝⎩⎨⎧3780x，0＜x ≤10，18＋9x ＋2700x ，10＜x ≤20．------------7分（2）当x ∈(0，10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s )． ------------10分当x ∈(10，20]时，y ＝18＋9x ＋2700x≥18＋29x ⋅2700x＝18＋1803≈329.4(s )．当且仅当9x ＝2700x，即x ＝103≈17.3时取等号．因为17.3∈(10，20]，所以当x ＝17.3m /s 时，y min ＝329.4(s )． ------------14分 因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3m /s 时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4s ． ------------16分19、（1）单调递增 ------------4分（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23------------10分 （3）)(x f 为增函数，所以)(x f 的最大值为1)1(=f 022≥-∴am m 恒成立 令am m a h 2)(2-=⎩⎨⎧≥≥-∴0)1(0)1(h h ------------13分⎩⎨⎧-≤≥≤≥∴2002m m m m 或或 022=-≤≥∴m m m 或或 - -----------16分20、（1）当)(,0x f a =为偶函数 ------------2分 当)()(),()(,0x f x f x f x f a -≠-≠-≠，此时函数为非奇非偶函数--------4分（2）当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥++=++==0,43)21(0,43)21(1)(,0222x x x x x x x f a所以)(x f 的单调增区间是),0(+∞，单调减区间是)0,(-∞ ------------7分 (3)当21-≤a 时，a x ≥时，)(x f 的最小值为a f -=-43)21( a x <时，1)()(2+=>a a f x f而041)1()43(22≤---=+--a a a a 所以)(x f 的最小值为a a g -=43)( ------------10分当21≥a 时，a x ≥时，)(x f 的最小值为1)(2+=a a f a x <时，)(x f 的最小值为43)21(+=a f而041)43()1(22≥+-=+-+a a a a所以)(x f 的最小值为 a a g +=43)( ------------13分当2121<<-a 时， )(x f 的最小值为1)(2+=a a g ------------15分综上所述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-≤-=21,432121,121,43)(2a a a a a a a g ------------16分。
江苏无锡江阴四校高二下学期期中考试数学(文)试卷Word版含答案
所以 ， ，
而 ，
当 时， ;
当 时， ；13分
当 时， ，
这时 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 ；
当 时， ， 在 上单调递增，此时 ；15分
综上所述， 时， 16分
（1）因为 所以有 .10分
（2）因为 ，即 解得 .14分
16.若 真，则 在 上单调递减，
2分
若 真，令 ，
则应满足 5分教育精品
7分
又由已知“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，则应有 真 假，或者 假 真．
① 若 真 假，则 ．10分
② 若 假 真，则 12分
综合①②知，实数 的取值范围为 14分
（2）设 则 ，
由 得
所以点 10分教育精品
所以，绿化带的总长度
14分
当 时， .
所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长. 16分教育精品
19.（1）
4分
6分
（2）方程 在 上有解 ,9分
设 对称轴 .
① 即 ，则 ，无解12分
② 即 ，则 解得 15分
综上 16分教育精品
方法二、分离参数
20．（1）当 时， ，
17.（1） 是定义在 的奇函数， 4分
当m=1时， ， 6分
（2）(方法一：利用导数证明)
, ，
， 在 单调递增10分
(方法二：利用单调性定义证明)
12分
（忘记定义域扣2分）14分
18.（1）因为曲线段OAB过点 ，且最高点为 ，
得 ，
所以，当 时， 4分
因为最后一部分是线段BC， ，当 时，
综上， .8分
（1）求曲线段OABC对应的函数 的解析式；
2017-2018年江苏省无锡市江阴四校高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置.）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于．2．（5分）若z=3﹣2i，则=．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2，那么命题￢p为．4．（5分）函数y=ln（3﹣x）+的定义域是．5．（5分）已知a=（），b=（），c=log3π，则a，b，c的大小关系为．6．（5分）x＞1是的条件．7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是．8．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）．应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V=12πr3，则其四维测度W=．9．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．（5分）若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）＜0的解集为．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=．12．（5分）设函数f（x）=x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是．①f（x）的图象关于x=1对称②f（x）的最大值与最小值之和为2③方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根④当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1 14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）.15．（14分）已知p：实数x，满足x﹣a＜0，q：实数x，满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2时p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=lg[x2+（1﹣a）x﹣a]．