江苏省高二上学期期中数学试卷
江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题
江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题一、单选题1．数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A ．(1)32nn -+B ．1(1)23n n --+C ．(1)23nn -+D ．1(1)32n n --+2．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（）A ．3y x =±B ．y =C ．3y x=±D ．13y x=±3．如图，在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ等于（）A ．112233a b c++ B ．112233a b c--C ．112233a b c-++D ．121233a b c-++4．在数列{}n a =，18a =，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．22(1)n a n =+B ．4(1)n a n =+C ．28n a n =D ．4(1)n a n n =+5．已知空间向量3,2a b == ，且2a b ⋅= ，则b 在a 上的投影向量为（）A ．aB ．29aC ．92aD 6．计算1098210223233+⨯+⨯+⋅⋅⋅+=（）A ．111132-B ．111132+C ．1131-D ．1121-7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(3,1)A 在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个动点，且ABF △周长的最小值为4p =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ）A ．⎛ ⎝⎦B ．2]-C ．12⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．1]-二、多选题9．下列结论中正确的是（）A ．若直线l 的方程10x ++=，则直线l 的倾斜角为2π3B ．已知曲线22:2||2||C x y x y +=+（x，y 不全为0），则曲线C 的周长为C ．若直线3260ax y ++=与直线220x a y -+=垂直，则32a =D ．圆22:2410O x y x y ++++=与圆22:1M x y +=的公切线条数为210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S S =，且1(1)n n n S nS ++<()n *∈N ，则（）A ．数列{}n a 为递增数列B ．10S 和11S 均为n S 的最小值C ．存在正整数k ，使得0k S =D ．存在正整数m ，使得3m mS S =11．已知抛物线28y x =（如图），过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线和圆22(2)4x y -+=于A ，C ，D ，B 四点，则（）A ．12OA OB ⋅=-B ．4AC BD ⋅=C ．当直线l1283AB AF ⋅=D ．418AF BF +≥三、填空题12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =.13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的左，右两支于,P Q 两点，若2PQF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为．14．已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且()11222nn n n S S S n +-+=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n 对*n N ∀∈都成立，则实数λ的最小值为.四、解答题15．已知圆C 经过两点()2,2A --，()6,2B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,4P --作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．16．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，{}n b 为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为74，{}n n a b 为等差数列，且其前三项和为9.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n T .17．抛物线22(0)y px p =>被直线23y x =-截得的弦的中点M 的纵坐标为1．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)过抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与拋物线相交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积S 的最小值．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.19．对于*N n ∀∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．(1)已知数列1，2m ，21m +是“K 数列”，求实数m 的取值范围．(2)是否存在首项为−2的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．(3)已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若11n n a b n +=+，试判断数列是否为“K 数列”，并说明理由．。
江苏省无锡市新吴区梅村高级中学空港分校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
江苏省无锡市新吴区梅村高级中学空港分校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．复数2i21i+-的虚部是（）A ．-1B ．1C ．i -D ．i2．直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,23．若椭圆2212y x +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，那么2PF =（）A ．2B ．4CD 4．若复数z 满足3z i +≤（i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为（）A ．3πB ．9πC ．6πD ．18π5．在四面体OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在线段OA 上，且AM ＝2MO ，N为线段BC 的中点，则MN =（）A ．112223a b c+- B ．121232a b c-+C ．111322a b c -++ D ．121332a b c+- 6．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km ，远月点与月球表面距离为400km .已知月球的直径约为3476km ，则该椭圆形轨道的离心率约为A ．125B ．340C ．18D ．357．若直线1y kx =-与曲线y =k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．41,3⎡⎤⎢⎣⎦D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8．如图，在一个45︒的二面角的棱上有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB ，且2,1AB AC ==，BD =CD 的长为（）A ．1B ．2CD ．3二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y yx xy y x x--=--B ．经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=C ．若方程22220x y x y m +-+-=表示圆，则2m >-D ．圆224x y +=上有且只有三点到直线:0l x y -+的距离都等于110．给出下列命题，其中错误的是（）A ．任意向量,,a b c 满足()()a b c a c b⋅⋅=⋅⋅ B ．在空间直角坐标系中，点()2,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()2,4,3---C ．若{},,a b c 是空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一个基底D ．若A BCD -为正四面体，G 为BCD △的重心，则3AG AB AC AD=++uuu r uu u r uuu r uuu r11．已知1F ，2F 是椭圆22:1925x y C +=的两个焦点，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为35B ．存在点A 使得12AF AF ⊥C ．若228AF BF +=，则12AB =D ．12AF F △面积的最大值为12三、填空题12．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若45135α<< ，则k 的取值范围为.13．若方程22171x y m m +=--表示椭圆，则实数m 的取值范围是．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++uu u ruu ur uuu r uuu r ，则点P 到直线AB 的距离为．四、解答题15．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数2i z m =-．（1）若()12i z ⋅-为实数，求m 的值；（2）若z 为复数z 的共轭复数，若复数zz在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，左顶点为A ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)点Q 为椭圆上任意一点，求APQ △的面积的最大值.17．已知点()2,1P --，()2,1Q -，动点M 满足MP MQ=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过点P 作曲线C 的两条切线，求这两条切线的方程．18．如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是60ABC ∠= 的菱形，M 为棱PC 上的动点，且[]()0,1PMPCλλ=∈.（1）求证：BC PC ⊥；（2）试确定λ的值，使得二面角P AD M --19．平面直角坐标系中，圆M 经过点A ，(0,4)B ，(2,2)C .(1)求圆M 的标准方程；(2)设(0,1)D ，过点D 作直线1l ，交圆M 于PQ 两点，PQ 不在y 轴上.（i ）过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；（ii ）设直线OP ，BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.。
2023-2024学年江苏省徐州一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求．1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°2．通过椭圆x 24+y 23=1的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（ ） A ．2√3 B ．3C ．√3D ．63．双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．34．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√303B ．6C ．12D ．7√35．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象．上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB ＝20√10米，上底面直径CD ＝20√2米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（ ）A ．20米B ．10√5米C ．10√3米D ．10米6．若圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2，则k 的值为（ ） A ．12或2B ．34或43C ．2D ．437．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝08．已知F （﹣c ，0）是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x +c 与该椭圆相交于M ，N 两点，O 是坐标原点，P 是线段OF 的中点，线段MN 的中垂线与x 轴的交点在线段PF 上．该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．[√63，1) B ．[√22，1) C ．(0，√63] D ．[√22，√63] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分．9．已知a 为实数，若三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，则a 的值为（ ） A ．83B ．1C ．﹣1D ．﹣410．若方程x 22−t−y 21−t=1所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ）A ．若曲线C 为双曲线，则t ＜1或t ＞2B ．若曲线C 为椭圆，则1＜t ＜2C ．曲线C 可能是圆D ．若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜3211．如图，已知椭圆x 24+y 22=1的左、右顶点分别是A 1，A 2，上顶点为B 1，在椭圆上任取一点C ，连结A 1C 交直线x ＝2于点P ，连结A 2C 交PO 于点M （O 是坐标原点），则下列结论正确的是（ ）A ．k CA 1•k CA 2为定值B ．k A 1P =12k OP C ．OP ⊥A 2CD ．MB 1的最大值为√612．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）A ．若直线l 的斜率为2，则△OAB 的面积为12 B ．|AB |的最小值为4√2C ．1|PA|+1|PB|=√24D ．若M （﹣2，0），则|MA||MB|=|PA||PB|三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22，则S 8＝ ．