数学竞赛在俄罗斯-课件·PPT
第31届俄罗斯数学奥林匹克
周 ω′B 、ω′C 交点的直线平分 △ABC 的周界.
10. 5. 在 8 ×8 的国际象棋棋盘上放 16
枚棋子车. 试问 :它们之中至少有多少“对”棋
子可以相互搏杀 (同在一行或同在一列里且
它们之间没有其他棋子的一对车可以相互搏
杀) ?
10. 6. 同 9. 7.
10. 7. 已知正整数 x 、y 满足 2 x2 - 1 =
>
S. 证
明:
a1
1 +
a2
+
a2
1 +
a3
+
a3
1 +
a1
> 1.
9. 4. 在桌上放着 365 张卡片 ,在它们的
背面分别写着互不相同的数. 瓦夏每付 1 卢
布 ,可以任选 3 张卡片 ,要求贝佳将它们自左
至右按照背面所写的数的递增顺序排列. 试
问 ,瓦夏能否付出 2 000 卢布就一定能够达
到如下目的 :将所有 365 张卡片全部自左至
×22 方格表的各个方格中 (每格写有一个整
数) . 试问 :阿列克能否选择 2 个具有公共边
或公共顶点的方格 ,使得写在它们之中的数
的和是 4 的倍数 ?
9. 3. 设 a1 > 1 , a2 > 1 , a3 > 1 , a1 + a2 +
a3
=
S . 已知对
i
=
1
,2
,3
,都有
ai
a2i -
1
证明 : p ≥q + 2. 11. 5. 是否存在有界函数 f : R →R ,使得
f (1) > 0 ,且对一切的 x 、y ∈R ,都有 f 2 ( x + y) ≥f 2 ( x) + 2 f ( xy) + f 2 ( y)
第34届俄罗斯数学奥林匹克九年级
p q
注意到 ( 2 p + q , q) = ( 2 p , q) ≤ 2 ( p , q) =2 , ( p , p + 2 q) = ( p ,2 q) ≤ 2 ( p , q) =2 . 于是 ,由 x 得到的最简分数的分子和分 母的和为 ( 2 p + q) + q = p + ( p +2 q) =2 ( p + q) , 2 ( p + q) 或 = p+ q, 2 即分子分母的和或者不变或者变为原来的 两倍 . 由于后来出现的数 2008 的分子分母的 和为 2009 是一个奇数 ,故从初始到 2008 的 变化过程中没有出现过加倍的情况 . 因此 ,初 始时的数的分子分母的和就是 2009 . 由于初始的数是正整数 ,故它为 2008 . 9.8 . 首先证明一个引理 . 2k 引理 通过 3 k 次称量或者可以将 3 枚 硬币中的那枚假币找出来 , 或者可以找出含 有假币的三枚硬币同时找出一架好天平.
故点 G′ 位于直线 A′ G 上. 类似可得点 G′ 位于直线 B′ G 上 , 从而 , G′ 与 G 重合 .
9.4 . 2
x
2 x -8
.
设研究所中有 n 位科学家 , t ij 表示在第 i 位和第 j 位科学家中恰有一个在咖啡厅的时 间 ,令 S =
1 ≤i < j ≤n
∑t
ij
2 .则 S ≥ Cn x .
A 1 G′ ∥AH ⊥BC .