（1）求函数f（x）的定义域．（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值．17．（14分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量且a＞0且a≠1）的图象经过点A（l，8），B（3，32）（I）试求a、b的值；（II）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．18．（16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P=3﹣6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q=a+2，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣2a|，a∈R．（1）若a=0，且f（x）=﹣1，求x的值；（2）当a＞0时，若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（3）若a=1，求函数f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置.）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于﹣2．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣22．（5分）若z=3﹣2i，则=+i．【解答】解：z=3﹣2i，=3+2i．则===+i，故答案为：+i，3．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2，那么命题￢p为∃x＞0，x+＜2．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x＞0，x+＜2，故答案为：∃x＞0，x+＜2．4．（5分）函数y=ln（3﹣x）+的定义域是[2，3）．【解答】解：由，解得2≤x＜3．∴函数y=ln（3﹣x）+的定义域是[2，3）．故答案为：[2，3）．5．（5分）已知a=（），b=（），c=log3π，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．【解答】解：∵0＜a=（）＜（）=b=（）＜（）0=1，c=log3π＞log33=1，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．6．（5分）x＞1是的充分不必要条件条件．【解答】解：∵x＞1⇒＜1成立，∴充分性成立；而＜1⇔＜0⇔x＜0或x＞1，即＜1不能推出x＞1，∴必要性不成立；∴x＞1是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：f（x）≤3当x≤1时，f（x）=31﹣x≤3=31，∴1﹣x≤1，解得1≥x≥0，当x＞1时，f（x）=1﹣log3x≤3，∴log3x≥﹣2，恒成立，综上所述满足f（x）≤3的x的取值范围是[0，+∞），故答案为：[0，+∞）8．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）．应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V=12πr3，则其四维测度W=3πr4．【解答】解：二维空间中，圆的面积S=πr2的导数S′=2πr=圆周长L，三维空间中，球的体积导数V′=4πr2=球的表面积S，由此类比，可以求得四维空间中，“特级球”W的导数W′=V=12πr3，所以W=3πr4．故答案为W=3πr4．9．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．10．（5分）若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）＜0的解集为（0，1）∪（﹣3，﹣1）．【解答】解：∵函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴当x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0，（如图）则不等式xf（x+1）＜0等价为或，即或，则或，解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1，故不等式的解集为（0，1）∪（﹣3，﹣1），故答案为：（0，1）∪（﹣3，﹣1）11．（5分）已知函数f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=．【解答】解：x＞0时，f（x）=f（x﹣2），即有f（x+2）=f（x），f（2）=f（0）=1，f（3）=f（1）=f（﹣1）=，f（4）=f（0）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=+1++1+…+=×1008+=，故答案为：．12．（5分）设函数f（x）=x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是[﹣4，]．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x2﹣，有f（﹣x）=（﹣x）2﹣=x2﹣=f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣=x2﹣，其导数f′（x）=2x+＞0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若f（2x）≤f（4﹣x），必有|2x|≤|4﹣x|，即4x2≤x2﹣8x+16，变形可得：3x2+8x﹣16≤0，解可得：﹣4≤x≤，即x的取值范围为；故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是③．①f（x）的图象关于x=1对称②f（x）的最大值与最小值之和为2③方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根④当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，设x∈（﹣1，0]，则﹣x∈[0，1），∴f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴f（x）=﹣2﹣x+1又f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，结合图象可得函数f（x）无对称轴，f（x）的最大值与最小值之和为0，当x＞0时，y=f（x）与y=lg|x|有个交点，当x＜0y=f（x）与y=lg|x|有5个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根；∵当x∈[2，3]时，∴x﹣2∈[0，1），∴f（x﹣2）=2x﹣2﹣1=f（x），∴当x∈[2，3]时，f（x）=2x﹣2﹣1，故④错误，综上所述，正确的为③，故答案为：③14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（2，3]．