江苏省-学年度第一学期期终考试高二数学试卷

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2022-2023高二上学期期中考试数学试卷含答案

2022－2023学年第一学期期中教学质量检测高二年级数学试卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知 =（1,0,1），(),1,2b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π2．若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（）A ．2 B．3 CD3．设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）A ．{},,a b b c c a +++B ．{},,a b b c c a --- C ．{},,a b c a b c +++ D ．{},,3a b c a b c a b c -++--+ 4．与直线y =切于点A，且经过点B 的圆的方程为（）A．22(3)(24x y ++= B．22((1)16x y ++= aC ．22(3)(1)16x y ++-=D ．22(23)(2)4x y -+-=5．已知椭圆22:14x y C m +=的焦距是2，则离心率e 的值是（） A 5 B ．125C ．123D 525 6．如图所示，在棱长为1的正方形1111ABCD A B C D -中，点P 是1AA 的中点，点M ，N是矩形11BB D D 内（包括边界）的任意两点，则PM PN ⋅的取值范围是（）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e ，设月球的半径为R ，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r ，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（）A ．(1)11e r eR e e ++-- B ．(1)211e r eR e e ++-- C ．(1)11e r eR e e -+++ D ．(1)211e r eR e e -+++ 8．设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论错误的是（）A ．当04x =时，||PF 的值为6B ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

苏州市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

苏州市2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷数学2022.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．直线2x π=的倾斜角为A ．不存在B ．2πC ．0D ．π2．等比数列{}n a 中，15116a a ==，，则4a =A ．8-B ．8C ．8±D ．4±3．直线0x y b ++=与线段AB 没有公共点，其中()()1,233A B -，，则实数b 的取值范围是A ．()(),30,-∞-+∞ B ．()3,0-C ．[]3,0-D ．()(),03,-∞+∞ 4．已知等差数列{}n a 公差0d ≠，数列{}n b 为正项等比数列，已知3399a b a b ==，，则下列结论中正确的是A ．22a b >B ．66a b <C ．88a b >D ．1212a b >5．已知(0,0),(2,0),(2,2),(,1)A B C D m --四点共圆，则实数m 的值为A 1B 1C 1-D ．16．n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若613S a =，10a >，则使n n S a >的n 的最大值为A ．2B ．12C ．11D ．107．直线l 按向量()3,1a =-平移后得直线l '，设直线l 与l '之间的距离为d ，则d 的范围是A ．)+∞B ．⎡⎣C ．[]1,3D ．[]0,108．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：223n S n n =+，数列{}n b 前n 项和n T 满足：21n n T b =-，记12n b b n b M a a a +++= ，则使得n M 值不超过2022的项的个数为A ．8B ．9C ．10D ．11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．．9．下述四个结论，正确的是A ．过点(1,1)A 在x 轴，y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=B ．直线0x y k -+=与圆221x y +=相交的充分不必要条件是1k =C ．直线10ax y ++=表示过点()0,1-的所有直线D．过点B 与圆224x y +=相切的直线方程为40x +-=10．对于数列{}n a ，设其前n 项和n S ，则下列命题正确的是A ．若数列{}n a 为等比数列，396S S S ，，成等差，则285a a a ，，也成等差B ．若数列{}n a 为等比数列，则223n n nS S S =⋅C ．若数列{}n a 为等差数列，且5810S S a =<，，则使得0n S >的最小的n 值为13D ．若数列{}n a为等差数列，且1311a a ==，，则{}n a 中任意三项均不能构成等比数列11．设直线()()210,0mx m y m m R m -++=∈≠与圆22(1)(1)2x y -+-=交于,A B 两点，定点()2,0C ，则ABC ∆的形状可能为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是A ．12311111n na a a a n ++++=+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b ++++<D ．*,m N m ∀∈≥2，总存在*,p q N ∈，使得m p q b a a =+成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知点P 在直线10x y --=上，点()()1,22,6A B -，，则PA PB -取得最小值时点P 坐标为●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●________．14．设正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在,m n a a ，使得14a =，则数列14m n+的最小值为________．15．曲线2221221x y x y x +=-++-所围成图形面积为________．16．在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线:20l x y -=上的点，()5,0B ，以AB 为直径的C （圆心为C ）与直线l 交于另一点D ，若ABD ∆为等腰三角形，则点A 的横坐标为________；若C 与()22:510B x y -+= 相交于E F ，两点，则公共弦EF 长度最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知直线12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，试分别确定满足下列条件的实数m n ，的值.（1）1l 和2l 相交于点(),1P m -；（2）12//l l ；（3）12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-．18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足263225n n a a S S =+=，．（1）求9a 的值；（2）设x 为25a a ，的等比中项，数列{}n b 是以25a x a ，，为前三项的等比数列，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n T 的表达式．已知点()1,1P -，()22:211C x y a +--= ，过点P 斜率为a 的直线l 交圆C 于A B ，两点．（1）当ABC ∆面积最大时，求直线l 方程；（2）若0a >，在（1）条件下，设点T 为圆C 上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q ，使得2TP TQ =成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)设正项数列{}n a 前n 项和为n S ，从条件：①()12311113572121nna a a n a n ++++=++ ，②()241n n S a =+，③11114n n n a a a S +=+=，，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足．（1）求n S ；（2）令1n a n n b a +=⋅，记数列{}n b 前n 项和为n T ，若对任意的*,2n N n ∈≥，均有()2641615n T m n n --+≥恒成立，求实数m 的取值范围．已知圆()22:13D x y +-=，过点()0,1P -的直线l 与圆D 相交于M ，N 两点，且2MN =，圆Q 是以线段MN 为直径的圆．（1）求圆Q 的方程；（2）设()()()0,0,652A t B t t +--，≤≤，圆Q 是ABC ∆的内切圆，试求ABC ∆面积的取值范围．22．(本小题满分12分)已知正项数列{}n a 满足1111122n n n n n a a a a a +++=+=，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：12118n a a a +++<．2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷数学参考答案2022.11一、单项选择题：题号12345678答案BCACDCBC二、多项选择题题号9101112答案BDADABBCD三、填空题13.()34--，14.3215.48π+16.3或1-，四、解答题17.(本小题满分10分)解：（1）因为1l 和2l 相交于点(),1P m -，所以P 点在1l 上也在2l 上，于是有280210m n m m ⎧-+=⎨--=⎩，解得17m n =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………3分（2）因为12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，12//l l ，所以有2168m mn ⎧=⎨≠-⎩，解得42m n =⎧⎨≠-⎩或42m n =-⎧⎨≠⎩.…………………………………………………………………………6分(3)当0m≠时，由2184m m ⎛⎫⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，1l 和2l 不垂直。