下面举例说明不等式可以取到等号 . 设 n = 2 l =2
2 x -8分 ,每段时间对 应 n 位科学家中的 l 个人 , 不同的时间段对 应的人不完全相同 . 由对称性 ,对任意两位科 学家 ,恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的 时间总和全相等 ,设为 y . 则 2 l ( 2 l -1 ) 8 l (2 l - l ) = S = y. 2 8l ≥ 由此 , y = x 此不等式等价于 l 2 l -1 ≤ x . 2 x -8 故满足条件 . 9.5 . 设小方格的边长为 1. 用小方格中心坐标表示小方格. 再设两 个小方格的横坐标差的绝对值为 x , 纵坐标 差的绝对值为 y . 不难看出 ,王可以用 max{ x , y } 步从一个 方格走到另一个 , 但不能用更少的步数. 因 此 ,这两个方格之间的距离为 max{ x , y }. 下面用 d ( A , B ) 表示方格 A 、 B 之间的 距离 . 设 A、 B、 C 是三个两两距离为 100 的小 方格 . 则它们中的每两个都会有相差 100 的 ( B , C) 、 横坐标或纵坐标 . 这样 , 在 ( A , B ) 、 ( A , C) 这三对小方格中必有两对使得每对中 的两个小方格都有相差为 100 的横坐标或纵 坐标 . 不妨设 A 与 B 、 A 与 C 都有相差 100 的 横坐标 ,则 B 和 C 的横坐标相差 0 或 200. 但 由于 d ( B , C) =100 , 故 B 、 C 具有相同的横 坐标 . 故它们的纵坐标相差 100. 不妨设 A 、 B、 C 具 有 如 下 坐 标 B ( 0 ,0 ) 、 C ( 0 ,100 ) 、 A ( 100 , x ) ( 0 ≤x ≤ 100) . 考虑到 A 、 B、 C 距离都为 50 的小方格
第41届俄罗斯数学奥林匹克_九年级_李伟固
．
（
：
，
，
（： ．
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）
１
．
，
＝
一
一
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３ ｒ
．
设 大于
－
１
００
的 三个 正整 数
＿
ａ 、＊
、
ｙ
满 足个整 数 求
．
ｉ
Ｖ
的 所有 可 能
．
２
１
＝
ａ
Ｖ
１
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－
求 ！ 隨小 值 ｘ １ 由 条 件 不 妨 设 二 次 三 项 式 ＊ ＋ 〇 ＊ ４ ０ 支队 伍参 加 排球 单 循 环 赛 排 球 与 Ｖ ＋ ６＊ ＋ ａ 恰 有 个公 共 的 实 根 ＊ 比赛 没 有 平 局 已 知 任 意 ５ ５ 支 队 伍 中 均 存 则
Ｚ）
：＿
， ，
ｉＣ ｆ
，
５ ． ４９
则 册 仙 且 的 中 点 也为 Ｋ 显 然 不存在 两 个 非 负 数 相 邻 否 则 接 令 Ｚ 为 狀 与 爐 的 交 点
＇
＝
．
，
？
．
，
，
下去 的 数 为 正 由 此 得 到 所有 的 数 为 正 但其 于是 Ａ 中 最小 的 数 不 可 能 大 于 接 下 去 的 两 个数 的 和 这表 明 至 多 有 ５ ０ 个 非 负 数 若 恰 有 ５０ ＫＸ ＫＨＫＨ ｆ 好 Ｍ 四 点 共线 个正 数 则 这 些 正 数 和 负 数相 间 排 列 故 点 尤 与 Ｍ 重合 Ｚ Ｚ Ｓ Ｃ 似 开 即 Ｚ 所 以 ａ ６ ｃ ＾Ｏ 考虑 相邻 三 个数 ａ ６ 洲 ｆ 仙 的 外接 圆 与 相切 则 ａ ＞ ６ Ｇ Ｃ Ａ
sa1998年俄罗斯数学奥林匹克 (
1998年俄罗斯数学奥林匹克(未完成)1.将由1至16内的整数写在一直在线(不是在圆周上)，使得每两个相邻的数的平方和为完全平方数。