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1 与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）.15．（14分）已知p：实数x，满足x﹣a＜0，q：实数x，满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2时p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x﹣a＜0，得x＜a．当a=2时，x＜2，即p为真命题时，x ＜2．由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3，所以q为真时，1≤x≤3．若p∧q为真，则1≤x＜2所以实数x的取值范围是[1，2）．（2）设A=（﹣∞，a），B=[1，3]，q是p的充分不必要条件，所以B⊆A，从而a＞3．所以实数a的取值范围是（3，+∞）．16．（14分）已知函数f（x）=lg[x2+（1﹣a）x﹣a]．（1）求函数f（x）的定义域．（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值．【解答】解：（1）因为x2+（1﹣a）x﹣a＞0，即（x+1）（x﹣a）＞0，当a＜﹣1时，不等式的解为x＜a或x＞﹣1，此时，函数f（x）的定义域为{x|x ＜a或x＞﹣1}；当a=﹣1时，不等式的解为x≠﹣1，此时，函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}；当a＞﹣1时，不等式的解为x＜﹣1或x＞a，此时，函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞a}；（2）如果函数f（x）是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，a=1．检验：当a=1时，定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}，关于原点对称，f（x）=lg（x2﹣1），则f（﹣x）=lg[（﹣x）2﹣1]=lg（x2﹣1）=f（x），因此，当a=1时，f（x）是偶函数．17．（14分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量且a＞0且a≠1）的图象经过点A（l，8），B（3，32）（I）试求a、b的值；（II）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=b•a x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），∴，解得a=2，b=4，∴f（x）=4•（2）x=2x+2，（Ⅱ）设g（x）=（）x+（）x=（）x+（）x，y=g（x）在R上是减函数，∴当x≤1时，g（x）min=g（1）=．若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，即m≤．18．（16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P=3﹣6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q=a+2，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【解答】解：（1）当x=50时，在乙城市投资为70万元，∴公司总收益为3+=43.5万元．（2）f（x）=3﹣6+=3﹣x+26（40≤x≤80）．f′（x）=﹣，令f′（x）=0得x=72，∴当40≤x＜72时，f′（x）＞0，当72＜x≤80时，f′（x）＜0，∴f（x）在[40，72]上单调递增，在（72，80]上单调递减，∴当x=72时，f（x）取得最大值．∴该公司在甲城市投资72万元，在乙城市投资48万元，总收益最大．19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣2a|，a∈R．（1）若a=0，且f（x）=﹣1，求x的值；（2）当a＞0时，若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（3）若a=1，求函数f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．【解答】解：（1）由a=0知f（x）=x|x|，又f（x）=﹣1即x|x|=﹣1，∴x=﹣1．（2）f（x）==，∵f（x）在[2，+∞）上是增函数∴2a≤2，即a≤1，∴0＜a≤1．（3）f（x）=，f（x）图象如图当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2﹣m）；当m＞+1时，g（m）=f（m）=m（m﹣2）；综上g（m）=．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。
2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二(下)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置.）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于．2．（5分）若z=3﹣2i，则=．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2，那么命题￢p为．4．（5分）函数y=ln（3﹣x）+的定义域是．5．（5分）已知a=（），b=（），c=log3π，则a，b，c的大小关系为．6．（5分）x＞1是的条件．7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是．8．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）．应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V=12πr3，则其四维测度W=．9．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．（5分）若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）＜0的解集为．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=．12．（5分）设函数f（x）=x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是．①f（x）的图象关于x=1对称②f（x）的最大值与最小值之和为2③方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根④当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1 14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）.15．