江苏省锡山高级中学高二2020-2021学年第一学期数学期中考试试卷

江苏省锡山高级中学2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷（1-4,6-16班）命题人李金凯何鹏审核人何鹏（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的选项中,只有1项符合题意） 1. 命题:“,1x Z x N ∃∈-∈”的否定为（） A.,1.x Z x N ∀∉-∈ B.,1.x Z x N ∀∉-∉C.,1.x Z x N ∀∈-∉D.,1.x Z x N ∃∈-∉2. 已知双曲线2221(0)x y a a-=>的离心率为3,则实数a 的值为（）B. 12C.1D.23. 在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为（） A. 2± B. 2 C. 3± D.34. 已知双曲线221412y x -=右支上一点P 到右焦点的距离为4,则该点到左准线的距离为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 55. 若直线l 过抛物线28y x =的焦点,与抛物线相交于,A B 两点,且16||=AB ,则线段AB 的中点P 到y轴的距离为（） A.6 B. 8 C. 10 D.126. 为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为（）A.34000米 B .36000米 C.38000米 D.40000米 7. 数列{}n a 是等比数列,公比为q ,且01>a .则“1-<q ”是“122122,+-*<+∈∀n n n a a a N n ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8. 已知椭圆22143y x C +=：的右焦点为F .点,A B 为椭圆上不同的两点,且满足AF BF ⊥.过线段AB 的中点P 作椭圆C 右准线的垂线,垂足为Q .则||||AB PQ 的最小值为（）A.12 D. 1二、多选题（本题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分）9. 已知数列 ,2,0,2,0,2,0,则前六项适合的通项公式为（）A. n n a )1(1-+=B. 2cos 2πn a n = C. |2)1(sin|2π+=n a n D. )2)(1()1cos(1--+--=n n n a n π 10. 已知命题:p 不存在过点(1,1)的直线与椭圆12222=+y m x 相切.则命题p 是真命题的一个充分不必要条件是（） A.2≥m B.2>m C.20<<m D.3-=m11. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:,13,8,5,3,2,1,1....即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A.5510=a B.2020a 是偶数 C.2020201820223a a a =+ D.+++321a a a (2022)2020a a =+12. 已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ,准线l 与x 轴交于点M . 点Q P ,是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是（） A.若直线PQ 过焦点F ,则以线段PQ 为直径的圆与准线l 相切; B.过点M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多两条; C.对于抛物线内的一点(1,1)T ,则||||3PT PF +≥;D.若直线PQ 垂直于x 轴,则直线PM 与直线QF 的交点在抛物线C 上.三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共计20分.只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程） 13. 已知递增等差数列{}n a 满足:20,125142==+a a a a ,则4a = ▲ .14. 已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线222:1916y x C -=的渐近线的距离为,则实数p的值为 ▲ .15. 设椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的右焦点为F ,O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方),且||||OF OQ =,则椭圆C 的离心率为 ▲ .16. 数列{}n a 满足:1*1151,2(),22n n n a S a n N ++==--∈其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,则=n a ▲ ,若不等式2(2)2512n t a n n -≥--对*n N ∀∈恒成立,则实数t 的最小值为 ▲ .四、解答题（本题共6小题,共计70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）已知命题p :方程13522=-++ky k x 表示焦点在x 轴上的椭圆；命题2:,250q x R x kx k ∀∈+++≥恒成立；命题:11(0).r m k m m -<<+> （1）若命题p 与命题r 互为充要条件,求实数m 的值；（2）若命题q 是命题r 的必要不充分条件,求正数m 的取值范围.18. （本题满分12分）已知双曲线C 的标准方程为22136y x -=,12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点. （1）若点P 在双曲线的右支上,且12F PF ∆的面积为3,求点P 的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点,求线段MN 的长度.19. （本题满分12分）在①321,1,a a a +成等差数列；②304=S ；③64321=a a a 三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并作答.（注：如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分）已知n S 是数列}{n a 的前n 项和. 若)(21*∈-=N n a a S n n ,01≠a ,且满足（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11=b ,)(*1N n a b b n n n ∈=-+,求数列}{n b 的通项公式.20. （本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的左、右顶点分别为B A ,,4||=AB .过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于E D ,两点, 且1||=DE . （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -,且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记PNA ∆与PMB ∆的面积之比为λ,求实数λ的取值范围.21. （本题满分12分）已知数列}{n a 中, 11=a ,1)2()1(1=+-++n n a n a n )(*N n ∈,n S 为数列{}n a 的前n 项和.数列}{n b 满足*1()n nb n N S =∈.（1）证明：数列}{n a 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 的前n 项和为n T .问是否存在正整数)3(,q p q p <<,使得q p T T T ,,3成等差数列？若存在,求出q p ,的值;若不存在,请说明理由.22. （本题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点(2,-（1）求抛物线C 的方程及其相应准线方程；（2）过点(2,0)E 作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线于,M N 和,P Q 四点，其中121k k +=.设线段MN 和PQ 的中点分别为,,A B 过点E 作,ED AB ⊥垂足为.D 证明:存在定点,T 使得线段TD 长度为定值.。

江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试题

江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2y 的焦点为F ，准线为ι，则点F 到直线ι的距离为 A. 12B. 1C. 2D. 42. 已知向量a ⃗=（-2，3，-1），b ⃗⃗=（4，m ，n ），且a ⃗//b⃗⃗，其中m ，n ∈R ，则m+n= A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 3. 若sin θ=2cos （π-θ），则tan （θ+π4）的值为A. 3B. 13C. -3D. −134. 在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29+y 2m =1与双曲线T ：x 2−y 2m =1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A. y=±14xB. y=±12x C. y=±4x D. y=±2x5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为 A. x 2+y 2+6y-16=0 B. x 2+y 2-6y-16=0 C. x 2+y 2+8y-9=0 D. x 2+y 2-8y-9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√37. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB=∠A 1AC=60º，∠BAC=90º，A 1A=3，AB=AC=2，则线段AO 的长度为A. √292B. √29 C. √232D. √238. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上. 若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为A. √3−1B. √5−1C. √3+1D. √5+1二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是A. 若α⊥β，m⊥α，则m//βB. 若α//β，m⊥α，则m⊥βC. 若m//α，m⊥β，则α⊥βD. 若m//α，m//β，则α//β10. 在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，点A在椭圆上. 若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线ι1，ι2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到ι1，ι2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是A. 距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A. 它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为5√23D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x-（a-3）y-4=0，a ∈R. 若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.14. 在空间直角坐标系中，若三点A （1，-1，a ），B （2，a ，0），C （1，a ，-2）满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数a 的值为________.15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，BC=√2，则四面体PABC 的外接球的表面积为________.16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为________.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在①sin （A-B ）=sinB+sinC ；②2acosC=2b+c ；③△ABC 的面积S=√34（a 2-b 2-c 2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，D 是边BC 上的一点，∠BAD=π2，且b=4，c=2，求线段AD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：（x-2）2+y 2=1，动圆M 与直线ι：x=-1相切且与圆F 外切.（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A （-2，0），曲线C 上一点P 满足PA=√2PF ，求∠PAF 的大小. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 中点. （1）求证：B 1A//平面C 1BD ；（2）若AA 1=AB=3，BC=4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B-B 1C 1D 的体积.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，点A ，B 是直线x-y+m=0（m ∈R ）与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上.（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x-y-√3=0上存在点P 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求实数m 的取值范围. 21. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ，PA=AD=4，BC//AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=2，PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗（0≤λ＜1）. （1）若λ=12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B-AE-C 的大小为θ，若|cos θ|=2√3417，求λ的值.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点与上顶点的距离为2√3，且经过点（2，√2）.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线ι与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点. 若椭圆上存在点N 满足ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求证：△PQN 的面积S 为定值.江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学参考答案2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)，得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线．故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1，所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分（2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点．B 1（第19A 1C 1BDAC OE又因为D 为AC 中点，所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分（2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．因为DE ⊂平面ABC ，所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ，所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离．因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积，即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ，所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6，所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分（2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )．因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点，所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32．综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2，且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)．由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0．又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解，………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0，解得－3＋12≤m ≤1－32．综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2，所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2．设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2，所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分（2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1，所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)．设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1，yz P A BCD Ex所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量）因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417，得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分 22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ① 因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b2＝1，② …………2分由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分（2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823，此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0，由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4．（*）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2，因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2)．又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)，将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1，化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2，将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649．综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。