14．已知直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k ＝ ．15．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点为A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为 ．16．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x ﹣17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上．则该正方形面积的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 5＝a 4+7且a 1+a 10＝20． （1）求{a n }的通项公式；（2）求满足不等式S n ＜3a n ﹣2的n 的值．18．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +m ＝0与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）求满足|PM |＝2|PO |的点P 的轨迹方程． 19．（12分）若椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2﹣y 2＝1有相同的焦点．（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y ＝x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，当△OAB 的面积为√32时，求直线l 的方程．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于不同的两点A ，B ，且|AB |＝4． （1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，过点T （2，0）的直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为k 1，直线NB 斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．22．（12分）已知椭圆C 1：x 24+y 2＝1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2．（1）求圆C 2的标准方程；（2）已知P 为椭圆C 1上任意一点，过点P 作圆C 2的切线分别交椭圆C 1于M 、N 两点，试求三角形PMN 面积的最小值．2023-2024学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求．1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：直线x +√3y +1＝0的斜率k =1√3=−√33， 设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=−√33，∴θ＝150°． 故选：D ． 2．通过椭圆x 24+y 23=1的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（ ） A ．2√3B ．3C ．√3D ．6解：由题设，不妨设过焦点（1，0）且垂直于x 轴的直线l ：x ＝1， 代入椭圆方程得14+y 23=1可得y =±32，故被椭圆截得的弦长等于3．故选：B ． 3．双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．3解：双曲线中，焦点坐标为（±√5，0），渐近线方程为：y =±12x ， ∴双曲线x 24−y 2=1的焦点到渐近线的距离：d =|±√5|√1+4=1． 故选：A ．4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√303B ．6C ．12D ．7√3解：由y 2＝3x 得其焦点F （34，0），准线方程为x =−34．则过抛物线y 2＝3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝tan30°（x −34）=√33（x −34）． 代入抛物线方程，消去y ，得16x 2﹣168x +9＝0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则x 1+x 2=16816=212， 所以|AB |＝x 1+34+x 2+34=34+34+212=12 故选：C ．5．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象．上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB ＝20√10米，上底面直径CD ＝20√2米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（ ）A ．20米B ．10√5米C ．10√3米D ．10米解：建立如图的坐标系，由题意可知D （10√2，20），B （10√10，﹣60）， 设双曲线方程为：x 2a 2−y 2b 2=1，∴{200a 2−400b 2=11000a 2−3600b2=1，解得a 2＝100，b 2＝400，|EF |＝2a ＝20， 故选：A ．6．若圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2，则k 的值为（ ） A ．12或2B ．34或43C ．2D ．43解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +1＝0的圆心C （1，3），半径r =12√4+36−4=3，∵圆上恰有三点到直线y ＝kx 的距离为2， ∴圆心C （1，3）到直线y ＝kx 的距离为1，即d =|k−3|√k +1=1，解得k =43．故选：D ．7．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 由直线l ：2x +y +2＝0，可得直线PM 的斜率为12，直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）． 则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．8．已知F （﹣c ，0）是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x +c 与该椭圆相交于M ，N 两点，O 是坐标原点，P 是线段OF 的中点，线段MN 的中垂线与x 轴的交点在线段PF 上．该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．[√63，1) B ．[√22，1) C ．(0，√63] D ．[√22，√63] 解：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设MN 的中点为B ，与OF 的交点为A ， 联立{y =x +c x 2a2+y 2b2=1，整理可得：（a 2+b 2）x 2+2a 2cx +a 2（c 2﹣b 2）＝0，所以x 1+x 2=−2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b2，y 1+y 2＝x 1+x 2+2c =2b 2c a 2+b2，因为直线MN 的斜率为1，所以线段MN 的中点B （−a 2ca 2+b2，b 2ca 2+b 2）所以由题意可得直线AB 的斜率为﹣1， 所以直线AB 的方程为：y −b 2c a 2+b2=−（x +a 2c a 2+b2）， 将A （x A ，0）的坐标代入可得−b 2ca 2+b2=−（x A +a 2c a 2+b2）， 所以可得x A =b 2c−a 2ca 2+b 2，由﹣c ≤x A ≤−c 2，可得﹣1≤b 2−a 2a 2+b2≤−12， 又b 2＝a 2﹣c 2， 所以可得﹣1≤−c 22a 2−c 2≤−12，e =ca ， 所以可得23≤e 2≤1， 又因为e ∈（0，1），解得：√63≤e ＜1， 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分．9．已知a 为实数，若三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，则a 的值为（ ） A ．83B ．1C ．﹣1D ．﹣4解：联立{2x −y −10=04x +3y −10=0，得x ＝4，y ＝﹣2，即交点（4，﹣2），三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形， 所以直线ax +2y +8＝0过点（4，﹣2）或与已知一条直线平行， 当直线ax +2y +8＝0过点（4，﹣2）是，a ＝﹣1， 当ax +2y +8＝0与4x +3y ﹣10＝0平行时，a =83， 当ax +2y +8＝0与2x ﹣y ﹣10＝0平行时，a ＝﹣4，综上，a ＝﹣1或a ＝﹣4或a =83． 故选：ACD ． 10．若方程x 22−t−y 21−t=1所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ）A ．若曲线C 为双曲线，则t ＜1或t ＞2B ．若曲线C 为椭圆，则1＜t ＜2C ．曲线C 可能是圆D ．若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜32解：对于A ，方程表示双曲线，则（2﹣t ）（1﹣t ）＞0，解得t ＜1或t ＞2，故A 正确； 对于B ，方程表示椭圆，则{2−t ＞0t −1＞02−t ≠t −1，解得1＜t ＜2且t ≠32，故B 错误；对于C ，当t =32时，方程表示圆，故C 正确；对于D ，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则2﹣t ＞t ﹣1＞0，解得1＜t ＜32，故D 正确； 故选：ACD ． 11．如图，已知椭圆x 24+y 22=1的左、右顶点分别是A 1，A 2，上顶点为B 1，在椭圆上任取一点C ，连结A 1C 交直线x ＝2于点P ，连结A 2C 交PO 于点M （O 是坐标原点），则下列结论正确的是（ ）A ．k CA 1•k CA 2为定值B ．k A 1P =12k OP C ．OP ⊥A 2CD ．MB 1的最大值为√6解：椭圆的左右顶点分别A 1（﹣2，0），A 2（2，0），因为点C 在椭圆上，所以设点C 的坐标为(2cosθ，√2sinθ)，θ∈[0，2π]， 对于A ，k CA 1k CA 2=√2sinθ2cosθ+2+√2sinθ2cosθ−2=2sin 2θ4cos 2θ−4=sin 2θ−2sin 2θ=−12，所以A 正确； 对于B ，因为k A 1P =k C A 1=√2sinθ2cosθ+2，所以直线AP 为y =√2sinθ2cosθ+2x +2√2sinθ2cosθ+2，令x ＝2，得y =2√2sinθcosθ+1，所以点P 的坐标为(2，2√2sinθcosθ+1)，所以k OP =√2sinθcosθ+1，所以k A 1P =12k OP ，所以B 正确；对于C ，因为k k A 2=√2sinθ2cosθ−2，所以k CA 2⋅k OP =√2sinθ2cosθ−2⋅√2sinθcosθ+1=2sin 2θ2(cos 2θ−1)=−1，所以OP ⊥A 2C ，所以C 正确；对于D ，直线OP 为y =√2sinθcosθ+1x ，直线A 2C 为y =√2sinθ2cosθ−2x −2√2sinθ2cosθ−2， 由两直线的方程联立方程组，解得x =2(cosθ+1)3−cosθ，y =2√2sinθ3−cosθ，所以点M 的坐标为(2(cosθ+1)3−cosθ，2√2sinθ3−cosθ)， 因为B 1(0，√2)，所以|MB 1|2=4(cosθ+1)2(3−cosθ)2+(2√2sinθ3−cosθ−√2)2，当cosθ=45，sinθ=−35时，|MB 1|2=4(45+1)2(3−45)2+(−2√2×353−45−√2)2=902121＞7，所以D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）A ．若直线l 的斜率为2，则△OAB 的面积为12 B ．|AB |的最小值为4√2C ．1|PA|+1|PB|=√24D ．若M （﹣2，0），则|MA||MB|=|PA||PB|解：A ．抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点， 若直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为y ＝2（x ﹣2），即x =y2+2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x =y2+2y 2=4x，得y 2﹣2y ﹣8＝0，∴y 1+y 2＝2，y 1y 2＝﹣8，∴△OAB 的面积S =12|PO||y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=6，故A 错误； B 和C ．由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x =my +2y 2=4x ，得y 2﹣4my ﹣8＝0，∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣8， ∴|AB|=√(1+m 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+m 2)(16m 2+32)=4√m 4+3m 2+2=4√(m 2+32)2−14≥4√2，当且仅当m ＝0时等号成立，故B 正确；|AP|=√(x 1−2)2+y 12=√[(my 1+2)−2]2+y 12=√1+m 2|y 1|，同理，可得|BP|=√1+m 2|y 2|，则1|AP|+1|BP|=√m 21+√m 22=21√m 2+1|y1y 2|=128√m 2+1=√28√m 2+1=√22√m 2+1≠√24，故C 错误；D .k AM +k BM =y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1(x 2+2)+y 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2my 1y 2+4(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2)=2m×(−8)+4×4m(x 1+2)(x 2+2)=0， 即∠AMP ＝∠BMP ，∴|MA||MB|=|PA||PB|，故D 正确．故选：BD ．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22，则S 8＝ ． 解：S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4，S 4＝22， ∴{a 1+d =44a 1+4×32d =22，解得a 1＝1，d ＝3，则S 8＝8×1+8×72×3=92． 故答案为：92．14．已知直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k ＝ ．