（14分）已知p：实数x，满足x﹣a＜0，q：实数x，满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2时p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=lg[x2+（1﹣a）x﹣a]．（1）求函数f（x）的定义域．（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值．17．（14分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量且a＞0且a≠1）的图象经过点A（l，8），B（3，32）（I）试求a、b的值；（II）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．18．（16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P=3﹣6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q=a+2，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣2a|，a∈R．（1）若a=0，且f（x）=﹣1，求x的值；（2）当a＞0时，若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（3）若a=1，求函数f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置.）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于﹣2．【分析】由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到a+3=1，即可求出a的值．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2【点评】此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2．（5分）若z=3﹣2i，则=+i．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．【解答】解：z=3﹣2i，=3+2i．则===+i，故答案为：+i，【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2，那么命题￢p为∃x＞0，x+＜2．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x＞0，x+＜2，故答案为：∃x＞0，x+＜2．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）函数y=ln（3﹣x）+的定义域是[2，3）．【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得2≤x＜3．∴函数y=ln（3﹣x）+的定义域是[2，3）．故答案为：[2，3）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．5．（5分）已知a=（），b=（），c=log3π，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得判断a与b与1的关系，根据对数函数的性质可得判断c与1的关系，即可得到所求大小关系．【解答】解：∵0＜a=（）＜（）=b=（）＜（）0=1，c=log3π＞log33=1，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．【点评】本题考查对数值大小的比较，关键在于掌握三类函数的性质并灵活运用之，注意与0与1的比较，属于基础题．6．（5分）x＞1是的充分不必要条件条件．【分析】由充分条件与必要条件的概念即可判断．【解答】解：∵x＞1⇒＜1成立，∴充分性成立；而＜1⇔＜0⇔x＜0或x＞1，即＜1不能推出x＞1，∴必要性不成立；∴x＞1是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，掌握充分条件与必要条件的概念是判断的基础，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是[0，+∞）．【分析】根据分段函数和指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：f（x）≤3当x≤1时，f（x）=31﹣x≤3=31，∴1﹣x≤1，解得1≥x≥0，当x＞1时，f（x）=1﹣log3x≤3，∴log3x≥﹣2，恒成立，综上所述满足f（x）≤3的x的取值范围是[0，+∞），故答案为：[0，+∞）【点评】本题考查了分段函数和不等式的解法，属于基础题．8．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）．应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V=12πr3，则其四维测度W= 3πr4．【分析】本题考查类比推理，和初级求导．二维空间中，圆的面积S=πr2的导数S′=2πr=L，三维空间中，球的体积导数V′=4πr2=S，由此类比，可以求得四维空间中，W的导数W′=V=12πr3，所以V=3πr4．【解答】解：二维空间中，圆的面积S=πr2的导数S′=2πr=圆周长L，三维空间中，球的体积导数V′=4πr2=球的表面积S，由此类比，可以求得四维空间中，“特级球”W的导数W′=V=12πr3，所以W=3πr4．故答案为W=3πr4．【点评】本题考查类比推理，初级求导，属于基础题目．9．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．（5分）若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）＜0的解集为（0，1）∪（﹣3，﹣1）．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴当x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0，（如图）则不等式xf（x+1）＜0等价为或，即或，则或，解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1，故不等式的解集为（0，1）∪（﹣3，﹣1），故答案为：（0，1）∪（﹣3，﹣1）【点评】本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=．【分析】求得f（1）=f（﹣1），f（2）=f（0），由函数的周期性计算可得所求和．【解答】解：x＞0时，f（x）=f（x﹣2），即有f（x+2）=f（x），f（2）=f（0）=1，f（3）=f（1）=f（﹣1）=，f（4）=f（0）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=+1++1+…+=×1008+=，故答案为：．【点评】本题考查函数值的求和，注意运用函数的周期性和分段函数的解析式，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）设函数f（x）=x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是[﹣4，] ．