2.在一个等边三角形ABC的两边AB、BC上分别选取两点D、K，并在边AC上选取两点E、M使得DA+AE=KC+CM=AB。
证明直线DM、KE的夹角等于60。
3.一间公司有50,000个雇员，每个雇员有顶头上司和手下共有7个人。
每周一，每个有手下的雇员会发出一度指令到他的所有手下。
之后每天每个雇员取出他前一天收到的指令，对于有手下的雇员，他会将指令分派到他的所有手下，否则他自己执行这指令。
到周五，再没有任何指令再要派出去。
证明这间公司至少有97个雇员，他们没有顶头上司。
4.一角锐角五角形ABC的三边分别是正方形K1、K2、K3的对角线。
证明三角形ABC能被这三个正方形K1、K2、K3所覆盖。
5.在一直在线写上由1至37的各个整数使得每个数都能整除在它以前的各数之和。
如果第一个数是37而第二个数是1。
问第三个数是甚么？6.试找出所有素数对(p，q)满足p3-q5=(p+q)2。
7.一个正1997边形受到某些互不相交的对角线分割为多个三角形。
证明至少有一个三角形是锐角的。
8.在黑板上写上由1至1000的各个整数，两位参赛者轮流擦去黑板上的一个数。
当剩下两个数时，游戏便结朿。
如果这两个数之和能被3整除，则第一位参赛者获胜；否则第二位参赛者获胜。
问那位参赛者有必胜战术。
9.现有300个苹果，其中任何一个不重于另一个的3倍。
证明这些苹果可以用4个一组分开，使得每组重量不超过其它组的11/2倍。
10.有一个m×n长方形网格，其中m、n是奇整数。
起初用多个1×2的骨牌来覆盖这网格的格子，只剩下网格的四个角中的某一个1×1格子。
允许滑动网格上的(与空格相邻的)一个骨牌来填补这空格，因而留下另一个空格。
证明经有限多步滑动后，可将空格移到长方形网格的任一个角处。
第31届俄罗斯数学奥林匹克
31届俄罗斯数学奥林匹克第31届俄罗斯数学奥林匹克于2005年4月24-29日在俄罗斯下诺夫哥罗德市举行。
与以往各届一样，竞赛分年级进行，举行两年考试，每天5个小时考4道题。
我国派出了由湖北省6名中学生组成的代表队参加了此次竞赛，他们分别来自武钢三中、黄冈中学和华中师大一附中，其中4名高二学生参加了十年级的竞赛，2名高一学生参加了九年级的竞赛。
我国参赛的6名队员均获得奖牌，来自华中师大一附中的柳智宇同学在十年级竞赛中成绩名列第一。
九年级9．1．给定平行四边形ABCD(AB<BC)，在它的边BC 与CD 上任意取两点P 、Q ，使得CP=CQ 。
证明：对P 、Q 的一切不同取法，所得的△APQ 的外接圆都经过一个除了点A 以外的公共点。
9．2．列莎将正整数1到222分别写在22×22方格表的各个方格中（每格写有一个整数）。
试问：阿列克能否选择2个具有公共边或公共顶点的方格，使得写在它们之中的数的和是4的倍数？9.3.设a 1>1，a 2>1，a 3>1，a l ＋a 2＋a 3=S ．已知对都有S a a i i >-12．证明：9.4.在桌上放着365张卡，在它们的背面分别写着互不相同的数。
瓦夏每付1卢布，可以任选3张卡片，要求贝佳将它们自左至右按照背面所写的数的递增顺序排列。
试问，瓦夏能否付出2000卢布就一定能够达到如下目的：将所有365张卡片全部自左至右按照背面所写的数的递增顺序排列在桌面上？9.5.已知10个互相不相同的非零数，它们之中任意两个数的和或积是有理数。
证明：每个数的平方都是有理数。
