抛物型方程的有限差分法
抛物型方程的差分格式
a umn 1 umn 1 2h
a
umn 1
2umn h2
umn 1
抛物型方程的古典显格式
整理得方程(2.38)的显式格式(2.39)
U n1 m
(1
2ra)U
n m
r
(a
1 2
ha)U
n m1
r
(a
1 2
ha)U
n m1
截断误差为 O(k h2 ).
tn x
抛物型方程的古典显格式
三、算子
Dx
x
为 x 方向偏导数算子
Tx为 x 方向位移算子
Txumn umn 1, Tx1umn umn 1
μ x 为 x 方向平均算子
xu
n m
1 2
un
m
1 2
un
m
1 2
抛物型方程的古典显格式
x 方向差分算子
边界条件为 u(0,t) 1(t) 0, 0 t 0.20 u(1,t) 2(t) 0, 0 t 0.20
取步长⊿x = h = 0.2 , ⊿t = k = 0.02 。
抛物型方程的古典显格式
解 r = k / h2 = 0.02 / 0.22 = 0.5, 古典显式格式为
n m
umn
h
h 2!
2u x2
n
m
h2 3!
3u x3
n
m
微分方程数值解法课程设计---抛物型方程问题的差分格式[9页].doc
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目录一、问题的描述 (1)二、算法设计及流程图 (1)2.1 算法设计 (1)2.2 流程图 (2)三、算法的理论依据及其推导 (2)3.1 截断误差分析 (2)3.2 稳定性分析 (3)四、数值结果及分析 (3)五、总结 (5)六、附件（源代码） (6)抛物型方程问题的差分格式一、问题的描述有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题，其定解问题为各种边值问题， 即要求解在某个区域内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。
常系数扩散方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式求解。
常系数扩散问题的有限差分格式求常系数扩散问题为正常数其中a ,0,,22>∈∂∂=∂∂t R x xua t u （1.1） 的近似解，其初始条件为R x x g x u ∈=),()0,(二、算法设计及流程图2.1 算法设计运用加权隐式格式求解常系数扩散问题（1.1）02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 10≤≤θ,h τ其中分为时间步长和空间步长。
步骤1 输入初始值，确定加权隐式格式的参数；步骤2 定义向量A ，把初边值条件离散，得到0j u ，j=0,1,…,J 的值存入向量A 步骤3 利用加权隐式差分格式由第n 层计算第n+1层，建立相应线性方程组，求解并且存入向量A;步骤4 计算到t=1，输出u2.2 流程图三、算法的理论依据及其推导3.1 截断误差分析常系数扩散问题（1.1）的加权隐式格式如下：02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 其中10≤≤θ，,h τ其中分为时间步长和空间步长。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
(十二章)抛物型方程有限差分法
（3.3a） （3.3b）
； 其中
， LOD格式的计算步骤可以总结如下：
1） 令，。 2） 求解三对角线性方程组（3.3a）得到差分解。 3） 若，则增加1，转步骤4）。否则转4）。 4） 令。 5） 求解三对角线性方程组（3.3b）得到差分解。 6） 若，则增加1，转步骤5）。否则转7）。 7） 若，则增加1，转步骤2）。否则结束。
,
及边值条件
，
假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,
则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近
取 为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，
,； ,
将矩形域分割成矩形网格。其中 表示网格节点；
表示网格内点（位于开矩形中的网格节点）的集合；
表示位于闭矩形中的网格节点的集合；
时我们简单地称差分格式稳定。
冯诺依曼稳定性分析估量了误差的放大或扩大。对一
种稳定的方法，必须选取步长使误差的放大因子不大于1.