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，进而可以将f（2x）≤f（4﹣x）转化为|2x|≤|4﹣x|，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x2﹣，有f（﹣x）=（﹣x）2﹣=x2﹣=f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣=x2﹣，其导数f′（x）=2x+＞0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若f（2x）≤f（4﹣x），必有|2x|≤|4﹣x|，即4x2≤x2﹣8x+16，变形可得：3x2+8x﹣16≤0，解可得：﹣4≤x≤，即x的取值范围为；故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是③．①f（x）的图象关于x=1对称②f（x）的最大值与最小值之和为2③方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根④当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【分析】根据奇函数的性质求出x∈（﹣1，0]时，函数的解析式，再根据函数的周期性，即可得到函数y=f（x）的图象，再画出y=lg|x|的图象，由图象即可判断．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，设x∈（﹣1，0]，则﹣x∈[0，1），∴f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴f（x）=﹣2﹣x+1又f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，结合图象可得函数f（x）无对称轴，f（x）的最大值与最小值之和为0，当x＞0时，y=f（x）与y=lg|x|有个交点，当x＜0y=f（x）与y=lg|x|有5个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根；∵当x∈[2，3]时，∴x﹣2∈[0，1），∴f（x﹣2）=2x﹣2﹣1=f（x），∴当x∈[2，3]时，f（x）=2x﹣2﹣1，故④错误，综上所述，正确的为③，故答案为：③【点评】本题考查了函数的奇偶性周期性，对称性，以及函数零点的问题，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（2，3] ．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1 与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）.15．（14分）已知p：实数x，满足x﹣a＜0，q：实数x，满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2时p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用不等式的解法、复合命题的真假性质即可得出．（2）设A=（﹣∞，a），B=[1，3]，q是p的充分不必要条件，可得B⊆A，即可得出．【解答】解：（1）由x﹣a＜0，得x＜a．当a=2时，x＜2，即p为真命题时，x ＜2．由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3，所以q为真时，1≤x≤3．若p∧q为真，则1≤x＜2所以实数x的取值范围是[1，2）．（2）设A=（﹣∞，a），B=[1，3]，q是p的充分不必要条件，所以B⊆A，从而a＞3．所以实数a的取值范围是（3，+∞）．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）已知函数f（x）=lg[x2+（1﹣a）x﹣a]．（1）求函数f（x）的定义域．（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值．【分析】（1）由对数的真数大于零得x2+（1﹣a）x﹣a＞0，即（x+1）（x﹣a）＞0，然后对﹣1和a的大小进行分类讨论，求出不等式的解，从而求出函数f（x）的定义域；（2）由函数f（x）为偶函数得函数f（x）的定义域关于原点对称，可求出a的值，并将a的值代入函数f（x）的解析式，利用偶函数的定义验证函数f（x）为偶函数，从而检验a的值是否合乎题意．【解答】解：（1）因为x2+（1﹣a）x﹣a＞0，即（x+1）（x﹣a）＞0，当a＜﹣1时，不等式的解为x＜a或x＞﹣1，此时，函数f（x）的定义域为{x|x ＜a或x＞﹣1}；当a=﹣1时，不等式的解为x≠﹣1，此时，函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}；当a＞﹣1时，不等式的解为x＜﹣1或x＞a，此时，函数f（x）的定义域为{x|x ＜﹣1或x＞a}；（2）如果函数f（x）是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，a=1．检验：当a=1时，定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}，关于原点对称，f（x）=lg（x2﹣1），则f（﹣x）=lg[（﹣x）2﹣1]=lg（x2﹣1）=f（x），因此，当a=1时，f（x）是偶函数．【点评】本题考察函数的定义域的求解以及函数的奇偶性，在求函数的定义域时，关键在于合理进行分类讨论，在考察函数的奇偶性时，关键在于函数奇偶性定义的应用，属于中等题．17．（14分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量且a＞0且a≠1）的图象经过点A（l，8），B（3，32）（I）试求a、b的值；（II）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=b•a x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），得到关于a，b的方程组，由此能求出f（x）．（Ⅱ）设g（x）=（）x+（）x=（）x+（）x，则y=g（x）在R上是减函数，故当x≤1时，g（x）min=g（1）=．由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=b•a x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），∴，解得a=2，b=4，∴f（x）=4•（2）x=2x+2，（Ⅱ）设g（x）=（）x+（）x=（）x+（）x，y=g（x）在R上是减函数，∴当x≤1时，g（x）min=g（1）=．若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，即m≤．【点评】本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．