(十二章)抛物型方程有限差分法
微分方程数值解法课程设计---抛物型方程问题的差分格式[9页].doc
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目录一、问题的描述 (1)二、算法设计及流程图 (1)2.1 算法设计 (1)2.2 流程图 (2)三、算法的理论依据及其推导 (2)3.1 截断误差分析 (2)3.2 稳定性分析 (3)四、数值结果及分析 (3)五、总结 (5)六、附件（源代码） (6)抛物型方程问题的差分格式一、问题的描述有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题，其定解问题为各种边值问题， 即要求解在某个区域内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。
常系数扩散方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式求解。
常系数扩散问题的有限差分格式求常系数扩散问题为正常数其中a ,0,,22>∈∂∂=∂∂t R x xua t u （1.1） 的近似解，其初始条件为R x x g x u ∈=),()0,(二、算法设计及流程图2.1 算法设计运用加权隐式格式求解常系数扩散问题（1.1）02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 10≤≤θ,h τ其中分为时间步长和空间步长。
步骤1 输入初始值，确定加权隐式格式的参数；步骤2 定义向量A ，把初边值条件离散，得到0j u ，j=0,1,…,J 的值存入向量A 步骤3 利用加权隐式差分格式由第n 层计算第n+1层，建立相应线性方程组，求解并且存入向量A;步骤4 计算到t=1，输出u2.2 流程图三、算法的理论依据及其推导3.1 截断误差分析常系数扩散问题（1.1）的加权隐式格式如下：02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 其中10≤≤θ，,h τ其中分为时间步长和空间步长。
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
抛物型方程差分法资料
1. 区域剖分(区域离散）
用两族平行线
x t
xi tk
i h,
k,
0 i m 1/h
0 k n T /
将原方程的求解区域分割成矩形一致网格。
t
t k 1 tk
t k 1
t2 t1
O x1 x2
h — 空间步长， — 时间步长，
(xi ,tk )
( xi , tk ) — 网格节点
用 uik 表 示 温 度 分 布 函 数 u( x, t ) 在 点( xi , tk ) 处 的 网 格 函 数, 相 当 于
x xi1 xi xi1
u( x, t) 在 该 点 的 近 似.
2. 原方程弱化为节点处的离散方程
连续方程
u t
a
2u x 2
f (x,
t ),
0 x 1,
0 t T
u( x,0) ( x), 0 x 1
u(0, t) (t), u(1, t) (t), 0 t T
离散方程
)
u( xi1, tk
)
误差为 O(h2 )
( xi ,tk )
将上面的式子代入离散方程，可得
u(
xi
,
tk
1
)
u(
xi
,
tk
)
a
u(
xi 1
,
tk
)
2u( xi , h2
tk
)
u(
xi
1
,
tk
)
f ( xi , tk ) O(
h2 )
0 i m, 0 k n.
u( xi ,0) ( xi ),
uk i 1
)
f
抛物型方程差分法
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
向前欧拉差分格式是显格式，则对于任意网比 r ， 均唯一可解的。此外，相容性可由局部截断误差保证 。接下来考察差分格式的稳定性。一个数值格式的稳定 性指的是当初始条件有微小误差时，如果用某数值格 式计算出的数值解与原来的解误差不大，则称此格式 稳定。如果初始小误差引起后来解的较大误差，则此 格式不稳定。所以，数值格式的稳定性是考察一个算 法优劣的重要评价标准之一。这里，我们先只考察齐 次方程、零边界条件的情形。
0
O
A
O
0
r 1 2r r
r 1 2r
于是，由定理可得 m 1阶矩阵A的特征值为
li12r2r1cosim (1im 1 ) 即 li12r(1cosim )14rsin 22 i m
于是，向前欧拉格式稳定 l i 1 , 即，
u
2u
t
ax2
f(xi,tk), 0im , 0kn .
(xi,tk)
(xi,tk)
u(xi,0)(xi), 0im,
u ( 0 ,tk )( tk ) ,u ( 1 ,tk )( tk ) , 0kn.
关于时间的一阶偏导数用向后差商近似，
u u(xi,tk)u(xi,tk1)
用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布 第四步， 输出
三、数值算例（向前欧拉方法）
u 2u tx20, 0x1, 0t1
u (x ,0 )ex, 0x 1 u ( 0 ,t) e t, u ( 1 ,t) e 1 t, 0 t 1 原方程的真解为 u(x,t)ext.