解：由（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4可知圆心为C （1，1），半径为2，设直线与圆交于A 、B 两点，又直线y ＝k （x +1）截圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，∴∠ACB ＝120°，∴圆心到直线的距离为半径的一半， ∴√1+k 2=1，解得k ＝0或k =43．故答案为：0或43．15．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点为A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为 ．解：由题意，A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B （c ，b 2a ），C （c ，−b 2a ）， ∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c+a ⋅−b 2a c−a =−1，∴a ＝b ，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故答案为：±1．16．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x ﹣17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上．则该正方形面积的最小值为 ．解：不妨设C ，D 在抛物线上，C （x 1，x 12），D （x 2，x 22）．不妨设x 1＜x 2，∵CD ∥AB ，∴k CD ＝k AB ，∴化为x 1+x 2＝2．①由正方形ABCD 可得|BC |＝|CD |， ∴112√5=√(x 1−x 2)2+(x 12−x 22)2，②①②联立解得x 1＝3或9或﹣1或﹣7．取3或9时，|BC |＝4√5，∴正方形ABCD 的面积S 取得最小值80．故答案为80．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 5＝a 4+7且a 1+a 10＝20．（1）求{a n }的通项公式；（2）求满足不等式S n ＜3a n ﹣2的n 的值．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由a 3+a 5＝a 4+7，得2a 1+5d ＝a 1+3d +7①．由a 1+a 10＝20，得10a 1+45d ＝100②，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1；（2）因为a 1＝1，a n ＝2n ﹣1，所以S n =a 1+a n 2n ＝n 2， 由不等式S n ＜3a n ﹣2，得n 2＜3（2n ﹣1）﹣2，所以n 2﹣6n +5＜0，解得1＜n ＜5，因为n ∈N *，所以n 的值为2，3，4．18．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +m ＝0与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）求满足|PM |＝2|PO |的点P 的轨迹方程．解：（1）圆C 的方程可化为（x +1）2+（y ﹣2）2＝5﹣m ，因为圆C 与y 轴相切，所以5﹣m ＝1，所以m ＝4，即圆心C （﹣1，2），半径为1；（2）设P （x ，y ），则|PM |2＝|PC |2﹣|MC |2＝（x +1）2+（y ﹣2）2﹣1，|PO |2＝x 2+y 2，因为|PM |＝2|PO |，所以|PM |2＝4|PO |2，即（x +1）2+（y ﹣2）2﹣1＝4（x 2+y 2），化简得3x 2+3y 2﹣2x +4y ﹣4＝0，所以点P 的轨迹方程为3x 2+3y 2﹣2x +4y ﹣4＝0．19．（12分）若椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2﹣y 2＝1有相同的焦点．（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y ＝x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，当△OAB 的面积为√32时，求直线l 的方程．解：（1）抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），双曲线x 2﹣y 2＝1的焦点为(±√2，0)，依题意可得，{b =1c =√2，则a 2＝b 2+c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1；（2）根据题意，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆方程，可得{x 2+3y 2=3y =x +m，消去y 并整理可得，4x 2+6mx +3m 2﹣3＝0， 则x 1+x 2=−3m 2，x 1x 2=3m 2−34， 由弦长公式可得，|AB|=√2×√(−3m 2)2−4×3m 2−34=√22⋅√2−3m 2，又点O 到直线AB 的距离为d =|m|1+1=√22|m|， 依题意，令S △AOB =12d|AB|=12×√22×|m|×√22×√2−3m 2=14√−3(m 2−2)2+12=√32，当且仅当m 2＝2，即m =±√2（符合题意）时，△AOB 的面积取得最大值为√32，此时直线l 的方程为y =x ±√2．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于不同的两点A ，B ，且|AB |＝4．（1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标．解：（1）抛物线C 的焦点为F(p 2，0)，由于线段AB ⊥x 轴，且|AB |＝4，所以，点(p 2，±2)在抛物线C 上，将点的坐标代入抛物线C 的方程得2p ⋅p 2=4，即p 2＝4， 由于p ＞0，得p ＝2，因此，抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设直线l 的方程为x ＝my +t ，则直线l 与x 轴的交点为Q （t ，0），设点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则x 1=y 124，x 2=y 224， 将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立{x =my +t y 2=4x，得y 2﹣4my ﹣4t ＝0， 由韦达定理得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4t ，∵OM →⊥ON →，∴OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=y 12y 2216+y 1y 2=(−4t)216−4t =t 2−4t =0， 解得t ＝0或t ＝4．当t ＝0时，直线l 过原点O ，不合乎题意，舍去！所以，t ＝4，因此，直线l 过x 轴上的定点Q ，且点Q 的坐标为（4，0）．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，过点T （2，0）的直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为k 1，直线NB 斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值． 解：（1）∵虚轴长为4，∴2b ＝4，即b ＝2，∵直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线，∴b a=2，∴a ＝1， 故双曲线C 的标准方程为x 2−y 24=1． （2）由题意知，A （﹣1，0），B （1，0），设直线l 的方程为x ＝ny +2，M （x 1，y 1）N （x 2，y 2），联立{x 2−y 24=1x =ny +2，得（4n 2﹣1）y 2+16ny +12＝0，∴y 1+y 2=−16n 4n 2−1，y 1y 2=124n 2−1， ∴ny 1y 2=−34（y 1+y 2），∵直线MA 的斜率k 1=y 1x 1+1，直线NB 的斜率k 2=y2x 2−1， ∴k 1k 2=y 1x 1+1y 2x 2−1=y 1(ny 2+1)y 2(ny 1+3)=ny 1y 2+y 1ny 1y 2+3y 2=−34(y 1+y 2)+y 1−34(y 1+y 2)+3y 2=−13，为定值． 22．（12分）已知椭圆C 1：x 24+y 2＝1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2． （1）求圆C 2的标准方程；（2）已知P 为椭圆C 1上任意一点，过点P 作圆C 2的切线分别交椭圆C 1于M 、N 两点，试求三角形PMN 面积的最小值．解：（1）因为椭圆C 1的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2， 所以A 2（2，0），B 1（0，1），此时直线A 2B 1的方程为x +2y ＝2，而原点O 到直线A 2B 1的距离d =2√5， 可得圆C 2的半径r ＝d =2√5， 则圆C 2的标准方程为x 2+y 2=45；（2）不妨设直线PM 方程为y ＝mx +n ，P （x 1，y 1），M （x 2，y 2）， 因为直线PM 与圆C 2相切，所以原点O 到直线PM 距离d =1√m 2+n 2=2√5，整理得5n 2＝4m 2+4， 联立{y =mx +n x 24+y 2=1，消去y 并整理得（1+4m 2）x 2+8mnx +4n 2﹣4＝0， 此时x 1x 2+y 1y 2=(1+m 2)x 1x 2+mn(x 1+x 2)+n 2=(1+m 2)4n 2−41+4m 2+mn −8mn 1+4m2+n 2=0， 即k OP •k OM ＝﹣1，所以OP ⊥OM ，同理得OP ⊥ON ，则M ，O ，N 三点共线，所以S △PMN ＝2S △OPM ＝|OP |•|OM |，不妨设直线OP 的方程为y ＝k ，将y ＝k 代入椭圆方程中，解得x 2=41+4k 2， 所以OP 2=x 2+y 2=(1+k 2)x 2=4(1+k 2)1+4k 2， 同理得OM 2=4[1+(−1k )2]1+4(−1k )2=4(k 2+1)k 2+4， 则1OP 2+1OM 2=1+4k 24(1+k 2)+k 2+44(1+k 2)=54， 此时54=1OP 2+1OM 2≥2|OP||OM|，解得|OP |•|OM |≥85，则S △PMN ＝|OP |•|OM |≥85，当且仅当|OP|=|OM|=2√105时，等号成立． 故△PMN 面积的最小值为85．。
江苏省扬州市扬州大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
江苏省扬州市扬州大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．直线20240x +=倾斜角是（）A ．0B ．π4C ．π2D ．不存在2．已知圆221612960x y x y +-+-=，则圆心位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知ABC V 的顶点为()0,4A ，()3,2B -，()5,4C ，则BC 边上的中线长为（）A ．4B ．5C ．D ．4．已知圆与直线30x y +-=相切于点()1,2，且圆过点()11,2A ，则圆的半径是（）A ．B ．C ．8D ．95．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点()4,3M ，则此双曲线的离心率是（）A ．53B ．54C ．377D ．76．已知椭圆的焦点坐标分别为1−1,0和21,0，长轴长为4，则直线240x y +-=与椭圆的交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定7．椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，M 是圆O 上动点，M 在y 轴上身影为N ，则满足NP NM λ= （1λ>）的动点P 的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率12e =,则λ=（）A ．2BC ．2D ．38．函数1y x x=+的图象如图，已知此函数的图象是以直线y x =和0x =为渐近线的双曲线，设它的离心率为e ，则2e =（）A B ．C ．4-D ．1二、多选题9．已知点()2,3M 与()0,4N 关于直线l ：0Ax By C ++=对称，则下列说法正确的是（）A ．0AB >B ．直线l 不过第四象限C ．直线l 在两坐标轴上的截距之和大于零D ．直线l 的倾斜角ππ,43α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10．已知曲线C ：22142x y m m +=-+，则（）A ．2m =时，则C 的焦点是(1F ，(20,FB ．当6m =时，则C 的渐近线方程为2y x=±C ．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D ．存在m ，使C 表示圆11．斜率为k 的直线y kx b =+与曲线21x y y +=有公共点，则下列说法正确的是（）A ．最多有4个公共点B ．若1k =，则公共点个数最多为2C ．若2k =-，则实数b 的取值范围是(-∞D ．若2b k =，且有两个公共点，则实数k 的取值范围是⎛- ⎝⎭三、填空题12．已知直线l 与直线1l ：3540x y +-=和2l ：3560x y ++=的距离相等，则l 的方程是.13．某圆拱（圆的一段劣弧）的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是24m ，拱高OP 是4m ，在建造时，每隔2m 需要一个支柱支撑，则支柱22A P 的长度为m.14．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为23，双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>的离心率为32，且它们有公共焦点，P 是它们的一个公共点，若12F PF θ∠=，则cos θ=.四、解答题15．已知点()2,1P ，直线l ：230x y -+=.(1)求过点P 且垂直于l 的直线方程；(2)求过点P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程.五、单选题16．已知圆C 过点()1,1A ，()2,2B -，且圆心C 在直线50x y ++=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点()1,1P --的直线l 被圆截得的线段长度为，求直线l 的方程.六、解答题17．已知椭圆C ：22143x y +=右焦点是F ，动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =.(1)若52PF =，O 为坐标原点，求以PO 为直径的圆的方程；(2)若点P 到直线l 的距离为d ，求证：d PF为定值.18．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）与双曲线22193y x -=有相同的渐近线，与椭圆22162x y +=有相同的焦点，双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C 相交于A ，B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1，求线段AB 的长；(3)若1ABF 的面积是12，求直线AB 的方程.19．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长与焦距相等，且椭圆过点P ⎛- ⎝⎭，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点，且与椭圆交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，射线OM 与椭圆于点C .(1)求椭圆方程；(2)若直线12k =-，求点C 的坐标；(3)是否存在正数k ，使四边形OACB 是平行四边形？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，请说明理由.。