前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比时稳定，当时不稳定。这就
意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。而向
后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比都是稳
+=+ ，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐 层算出所有，。
如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格 式。并视为的近似值。
直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但 是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。
1.2.3 Grank-Nicholson法 将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分 格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式：
抛物方程的有限差分法
抛物方程的有限差分法作者：李娜来源：《科技视界》2014年第32期【摘要】抛物方程是描述物理现象的一类重要方程，其中差分方法和有限元方法是求其数值解的两类主要方法。
本文主要介绍有限元方法中的向前差分法，首先简单介绍向前差分法，给出稳定性和收敛性的概念，然后以一维热传导方程为例进行求解，同时给出收敛性和稳定性分析，并利用Matlab软件做出了误差分析图。
【关键词】抛物方程;有限元方法;向前差分法;误差分析0 引言由于抛物型方程与时间t有关，称为非驻定问题。
非驻定问题可用差分法，也可用有限元法求解。
热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
热传导在三维等方向均匀介质里的传播可用方程式u■=kΔu表示，其中u■=u （t，x，y，z）表示温度，它是时间变量t与空间变量（x，y，z）的函数，■是空间中一点的温度对时间的变化率，uxx、uyy和uzz是温度对三个空间坐标轴的二次导数。
k决定于材料的热传导率、密度与热容。
求解方程时，如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一解，必须假定解的增长速度有一个指数型的上界，并且此假定与实验结果相吻合。
1 本文研究的方程本文主要研究一维热传导方程的有限差分解法，下面给出了各向同性介质中无热源的一维热传导方程及初始条件：■=a（x，t）■a>0 0<x<1，0<t<Tux，0=？覫x=sin（πx） 0<x<1u0，t=u（1，t）=0 0≤t≤T （1）在此，本文利用有限元方法中的向前差分法求解偏微分方程式（1），首先需要建立差分格式，而在建立差分格式时通常取空间步长和时间步长为常量。
下面介绍向前差分的概念以及如何利用该方法对其进行收敛性、精确性和稳定性分析。
1.1 向前差分格式有限差分法和有限元方法是求解偏微分方程的两种主要的数值方法。
二维抛物方程的有限差分法
二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。
有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。
本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。
首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。
讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。
其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。
进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。
并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。
通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。
关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论 (1)1.1课题背景 (1)1.2发展概况 (1)1.2.1抛物型方程的常见数值解法 (1)1.2.2有限差分方法的发展 (2)1.3差分格式建立的基础 (3)1.3.1区域剖分 (3)1.3.2差商代替微商 (3)1.3.3差商代替微商格式的误差分析 (4)1.4本文主要研究容 (5)2显式差分格式 (7)2.1常系数热传导方程的古典显式格式 (7)2.1.1古典显式格式格式的推导 (7)2.1.3古典显式格式的算法步骤 (8)3隐式差分格式 (10)3.1古典隐式格式 (10)3.2 Crank-Nicolson隐式格式 (12)3.3 Douglas差分格式 (13)3.4加权六点隐式格式 (14)3.5交替方向隐式格式 (15)3.5.1 Peaceman-Rachford格式 (15)3.5.2 Rachford-Mitchell格式 (15)3.5.3 Mitchell-Fairweather格式 (15)3.5.4交替方向隐式格式的算法步骤 (16)4实例分析与结果分析 (17)4.1算例 (17)4.1.1已知有精确解的热传导问题 (17)4.1.2未知精确解的热传导问题 (19)4.2结果分析 (20)5稳定性探究与分析 (21)5.1稳定性问题的提出 (21)5.2 几种分析稳定性的方法 (21)5.3 r变化对稳定性的探究 (23)5.3.1 古典显式格式的稳定性 (23)5.3.2 P-R格式格式的稳定性 (24)结语 (26)参考文献 (27)附录P-R格式的C++实现代码 (28)致谢 (30)1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t∂=∂ (1-1) 其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。
抛物型方程的有限差分法
证明 因谱半径不超过任何一 种范数
k (C )
Ck
K ,0
k
T
,0
0.
K 0k [T ]
(C )
K
1 k
K
( T )
log K
e (T )
1 0( )
命 题 2.2（ 充 分 条C(件 )是 ）正 若规 矩(2阵 .13)，
(1.8)1
令
L(h3)ukj
ukj 1 ukj
a 2
[
uk1 j1
2ukj 1 h2
uk1 j1
ukj1
2ukj h2
ukj1 ]
将截断误差
Rkj (u) L(h3)u( xj , tk ) [Lu]kj
于(
x
j
,
t
k
1
)(t
k
1
2
2
(k
1) )展
2
开
，
则
得
Rkj (u) 0( 2 h2 ). (1.9)
(四) Richar格 dso式n， 即
ukj1ukj1
2
aukj12hu2kj
ukj1
fj
(1.10)
或ukj1 2r(ukj12ukj ukj1)ukj12fj.(1.10)
衡 量 一 个 差 分 格经式济是实否用 ， 由 多因方数面 的 决 定 ， 主 要 : 有 (1)计 算 简 单 （2） 收 敛 性 和 收 敛 速 度 。 （3） 稳 定 性 。
k1
k
u u a[u 2u u u 2u u f j
j
k1 j1
k1
k1
偏微分课程课件8_抛物型方程的有限差分方法(II)
2 x
2）unjl1
y
2
unjl
利用Taylor展式得
（1
1 4
2a2 h4
x2
2）u(
y
xj
,
yl
,
tn1
)
u(
x
j
,
yl
,
tn
)
ha2（
2 x
2）u(
y
x
j
,
yl
,
tn1 ) 2
u( x
j
,
yl
,
tn
)
O(
2
h2
).
考察格式稳定性，将
（1
1 4
2a2
h4
x2
2）unjl1
y
unjl
ha2（
无条件稳定（绝对稳定）
O( 2 h2 h2 )
unjl
un1 jl
a
1 h2
(
2 x
unjl
u2 n
y jl
)
un1 jl
u
n jl
a 2h2
[
2 x
(unjl1
unjl
)
2 y
(unjl1
unjl
)]
显格式：稳定性限制严格 a 1
2p
一维隐格式：绝对稳定，系数矩阵为三对角矩阵 并可用追赶法求解
x jl
u2 n
y jl
), 其中
h2
截断误差 O( h2 h2 )
Fourier方法分析稳定性： unjl =vneik1 jheik2lh vn+1 ={1+2a( cos k1h 1)+2a( cos k2h 1)}vn