（16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P=3﹣6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q=a+2，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【分析】（1）根据收益公式计算；（2）得出f（x）的解析式，判断f（x）在定义域上的单调性，从而可得f（x）取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案．【解答】解：（1）当x=50时，在乙城市投资为70万元，∴公司总收益为3+=43.5万元．（2）f（x）=3﹣6+=3﹣x+26（40≤x≤80）．f′（x）=﹣，令f′（x）=0得x=72，∴当40≤x＜72时，f′（x）＞0，当72＜x≤80时，f′（x）＜0，∴f（x）在[40，72]上单调递增，在（72，80]上单调递减，∴当x=72时，f（x）取得最大值．∴该公司在甲城市投资72万元，在乙城市投资48万元，总收益最大．【点评】本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣2a|，a∈R．（1）若a=0，且f（x）=﹣1，求x的值；（2）当a＞0时，若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（3）若a=1，求函数f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．【分析】（1）a=0⇒f（x）=x|x|，再由f（x）=﹣1即可求得x的值；（2）由f（x）=在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；（3）作出f（x）=的图象，对m分0＜m≤1与1＜m≤+1及m＞+1三种情况讨论即可求得答案．【解答】解：（1）由a=0知f（x）=x|x|，又f（x）=﹣1即x|x|=﹣1，∴x=﹣1．（2）f（x）==，∵f（x）在[2，+∞）上是增函数∴2a≤2，即a≤1，∴0＜a≤1．（3）f（x）=，f（x）图象如图当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2﹣m）；当m＞+1时，g（m）=f（m）=m（m﹣2）；综上g（m）=．【点评】本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【分析】（1）求出函数的对称轴，得到函数的单调性，解关于a的不等式组，解出即可；（2）只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，通过讨论m=0，m＞0，m＜0的情况，得到函数的单调性，从而确定m的范围即可；（3）通过讨论t的范围，结合函数的单调性以及f（2），f（﹣2）的值，得到关于t的方程，解出即可．【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，集合思想，是一道综合题．。
2017年江苏省江阴四校高二文科下学期数学期中考试试卷
2017年江苏省江阴四校高二文科下学期数学期中考试试卷一、解答题（共5小题；共65分）1. 已知复数满足，则的模为．2. 已知集合，，则．3. 命题“，”的否定是命题．（填“真”或“假”之一）4. 函数的定义域是．5. 已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围．二、填空题（共1小题；共5分）6. 已知数列中，，时，，猜想的表达式是．三、解答题（共3小题；共39分）7. 函数的递减区间为．8. 设函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为．9. 若为奇函数，且在上是减函数，又，求不等式的解集为．四、填空题（共1小题；共5分）10. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是．五、解答题（共3小题；共39分）11. 已知实数，函数若，则的值为．12. 设函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，实数的取值范围是．13. 已知是定义在上的函数，且，当时，，若函数在区间上有个零点（互不相同），则实数的取值范围是．六、填空题（共1小题；共5分）14. 已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是．七、解答题（共6小题；共78分）15. 设关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围．16. 设命题：函数的定义域为；命题：函数在上单调递减．（1）若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为；命题为真命题时，的取值集合为．当“”是“”的充分不必要条件时，求实数的取值范围．17. 己知二次函数（，为常数）满足条件，且方程有两个相等的根．（1）求的解析式；（2）是否存在实数，，使的定义域和值域分别为和?如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由．18. 某隧道长，通过隧道的车速不能超过．一个由辆车身长都为的同一车型组成的车队（这种型号的车能行驶的最高速度为）匀速通过该隧道，设车队的速度为，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持的距离；当时，相邻两车之间保持的距离，自第辆车车头进入隧道至第辆车车尾离开隧道所用的时间为．（1）将表示为的函数；（2）求车队通过隧道所用的时间的最小值及此时车队的速度．19. 已知函数，．（1）若函数的最小值是，且，求的值；（2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围；（3）令，若，又的图象在轴上截得的弦的长度为，且，试确定的符号．20. 已知函数，．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当时，求函数的单调区间；（3）求函数的最小值．答案第一部分1.2.3. 假4.5.第二部分6.第三部分7.8.9.第四部分10.第五部分11.【解析】分类讨论：（）当时，，．这时；；由得，解得，不符合题意，舍去．（）当时，，，这时；，由得，解得．综合（），（）知的值为．12.13.第六部分14.【解析】当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：存在且，使得成立，当，即时，若存在且，使得成立，则，解得：，所以，综上所述：实数的取值范围是．第七部分15. （1）当时，由已知得，解得．所以．（2）由已知得．①当时，因为，所以．因为，所以，所以．②当时，，显然有，所以成立．③当时，因为，所以．因为，所以，所以．综上所述，的取值范围是．16. （1）若真：即函数的定义域为，所以，对恒成立，所以，解得：，若真，则，因为命题“”为真，“”为假，所以真假或假真．或所以或解得：或．（2）由题意得，，因为，，所以解得：．17. （1）由，得对称轴为，即，又因为方程，即有两个相等的根，所以，即，，所以．