9.6.试问：可有多少种方式将数集分为两个不交的非空子集A 、B ，使得方程有整数根?其中S(M)表示数集M 中所有元素的和，9．7．在锐角ABC ∆中作高AA ′、BB ′．令D 是△ABC 外接圆的上的一点．假设直线AA ′、BD 相交于点P ，直线BB ′、AD 相交于点Q ，证明：直线A ′B ′通过线段PQ 的中点．9．8．围绕一个圆桌坐着来自50个国家的100名代表，每个国家2名代表．证明：可以将他们分成两组，使得每一组都是由来自50个国家的50名代表组成，并且每一个人都至多与自己的一个邻座的人同组．十年级10．1．试找出不能表示为d c ba 2222--的形式的最小的正整数，其中a 、b 、c 、d 都是正整数． 10．2．在2×n 方格表的每个方格中都写有一个正数，使得每一列中的两个数的和都等于l ．证明：可以自每一列中删去一个数，使得每一行中剩下的数的和不超过⋅+41n 10．3．在2005张卡片的背面分别写有2005个不同的实数，每一次提问可以指着其中任意三张卡片询问写在它们之上的3个数所组成的数集．试问：最少可以通过多少次提问，就一定能了解清楚写在每张卡片背面的都是什么数?.1111133221>+++++a a a a a a．4．在中，圆B ω、C ω分别是与边AC 、AB 相切，且与其余两边延长线相切的旁切圆．圆关于边AC 的中点对称；圆关于边AB 的中点对称．证明：经过圆周交点的直线平分ABC ∆的周界．10．5．在8×8的国际象棋棋盘上放16枚棋子车．试问：它们之中至少有多少“对”棋子可以相互搏杀(同在一行或同在一列里且它们之间没有其他棋子的一对车可以相互搏杀)? 10．6．同9．7．10．7．已知正整数x 、y 满足=-122x .15y 证明：如果x>1，则x 能被5整除．10．8．无限大的白色方格纸上有有限个方格被染为黑色，每个黑色方格都有偶数个(0，2或4个)白色方格与它有公共边．证明：可以将剩下的每个白色方格染成红色或绿色，使得每个黑色方格的邻格中红色方格和绿色方格的个数都相等(有公共边的方格称为相邻)． 十一年级11．1．设50215021,,,,,,,b b b a a a 为互不相同的数，使得方程有有限个根．试问：最多可能有多少个根?11．2．同l0．3．11．3．设△ABC 的三个旁切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点的外接圆分别与△ABC 的外接圆再次相交于点C 1、A 1、B 1。
第34届俄罗斯数学奥林匹克十一年级
如果ｋ＝４，上面的估计中所有的不等式 都变为等式，因此，ｚ＝ｋ＋１＝５．
在由５个砝码组成的砝码组中所有砝码 重量都为ｍ＝４ｘ，而在由４个砝码组成的砝 码组中所有砝码重量都为５茗．
回到原题．
万方数据
３０
首先假设等重的１０组砝码中有２组所 含砝码的个数不同，则由引理及Ｎ＜５０，其中 几组每组由４个重量为５ｚ的砝码组成，而其 余几组每组都由５个重量为４算的砝码组成． 此时，每组的重量都为２０ｘ，故砝码总重量为
｛‰面骱肋．设直线加交平面ＡＢＣ于Ｄ。．则
４１、７Ｖ四Ｖ面四体面，ｔ体ａｃ脚ｏ 一肋ＯＤｌｌ‘
１
Ｄ
因此，ｏＤｌ≤去ＤＤ＝芸．
设ｘ是四面体的表面到球心０的距离 最近的点．于是，
ＯＸ≤ＯＤ。≤争
ｘ不可能位于一条棱上．故ｘ位于某一
万方数据
２００９年第２期
面的内部，不妨设为平面ＡＢＣ．则ｘ为 △佃ｃ外接圆的圆心．设△ＡＢＣ外接圆的半
如果Ｐ＝２，则驴＋ｌｐ－－２（ｒｏｏｄ ４）．故只要 驴＋矿＞２，２”就有一个大于１的奇因数
ｌ－ｐ ｌ”
！要三，矛盾．由此推出ｋ＝ｚ＝１，２“＝２×
∥，得到聘＝ｐｔ＋１． 如果Ｐ＞２，则 驴＋ｌｐ＝（｜｜｝４－‘Ｚ）（矿一１一Ｊ｜｝Ｐ一２ Ｚ＋…＋矿一‘）． 上式右端第二个括号里是一个奇数，故
它必等于ｌ，这推出妒＋ｌｐ＝ｋ＋Ｚ．
若ｘ位于某一条棱上（如ＡＢ），则Ｄ向 平面ＡＢＣ的投影０。位于△ＡＢＣ的外面．由 此，０，、Ｃ位于直线ＡＢ的两侧，／ａＣＢ不是 锐角，因此，以衄为直径的球（由假设其半 径不大于１）必含顶点Ｃ．同理，也包含顶点 Ｄ．故它包含整个四面体．
现假设点０位于四面体的内部。此时， 四面体ＡＢＣＯ、四面体ＡＢＤＯ、四面体ＡＣＤＯ、 四面体ＢＣＤＯ的体积之和等于四面体ＡＢＣＤ 的体积‰面懈鼢，因此，它们中的一个（如 四面体ＡＢＣＯ）的体积‰面懒聊不大于