江苏省苏州市2024-2025学年高二上学期期中调研数学试卷含答案
2024~2025学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，则m 的值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案.【详解】因为经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，所以1m ≠，且4221-=-m ，解得2m =.故选：D.2.等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则6a 的值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A 【解析】【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d ，则6a 可求.【详解】设等差数列的公差为d ，则3512610a a a d +=+=，因为12a =，所以1d =，所以615257a a d =+=+=，故选：A.3.已知动点M 与两定点()()0,0,0,3O A 的距离之比为12，则动点M 的轨迹方程为（）A .228120x y x +-+= B.228120x y y +-+=C.22230x y x ++-= D.22230x y y ++-=【答案】D 【解析】【分析】设s ，然后根据题意建立等式化简即可.【详解】设s ，由题可知()222222123043x y x y y x y +=⇒++-=+-故选：D4.在2和8之间插入3个实数,,a x b 使得2,,,,8a x b 成等比数列，则x 的值为（）A.4-B.4-或4C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据等比中项求解即可.【详解】由x 为等比中项可知，22816x =⨯=，又22a x =可知0x >，所以4x =，故选：C5.若两直线()12:220,:3110l x ay l a x ay ++=---=平行，则实数a 的取值集合是（）A.10,6⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.{}0 C.16⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出0a =.【详解】由题意得()2310a a a -+=且()12310a ---≠，解得0a =.故选：B6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S 为定值时272k a a a ++也是定值，则k 的值为（）A.9B.11C.13D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可得15a d +为定值，结合基本量法可求k 的值.【详解】因为11S 为定值且11611S a =，故6a 为定值，故15a d +为定值，其中d 为公差.而()2711242614(7)k a a a a d d k d a k d ++=+++-=++，故当且仅当720k +=即13k =时，272k a a a ++为定值.故选：C.7.已知直线1:20l x y -=与2:30l x y +-=，过点()3,2P 的直线l 被12,l l 截得的线段恰好被点P 平分，则这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为（）A.163B. C.8D.323【答案】A 【解析】【分析】设直线l 与直线12,l l 的两个交点为,A B ，设(,2)A a a ，则(6,42)B a a --，代入直线2:30l x y +-=，即可得点A ，进而可得到直线l 的方程，再求12,l l 交点到l 的距离，利用面积公式计算即可.【详解】设直线l 与直线12,l l 的两个交点为,A B ，且设(,2)A a a ，则由题意可知，点(,2)A a a 关于点()3,2P 的对称点(6,42)B a a --在2l 上，所以64230a a -+--=，解得73a =，所以714(,)33A ，112(,)33B -，所以3AB ==,因为直线l 过点()3,2P ，714(,)33A ，所以直线l 的斜率14234733k -==--，所以直线l 的方程为：()243y x -=--，即4140x y +-=，联立12,l l ：2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12,l l 的交点坐标为()1,2，所以()1,2到直线:l 4140x y +-=的距离为17d ==，所以这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为1316172312S AB d =⨯⨯=⋅=.故选：A.8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11222,,1,,,n n n a n n a a a n n ++-⎧==⎨-⎩为奇数为偶数则18S 的值为（）A.1023B.1461C.1533D.1955【答案】B 【解析】【分析】先判断数列{}2n a 为等比数列，求出其通项公式，再求数列{}21n a -的通项公式，分组求和，可得问题答案.【详解】由题意：2122122a a =+⨯-=，()22122212n n a a n -=+--21244n a n -=+-()2222244n a n n -=--+-⎡⎤⎣⎦222n a -=.所以{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以22nn a =，所以()1212222222n n n a a n n ---=--=-+.所以1317a a a +++= ()()018222212929+++-++++⨯ 92124518=--⨯+439=，2418a a a +++= 129222+++ 10221022=-=.所以1843910221461S =+=.故选：B【点睛】方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知数列是等差数列，是等比数列，*,,,m n p q ∈N .（）A.若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+B.若m n p q a a a a +=+，则m n p q +=+C.若m n p q +=+，则m n p q b b b b =D.若m n p q b b b b =，则m n p q +=+【答案】AC 【解析】【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可.【详解】设等差数列的公差为d ，当m n p q +=+时，()()1111m n a a a m d a n d+=+-++-()()()()1111222211p q a m n d a p q d a p d a q d a a =++-=++-=+-++-=+，故A 正确；当公差0d =时，是常数列，m n p q a a a a +=+，但m n +与p q +不一定相等，故B 不正确；设等比数列的公比为t ，若“m n p q +=+”，则11222211111111m n m n p q p q m n p q b b b t b t b tb t b t b t b b --+-+---=⋅===⋅=，故C 正确；当公比1t =时，是常数列，m n p q b b b b =，但m n +与p q +不一定相等，故D 不正确.故选：AC.10.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.点(),n n a 在同一条直线上B.点(),n n S 在同一条直线上C.点,nS n n⎛⎫⎪⎝⎭在同一条直线上D.点()()11,nk n k n S S ++-（,n k 均为正整数，且k 为常数）在同一条直线上【答案】ACD 【解析】【分析】结合等差数列的通项公式与前n 项和公式，逐一进行判断即可.【详解】对A ：因为()111n a a n d dn a d =+-=+-，0d ≠，所以点(),n n a 都在直线1y dx a d =+-上，故A 正确；对B ：因为()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以点(),n n S 都在二次函数2122d d y x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上，故B 错误；对C ：因为122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线122d d y x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上，故C 正确；对D ：因为()()()()1111112nk n k n k n k S S n ka d ++⋅+-⎡⎤⎣⎦-=++()112nk nk nka d⋅---()()22112k k d ka k d n +=-++，所以点()()11,nk n k n S S ++-都在直线y =()2212k k d ka k dx +-+上，故D 正确.故选：ACD11.已知直线:20l kx y k --+=，圆22:4O x y +=，则（）A.l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4B.若l 与圆O 相交于,A B 两点，且90AOB ∠=︒，则2k =-±C.若圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，则34k >D.若对于两个不同的k 值，l 与圆O 分别相切于点P ，Q ，则PQ 所在直线的方程是240x y +-=【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，根据题意知直线l 的斜率0k <，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式，即可解决；对于B ，由题意得弦长，进而得圆心到直线的距离，即可求解k 的值；对于C ，由题意得圆心到直线的距离01d ≤<，即可求解k 的范围；对于D ，将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题，即可解决.【详解】对于A ，由20kx y k --+=得()21y k x -=-，所以直线过点()1,2，又因为直线l 与坐标轴的正半轴围成的三角形，所以0k <；令0x =，得2y k =-+，令0y =，得21x k=-+，所以直线l 与两坐标轴的正半轴的交点分别为()0,2k -+，21,0k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以直线l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积()12212S k k ⎛⎫=⨯-+-+ ⎪⎝⎭()1442k k ⎡⎤⎛⎫=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1442⎡≥+=⎢⎢⎣；当且仅当4k k-=-，即2k =-时，等号成立，所以三角形面积最小值是4，故A 不正确；对于B ，因为90AOB ∠=︒，所以AB ==，所以12AB =，所以圆心()0,0到直线20kx y k --+=的距离d ==，即=，解得2k =-±B 正确；对于C ，因为圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，所以圆心()0,0到直线20kx y k --+=的距离[)0,1d =，解得34k >，故C 正确；对于D ，因为直线20kx y k --+=恒过点()1,2C ，所以直线PQ 就是经过以()1,2C 为圆心，PC 为半径的圆C 和圆22:4O x y +=的交点所在的直线，OC ==，所以1PC ==，所以圆C 的方程为()()22121x y -+-=，所以直线PQ 的方程为240x y +-=，故D 正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.12.已知()()3,4,5,6A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则a 的值为__________.【答案】2-或54-【解析】【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可.=，即3357a a +=+，解得2a =-或54-.故答案为：2-或54-.13.已知等比数列{}n a 满足6117101,2a a a a +==-，则116a a +=__________.【答案】72-【解析】【分析】利用基本量法可求1a 与公比，故可求116a a +.【详解】设公比为q .因为710611a a a a =，故61161112a a a a +=⎧⎨=-⎩，解得61121a a =⎧⎨=-⎩或者61112a a =-⎧⎨=⎩，若61121a a =⎧⎨=-⎩，则512q =-且1524a q ==-，此时()151167412a a q +=-+=-，若61112a a =-⎧⎨=⎩，则52q =-且15112a q -==，此时()116171822a a +=-=-，故答案为：72-.14.如图，已知点()2,0A ，点B 为圆221:9O x y +=上的动点，若圆222:1O x y +=上存在一点M ，使得AM BM ⊥，则A 的取值范围是__________.【答案】31,31⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】以,MA MB 为邻边，作矩形MADB ，则AB MD =，证明出2222OA OB OM OD +=+，从而得到3OD =D 的轨迹为以O 为圆心，233131MD -≤≤，得到答案.