2022-2023学年江苏省扬州市邗江区高二年级上册学期期中考试数学解析版

【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.
【详解】因为，则，解得或 .
故选：C.
5.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】由直线，可得，斜率为
直线的倾斜角为，则
所以，则
故选：B
2.经过两点，的直线的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可得到答案；
【详解】，
直线的方程为，
故选：D
3.双曲线－＝1的渐近线方程是（）
A.y＝± xB.y＝± x
17.已知顶点，边上的高为且垂足为E.
（1）求边上中线所在的直线方程；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、
（2）根据求得点的坐标.
【小问1详解】
，即，
所以直线的方程为 .
【小问2详解】
直线的方程为，
设，
依题意，
（2）由直线l平行于OA，可设直线l 方程为：，则圆心M到直线l的距离为，因为CD=2OA= ，所以，所以，则解得m=－20或m=0（舍去），
则直线l的方程为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题．

江苏省高二上学期数学期中考试试卷

江苏省高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020高一上·泉州期中) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分）经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角（）A . 45°B . 135°C . 90°D . 60°3. （2分） (2019高二上·大冶月考) 圆与圆的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（）A . 1B . 2C . 4D . 84. （2分） (2020高二上·武汉期中) 在空间直角坐标系中，点M( ，y，2020）（x∈R，y∈R)构成的集合是（）A . 一条直线B . 平行于平面的平面C . 两条直线D . 平行于平面的平面5. （2分）(2018·石嘴山模拟) 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（）A . 为奇函数，在上单调递減B . 最大值为1，图象关于直线对称C . 周期为，图象关于点对称D . 为偶函数，在上单调递增6. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 、为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，，则的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·成都模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A . 136πB . 34πC . 25πD . 18π8. （2分） (2020高二上·福州期中) 已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（）A .B .C .D .二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高二上·临澧期中) 以下说法正确的有（）A .B . 双曲线，则直线与双曲线有且只有一个公共点C . 过的直线与椭圆交于、两点，线段中点为，设直线斜率为，直线的斜率为，则D . 已知是以F1、F2为左、右焦点的椭圆上一点，则满足为直角的点有且只有2个10. （3分） (2019高二上·中山月考) 已知曲线，则曲线（）A . 关于轴对称B . 关于轴对称C . 关于原点对称D . 关于直线轴对称11. （3分） (2020高一下·邹城期中) 在中，，，，则角B的值可以是（）A . 105ºB . 15ºC . 45ºD . 135º12. （3分）(2020·肥城模拟) 如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）A . 直线与平面所成的角等于B . 点C到面的距离为C . 两条异面直线和所成的角为D . 三棱柱外接球半径为三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·乌鲁木齐模拟) 若ln（x+1）﹣1≤ax+b对任意x＞﹣1的恒成立，则的最小值是________．14. （1分） (2019高二上·大庆月考) 过椭圆的中心作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则周长的最小值是________．15. （1分） (2016高二上·温州期中) 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2 ）an+sin2 ，则该数列的前10项和为________．16. （1分） (2020高一上·衢州期末) 函数的单调增区间是________，值域是________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二上·会宁期中) 解关于不等式：18. （10分） (2016高二上·徐水期中) 已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x 分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．19. （10分） (2019高二下·上海期中) 如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且 .（1）若，求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值20. （10分） (2018高二下·凯里期末) 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相交于两点.①若线段中点的横坐标为，求的值；②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由.21. （10分） (2019高二上·北京期中) 求过点，离心率为的双曲线的标准方程．22. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 已知直线y=﹣x+1与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[ ， ]时，求椭圆的长轴长的最大值．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。

江苏省徐州市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

2021~2022学年度第一学期期中考试高二数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在答题卡上．2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案写在试卷上无效．3. 非选择题必须用黑色字迹的 0.5mm 签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4. 考生必须保持答题卡的整洁．一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求．1. 直线过 ()2,3A 和 ()4,5B 两点，则直线的倾斜角是 ()ΔA ． 30B ． 45C ． 135D ． 1502. 已知圆心为 ()2,1- 的圆与 y 轴相切，则该圆的标准方程是 ()ΔA ． 22(2)(1)4x y ++-=B ． 22(2)(1)1x y ++-=C ． 22(2)(1)4x y -++=D ． 22(2)(1)1x y -++=3. 设 a R ∈，直线 1:22l x ay a +=+ 与直线 2:1l ax y a +=+ 平行，则 a 的值是 (A ． 1±B ． 1-C ． 1D ． 04. 经过点 ()2,3P - 作圆 22:2240C x y x ++-= 的弦 AB ，使得点 P 平分弦 AB ，则弦 AB 所在直线的方程是（Δ ) A ． 50x y ++=B ． 50x y +-=C ． 50x y -+=D ． 50x y --=5. 两圆 221:(3)4C x y +-= 与 222:(4)9C x y -+= 的公切线有 (A ． 1 条B ． 2 条C ． 3 条D ． 4 条6. 已知点 F 是抛物线 22(0)x py p => 的焦点， O 为坐标原点，若以 F 为圆心， FO 为半径的圆与直线30y -+= 相切，则抛物线的准线方程是 ()ΔA ． 1x =-B ． 1y =-C ． 2x =-D ． 2y =- 7. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知下面左图是单叶双曲面 (由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形) 型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象．上下底面与地面平行．现测得下底面直径 AB = 米，上底面直径 CD =米， AB 与 CD ．间的距离为 80 米，与上下底面等距离的 G 处的直径等于 CD ．，则最细部分处的直径为 ( Δ )A ． 20 米B ． 105 米C ． 103米D ． 10 米8. 已知实数 ,x y 满足方程4=，则 2x y ++ 的最大值是 ( Δ )A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．9. 已知 a 为实数，若三条直线 280,43100ax y x y ++=+-=．和 2100x y --= 不能围成三角形，则 a 的值为 ( Δ )A ． 83B ． 1C ． 1-D ． 4- 10. 已知曲线 C 的方程为 ()22191x y k R k k +=∈--，则下列结论正确的是 (Δ) A ．当 5k = 时，曲线 C 是半径为 2 的圆B ．当 0k = 时，曲线C 是双曲线，其哳近线方程为 13y x =±．C ．存在实数 k ，使得曲线 C 为离心率为的双曲线D ． " 1k > " 是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆” 的必要不充分条件11. 已知直线 :sin cos 1l x y αα+= 与圆 22:6O x y += 交于 ,A B 两点，则下列说法正确的是（ Δ )A ．直线 l 的倾斜角为 πα-B ．线段 AB 的账度为定值，C ．线段 AB 点轨迹方程为 221x y +=D ．圆 O 上总有 4 个点到 l 的距离为 212. 在平面直角坐标系中，定义 ()1212,d P Q x x y y =-+- 为 ()()1122,,,P x y Q x y 两点之间的 "曼哈顿距离"，则下列说法正确的是 ( Δ) A ．若点 C 在线段 AB 上，则有 ()()(),,,d A C d C B d A B +=B ．若 A BC 、、是三角形的三个顶点，则有 ()()(),,,d A C d C B d A B +>。