第17届俄罗斯数学节日竞赛
１既 阿 蛋 的 ． 然 大 糕 专能 阿 的 糕 到 倍那 多， 这个 使 二 蛋 扩大 三 么 说明 专就相当
于阿二原有蛋糕 的两倍 ， 也就是阿大原有蛋糕是 阿二的 ３ ×２— ６倍． 开始时 阿大分
ｚ２ ／ ２ ２ ２ ２ ２ 、 ３ ３ ４ ２ ７ ８９ ７ ８ ３ ｌ ／ — ０ ６ ，
，
３一 ｏ
图３
图４
３ ．娜塔莎的猜想是正确 的． 日历上一 月份 的 日期安排 只有 ７ 种不 同情 况． 了 除 上面图 ２ 提到 的三格 中心成一直 线 以外 ， 形成 △１ 能 ０—２ ０—３ ０的只有 两种不 同情 况， 如图 ４ 示． 所 其余 的都可 由这 两种 再作平移而获得． 下面 用图 ５对第一种进行 讨 论， 因为 第二 种 也是 类 似 的． 然 ， 图 ５的Ａ３ ９一 Ｏ中 ， ９是直 角 ， 似地 显 在 Ｏ一 ｌ 类 Ａｌ １ —２ Ｏ一 ３ ０的 １ 也 是直 角 ， ３ 还有边 ９ ０与边 １ —３ ３—１ ０是一样 长 的， 而边 ９一ｌ Ｏ 与边 １ — ０也一样长 ， 以Ａ９— ０一ｌ ３２ 所 ３ Ｏ与△ １ — ０—０ ３ １ ２ 全等 （ 角边 ） 这说明对应 的线段 １ 边 ， ０—３ ０和 １ ０—２ ０必 然相等． 明△ １ 证 ０—２ ０—３ ０是等 腰 三 角形 ． 还有 Ａ９—
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这 时 正 好 有 ２０ ６ １ ０ － ７— １８成立 ， １ 也就 是 出现 了年 份数 能被 届数 所 整除 的巧 合 ． 那 么你能 说 出
ａ 最早能具有这种巧合的数学节 日是第几届？ ） ｂ 最后能具有这种巧合的数学节 日是第几届？ ） ５ ．爷爷把 孙 子 叫到村 内说 ： “ 瞧瞧 ， 我的果园有多么不同寻常 ！在这里我种 了梨树和苹果树 ， 同 时每一棵苹果树都和两棵梨树各有 １ 米的距离． ０ ” “ 真有趣 ，孙子说 ，那么苹果树数量是梨树的二分之一吧？ ” “ ” “ 这你得好好猜一下了，爷爷微笑说，果园里的苹果树可是梨树 的 ” “
数学竞赛在俄罗斯
• 苏联解体后的1992年赛事改称独联体数学 奥林匹克（the Commonwealth of Independent States Mathematical Olympiad），届数再次重新算起。这也是 最后一届独联体数学奥林匹克。1993年俄 罗斯数学奥林匹克（Russian Mathematical Olympiad）开始举行，届 赛的地位 • 在俄罗斯，奥林匹克竞赛成绩有着举 足轻重的地位。 • 莫斯科各高校校长每年都会签署专项 协议,特批在莫斯科或全国中学生奥赛 中获奖的11年级学生免试进入本校读 书。俄罗斯其他一些地区的高等学府 同样对奥赛获奖者敞开大门。
（五）俄罗斯数学竞赛的地位 • 俄罗斯其他一些地区的高等学府同样 对奥赛获奖者敞开大门。此外,很多综 合大学自己组织中学生竞赛,获奖者可 以被视同于通过了入学考试。 • 所以，在俄罗斯，中学生奥林匹克竞 赛热得发烫。很多高三学子都希望通 过竞赛进入理想的大学殿堂。
• 俄罗斯数学奥林匹克是俄罗斯国内规 模最大，水平最高的数学竞赛活动。 俄罗斯数学奥林匹克的前身是全苏数 学奥林匹克和全俄数学奥林匹克。
(二)俄罗斯数学奥林匹克起源和概况
1961年第一届全俄数学奥林匹克（All Russian Mathematical Olympiad）开始 举行。这是人类历史上第一次把数学竞赛 冠于奥林匹克。1972年赛事改称全苏数学 奥林匹克（All Soviet Union Mathematical Olympiad），届数重新算 起。
(二)俄罗斯数学奥林匹克起源和概况