【详解】以,MA MB 为邻边，作矩形MADB ，则AB MD =，由矩形性质可得2222OA OB OM OD +=+，证明如下：设,,AM DB m BM AD n MAO θ====∠=，过点,,M B D 分别为MQ ⊥OA ，BE ⊥OA ，DW ⊥OA ，垂足分别为,,Q E W ，过点M 作MF ⊥BE ，垂足为F ，则sin ,cos ,sin ,cos MQ EF m AQ m AW MF QE n DW BF n θθθθ========，故222222sin OM OQ MQ OQ m θ=+=+，()()222222cos sin cos OD OQ AQ AW DW OQ m n n θθθ=+++=+++2222cos 2cos 2sin 2cos sin OQ m OQm OQn mn n θθθθθ=+++++，所以2222222cos 2sin 2cos sin OM OD OQ m n OQm OQn mn θθθθ+=+++++，()()()()22222sin cos sin OB OQ QE BF EF OQ n n m θθθ=+++=+++22222222sin sin cos 2cos sin sin OQ OQn n n mn m θθθθθθ=+++++，()()222222cos 2cos cos OA OQ AQ OQ m OQ OQm m θθθ=+=+=++，所以2222222cos 2sin 2cos sin OB OA OQ m n OQm OQn mn θθθθ+=+++++，证毕，即2491OD +=+，故212,OD OD ==，点D 的轨迹为以O 为圆心，所以11OD OM MD OD OM =-≤≤+=，左边等号成立的条件为,,O M D 三点共线，且O 在,M D 之间，右边等号成立的条件为,,O M D 三点共线，且M 在,O D 之间，则A 的取值范围是1,1⎡⎤⎣⎦故答案为：1,1⎡⎤-⎣⎦【点睛】关键点点睛：作出辅助线，得到AB MD =，证明出2222OA OB OM OD +=+，从而得到OD =得到D 点轨迹，数形结合进行求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4234,32n n S S a a ==+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）()2323nn T n =-+【解析】【分析】（1）计算出等差数列的首项和公差，从而求得n a .（2）利用错位相减求和法求得n T .【小问1详解】设等差数列的公差为d ，依题意，()()()1111464231312a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪⎨⎡⎤+-=+-+⎪⎣⎦⎩，1121d a a d =⎧⎨=-⎩，解得11,2a d ==，所以21n a n =-.【小问2详解】由（1）得()1212n n b n -=-⋅，所以()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减得()231222212n nn T n -=++++--⨯ ()()1412121212n n n --=+--⨯-()3223n n =--，所以()2323nn T n =-+.16.已知ABC V 的三个顶点是()()()1,5,5,7,3,3A B C ---，求：（1）边BC 上的中线所在直线的方程；（2）边BC 上的高所在直线的方程；（3）ABC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）50x y -=（2）270x y +-=（3）20x y --=【解析】【分析】（1）对于求边BC 上的中线所在直线方程：首先要找到BC 中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程；（2）对于求边BC 上的高所在直线方程：先求BC 边的斜率，根据斜率公式2121y y k x x -=-，高与BC 垂直，两条垂直直线斜率乘积为1-，再利用点斜式求直线方程；（3）对于求ABC ∠的角平分线所在直线方程：先求AB 和BC 边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为k ，求出k ，再利用点斜式求出直线方程.【小问1详解】首先求BC 中点坐标，已知(5,7),(3,3)B C ---，根据中点坐标公式，BC 中点(1,5)D --，已知中线过(1,5)A 和(1,5)D --两点，根据两点式515511y x --=----，即51102y x --=--，化简得55(1)y x -=-，整理得50x y -=.【小问2详解】先求BC 边的斜率，已知(5,7),(3,3)B C ---，根据斜率公式37413582BC k -+===+，因为高与BC 垂直，设高的斜率为k ，则112k ⨯=-，解得2k =-，又因为高过(1,5)A 点，根据点斜式52(1)y x -=--，整理得270x y +-=.【小问3详解】先求AB 边的斜率57122156AB k +===+，BC 边的斜率12BC k =，设角平分线斜率为k ，根据夹角公式得122||||11212k k k k --=++，化简212||||122k k k k --=++交叉相乘得|(2)(2)||(12)(12)|k k k k -+=-+，继续化简22|4||41|k k -=-，即22441k k -=-或22414k k -=-，继续化简21k =-（舍去），或21k =，即1k =±，因为角平分线的斜率应该在AB k 和BC k 之间，所以1k =，又因为角平分线过(5,7)B --点，根据点斜式71(5)y x +=⨯+，整理得20x y --=.17.已知数列{}{},n n a b 满足112,224,n n n n n n a a b n b a b ++=-+⎧⎨=-++⎩且115,12a b ==-.（1）求3a ；（2）证明数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n a .【答案】（1）252（2）证明见详解；1132n n a n -=++【解析】【分析】（1）已知11,a b 的值，代入递推公式得出22,a b ，再代入递推公式即可得到3a 的值.（2）由两式消元得到11244n n a b n +++=+，将1n +变为n 得到等式，代入①式消元得到132n n a a n +=-，构造出数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出n a .【小问1详解】当1n =时，21121111222243a ab b a b ⎧=-+=⎪⎨⎪=-++=-⎩，当2n =时，3222542a ab =-+=，【小问2详解】∵112224n n n n n n a a b n b a b ++=-+⎧⎨=-++⎩①②，∴2⨯+①②得到11244n n a b n +++=+，∴24n n a b n +=，则42n n b n a =-代入①得：()1422n n n a a n a n +=--+，则132n n a a n+=-∴()1111322n n a n a n +⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭，且11112a --=，∴数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公比的等比数列.∴1132n n a n ---=，∴1132n n a n -=++18.已知圆22:4O x y +=内有一点()01,0P -，倾斜角为α的直线l 过点0P 且与圆O 交于,A B 两点.（1）当135α= 时，求AB 的长；（2）是否存在弦AB 被点0P 三等分？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由；（3）记圆O 与x 轴的正半轴交点为M ，直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1（2）存在，153k =±（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；（2）假设存在，求出弦心距O ，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.【小问1详解】因为135α= ，所以1l k =-，直线l 的方程为10x y ++=，设圆心到直线的距离为d，则2d ==，所以AB ===【小问2详解】取AB 的中点为Q，如图，假设存在弦AB 被点0P 三等分，设OQ d =，0P Q x =，则3AQ x =，2220222194d x OP d x OA ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，解得4d =，当l斜率不存在时，14d =≠，故l 斜率存在，设l 斜率为k ，则l ：0kx y k -+=，4d==，解得3k=±，即存在弦AB被点0P三等分，直线l的斜率为3±.【小问3详解】由题意知，()2,0M,当直线l斜率不存在时，1A Bx x==-，()()223A By y==，不妨取A By y==，则123,0012312k k-==-==----，此时121.333k k=-=-直线l斜率存在时，设方程为()1y k x=+，代入圆的方程224x y+=可得()22221240k x k x k+++-=，设()()1222,,,A x yB x y，则22121222,2411k kx x x xk k-+=-=++，又()()12121211221100,2222k x k xy yk kx x x x++--====----，所以()()1212121122k x k xk kx x++=⋅=--2222222222242111(3)1.93422411k kkk k kkk kk k⎛⎫--+⎪++-⎝⎭==-⎛⎫---+⎪++⎝⎭综上，12k k为定值13-.19.已知点()()11,1,0,2P P-，向量()*11n nPP PP PP n+=+∈N，点,,n nO P Q在一条直线上，且满足2n nOP OQ⋅=.（1）求nOP；（2）证明nQ在同一个圆上，并求该圆的圆心M和半径r；（3）过nQ引圆M的切线，记切线与x轴的交点为nR，求证：122nOR OR OR+++<.【答案】（1）()1,1n n-+；（2）M 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和2r =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设n P 坐标，利用向量的坐标表示结合等差数列的通项公式计算即可；（2）设n Q 坐标，利用向量共线的充要条件及数量积的坐标表示消元计算即可；（3）根据直线与圆的位置关系计算切线方程得出n R 的坐标，再利用放缩法计算和即可.【小问1详解】设(),n n n P a b ，则由题意可知()()()111,11,11,1n n n n a b a b +++-=+-+，所以1111n n n n a a b b ++=+⎧⎨=+⎩，即{}{},n n a b 分别成公差为1的等差数列，由已知110,2a b ==，则()()111111n n a a n n b b n n ⎧=+-=-⎪⎨=+-=+⎪⎩，即()1,1n P n n -+，所以()1,1n OP n n =-+ ；【小问2详解】设(),n n n Q x y ，即(),N n n OQ x y = ，因为,,n n O P Q 共线，且满足2n n OP OQ ⋅= ，则有()()()()110112n n n n n x n y n x n y ⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩，当2n ≥时，易知11n n y n x n +=-，即n n n nx y n y x +=-，此时()()221120n n n n n n n x n y x x y y -++=⇒++-=，即22111222n n x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，解方程组可得1101x y =⎧⎨=⎩，也满足上式，所以(),n n n Q x y 在以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆上，圆心M 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和半径2r =；【小问3详解】由（2）()()()()110112n n n n n x n y n x n y ⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩，解方程得221111n n n x n n y n -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，则2222112112112112n MQ n n n n k n n n n ---+++==++-++，所以n Q 处的切线方程斜率为222121n n n n +---，则切线方程为222212111211n n n n y x n n n n ++--⎛⎫-=- ⎪+--+⎝⎭，令0y =得2221x n n =+-，即2222,02121n n R OR n n n n ⎛⎫⇒= ⎪+-+-⎝⎭，易知()()2222112211111n n n n n n n n n ⎛⎫=≤=- ⎪+-++-++⎝⎭，则1211112121211n OR OR OR n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2221n =-<+，证毕.【点睛】方法点睛：根据向量的坐标运算结合消参法可计算轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得出切线方程，再由放缩法证明即可.。
江苏省南京外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