偏微分方程数值解法抛物型方程差分法PPT课件
C-N 格式矩阵形式
[(1 ra2 )I ra 2 C]uk1
2 [(1 ra2 )I
ra 2
C ]uk
(fk
f k1 )
2
2
H [(1 ra2 )I ra2 C]1[(1 ra2 )I ra2 C]
2
2
特征值
j
(1 (1
ra2 ) ra2 )
ra 2 ra 2
cos(j cos(j
j
/
2(n
1))
|
(H) 1
C-N 格式是无条件稳定的.
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数值实验题 用三种差分格式求 初边值问题数值解
ut uxx , 0 x 1, t 0
u( x,0) si nx, 0 x 1
u(0, t ) u(1, t ) 0, t 0
并与准确解比较
u(x, t) exp( 2t)sin x
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显格式 隐格式
1
[ukj
1
ukj ]
a2 h2
2 x
ukj
1
[ukj
1
ukj ]
a2 h2
u2 k1 xj
C-N格式
1
[ukj
1
ukj ]
a2 2h2
2 x
(ukj
1
ukj )
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数值计算实验
显格式: input T:=1 error = 7.9443e-006 k = 200
其中 M 与 无关. k > k0
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简单显式差分格式
uk1 j
(1
有限差分法求解抛物型方程说明
有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。
3-抛物型方程的有限差分法
中都是精确的，则初始 误差的传递情况如表 1：
表1 r=1/2时Richardson格式的误差传播
-4
0 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
2
4 7 4
24 17 6
6 17
于( x j , t
1 k 2
)(t
k
1 2
1 ( k ) )展开，则得 2
2 2 Rk ( u ) 0 ( h ). (1.9) j
(四)
Richardson 格式，即 a
k k uk 2 u u j 1 j j 1 2
1 k 1 uk u j j
2 h 1 k k k k 1 或u k 2 r ( u 2 u u ) u 2f j .(1.10) j j 1 j j 1 j
例1 写出向前差分格式的矩 阵形式。
1 k uk u j j
解
a
k k uk 2 u u j 1 j j 1
h
2
fj
1 k k k uk ru ( 1 2 r ) u u j j 1 j j 1 f j
显然A I (( N 1)阶单位矩阵， B (1 2r ) I rS , 其中 0 1 0 1 0 0 S 0 0 0 1 0 0 1 0 故C (1 2r ) I rS .
( 2.4)
同理：对于向后差分格 式，即
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（3.3a） （3.3b）
； 其中
， LOD格式的计算步骤可以总结如下：
1） 令，。 2） 求解三对角线性方程组（3.3a）得到差分解。 3） 若，则增加1，转步骤4）。否则转4）。 4） 令。 5） 求解三对角线性方程组（3.3b）得到差分解。 6） 若，则增加1，转步骤5）。否则转7）。 7） 若，则增加1，转步骤2）。否则结束。
,
及边值条件
，
假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,
则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近
取 为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，
,； ,
将矩形域分割成矩形网格。其中 表示网格节点；
表示网格内点（位于开矩形中的网格节点）的集合；
表示位于闭矩形中的网格节点的集合；
时我们简单地称差分格式稳定。
冯诺依曼稳定性分析估量了误差的放大或扩大。对一
种稳定的方法，必须选取步长使误差的放大因子不大于1.