（2）假设存在实数，，使的定义域和值域分别为和，因为，所以，即，又函数的对称轴为，且开口向下，所以在上单调递增，所以又，所以，，所以存在实数，满足题意．18. （1）由题意知，当时，；当时，．所以（2）当时，在时，；当时，，当且仅当为，即时取等号．因为，所以当时，．因为，所以当车队的速度约为时，车队通过隧道所用的时间有最小值为．19. （1）由已知，，且．解得，，所以，可得出所以．（2）在（1）条件下，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，从而在区间上恒成立．令函数，则函数在区间上是减函数，且其最小值，所以的取值范围为．（3）由，得，因为，所以，设方程的两根为，，则，，所以，因为，所以，所以，因为且，所以，所．20. （1）当时，，此时为偶函数；当时，因为，，所以，，此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）当，，所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）当时，时，的最小值为，时，，而，所以的最小值为．当时，时，的最小值为，时，的最小值为，而，所以的最小值为．当时，的最小值为，综上所述，．。
江苏省江阴市四校高二下学期期中考试化学试题
第一部分选择题（共40分)一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题意，共10小题，每小题2分，满分20分）1．下列各原子或离子的电子排布式错误的是（）A．Na+：1s22s22p6B．F:1s22s22p5C．O2—：1s22s22p4D．Ar:1s22s22p63s23p6【答案】C【解析】试题分析：A、钠离子的核外有10个电子，符合电子排布原理，正确；B、F原子核外有9个电子，符合电子排布原理，正确；C、氧负离子的核外有10个电子,所以2p轨道应排6个电子，错误；D、Ar的核外有18个电子，符合电子排布原理，正确,答案选C.考点：考查粒子的核外电子排布2．以下电子排布式不是基态原子的电子排布式的是( ）A．1s22s1B．1s22s12p1C．1s22s22p63s2D．1s22s22p63s1【答案】B【解析】A．基态原子的电子排布式为1s22s1，符合基态原子电子排布规律，A不选；B．基态原子的电子排布式应为1s22s2,发生电子跃迁为1s22s12p1，所以不是基态原子电子排布式，B选；C．基态原子的电子排布式为1s22s22p63s2,符合基态原子电子排布规律，C 不选；D．基态原子的电子排布式为1s22s22p63s1,符合基态原子电子排布规律，D不选；答案选B。
【点睛】本题考查核外电子排布，明确基态电子排布规律与能量跃迁的关系为解答关键，注意掌握能量最低原理、泡利不相容原理和洪特规则.3．下列关于乙烯(CH2=CH2）的说法不正确的（）A．乙烯分子中2个碳原子都是sp2杂化B．乙烯分子存在非极性键C．乙烯分子中4个H原子在同一平面上D．乙烯分子有6个σ键【答案】D【解析】A．乙烯分子中2个碳原子的价层电子对数为3，所以碳碳双键两端的碳原子采用sp2杂化，A正确；B．同种非金属元素之间存在非极性共价键，不同非金属元素之间存在极性共价键,所以分子存在非极性键，B正确；C．乙烯分子的空间结构为平面形,所以4个H原子在同一平面上，C正确；D．共价单键是σ 键，共价双键中一个是σ键一个是π键，所以乙烯中有5个σ 键，1个π 键，D错误；答案选D.4．下列分子中，既含有σ键又含有π键的是（）A．CH4B．HCl C．CH2=CH2D．F2【答案】C【解析】乙烯分子中含有碳碳双键，碳原子发生sp2杂化，其中碳碳原子之间和碳原子与氢原子之间分别“头对头”重叠形成σ键，由于每个碳原子上均有一个垂直于杂化平面的p轨道，两个p轨道间通过“肩并肩”的重叠方式形成π键，而CH4、HCl、F2中只含有σ键不含有π键，答案选C。
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2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（文科）(J)副标题一、填空题（本大题共14小题，共14.0分）1.已知集合，0，，且，则a等于______．【答案】【解析】解：集合，0，，且，，解得：．故答案为：由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到，即可求出a的值．此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2.若，则______．【答案】【解析】解：，．则，故答案为：，利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知命题p：，，那么命题￢为______．【答案】，【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是：，，故答案为：，．根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.函数的定义域是______．【答案】【解析】解：由，解得．函数的定义域是．故答案为：．由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．5.已知，，，则a，b，c的大小关系为______．【答案】【解析】解：，，．故答案为：．根据指数函数和幂函数的性质可得判断a与b与1的关系，根据对数函数的性质可得判断c与1的关系，即可得到所求大小关系．本题考查对数值大小的比较，关键在于掌握三类函数的性质并灵活运用之，注意与0与1的比较，属于基础题．6.是的______条件．【答案】充分不必要条件【解析】解：成立，充分性成立；而或，即不能推出，必要性不成立；是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．由充分条件与必要条件的概念即可判断．本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，掌握充分条件与必要条件的概念是判断的基础，属于基础题．7.设函数，则满足的x的取值范围是______．【答案】【解析】解：当时，，，解得，当时，，，恒成立，综上所述满足的x的取值范围是，故答案为：根据分段函数和指数函数和对数函数的性质即可求出．本题考查了分段函数和不等式的解法，属于基础题．8.二维空间中，圆的一维测度周长，二维测度面积；三维空间中，球的二维测度表面积，三维测度体积应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度______．【答案】【解析】解：二维空间中，圆的面积的导数圆周长L，三维空间中，球的体积导数球的表面积S，由此类比，可以求得四维空间中，“特级球”W的导数，所以．故答案为．本题考查类比推理，和初级求导．二维空间中，圆的面积的导数，三维空间中，球的体积导数，由此类比，可以求得四维空间中，W的导数，所以．本题考查类比推理，初级求导，属于基础题目．9.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：二次函数的图象开口向上，对于任意，都有成立，，即，解得，故答案为：．由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10.