北京理工大学2014年自动化考研专业课真题

一.系统建模分析 （15分） 机械位移系统如图1所示，其中r (t )是输入力。

K 1和K 2是弹簧弹性系数。

m 1和m 2是两个质量块的质量。

阻尼器b 1对m 1的阻尼力为b 1y 1(t )，阻尼器b 2对m 1的阻尼力为b 2�y 1(t )−y 2(t )�。

系统初始状态为[y 1(0)y 1(0)y 2(0)y 2(0)]T =0
（1）取x (t )=[x 1(t )x 2(t )x 3(t )x 4(t )]T =[y 1(t )y 1(t )y 2(t )
y 2(t )]T 为状态变量，
r (t )为输入，y (t )=y 1(t )为输出 ，建立系统的状态空间表达式。

（2）有状态空间表达式画出系统方框图。

二.动态性能分析 （10分） 已知二阶系统如图2所示，其中G (s )=ωn 2
s (s+2δωn
)，0<δ<1,r (t )为参考输入，y (t )为输出
（1）计算系统的单位阶跃响应及其峰值时间T p 和最大超调量M p 。

（2）如图2所示，令系统参考输入r (t )=R 1U −1(t )+R 2U −1�t−t p �，其中U −1(t )为单位阶跃函
数R 1=�1+M p �−1
且R 2+R 2=1，用叠加原理证明：当t ≥tp 时有y (t )=1。

三.状态空间方法 （15分） （1）离散时间控制系统如图3所示，试求系统输出的C (z )的表达式（需要详细推导步骤）。

（2）系统结构图如图4，试求使系统稳定的采样周期T 的取值范围，已知
图1 一个机械位移系统示意图
Z �1s 2
�=Tz z−1，Z �1s
�=z
z−1，Z �1s+a
�=z
z−e
四.状态空间方法 （20分） 如图5所示，
（1）将图5化简为图6形式，并分析系统可控和可观性，若系统不是完全状态可控或可观测性的，确定其可控或不可观测的模态
（2）取X 1(t )和X 2(t )为系统的状态变量，u (t )为输入，y (t )为输出，建立系统的状态空间表达
式并用模态判据(PBH )验证(1)的结论。

s )图6
五.根轨迹方法 （20分） 考虑图7所示系统，其中C (s )=K ，P (S )=N (
S )
D (S )
=
S+3
S (S+2)(S +2S+1.5)
（1）确定根轨迹的分离点和汇合点，与虚轴的交点以及对应的临界根轨迹增长K cr ，画出根轨迹：（ 提示：用于确定分离点和汇合点的多项式D (S )
d
d s N (S )−N (S )d
d s
D (s )的根为
−3.6241，−1.6365，−0.7030±j0.1077这里的j 2=−1为虚数单位，且P (−0.7030±j0.1077)=−
（2）确定使闭环系统稳定的K 值范围。

六.频率响应分析 （20分） 再次考虑图7的系统，其中C (s )=K ，P (s )=
N (s )D (s )=
1
3s+1s (0.5s+1)�1s 2+2
s+1�
（1）证明Nyquist 曲线P (jω)与实轴相交于−1
R �即存在实数R ，使得P (jω)=−1
R
�则有ω4+
6.5ω2−9=0,R =4ω2−3。

（2）根据（1）的结果画出Nyquist 曲线P (jω)并由此确定使得闭环稳定的K 值范围。

七.非线性分析 （15分） 如图8所示非线性系统中，非线性特性为x (t )=e 5(t ) （1）确定自激振荡频率和幅值。

（2）说明自己自激振荡的稳定性。

八.Lyapunov 稳定性 （15分） 非线性系统由下列微分方程描述
x 1
=−6x 1−x 2 x 2
=2x 1−6x 2−2x 23 （1）证明x 1=0，x 2=0是系统唯一的平衡态
（2）确定K 的取值范围，使得能量函数V (x )=1
2
x 12+K
2
x 22是平衡态的一个大范围Lyapunov 函
数，从而平衡态是大范围渐进稳定的。

（3）用Krasovaskii 方法证明系统平衡态的稳定性。

九.最优控制 （20分） （1）求使性能指标泛函 T =∫[x 2+x 3]d t 1
0 取得最大值的轨线x (t )其中∗x (0)
=0，∗x (1)
任意。

（2）已知线性系统的状态方程x =Ax +Bu ，其中A =�0100�，B =�10
01�，x =
�x 1x 2�，u =�u 1
u 2
�，系统初始状态为 x (0)=0，终态为
x
(2)=0，求u (t )，使性能指标T =1
2∫(u 12+u 22)d t 2
为最小。

图9 关于加法器的说明。