江苏省南京外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（）A ．2,5a b ==B ．2,5a b ==-C ．2,5a b =-=D ．2,5a b =-=-2．抛物线22y x =的焦点坐标是（）．A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭3．过圆x 2+y 2＝5上一点M （1，﹣2）作圆的切线l ，则l 的方程是（）A ．x +2y ﹣3＝0B ．x ﹣2y ﹣5＝0C ．2x ﹣y ﹣5＝0D ．2x +y ﹣5＝04．过点(1,2)-的抛物线的标准方程是()A ．24y x =或212x y =B ．24y x =C ．24y x =或212=-x yD ．212=-x y5．设k 为实数，直线:430l kx y k --+=与圆22:68210C x y x y +--+=交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定6．已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x ya b a b+=>>的左,右焦点,椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角,则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭7．已知双曲线2216436x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，1290F PF ∠=，则12F PF 面积为（）A ．9B ．18C ．36D ．728．已知双曲线222x y a -=，左右顶点为A ，B ，点P 为双曲线右支上一点，设,,PAB PBA APB αβγ∠=∠=∠=，则（）A ．tan tan tan 0αβγ++=B ．tan tan tan 0αβγ+-=C ．tan tan 2tan 0αβγ++=D ．tan tan 2tan 0αβγ+-=二、多选题9．过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（）A ．2PQF 周长的最小值为18B ．四边形12PFQF 可能为矩形C ．若直线PA 斜率的取值范围是28,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则直线PB 斜率的取值范围是82,55⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1PF PB ⋅的最小值为-110．已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．若2AF FB =，则||9AB =B ．若||4AF =，则AOFC ．若OA OB ⊥，则||||128OA OB ⋅≥D ．若60AFB ∠=︒，AB 的中点M 在C 的准线上的投影为N ，则||||MN AB ≤11．已知P 为双曲线22143x y -=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左，右焦点，12PF F 的内切圆圆心为I ，且与x 相切于点M ，过2F 作2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A ．M 为定点B ．I 在定直线上C ．||OA 为定值D ．||AP 为定值三、填空题12．直线1l ，2l 的方程为1:2320l x y +-=，2:1)10(2l mx m y +-+=，m 为实数，若12l l ⊥，则m 值为．13．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上动点，,QA QB 分别是圆M 的切线，切点分别为,A B 两点，则直线AB 恒过定点．14．已知点A ，B 为圆22:13O x y +=上两动点，且||AB =，点P 为直线:0l x y ++=上动点，则22||||PA PB +的最小值为．四、解答题15．已知过点()3,2P 的直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A ，B 两点．（1）若P 为AB 的中点，求直线l 的方程；（2）当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.16．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>．(1)若点(3,1)A -在双曲线C 上，且双曲线C 为等轴双曲线．（ⅰ）求双曲线C 的方程；（ⅱ）直线l 的方程为1y kx =+，直线l 与双曲线C 的右支仅有一个交点，求实数k 的取值范围．(2)已知过点(,0)a ，(0,)b 的直线的倾斜角为150︒，求双曲线C 的离心率．17．设过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且这两交点纵坐标分别为1y ，2y ，A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ．(1)求12y y 值；(2)求证：11A FB ∠是直角；(3)M 是线段AB 中点，求点M 的轨迹方程．18．已知圆O 的方程为()221130x y l A +=，直线过点，，且与圆O 相切．(1)求直线1l 的方程；(2)设圆O 与x 轴交与P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点P '，直线QM 交直线2l 于点Q '．求证：以P Q ''为直径的圆'C 总过定点，并求出定点坐标．19．已知椭圆22:14x E y +=的左、右顶点分别为A ，B ，点C 是椭圆上异于A ，B 的动点，过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ，N ，D 为线段AC 的中点，直线OD 与椭圆E 交于点P ，Q ，点P ，C ，M 在x 轴的上方．(1)设直线CQ ，AQ 分别与直线MN 交于点E ，F ，且满足:4:9QEF QCA S S =△△，求点C 的坐标；(2)求||||PQ MN ⋅的最大值．。
江苏南京2024年高二上学期11月期中调研数学试题
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.下列四组数据中，方差最小的是A.5，5，5，5，5，5，5，5B.4，4，4，5，5，5，6，6C.3，3，4，4，5，6，6，7D.2，2，2，2，2，5，8，82.已知i 13i z ⋅=+，则z =A.3i −+B.3i −−C.3i +D.3i −3.直线310x +=的倾斜角为 A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π64.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为5.若方程22171x y m m +=−−表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 A.(,1)−∞ B.(1,4) C.(4,7) D.(7,)+∞6.底面直径与高相等的圆柱的体积为2π，则该圆柱的外接球的表面积为A.6πB.8πC.10πD.12π 7.已知点(0,0),(3,0)O A ，若圆2230x y tx ++−=上任意一点P 都满足||2||PA PO =，则实数t =A.-3B.-2C.2D.3 8.抛物线2:4C x y =的准线为l ，M 为C 上的动点，则点M 到l 与到直线250x y −−=的距离之和的最小值为二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A ，“第二枚硬币反面朝上”为事件B ，则 A.1()2P A = B.1()3P AB = C.A 和B 是互斥事件 D.A 和B 是相互独立事件10.在矩形ABCD 中，2,4AB AD ==.若13,42BE BC CF CD ==− ，则 B.//AC BF B.AE BD ⊥C.以CE 为直径的圆与直线BF 相切D.直线AE 与BF 的交点在矩形ABCD 的外接圆上 11.已知椭圆22:143x y C +=，直线y mx =与C 交于A ，B 两点，点P 为C 上异于A ，B 的动点，则A.当12m =时，||AB = B.||PA PB +C.存在点P ，使得π2APB ∠= D.ABP S 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.若直线1:210l x my ++=与2:(1)30l m x y −+−=垂直，则实数m =______.13.已知π3cos ,45x x+=∈ ，则sin x =______. 14.历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点2F 发出的光线m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线经过左焦点1F ．已知图（2）中，双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为12(4,0),(4,0)F F −，直线l 平分12F PF ∠，过点2F 作l 的垂线，垂足为H ，且||2OH =.则当反射光线n 经过点(8,5)M 时，2||F P PM +=______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A ；（2）若2,4a b c =+=，求ABC 的面积.16.已知点(4,2)A 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，直线l 经过点A ，且在y 轴上的截距为-2.（1）求p 的值和直线l 的方程；（2）记l 与C 的另一个交点为B ，求经过O ，A ，B 三点的圆的方程.17.在四面体P ABC 中，M ，N 分别为PC ，BC 的中点.（1）证明：PB //平面AMN ；（2）若PC ⊥平面,2,3ABC PC AC ==，四面体P ABC 的体积为2，且cos ACB ∠，求MN 与平面P AC 所成角的正弦值.18.已知圆()2224C x y ++=：，圆222:(2)(0D x y r r −+=<<，过点(0,1)P 作圆D 的切线，切线的长为2．（1）求圆D 的方程；（2）直线l 经过点P ，且与圆C 交于A ，B 两点，||AB =①求l 的方程和CA CB ⋅ 的值；②若动圆E 与圆C 外切，且与圆D 内切，求动圆圆心E 到点P 距离的最小值.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为,||B AB =. （1）求E 的方程；（2）直线l 平行于直线AB ，且与E 交于M ，N 两点，①P ，Q 是直线AB 上的两点，满足四边形MNPQ 为矩形，且该矩形的面积等于21||3MN ，求l 的方程； ②当直线AM ，BN 斜率存在时，分别将其记为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值.。
江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析
2023~2024学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页、包含单项选择题（第1题~第8题），多项选择题（第9题~第12题）.填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320x y +-=的方向向量为（）A.()1,3- B.()1,3 C.()3,1- D.()3,1【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k ，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320x y +-=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3-，又()()1,31,3-=--，所以()1,3-也是直线320x y +-=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列{}n a 中，若39218a a +=，则263a a +的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B 【解析】【分析】由等差数列通项公式求基本量得5146d a a +==，再由2639532a a a a a +=++即可求值.【详解】令{}n a 的公差为d ，则3911122(2)831218a a a d a d a d +=+++=+=，即5146d a a +==，则2624683953218624a a a a a a a a a +=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B 【解析】【分析】分别求出直线3450x y -+=与坐标轴的交点，分别求得关于y 轴的对称点，即可求解直线的方程．【详解】令0x =，则54y =，可得直线3450x y -+=与y 轴的交点为5(0,)4，令0y =，则53x =-，可得直线3450x y -+=与x 轴的交点为5(,0)3-，此时关于y 轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450x y -+=关于y 轴对称的直线经过两点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534x y +=，化为3450x y +-=，故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1-且圆心在直线350x y +-=上的圆的方程为（）A.()()22510125x y -++= B.()()22125x y ++-=C.()()22125x y -+-= D.2252539x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令圆心为(,53)x x -，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)x x -，又圆经过原点和点()3,1-，所以()()()2222253363r x x x x =+-=-+-，整理可得53x =，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r =，则圆的方程为2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：D5.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令{}n a 公差为d 且0d ≠的无穷等差数列，且11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，若{}n a 为递减数列，则0d <，结合一次函数性质，不论1a 为何值，存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，由于0d ≠，即{}n a 不为常数列，故1()n a dn a d =+-单调递减，即0d <，所以{}n a 为递减数列，必要性成立；所以“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P ，点Q 在224x y +=的圆周上运动，点M 满足PM MQ =，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A 【解析】【分析】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由动点转移法求得M 点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由PM MQ =得M 是线段PQ 中点，∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，又Q 在圆224x y +=上，22(24)(23)4x y -+-=，即223(2)()12x y -+-=，∴M 点轨迹是半径为1的圆，面积为πS =，故选：A ．7.等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+=（）A.5-B.1-C.5D.1【答案】C 【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q ，显然1q ≠±，则由题意得5121012(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得51(1)51a q q +=+，所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+，故选：C.8.过点()2,0P 作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为,A B ，则PAB 的面积为（）A.8B.2C.8D.