• 俄罗斯数学奥林匹克的特点是分年级进行， 每个年级(七至十一年级)都是要求在4小时 内解答5道试题。高年级的优胜者可被免试 推荐进入大学。现在，俄罗斯的数学短期 活动已发展到包括小学生、中学生和大学 生在内的各级各类数学奥林匹克，其中尤 以中学数学短期活动开展得最为广泛和普 遍。
第45届俄罗斯数学奥林匹克(十、十一年级)
2019年第12期31第45届俄罗斯数学奥林匹克(十、十一年级)中图分类号：G424.79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2019)12-0031-08决赛十年级1.在平面上的每个点A处均放置一个实数/■(4)•若M ABC的重心，则/'(M)=/(4)+/(B)+/(C).证明:对于一切点4,均有/(A)=0.2.芭莎和沃娃做游戏，芭莎先开始•开始时,在他们面前放着一块很大的塑料板•芭莎每一次都把某一块塑料板分割为三块(可以相同)•沃娃则从中挑出两块把它们粘合成一块•若在某一时刻，在已有的塑料块中能找到100块重量相同的，则芭莎获胜•问：沃娃能否阻止芭莎取胜？3.星际旅馆有100间客房，可分别容纳101,102,-,200位客人.在这些客房里目前共住着n位客人.现在来了一个VIP团队，需要为他们腾出一整间客房•为此，客房经理挑选出一间客房，并把原来住在里面的所有客人全安排到同一间其他的客房里•问:对于怎样的S客房经理可以以这种方式安排客人，而不会受制于客人的现在住房情况？4.在锐角A ABC中,AC<BC.经过顶点A、B的圆与线段CA、CB分别交于点41、艮.△ABC、△儿QC的外接圆的第二个交点为P,线段4Q与BA X交于点S.Q、R分别为点S关于直线CA、CB的对称点.证明:P、Q、R、C四点共圆.5.同九年级第5题.6.在锐角中作角平分线BL,D、E 分别为A ABC的外接圆厂上弧亦、辰的中点•在线段BD、BE的延长线上各取一点P、Q,使得Z APB=ZCQB=90°.证明：线段BL 的中点在直线PQ上.7.某数学小组共有24名学生•对于每个有6名学生所组成的队，负责人均给出“能配合”或“不能配合”的两类评价.为做数学擂台赛训练，负责人打算把小组里的学生分为4个队,每个队6名学生.问：能否对于任何一种分为4个队的方法，要么恰有三个队是能配合的,要么恰有一个队是能配合的,并且两种情况都会出现？8.给定非常数的整系数多项式P(x)和正整数n.令a。
第31届俄罗斯数学奥林匹克
九年级
9. 1. 如图 1 ,作 ∠C 的平分线 ,将点 A 关于该平
分线的对称点记作 A′,观察点 A′. 由于 CP = CQ ,所
以 , ∠C 的平分线就是
线段 PQ 的中垂线 ,从
而 ,四 边 形 PQA′A 是
等腰 梯 形 或 矩 形. 因
此 ,对任何满足题中条
件的点 P、Q ,点 A′都
k = 1 的情形显然.
假设结论对一切 N ≤3 k - 1 成立 ,我们证明结论
对 N ≤3 k 也成立.
显然 ,瓦夏第一步应当确认第 N 张卡片与放在
第
N 3
个位置和第
2N 3
个位置上的卡片 A 和 B
之间的位置关系. 由于卡片 A 、B 将已经排列好的卡
片分成了三段 ,所以 ,瓦夏利用 1 卢布来了解第 N
11. 7. 对边不平行的四边形 ABCD 外切 于以 O 为圆心的圆. 证明 : 点 O 为四边形 ABCD 的两组对边中点连线的交点 ,当且仅当 OA·OC = OB ·OD.
11. 8. 围绕一个圆桌坐着来自 25 个国家 的 100 名代表 ,每个国家 4 名代表. 证明 : 可 以将他们分成四组 ,使得每一组中都有来自 每个国家的 1 名代表 ,并且每一组中的任何 两名代表都不是圆桌旁的邻座.
9. 8. 围绕一个圆桌坐着来自 50 个国家 的 100 名代表 ,每个国家 2 名代表. 证明 : 可 以将他们分成两组 ,使得每一组都是由来自 50 个国家的 50 名代表组成 ,并且每一个人 都至多与自己的一个邻座的人同组.
十年级
10
.
1
.
试
找
出
不
能
表