江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析

2023~2024学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页、包含单项选择题（第1题~第8题），多项选择题（第9题~第12题）.填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320x y +-=的方向向量为（）A.()1,3- B.()1,3 C.()3,1- D.()3,1【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k ，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320x y +-=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3-，又()()1,31,3-=--，所以()1,3-也是直线320x y +-=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列{}n a 中，若39218a a +=，则263a a +的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B 【解析】【分析】由等差数列通项公式求基本量得5146d a a +==，再由2639532a a a a a +=++即可求值.【详解】令{}n a 的公差为d ，则3911122(2)831218a a a d a d a d +=+++=+=，即5146d a a +==，则2624683953218624a a a a a a a a a +=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B 【解析】【分析】分别求出直线3450x y -+=与坐标轴的交点，分别求得关于y 轴的对称点，即可求解直线的方程．【详解】令0x =，则54y =，可得直线3450x y -+=与y 轴的交点为5(0,)4，令0y =，则53x =-，可得直线3450x y -+=与x 轴的交点为5(,0)3-，此时关于y 轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450x y -+=关于y 轴对称的直线经过两点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534x y +=，化为3450x y +-=，故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1-且圆心在直线350x y +-=上的圆的方程为（）A.()()22510125x y -++= B.()()22125x y ++-=C.()()22125x y -+-= D.2252539x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令圆心为(,53)x x -，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)x x -，又圆经过原点和点()3,1-，所以()()()2222253363r x x x x =+-=-+-，整理可得53x =，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r =，则圆的方程为2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：D5.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令{}n a 公差为d 且0d ≠的无穷等差数列，且11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，若{}n a 为递减数列，则0d <，结合一次函数性质，不论1a 为何值，存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，由于0d ≠，即{}n a 不为常数列，故1()n a dn a d =+-单调递减，即0d <，所以{}n a 为递减数列，必要性成立；所以“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P ，点Q 在224x y +=的圆周上运动，点M 满足PM MQ =，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A 【解析】【分析】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由动点转移法求得M 点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由PM MQ =得M 是线段PQ 中点，∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，又Q 在圆224x y +=上，22(24)(23)4x y -+-=，即223(2)()12x y -+-=，∴M 点轨迹是半径为1的圆，面积为πS =，故选：A ．7.等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+=（）A.5-B.1-C.5D.1【答案】C 【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q ，显然1q ≠±，则由题意得5121012(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得51(1)51a q q +=+，所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+，故选：C.8.过点()2,0P 作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为,A B ，则PAB 的面积为（）A.8B.2C.8D.【答案】A 【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径r =，进而有||CP =，由圆的切线性质得||||BP AP ==，sin BPC BPC ∠=∠=，2BPA BPC ∠=∠，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB 面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5x y +-=，圆心为(0,2)C，半径r =，所以||CP =，如下图示，切点分别为,A B，则||||BP AP ===，所以||||sin ||||BC BP BPC BPC CP CP ∠==∠==2BPA BPC ∠=∠，所以15sin sin 22sin cos 4BPA BPC BPC BPC ∠=∠=∠∠=，所以11||||sin 2248PAB S BP AP BPA =∠==.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0l x my m ++=，若直线l 与连接()()3,2,2,1A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（）A.2π3 B.π2C.π4D.π6【答案】ABC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点，从而求得,AC BC k k ，进而利用数形结合可得直线l 倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0l x my m ++=可化为()10x y m ++=，所以直线l 过定点()0,1C -，又()()3,2,2,1A B -，所以()21130AC k --==---，()11120BC k --==-，故直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l 的倾斜角范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ABC 正确，D 错误.故选：ABC.10.设,n n S T 分别是等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前()*Nn n ∈项和，下列说法正确的是（）A.若15160a a +>，15170a a +<，则使0n S >的最大正整数n 的值为15B.若5nn T c =+（c 为常数），则必有1c =-C.51051510,,S S S S S --必为等差数列D.51051510,,T T T T T --必为等比数列【答案】BCD 【解析】【分析】A 由已知可得129152d a d -<<-，且0d <，再应用等差数列前n 项和公式及0n S >得1201a n d<<-，即可判断；B 由等比数列前n 项和公式有11511n n n b b q T c q q =-=+--，即可判断；C 、D 根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令{}n a 的公差为d ，则11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，所以151611517122902300a a a d a a a d +=+>⎧⎨+=+<⎩，故129152d a d -<<-，且0d <，使211(1)()0222n n n d dS na d n a n -=+=+->，则1201a n d <<-，而122930a d <-<，即121(30,31)ad-∈，故030n <≤，所以使0n S >的最大正整数n 的值为30，A 错；令{}n b 的公比为q 且0q ≠，则()11115111nnn n b q b b q T c qq q-==-=+---（公比不能为1），所以1511q b q =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，即1c =-，B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,S S S S S --必为等差数列，51051510,,T T T T T --必为等比数列，C 、D 对.故选：BCD11.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前()*Nn n ∈项和为nS，前()*Nn n ∈项积为nT ，若1132a=，56T T =，则（）A.2q = B.当且仅当6n =时，n T 取得最小值C.()*11N ,11n n T T n n -=∈< D.n n S T >的正整数n 的最大值为11【答案】AC 【解析】【分析】根据56T T =确定6a ，561a q a =求出q 的值确定A ，根据数列项的变化，确定B ，利用等比数列的基本量运算判断C ，根据n n S T >转化二次不等式，从而确定正整数n 的最大值判断D.【详解】对于A ，因为56T T =，所以6651T a T ==，因为56132a q a ==，解得2q =，故A 正确；对于B ，注意到61a =，故15,Z n n ≤≤∈时，01n a <<，7,Z n n ≥∈时，1n a >，所以当5n =或6n =时，n T 取得最小值，故B 错误；对于C ，()()()21111215*221231222N ,11n n n nnn n n n T a a a a a q n n --+++--===⋅=∈< ，()()()()2111011111112105*221112111222N ,11n n n n nn n n n T a a a a q n n -----+++----===⋅=∈< ，所以()*11N ,11n n T T n n -=∈<，故C 正确；对于D ，()1512112n n n a q S q--==-，21122n n n T -=，因为n n S T >，所以211252212n nn -->，即211102212n n n -+->，所以211102212n n n -+->，即211102n n n -+>，所以131322n <<，正整数n 的最大值为12，故D 错误，故选：AC.12.已知圆22:4C x y +=，圆22:860M x y x y m +--+=（）A.若8m =，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B.若9m =，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为()3,4--C.若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则16m >D.若圆M 恰好平分圆C 的周长，则4m =-【答案】AD 【解析】【分析】A 、B 将圆M 化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C 由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D 由题意相交弦所在直线必过(0,0)C ，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A ：8m =时圆22:(4)(3)17M x y -+-=，则(4,3)M，半径r =，而圆22:4C x y +=中(0,0)C ，半径2r '=，所以||5CM =，2||2CM -<<+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360x y +-=，所以(0,0)C 到4360x y +-=的距离为65d =，故相交弦长为1625=，对；B ：9m =时圆22:(4)(3)16M x y -+-=，则(4,3)M ，半径4r =，同A 分析知：42||42CM -<<+，故两圆相交，错；C ：若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CM r r r '>+=+，而圆22:(4)(3)25M x y m -+-=-，即r =所以250162525m m ->⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩，错；D ：若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C ，两圆方程相减得相交弦方程为8640x y m +--=，将点代入可得4m =-，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若{}n a 是公差不为0的等差数列，248,,a a a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前()*Nn n ∈项和，则1210111S S S +++ 的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,a a a 成等比数列，解出公差为d ，得到n a ，求出n S ，裂项相消求1210111S S S +++ 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，248,,a a a 成等比数列，由2428a a a =，则()()()211137a d a d a d +=++，即()()()213117d d d +=++，由0d ≠，得1d =，所以()11n a a n d n =+-=，则有()()1122n n n a a n n S ++==，得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121011111101111112021211221311S S S ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .故答案为：201114.平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550x y +-=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l 的方程为731(43)0x y x y λ-+++-=，且直线过(0,1)，所以031(043)02λλ-+++-=⇒=，故直线l 的方程为9550x y +-=.故答案为：9550x y +-=15.如图，第一个正六边形111111A B C D E F 的面积是1，取正六边形111111A B C D E F 各边的中点222222,,,,,A B C D E F ，作第二个正六边形222222A B C D E F ，然后取正六边形222222A B C D E F 各边的中点333333,,,,,A B C D E F ，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题设分析出前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n 项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为2，故它们面积比为34，所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前n 个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nn S -==--.故答案为：34[1()]4n-16.已知实数,,a b c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,1A ，O 是坐标原点，直线:230l ax by c ++=．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段AM 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0l a x y c y +++=，求出直线所过的定点，结合已知M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,22C -，半径为2，问题化为求()4,1A 到该圆上点距离的最小值.【详解】由题设2b a c =+，则:()30l ax a c y c +++=，即:()(3)0l a x y c y +++=，令03303x y x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即直线l 恒过定点(3,3)B -，又OM l ⊥，所以M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,)22C -，半径为2，要求AM 的最小值，即求()4,1A 到该圆上点距离的最小值，而52||2CA =，所以min 22AM =-=四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()1:2120l x a y ---=，()()()2:22130R l a x a y a ++++=∈．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若1//l 2l ，求12,l l 之间的距离．【答案】（1）1a =-或52；（2【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12l l ⊥，则2(2)(1)(21)0a a a +--+=，即22350a a --=，所以(25)(1)0a a -+=，可得1a =-或52.【小问2详解】由1//l 2l ，则22121a a a++=-，可得250a a +=，故0a =或5-，当0a =，则1:220l x y +-=，2:230l x y ++=，此时满足平行，且12,l l=；当5a =-，则1:310l x y +-=，2:310l x y +-=，此时两线重合，舍；综上，1//l 2l 时12,l l18.已知等差数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，又294,90a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =（2）()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992n n b a n =-=-，令920n c n =->求出n 的取值范围，再分段求出数列{}n b 的前n 项和nT 【小问1详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，因为990S =，所以()199599902a a S a +===，所以510a =，由5231046a a d -==-=，解得2d =，又24a =，所以()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】992n n b a n=-=-设92n c n =-，{}n c 的前n 项和为n S ，得()279282n n S n n n +-=⨯=-，920n c n =->，得92n <当14n ≤≤时，0n c >，即n n b c =，所以214,8n n n T S n n≤≤==-当5n ≥时，得0n c <，所以n n b c =-，则()()12456n n T c c c c c c =+++-+++ ()()224442328832n n S S S S S n n n n =--=-=--=-+综上所述：()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩19.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设()11n n n b a --=，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析（2）4134n n-⨯【解析】【分析】（1）121n n n a a a +=+，取倒数得1112n n n a a a ++=，化简整理即可判断11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）法一：将2n S 转化为()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论得()1112n n n b -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，应用分组求和及等比数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13n n n a a a a +==+，所以0n a ≠，所以11111222n n n n a a a a ++==+，所以1111122n n a a +-=-，即11111(1)2n na a +-=-因为11211,1032a a =-=≠，1111121n na a +-=-，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】法一：21234212111111n n nS a a a a a a -=-+-++- 1234212111111111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，所以2221111122412133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭===⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭；法二：由（1）1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1112n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()111112n nn n n b a ---⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以22211111224120133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-==⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）652,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2216540022MB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．.21.平面直角坐标系xOy 中，直线0:3213x y l +-=，圆M ：22128480x y x y +--+=，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得QH 为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在；64,1313H ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用对称求出C 点坐标，即可得到圆C 的标准方程；（2）设P 点坐标，,A B 在以PC 为直径的圆N 上，由圆C 与圆N 求公共弦AB ，得直线AB 过定点T ，Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得QH 为定值．【小问1详解】圆M 化成标准方程为()()22644x y -+-=，圆心()6,4M ，半径为2，设圆心()00,C x y ，圆C 与圆M 关于直线l 对称，直线0:3213x y l +-=的斜率为32-，所以00004263643213022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得0000x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0C ，圆C 的方程为224x y +=.【小问2详解】因为P 是直线l 上的动点，设132,32P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,PA PB 分别与圆C 切于,A B 两点，所以,CA PA CB PB ⊥⊥，所以,A B 在以PC 为直径的圆N上，圆N 的方程()22221331334242t t x t y t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即22132302x y tx t y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由222240132302x y x y tx t y ⎧+-=⎪⎨⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，作差得AB 方程为1323402tx t y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭即()1323402t x y y -+-=令23013402x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得1213813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又Q 是AB 中点，所以CQ AB ⊥，则有Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得12QH CT =为定值，坐标为64,1313H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.记首项为1的递增数列为“W -数列”．（1）已知正项等比数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，且满足：222n n a S +=+．求证：数列{}n a 为“W -数列”；（2）设数列{}()*Nn b n ∈为“W -数列”，前()*N n n ∈项和为n S ，且满足()32*1N n i n i b S n ==∈∑．（注：3333121n i n i bb b b ==+++∑ ）①求数列{}n b 的通项公式n b ；②数列{}()*N n c n ∈满足33n n n b b c =，数列{}n c 是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据： 1.44≈≈）【答案】（1）证明见解析（2）①n b n =；②存在；最大项为31c =【解析】【分析】（1）利用等比数列中,n n a S 的关系求解；（2）利用等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为222n n a S +=+，则3122n n a S ++=+，两式相减得3212n n n a a a +++-=，即()()()2112210n n a q q a q q ++--=-+=,因为0,0n a q >>，所以2q =，222n n a S +=+中，当1n =时，有3122=+a a ，即11422a a =+，解得11a =，因此数列{}n a 为“W -数列”；【小问2详解】①因为()32*1N n i n i bS n ==∈∑所以3211b b =，又{}n b 为“W -数列”，所以11b =，且1n n b b +>，所以{}n b 各项为正，当2n ≥，321n i ni b S ==∑①，13211n i n i b S --==∑②，①一②得：3221n n n b S S -=-，即()()311n n n n n b S S S S --=-+，所以21n n n b S S -=+③，从而211n n n b S S ++=+④，④-③得：2211n n n n b b b b ++-=+，即()()111n n n n n n b b b b b b ++++-=+，由于{}n b 为“W -数列”，必有10n n b b ++>，所以11n n b b +-=，()2n ≥，又由③知2221b S S =+，即22122b b b =+，即22220b b --=得22b =或21b =-（舍）所以211b b -=，故()*11n n b b n N +-=∈所以{}n b 是以1为首项，公差是1的等差数列，所以n b n =；②303n n n c =>，所以31113n n c n c n ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，令311113n n c n c n ++⎛⎫=< ⎪⎝⎭，得 2.27n >≈，。