前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比时稳定，当时不稳定。这就
意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。而向
后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比都是稳
+=+ ，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐 层算出所有，。
如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格 式。并视为的近似值。
直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但 是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。
1.2.3 Grank-Nicholson法 将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分 格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式：
由于第层值可以通过第层值直接得到，如此的格式称为显 格式。并视为的近似值。
若记 ，， 则显格式可写成向量形式 其中 若记 那末截断误差 （1.5） ==。 其中是矩形，中某一点。 事实上，+
=+ = ==。 这里
故，从而
（2） 向后差分格式
， ==0
其中 ，。取为网比，则进一步有 +=+
按层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一 层的，，即求解方程组：
表示-网格边界点的集合。
表示定义在网点处的待求近似解，，。
注意到在节点处的微商和差商之间的下列关系（）： 可得到以下几种最简差分格式
（1） 向前差分格式
， ==0 其中，。取为网比，则进一步有
=+++ 此差分格式是按层计算：首先，令，得到
=+++ 于是，利用初值和边值==0，可算出第一层的，。再由取，可 利用和==0算出，。如此下去，即可逐层算出所有（，）。
， ==0 进一步， +=++
按层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一 层的，，即求解方程组：
+=++ ，==0。求出，在由,取，可利用，解出，。如此下去，即可逐 层算出所有，。 若记 那末截断误差 （1.7） =。
注意：
= 又
两式相加 而
+
故有
。
（四）Richardson格式 （1.10） +
（2.2）
因此，按初值稳定应该意味着。这就导致如下定义：
假设，我们称差分格式（2.1）按初值稳定，如果存在正常数和，使
得以下不等式成立：
（2.2）
，
这里是上的某一个范数，例如
类似地，假设，我们称差分格式（2.1）按右端稳定，如果存在正常数
和，使得以下不等式成立：
（2.2）
，
可以证明，差分格式若按初值稳定，则一定按右端稳定。因此，这
定的，时间步长可以取得大一些，从而提高运算效率。Richardson格式 则对任意网比都是不稳定的。因此，虽然Richardson格式是个显格式， 截断误差又很小，但是却不可用。
如果某个差分格式的截断误差当和趋于0时随之趋于0，则称这个差 分格式是相容的。可以证明：若差分格式是相容的和稳定的，则它是 收敛的，并且差分解与微分解之间误差的阶等于截断误差的阶。因 此，当网比时，向前差分格式（1.4）有收敛阶。对任何网比，向后差 分格式（1.6）有收敛阶，而Grank-Nicholson格式（1.8）有收敛阶。
3．高维抛物方程差分法
考虑如下二维抛物方程的差分格式。 （3.1） 取空间步长，时间步长。作两族平行与坐标轴的网线，，其中，将矩形 区域分割成个小矩形。记为网格节点上的差分解。
前述各种一维差分格式都可以直接用于以（3.1）为代表的二维以至 更高维的抛物方程。例如，向前差分格式成为 （3.2）
实际计算时，先令，利用已知的等等，对，用（3.2）算出。而由边值 条件，补充得到。下一步，令，利用已知的第1层的差分解类似地算出 第2层的差分解。以此类推，直到。
（31） 这相当于在每一层要解一个线性方程组：
或者稍微整理一下： （32）
如果在时间方向用梯形公式，则类似于（31）得到所谓CrankNicolson格式：
（33）
各种隐格式，例如向后差分格式和Grank-Nicholson格式，也可以类 似地推广用于高维情形。每次计算新的一层差分解时，同样需要求解一 个线性方程组。但是，这个线性方程组不再是三对角的，方程组阶数 为，其中是抛物方程的维数。因此，求解成本大大增加，甚至导致无法 求解。为了克服这一困难，人们提出了各种降维技巧，局部地把高维问 题化成一维问题求解。下面给出的求解二维抛物方程的LOD格式（局部 一维格式）就是其中一例。
(2.1)
其中，和是阶矩阵。我们假定可逆，即（2.1）是唯一可解的。对于显
格式，等于单位矩阵。三层格式可以通过引入新变量化成两层格式。
假设差分解的初始值（其实可以是任一层的值）有误差，以后各层
计算没有误差，让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令和分别是
以和为初始值由差分格式（2.1）得到的两组差分解，则满足
进一步
=（+）++2
这是三层显式差分格式。显然截断误差的阶为。为使计算能够 逐层进行，除初值外，还要用到。它可以用其他双层格式提 供。
Richardson格式的矩阵形式为： 其中
我们着重介绍了以上四种差分格式（还可以作出许多逼近 （1.1）（1.3）的差分格式）。
2 稳定性与收敛性
抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式:
其中系数都是和的已知光滑函数，初值是的已知光滑函数。它的变分方 程为：求使得对每一个固定的，都有，并且
（28） 其中
（29）
（30） 抛物方程有限元法的通常做法是在时间方向用差分法，在空间方向用 有限元法。象在（10）中那样，可以关于变量构造线性有限元空间。令 时间方向步长为。若时间方向用向前差商，空间方向用线性有限元，并 记，则有限元方程为：对，逐层求满足
抛物型方程有限差分法
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1. 简单差分法
考虑一维模型热传导方程
(1.1)
，
其中为常数。是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两
类：
第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函
数，满足方程（1.1）和初始条件：
（1.2）
,
第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函
数，满足方程（1.1）和初始条件：
LOD格式的基本想法是，由第层计算层时，对，依次固定，然后计 算这条直线上各个网点上的近似值；因为这时不变，所以原来的二维微 分方程退化为关于的一维微分方程。接着，当由第层计算层时，则依次 固定。LOD格式可以直接推广到任意维抛物方程。LOD格式对任意网比 都是稳定的，截断误差阶和收敛阶是。
抛物方程有限元法 考虑一维抛物方程 （25） （26） （27）