若函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，在上是增函数，且，当或时，，当或时，，如图则不等式等价为或，即或，则或，解得或，故不等式的解集为，故答案为：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11.已知函数，则______．【答案】【解析】解：时，，即有，，，，则，故答案为：．求得，，由函数的周期性计算可得所求和．本题考查函数值的求和，注意运用函数的周期性和分段函数的解析式，考查运算能力，属于基础题．12.设函数，则使成立的x的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，有，则函数为偶函数，当时，，其导数，则函数在上为增函数，若，必有，即，变形可得：，解可得：，即x的取值范围为；故答案为：．根据题意，分析可得函数为偶函数，且在上为增函数，进而可以将转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性．13.已知函数是定义在R上的奇函数，对任意的，均有，当时，，则下列结论正确的是______．的图象关于对称的最大值与最小值之和为2 方程有10个实数根当时，【答案】【解析】解：是定义在R上的奇函数，，又时，，设，则，，又，是以2为周期的函数，画出函数与的图象，如图所示，结合图象可得函数无对称轴，的最大值与最小值之和为0，当时，与有个交点，当与有5个交点，故方程有10个实数根；当时，，，当时，，故错误，综上所述，正确的为，故答案为：根据奇函数的性质求出时，函数的解析式，再根据函数的周期性，即可得到函数的图象，再画出的图象，由图象即可判断．本题考查了函数的奇偶性周期性，对称性，以及函数零点的问题，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．14.已知函数函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意当时，即方程有4个解．又由函数与函数的大致形状可知，直线与函数的左右两支曲线都有两个交点当时，函数的最大值为a，则，同时在上的最小值为，当时，在上，要使恰有4个零点，，解得．则满足，即或故答案为：根据函数和的关系，将转化为，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．二、解答题（本大题共6小题，共6.0分）15.已知p：实数x，满足，q：实数x，满足．若时为真，求实数x的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】解：由，得当时，，即p为真命题时，．由得，所以q为真时，．若为真，则所以实数x的取值范围是．设，，q是p的充分不必要条件，所以，从而．所以实数a的取值范围是．【解析】利用不等式的解法、复合命题的真假性质即可得出．设，，q是p的充分不必要条件，可得，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数．求函数的定义域．若为偶函数，求实数a的值．【答案】解：因为，即，当时，不等式的解为或，此时，函数的定义域为或；当时，不等式的解为，此时，函数的定义域为；当时，不等式的解为或，此时，函数的定义域为或；如果函数是偶函数，则其定义域关于原点对称，由知，．检验：当时，定义域为或，关于原点对称，，则，因此，当时，是偶函数．【解析】由对数的真数大于零得，即，然后对和a的大小进行分类讨论，求出不等式的解，从而求出函数的定义域；由函数为偶函数得函数的定义域关于原点对称，可求出a的值，并将a的值代入函数的解析式，利用偶函数的定义验证函数为偶函数，从而检验a的值是否合乎题意．本题考察函数的定义域的求解以及函数的奇偶性，在求函数的定义域时，关键在于合理进行分类讨论，在考察函数的奇偶性时，关键在于函数奇偶性定义的应用，属于中等题．17.已知函数其中a，b为常量且且的图象经过点，试求a、b的值；若不等式在时恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ函数，其中a，b为常数且，的图象经过点，，，解得，，，Ⅱ设，在R上是减函数，当时，．若不等式在时恒成立，即．【解析】Ⅰ由函数，其中a，b为常数且，的图象经过点，，得到关于a，b的方程组，由此能求出．Ⅱ设，则在R上是减函数，故当时，由此能求出实数m的取值范围．本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入单位：万元满足，乙城市收益Q与投入单位：万元满足，设甲城市的投入为单位：万元，两个城市的总收益为单位：万元．当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【答案】解：当时，在乙城市投资为70万元，公司总收益为万元．．，令得，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值．该公司在甲城市投资72万元，在乙城市投资48万元，总收益最大．【解析】根据收益公式计算；得出的解析式，判断在定义域上的单调性，从而可得取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案．本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．19.已知函数，．若，且，求x的值；当时，若在上是增函数，求a的取值范围；若，求函数在区间上的最大值．【答案】解：由知，又即，．，在上是增函数，即，．，图象如图当时，；当时，；综上．【解析】，再由即可求得x的值；由在上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a 的取值范围；作出的图象，对m分与及三种情况讨论即可求得答案．本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．20.已知函数，．若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围；若的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．注：区间的长度【答案】解：由题意得：的对称轴是，故在区间递增，函数在区间存在零点，故有，即，解得：，故所求实数a的范围是；若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域是函数的值域的子集，时，，的值域是，下面求，的值域，令，则，，时，是常数，不合题意，舍去；时，的值域是，要使，只需，解得：；时，的值域是，要使，只需，解得：，综上，m的范围是；由题意得，解得：，时，在区间上，最大，最小，，即，解得：或舍去；时，在区间上，最大，最小，，解得：；时，在区间上，最大，最小，，即，解得：或，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，或．【解析】求出函数的对称轴，得到函数的单调性，解关于a的不等式组，解出即可；只需函数的值域是函数的值域的子集，通过讨论，，的情况，得到函数的单调性，从而确定m的范围即可；通过讨论t的范围，结合函数的单调性以及，的值，得到关于t的方程，解出即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，集合思想，是一道综合题．。