江苏省无锡市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

2023年-2024学年度第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=平行，则实数a 的值为（）A.2B.12C.2-D.2或2-【答案】C 【解析】【分析】求出两直线不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=不相交时，(1)(1)3a a +-=，解得2a =±，当2a =时，直线3330x y ++=与直线10x y ++=重合，不符合题意，舍去；当2a =-时，直线330x y -++=，即330x y --=与直线310x y -+=平行，所以实数a 的值为2-.故选：C2.已知A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则可以得到结论是,,,P A B C 四点（）A.共面B.不一定共面C.无法判断是否共面D.不共面【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算化简得1166AP PB PC =+，即可判断四点位置情况.【详解】311488OP OA OB OC =++,则3311114488808OC OA OP OB OP OP ---+=+，所以3110488PA PB PC ++=，则1166A P PBC P -=- ，故,,,P A B C 四点共面.故选：A3.已知向量()2a = ，向量(= b ，则向量a 在向量b上的投影向量为（）A.122骣ççç÷ç桫,,0 B.()2C.(D.)【答案】D 【解析】【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量a 在向量b上的投影向量.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()434||||a b b b b ⋅⋅=⋅=.故选：D.4.若圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，则11a b+的最小值为（）A.14B.9C.4D.19【答案】C 【解析】【分析】由题意得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，即得1a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】由圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，则2220a b --+=，即1a b +=，而0,0a b >>，则1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为4.故选：C5.已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M 为11C D 的中点，则向量AM的模长为（）A.B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出AM，再利用数量积的运算律计算可得.【详解】由平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，得1122cos602AB AD AA AD AB AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，依题意，11112AM AD DD D M AB AD AA =++=++，因此22222111111()224AM AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅22212222222174=⨯+++++⨯=，所以MN = .故选：C6.已知A 、B 为椭圆22143x y +=上两点，O 为坐标原点，M （异于点O ）为弦AB 中点，若AB 两点连线斜率为12，则OM 两点连线斜率为（）A.23-B.32-C.34-D.43-【答案】B 【解析】【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．【详解】由于直线AB 的斜率为12，故设直线的方程为12y x b =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，故2214312x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2230x bx b ++-=，则()222431230b b b ∆=--=->，即22b -<<，故12x x b +=-，故()121213222b y y x x b +=++=．利用中点坐标公式，3,,24b b M b ⎛⎫-⎪⎝⎭不是零，故34322OMbk b ==--．故选：B ．7.已知点P 是圆M ：()()22222x y -+-=上的动点，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最大值是（）A.1+B.C.1+D.2+【答案】D 【解析】【分析】设AB 中点为D ，计算1CD =，CM =2PA PB PD +=，计算最值得到答案.【详解】圆M ：()()22222x y -+-=，圆心()2,2M，半径1r =；圆C ：()()22114x y +++=，圆心()1,1C --，半径22r =；设AB 中点为D ，则圆心C 到直线AB 的距离为1CD ==，圆心距为CM ==，2PA PB PD +=，PD最大值为11+=，故PA PB +的最大值为2+.故选：D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，90BDC ∠=︒，222BD AB CD ===，E 是BC 的中点，H 是ABD △内的动点（含边界），且//EH 平面ACD ，则CA EH ⋅的取值范围是（）A.[]0,3 B.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.111,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.113,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面//EFG 平面ACD ，再由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABD ，进而有EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F ，G 分别为AB ，BD 的中点，连接FG ，EF ，EG ，如图，易得//FG AD ，//EF AC ，//EG CD ，因为FG ⊂平面EFG ，AD ⊄平面EFG ，所以//AD 平面EFG ，同理//AC 平面EFG ，又因为,AC AD ⊂平面ACD ，AC AD A ⋂=，所以平面//EFG 平面ACD .因为//EH 平面ACD ，所以H 为线段FG 上的点.由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，得AB CD ⊥，又90BDC ︒∠=，则BD CD ⊥，由,,AB BD B AB BD =⊂I 平面ABD ，得CD ⊥平面ABD ，因为//EG CD ，所以EG ⊥平面ABD ，EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=.因为222BD AB CD ===，所以122FG AD ==，BC =，122EF AC ==.所以()2222CA EH EF EF FH EF EF FH⋅=⋅+=+⋅ ()2222cos π22cos EF EF FH EFG EF EF FH EFG =+⋅-∠=-⋅∠2223EF FH FG =-⋅= .因为0,2FH ⎡∈⎢⎣⎦，所以1,32CA EH ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦ .故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H 为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到3CA EH ⋅= ，从而得解.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.直线l 过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（）A.1- B.1C.3D.0【答案】ACD 【解析】【分析】考虑直线过原点，直线不过原点且截距相同，直线不过原点且截距相反，计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设直线方程为y kx =，则12k =，解得12k =，此时在y 轴上的截距为0；当直线不过原点且截距相同，设直线方程为1x ya a +=，则211a a +=，解得3a =，此时在y 轴上的截距为3；当直线不过原点且截距相反，设直线方程为1x y a a -=，则211a a-=，解得1a =，此时在y 轴上的截距为1-；综上所述：截距可能为0,1,3-.故选：ACD10.已知直线l ：kx y k 0--=，圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B .4D =-，2E =-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.若点(),P x y 是圆M 上一动点，x y -的最小值为-【答案】AB 【解析】【分析】直线l 恒过点()1,0A ，A 正确，根据圆的一般方程计算B 正确，计算弦长的最小值为C 错误，确定1x y ⎡-∈-+⎣，D 错误，得到答案.【详解】圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1M ，故22D -=，12E -=，解得4D =-，2E =-，圆方程为()()22214x y -+-=，对选项A ：因为直线():1l y k x =-恒过点()1,0A ，正确；对选项B ：4D =-，2E =-，正确；对选项C ：当直线l 与AM 垂直时，弦最短，此时AM =弦长为=，错误；对选项D ：设x y a -=，即0x y a --=2=，解得1a =-或1a =+，故1x y ⎡-∈-+⎣，错误；故选：AB11.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与该椭圆相交于A ，B 两点，且1AB =，点P 在该椭圆上，则下列说法正确的是（）A.存在点P ，使得1290F PF ∠=︒B.若1260F PF ∠=︒，则123F PF S =△C.满足12F PF △为等腰三角形的点P 只有2个D.12PF PF -的取值范围为⎡-⎣【答案】AD 【解析】【分析】求出椭圆方程，利用动点P 的位置变化，研究12F PF ∠的取值范围判断A ；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B ；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C ；利用三角形不等式求解判断D.【详解】由椭圆2222:1x y M a b+=的左右焦点分别为()1F 、)2F ，得c ==将x =代入22221x y a b +=，则22231y a b +=，解得2b y a =±，不妨令2b A a ⎫⎪⎭，2b B a ⎫-⎪⎭，由1AB =，则221b a =，即22a b =，将其代入223a b -=，可得232a a -=，化简得()()2320a a +-=，由0a >，解得2a =，则椭圆22:14x M y +=，对于A ，当点P 为椭圆的上（或下）顶点时，12F PF ∠最大，如图：由椭圆22:14x M y +=，则1PO =，22PF =，在2Rt OPF 中，260POF ∠=，由对称性得12120F PF ∠=，因此12F PF ∠的取值范围为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 正确；对于B ，如图：设1PF m =，2PF n =，则24m n a +==，1223F F c ==，在12F PF △中，由余弦定理得22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅⋅，即2212cos 602m n mn+-=o，整理得43=mn ，因此121212113sin sin 60223F PF S PF PF F PF mn =⋅⋅⋅∠==，B 错误；对于C ，设1PF m =，2PF n =，则4m n +=，1223F F c ==，当2m n ==时，12F PF △为等腰三角形，此时P 的坐标为()0,1或()0,1-，当12m F F =时，12F PF △为等腰三角形，此时3m =，设(),P x y ，则()22221433x y x y ⎧+=⎪⎪++=，消去y 得2383320x x +-=，由(()28343325760∆=-⨯⨯-=>，则方程有解，C 错误；对于D ，显然12123||||||||PF PF F F -≤=，当且仅当点P 为椭圆长轴端点时取等号，因此12|||323|2PF PF -≤≤-D 正确.故选：AD12.直三棱柱111ABC A B C -中，1,1AB AC AB AC AA ⊥===，点D 是线段1BC 上的动点（不含端点），则（）A.CD 与1AC 一定不垂直B.AC //平面1A BDC.三棱锥1A ABC -的外接球表面积为3πD.AD DC +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】利用空间向量法判断AD 选项的正确性，根据线面平行、外接球的知识判断BC 选项的正确性.【详解】A 选项，以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()110,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1C B C BC =-，设()101BD BC λλ=<<，则(),,BD λλλ=- ，()()1,,,1,1,AD AB BD CD λλλλλλ=+=-=--，1121CD AC λλλ⋅=-+=-，可知当12λ=时，CD 与1AC 垂直，所以A 选项错误.B 选项，由于11//,AC A C AC ⊄平面11A BC ，11AC ⊂平面11A BC ，所以//AC 平面11A BC ，而平面1A BD 即平面11A BC ，所以AC //平面1A BD ，B 选项正确.C 选项，将三棱锥1A ABC -补形成正方体如图所示，三棱锥1A ABC -的外接球也即正方体的外接球，设正方体外接球的半径为R ，则2R =所以外接球的表面积为24πR 3π=，C 选项正确.D 选项，先证明不等式≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立：设()()(),,,,,x a b y c d x y a c b d ==+=++，所以x y x y +=+=根据向量加法的三角形法则可知x y x y +≥+，当,x y同向，即ad bc =且0ac bd +>时等号成立，+≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立.