【答案】A 【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径r =，进而有||CP =，由圆的切线性质得||||BP AP ==，sin BPC BPC ∠=∠=，2BPA BPC ∠=∠，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB 面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5x y +-=，圆心为(0,2)C，半径r =，所以||CP =，如下图示，切点分别为,A B，则||||BP AP ===，所以||||sin ||||BC BP BPC BPC CP CP ∠==∠==2BPA BPC ∠=∠，所以15sin sin 22sin cos 4BPA BPC BPC BPC ∠=∠=∠∠=，所以11||||sin 2248PAB S BP AP BPA =∠==.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0l x my m ++=，若直线l 与连接()()3,2,2,1A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（）A.2π3 B.π2C.π4D.π6【答案】ABC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点，从而求得,AC BC k k ，进而利用数形结合可得直线l 倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0l x my m ++=可化为()10x y m ++=，所以直线l 过定点()0,1C -，又()()3,2,2,1A B -，所以()21130AC k --==---，()11120BC k --==-，故直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l 的倾斜角范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ABC 正确，D 错误.故选：ABC.10.设,n n S T 分别是等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前()*Nn n ∈项和，下列说法正确的是（）A.若15160a a +>，15170a a +<，则使0n S >的最大正整数n 的值为15B.若5nn T c =+（c 为常数），则必有1c =-C.51051510,,S S S S S --必为等差数列D.51051510,,T T T T T --必为等比数列【答案】BCD 【解析】【分析】A 由已知可得129152d a d -<<-，且0d <，再应用等差数列前n 项和公式及0n S >得1201a n d<<-，即可判断；B 由等比数列前n 项和公式有11511n n n b b q T c q q =-=+--，即可判断；C 、D 根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令{}n a 的公差为d ，则11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，所以151611517122902300a a a d a a a d +=+>⎧⎨+=+<⎩，故129152d a d -<<-，且0d <，使211(1)()0222n n n d dS na d n a n -=+=+->，则1201a n d <<-，而122930a d <-<，即121(30,31)ad-∈，故030n <≤，所以使0n S >的最大正整数n 的值为30，A 错；令{}n b 的公比为q 且0q ≠，则()11115111nnn n b q b b q T c qq q-==-=+---（公比不能为1），所以1511q b q =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，即1c =-，B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,S S S S S --必为等差数列，51051510,,T T T T T --必为等比数列，C 、D 对.故选：BCD11.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前()*Nn n ∈项和为nS，前()*Nn n ∈项积为nT ，若1132a=，56T T =，则（）A.2q = B.当且仅当6n =时，n T 取得最小值C.()*11N ,11n n T T n n -=∈< D.n n S T >的正整数n 的最大值为11【答案】AC 【解析】【分析】根据56T T =确定6a ，561a q a =求出q 的值确定A ，根据数列项的变化，确定B ，利用等比数列的基本量运算判断C ，根据n n S T >转化二次不等式，从而确定正整数n 的最大值判断D.【详解】对于A ，因为56T T =，所以6651T a T ==，因为56132a q a ==，解得2q =，故A 正确；对于B ，注意到61a =，故15,Z n n ≤≤∈时，01n a <<，7,Z n n ≥∈时，1n a >，所以当5n =或6n =时，n T 取得最小值，故B 错误；对于C ，()()()21111215*221231222N ,11n n n nnn n n n T a a a a a q n n --+++--===⋅=∈< ，()()()()2111011111112105*221112111222N ,11n n n n nn n n n T a a a a q n n -----+++----===⋅=∈< ，所以()*11N ,11n n T T n n -=∈<，故C 正确；对于D ，()1512112n n n a q S q--==-，21122n n n T -=，因为n n S T >，所以211252212n nn -->，即211102212n n n -+->，所以211102212n n n -+->，即211102n n n -+>，所以131322n <<，正整数n 的最大值为12，故D 错误，故选：AC.12.已知圆22:4C x y +=，圆22:860M x y x y m +--+=（）A.若8m =，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B.若9m =，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为()3,4--C.若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则16m >D.若圆M 恰好平分圆C 的周长，则4m =-【答案】AD 【解析】【分析】A 、B 将圆M 化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C 由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D 由题意相交弦所在直线必过(0,0)C ，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A ：8m =时圆22:(4)(3)17M x y -+-=，则(4,3)M，半径r =，而圆22:4C x y +=中(0,0)C ，半径2r '=，所以||5CM =，2||2CM -<<+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360x y +-=，所以(0,0)C 到4360x y +-=的距离为65d =，故相交弦长为1625=，对；B ：9m =时圆22:(4)(3)16M x y -+-=，则(4,3)M ，半径4r =，同A 分析知：42||42CM -<<+，故两圆相交，错；C ：若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CM r r r '>+=+，而圆22:(4)(3)25M x y m -+-=-，即r =所以250162525m m ->⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩，错；D ：若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C ，两圆方程相减得相交弦方程为8640x y m +--=，将点代入可得4m =-，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若{}n a 是公差不为0的等差数列，248,,a a a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前()*Nn n ∈项和，则1210111S S S +++ 的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,a a a 成等比数列，解出公差为d ，得到n a ，求出n S ，裂项相消求1210111S S S +++ 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，248,,a a a 成等比数列，由2428a a a =，则()()()211137a d a d a d +=++，即()()()213117d d d +=++，由0d ≠，得1d =，所以()11n a a n d n =+-=，则有()()1122n n n a a n n S ++==，得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121011111101111112021211221311S S S ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .故答案为：201114.平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550x y +-=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l 的方程为731(43)0x y x y λ-+++-=，且直线过(0,1)，所以031(043)02λλ-+++-=⇒=，故直线l 的方程为9550x y +-=.故答案为：9550x y +-=15.如图，第一个正六边形111111A B C D E F 的面积是1，取正六边形111111A B C D E F 各边的中点222222,,,,,A B C D E F ，作第二个正六边形222222A B C D E F ，然后取正六边形222222A B C D E F 各边的中点333333,,,,,A B C D E F ，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题设分析出前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n 项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为2，故它们面积比为34，所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前n 个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nn S -==--.故答案为：34[1()]4n-16.已知实数,,a b c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,1A ，O 是坐标原点，直线:230l ax by c ++=．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段AM 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0l a x y c y +++=，求出直线所过的定点，结合已知M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,22C -，半径为2，问题化为求()4,1A 到该圆上点距离的最小值.【详解】由题设2b a c =+，则:()30l ax a c y c +++=，即:()(3)0l a x y c y +++=，令03303x y x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即直线l 恒过定点(3,3)B -，又OM l ⊥，所以M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,)22C -，半径为2，要求AM 的最小值，即求()4,1A 到该圆上点距离的最小值，而52||2CA =，所以min 22AM =-=四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()1:2120l x a y ---=，()()()2:22130R l a x a y a ++++=∈．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若1//l 2l ，求12,l l 之间的距离．【答案】（1）1a =-或52；（2【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12l l ⊥，则2(2)(1)(21)0a a a +--+=，即22350a a --=，所以(25)(1)0a a -+=，可得1a =-或52.【小问2详解】由1//l 2l ，则22121a a a++=-，可得250a a +=，故0a =或5-，当0a =，则1:220l x y +-=，2:230l x y ++=，此时满足平行，且12,l l=；当5a =-，则1:310l x y +-=，2:310l x y +-=，此时两线重合，舍；综上，1//l 2l 时12,l l18.已知等差数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，又294,90a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =（2）()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992n n b a n =-=-，令920n c n =->求出n 的取值范围，再分段求出数列{}n b 的前n 项和nT 【小问1详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，因为990S =，所以()199599902a a S a +===，所以510a =，由5231046a a d -==-=，解得2d =，又24a =，所以()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】992n n b a n=-=-设92n c n =-，{}n c 的前n 项和为n S ，得()279282n n S n n n +-=⨯=-，920n c n =->，得92n <当14n ≤≤时，0n c >，即n n b c =，所以214,8n n n T S n n≤≤==-当5n ≥时，得0n c <，所以n n b c =-，则()()12456n n T c c c c c c =+++-+++ ()()224442328832n n S S S S S n n n n =--=-=--=-+综上所述：()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩19.