（证毕）所以AD CD AD CD +=+===≥，当且仅当1233λλ⎫⎫-=-⎪⎪⎭⎭12033λλ⎫⎫--+⎪⎪⎭⎭，即12λ=时等号成立，所以D 选项正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.直线2390x y --=的一个方向向量为________.【答案】2(1,)3（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，再写出方向向量即可.【详解】直线2390x y --=的斜率23k =，所以直线直线2390x y --=的一个方向向量为2(1,)3.故答案为：2(1,)314.已知直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，直线2l 的倾斜角为2θ，且直线2l 在y 轴上的截距为3，则直线2l 的一般式方程为________.【答案】4390x y -+=【解析】【分析】确定1tan 2θ=，计算4tan 23θ=，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案.【详解】直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，故22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，故直线2l 的斜率为43k =，截距为3，故直线方程为433y x =+，即4390x y -+=.故答案为：4390x y -+=15.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP ·FP 的取值范围为________.【答案】[]2,6【解析】【分析】可设(,)P x y ，可求得OP 与FP 的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【详解】点P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，设(,)(22,P x y x y -≤≤≤≤，依题意得左焦点(1,0)F -，(,)OP x y = ，(1,)FP x y =+uu r ，2(1)OP FP x x y ⋅=++ 221234x x x -=++2134x x =++21(1)22x =++，22x -≤≤ ，10122x ∴≤+≤，210(1)42x ∴≤+≤，212(1)262x ∴≤++≤．则26OP FP ≤⋅≤ ．故答案为：[]2,6．16.已知圆C ：()()221310x y -++=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是________.【答案】51t -≤≤-【解析】【分析】利用题设条件，分析MA MB ⊥且与圆C 交于,A B 的临界情况，由点M 在临界点之间移动的变化情况运算即可得解.【详解】圆C ：()()221310x y -++=，则半径为，()1,3C -，如上图，对于直线5x =上任意一点()5,M t ，当,AM BM 均为圆的切线时AMB ∠最大，由题意，MA MB ⊥即90AMB ∠= 时，此时M 为满足题设条件的临界点，此时有=sin 2AC AMC CM ∠≥.当M 在临界点之间移动时，有2AC CM ≥2≥，即有：()234t +≤，解得：51t -≤≤-.故答案为：51t -≤≤-.四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.已知ABC 的顶点()4,2A ，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=.（1）求直线AB 的方程；（2）若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值.【答案】（1）260x y --=；（2）6-.【解析】【分析】（1）求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程；（2）设点(),0C t ，利用AC 的中点在直线40x y --=上，求出t 值，再由点C 在直线20x y m ++=上求出m 值.【小问1详解】依题意，由AB 边上的高所在的直线的斜率为12-，得直线AB 的斜率为2，又()4,2A ，所以直线AB 的方程为()224y x -=-，即260x y --=.【小问2详解】由C 点在x 轴上，设(),0C t ，则线段AC 的中点4(,1)2t D +，由点D 在直线40x y --=上，得41402t +--=，得6t =，即()6,0C ，又点C 在直线20x y m ++=上，因此60m +=，解得6m =-，所以m 的值为6-.18.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，解答以下问题：（1）证明：直线//MN 平面OCD ；（2）求直线AC 与平面OCD 所成角的余弦值.（3）求点N 到平面OCD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）由（1）结论，利用线面角的向量求法求解即得.（3）由（1）结论，利用点到平面距离的向量求法求解即得.【小问1详解】在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，则,,AB AD AO 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AO 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图，由2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，得()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A M N O C D ，即()()()2,1,1,2,2,2,0,2,2MN OC OD =-=-=- ，设平面OCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2220220n OC x y z n OD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()0,1,1n = ，则110n MN ⋅=-= ，MN ⊄平面OCD ，所以直线//MN 平面OCD .【小问2详解】由（1）知，()2,2,0AC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，设直线AC 与平面OCD 所成角为θ，则||1sin |cos ,|2||||n AC n AC n AC θ⋅=〈〉==，cos 2θ==所以直线AC 与平面OCD所成角的余弦值为2【小问3详解】由（1）知，()0,1,0NC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，所以点N 到平面OCD的距离||2||NC n d n ⋅=== .19.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心()0,0O 为圆心，半径为400km 的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km 处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km 的速度做匀速直线运动：（1）运输车将在无人区经历多少小时？（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】（1）5小时（2）800km【解析】【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【小问1详解】以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从()600,0A 出发，点N 处开始进入无人区，到M 处离开无人区，则圆O 方程为222400x y +=，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线AB的斜率tan1503k =︒=-，则():6003AB l y x =--，即30y +-=，因为O 到AB l 的距离为300km OO '==,则2MN =⨯==，5=小时.【小问2详解】设运输车至少应离火山口km a 出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆O 相切，且直线方程为)33y x a =--30y +-=，则O到直线的距离400d ==，解得800a =，即运输车至少应离火山口800km 出发才安全.20.已知点()4,1-A ，()0,3B ，圆C 的半径为1.（1）若圆C 的圆心坐标为()3,2C ，过点A 作圆C 的切线，求此切线的方程；（2）若圆C 的圆心C 在直线l ：1y x =-上，且圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆C 圆心的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）4x =或43130x y +-=（2）,,2222⎡--⎢⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）确定圆方程，考虑切线斜率不存在和存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.（2）确定圆方程，根据2MB MO =得到M 的轨迹为圆，确定两圆的位置关系，解得答案.【小问1详解】圆C 的圆心坐标为()3,2C ，半径为1，故圆方程为()()22321x y -+-=，当切线斜率不存在时，易知4x =与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为()41y k x =--，即410kx y k ---=，1=，解得43k =-，切线方程为：43130x y +-=；综上所述：切线方程为4x =或43130x y +-=.【小问2详解】圆方程为()()2211x a y a -+-+=，设(),M x y ，2MB MO ==整理得的()22+1=4x y +，故M 在两圆的交点上，故两圆相切或者相交，即212+1-≤≤，解得32222a -≤≤-或23222a ≤≤，故322232,,2222a ⎡∈--⎢⎣⎦⎣⎦.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，如果存在，求PM PD 的值，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12或78；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可先证明AB APC ⊥面，又因为PC 在面APC 内，从而可证；（2）建立空间向量直角坐标系，根据已知条件用空间向量求解证明是否存在.【小问1详解】如图，取BC 的中点为E ，连接AE ，因AD EC =，AD EC ∥，所以得：四边形AECD 为平行四边形.从而得：AE CD ∥，AE CD =，又因为AD BC ∥，AD CD ⊥，所以得：4AB ==，4AC ==，从而得：22232AB AC BC +==，所以得：AC AB ⊥，因为PA PAC ⊥平面，AB PAC ⊂平面，得：PA AB ⊥；又因为,AC PA PAC ⊂平面，且AC PA A ⋂=，所以得：AB PAC ⊥平面；又因为PC PAC ⊂平面，所以得：AB PC ⊥.故可证：AB PC ⊥.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）如图建立以A 点为原点的空间直角坐标系.得：()0,0,0A，()0,D，()C ，()002P ,,，()B -得：()AC =，()0,2PD =- ，()0,0,2AP =，()2CP =--，()0,CB =- 设()01PM PD λλ=≤≤，得：()02,,PM λ=-，()022,,AM AP PM λ=+=- ，设平面MAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，得：()0220n AC n AM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令：1x λ=-，得：1y λ=-，z =，所以得：()11,n λλ=-- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，得：020m CB m CP c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令：1a =，得：0b =，c =所以得：(m = ，又因为平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，所以得：cos302m n m n ⋅︒===⋅ ，化简得：2162270λλ-+=，解之得：12λ=或78λ=.故答案为：存在，12或78.22.已知()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a ba b+=>>上一点，长轴长为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析，定点为()2,1-【解析】【分析】（1）根据长轴长确定a =1b =，得到答案.（2）设直线l x my n =+，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到20n m --=，代入直线方程得到定点.【小问1详解】长轴长为2a =，故a =()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，故1b =，椭圆方程为：2212x y +=；【小问2详解】直线与x 轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；设直线l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线不过()0,1P ，则0m n +≠，则2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2222220m y mny n +++-=，()()222244220m n n m ∆=--+>，即2220-+>m n ，则12221222222mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212111AP BP y y k k x x --+=+=-，即()()()()()()122112110y my n y my n my n my n -++-++++=，整理得到()()222222222022n mn m m n m mn n n m m -+⋅--+⋅+-=++，化简得到()()20m n n m +--=，0m n +≠，则20n m --=，直线方程2x my m =++，直线过定点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.。

2024学年江苏省南京市高二上学期期中考数学试题及答案

南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－\f(π,4))＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C ．3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，FA → ＋FB → ＋FD →＝0，则下列说法正确的有A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．FA ＋FB ＋FD ＝6C ．若FA ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD ＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB → ·AC →＝b 2－12ab ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3．（1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→ ·BF 2→＝－2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．A 3．D 4．B 5．D6．C7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x2＋t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)，当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为m ≠0，解得a ＝34．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )，所以m2m －6＝－a ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分（1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以P (A 1)＝3100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB → ·AC → ＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分方法2因为AB → ·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ，即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ，化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，所以CN → ＝CA → ＋AN → ＝CA → ＋34AM → ＝CA → ＋34(CM →－CA → )＝14CA → ＋34CM → ＝14CA → ＋12CB →，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分从而|C N → |2＝(14CA → ＋12CB → )2＝116b 2＋14a 2＋14CA → ·CB→＝116b 2＋14a 2＋14∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|C N →|的最小值为32．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1．由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2．又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22．在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO 平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→ ＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→ ·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2，所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。

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▲
．
y P
M
F1
O
F2
x
（第 14 题) 二、解答题:本大题共 6 小题,共计９０分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答,解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
1５．(本小题满分 14 分）
已知 z 为复数， z 2i 和 z 均为实数,其中 i 是虚数单位. 2i
(1）求复数 z 和 z ；
--
江苏省启东中学 2017-２０１8 学年度第一学期期终考试高二数学试卷 2０18.1.８
注意事项: 1．本试卷共 4 页,包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部分.
本试卷满分为１６0 分,考试时间为 120 分钟. 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的
的方差是
▲．
▲.
５.抛物线 x2 =4 y 的焦点到准线的距离为
▲
．
Read x If x≥0 y←2x＋1
Then
Else y← 2－x2
End If
Print y
（第 3 题）
6.某校高一年级有学生 400 人，高二年级有学生 360 人,现采用分层抽样的方法从全校学生
中抽出 56 人，其中从高一年级学生中抽出 20 人，则从高二年级学生中抽取的人数为
（2）证明: 2 为无理数; （3）证明:1， 2 ，4 不可能为同一等差数列中的三项．
20．(本小题满分 16 分）已知椭圆 C： x2 y2 1 左焦点 F,左顶点 A，椭圆上一点 B 满足ＢF⊥ｘ轴,且点 B 16 12
在ｘ轴下方，BＡ连线与左准线 l 交于点Ｐ,过点Ｐ任意引一直线与椭圆交于 C、D，
得的所有弦中弦长的最小值为
▲
.
12.已知点 A 的坐标是(1,1)， F1 是椭圆 3x 2 4 y 2 12 0 的左焦点，点Ｐ在椭圆上移动，
则 PA 2 PF1 的最小值
▲.
13．已知圆 C : x 3 3 2 y 52 4 和两点 A 3m, 0 ，B 3m,0 （ m 0）,若圆
O 上任意一点,且 PA （为常数) .
PB
（1）求常数的值;
（2)过点 E a,t 作直线 l 与圆 C : x2 y2 m 交于 M , N 两点，若 M 点恰好是线段
NE 的中点，求实数 t 的取值范围.
--
--
１9.(本小题满分 16 分)
（１)找出一个等比数列an ,使得 1， 2 ，4为其中的三项,并指出分别是 an 的第几项；
（2）若 z1 z 3m (m2 6)i 在第四象限,求实数 m 的取值范围．
--
--
1６.(本小题满分 14 分)
已知命题 p ： x R , tx2 x t 0 . (1)若 p 为真命题,求实数 t 的取值范围;
（2)命题 q ： x 2,16 ， tlog2x 1 0 ,当 p q 为真命题且 p q 为假命题时，
注意事项:
１．附加题供选修物理的考生使用．
２．本试卷共 40 分,考试时间３0 分钟． 3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的
答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21.（B）选修 4-2:矩阵与变换（本小题满分 10 分）
已知矩阵
答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式:
方差 s2＝错误!［（x1-错误!)2＋(x2-错误!未定义书签。)２+…+(ｘｎ－错误!)2]，其中错误!
为 x１,x2,…,xn 的平均数．一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．
连结ＡＤ、ＢC 交于点 Q，若实数 λ1，λ2 满足:错误!＝λ1 错误!未定义书签。,错误!＝λ
错误! ２
[来源:学科网］
（１）求 λ1·λ2 的值; (2）求证:点Ｑ在一定直线上.
P
y
C
Q
A
F
O
D x
B
--
--
（第 20 题)
‫ﻬ‬江苏省启东中学 20１７-2018 学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题）２018.１.８
C 上存在点 P ，使得 APB 60 ,则实数 m 的取值范围是______▲____＿_.
14.如图,已知椭圆 x 2 a2
y2 b2
1( a b 0 )的左、右焦点为 F1 、 F2 ， P 是椭圆上一点,
M 在 PF1 上，且满足围
, PO F2M ，O 为坐标原点．椭圆离心率 e 的取值范
▲.
7．观察下列各式９﹣1=8，16﹣4＝1２,25﹣9=1６,36﹣16=２0…,这些等式反映了自然数间
的某种规律，设 n 表示自然数,用关于 n 的等式表示为
▲
．.
8．离心率为２且与椭圆 x2 + y 2 =1 有共同焦点的双曲线方程是＿__▲__＿＿ . 25 9
9．将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2,3, 4,5,6 个点为正方体玩具）先后抛掷
2 次，则出现向上的点数之和不小于 9 的概率是
▲
.
10．已知命题 P： x [1, 2], x2 a 0 ,命题ｑ： x R, x2 2ax 2 a 0 ,若 p q 是
--
--
真命题，则实数 a 的取值范围是 ▲ .
11．在平面直角坐标系 xoy 中,直线 mx y 3m 2 0(m R) 被圆 (x 2)2 ( y 1)2分）已知椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 9 k k 1
(1）求 k 的取值范围；
[来源:Ｚxxｋ.Com]
（2)若椭圆Ｃ的离心率 e 6 ，求 k 的值． 7
18.（本小题满分 16 分)
已知圆 O : x2 y2 4 ，两个定点 Aa, 2 , Bm,1 ，其中 a R , m 0． P 为圆
上．
1.复数 z - i ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部是 1 i
▲．
2．命题 p : x R ,使得 x2 2 0 的否定为_____▲_＿＿＿.
３.执行如图所示的伪代码，若输出 y 的值为 1,则输入 x 的值为
4．已知一组数据 4.８,4.９，５.2，５.5，5.6，则该组数据