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设()11n n n b a --=，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析（2）4134n n-⨯【解析】【分析】（1）121n n n a a a +=+，取倒数得1112n n n a a a ++=，化简整理即可判断11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）法一：将2n S 转化为()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论得()1112n n n b -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，应用分组求和及等比数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13n n n a a a a +==+，所以0n a ≠，所以11111222n n n n a a a a ++==+，所以1111122n n a a +-=-，即11111(1)2n na a +-=-因为11211,1032a a =-=≠，1111121n na a +-=-，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】法一：21234212111111n n nS a a a a a a -=-+-++- 1234212111111111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，所以2221111122412133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭===⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭；法二：由（1）1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1112n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()111112n nn n n b a ---⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以22211111224120133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-==⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）652,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2216540022MB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．.21.平面直角坐标系xOy 中，直线0:3213x y l +-=，圆M ：22128480x y x y +--+=，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得QH 为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在；64,1313H ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用对称求出C 点坐标，即可得到圆C 的标准方程；（2）设P 点坐标，,A B 在以PC 为直径的圆N 上，由圆C 与圆N 求公共弦AB ，得直线AB 过定点T ，Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得QH 为定值．【小问1详解】圆M 化成标准方程为()()22644x y -+-=，圆心()6,4M ，半径为2，设圆心()00,C x y ，圆C 与圆M 关于直线l 对称，直线0:3213x y l +-=的斜率为32-，所以00004263643213022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得0000x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0C ，圆C 的方程为224x y +=.【小问2详解】因为P 是直线l 上的动点，设132,32P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,PA PB 分别与圆C 切于,A B 两点，所以,CA PA CB PB ⊥⊥，所以,A B 在以PC 为直径的圆N上，圆N 的方程()22221331334242t t x t y t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即22132302x y tx t y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由222240132302x y x y tx t y ⎧+-=⎪⎨⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，作差得AB 方程为1323402tx t y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭即()1323402t x y y -+-=令23013402x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得1213813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又Q 是AB 中点，所以CQ AB ⊥，则有Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得12QH CT =为定值，坐标为64,1313H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.记首项为1的递增数列为“W -数列”．（1）已知正项等比数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，且满足：222n n a S +=+．求证：数列{}n a 为“W -数列”；（2）设数列{}()*Nn b n ∈为“W -数列”，前()*N n n ∈项和为n S ，且满足()32*1N n i n i b S n ==∈∑．（注：3333121n i n i bb b b ==+++∑ ）①求数列{}n b 的通项公式n b ；②数列{}()*N n c n ∈满足33n n n b b c =，数列{}n c 是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据： 1.44≈≈）【答案】（1）证明见解析（2）①n b n =；②存在；最大项为31c =【解析】【分析】（1）利用等比数列中,n n a S 的关系求解；（2）利用等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为222n n a S +=+，则3122n n a S ++=+，两式相减得3212n n n a a a +++-=，即()()()2112210n n a q q a q q ++--=-+=,因为0,0n a q >>，所以2q =，222n n a S +=+中，当1n =时，有3122=+a a ，即11422a a =+，解得11a =，因此数列{}n a 为“W -数列”；【小问2详解】①因为()32*1N n i n i bS n ==∈∑所以3211b b =，又{}n b 为“W -数列”，所以11b =，且1n n b b +>，所以{}n b 各项为正，当2n ≥，321n i ni b S ==∑①，13211n i n i b S --==∑②，①一②得：3221n n n b S S -=-，即()()311n n n n n b S S S S --=-+，所以21n n n b S S -=+③，从而211n n n b S S ++=+④，④-③得：2211n n n n b b b b ++-=+，即()()111n n n n n n b b b b b b ++++-=+，由于{}n b 为“W -数列”，必有10n n b b ++>，所以11n n b b +-=，()2n ≥，又由③知2221b S S =+，即22122b b b =+，即22220b b --=得22b =或21b =-（舍）所以211b b -=，故()*11n n b b n N +-=∈所以{}n b 是以1为首项，公差是1的等差数列，所以n b n =；②303n n n c =>，所以31113n n c n c n ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，令311113n n c n c n ++⎛⎫=< ⎪⎝⎭，得 2.27n >≈，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省高二上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共18题；共36分)
1. （2分） (2019高一上·汉中期中) 关于的不等式，解集为，则不等式
的解集为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高一下·六安期末) 已知，给出4个表达式：① ，② ，
③ ，④ .其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（）
A . ①②③
B . ①②④
C . ②③④
D . ①③④
3. （2分）(2018·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016高二上·南阳期中) 不等式＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+ax ﹣2b＜0的解集为（）
A . （﹣3，﹣2）
B .
C . （﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）
D .
5. （2分）已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一下·正阳期中) 下列四个结论：
①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
其中正确的个数为（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
7. （2分）如果a，b，c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）
A .
B . c(b-a)>0
C .
D . ac(a-c)<0
8. （2分） (2019高二上·集宁月考) 设变量，满足约束条件，则的最大值是（）
A . 7
B . 8
C . 9
D . 10
9. （2分） (2016高二上·怀仁期中) 已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）
A . 若m∥n，m⊂α，则α∥β
B . 若α∥β，m⊂α，则m∥n
C . 若m∥n，m⊥α，则α⊥β
D . 若α∥β，m⊥n，则m⊥α
10. （2分） (2019高三上·安康月考) 等比数列的前项和为，若，，则
（）
A . 5
B . 10
C . 15
D . -20
11. （2分） (2019高一下·韶关期末) 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：
① 与平行；② 与是异面直线；③ 与成60°角；④ 与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A . ①②③
B . ②④
C . ③④
D . ②③④
12. （2分）(2018·广东模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（）
A .
B .
C .
D .
13. （2分） (2016高二上·金华期中) 正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（）
A . 3
B . 6
C . 9
D . 18
14. （2分）已知点是圆C:内任意一点，点是圆上任意一点，则实数
（）
A . 一定是负数
B . 一定等于0
C . 一定是正数
D . 可能为正数也可能为负数
15. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
16. （2分） (2019高一上·郁南期中) 已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是（）.
A . 增函数
B . 减函数
C . 部分为增函数,部分为减函数
D . 无法确定增减性
17. （2分）学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜．用an表示第n个星期一选A的人数，如果a1=428，则a6的值为（）
A . 301
B . 304
C . 306
D . 308
18. （2分）在R上定义运算*：x*y=x•（1﹣y）．若关于x的不等式x*（x﹣a）＞0的解集是集合{x|﹣1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是（）
A . [0，2]
B . [﹣2，﹣1）∪（﹣1，0]
C . [0，1）∪（1，2]
D . [﹣2，0]
二、填空题 (共4题；共5分)
19. （2分） (2019高二下·上虞期末) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．
20. （1分） (2019高二下·海安月考) 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，
，，，若存在常数对任意正整数都有，则 ________．
21. （1分） (2016高二下·五指山期末) 已知a，b＞0，且满足3a+4b=2，则ab的最大值是________
22. （1分） (2020高二下·上海期中) 给出下列命题：
①任意三点确定一个平面；
②三条平行直线最多可以确定三个个平面；
③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；
④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
其中说法正确的有________（填序号）.
三、解答题 (共3题；共35分)
23. （15分） (2019高一上·南京期中) 已知函数 .
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的最大值是，求的值；
（3）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为
，求实数的取值范围.
24. （10分） (2019高一下·吉林期末) 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
25. （10分） (2016高二上·宁阳期中) 已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．。