抛物型方程的有限差分法

令
L(h3
)
u
k j
uk1 j
u
k j
a
[
uk1 j1
2
2u
k j
1
h2
uk 1 j 1
uk j1
2u
k j
h2
uk j 1
]
将截断误差
R
k j
(u)
L(h3)u( x j , tk
)
[Lu]kj
于(
x
j
,
t
k
1
2
)(tk 1 2
(k
1 )
2
)展 开 ， 则 得
R
k j
(u)
0(
2
h2
).
(1.9)
j
k1
k1
k1
k
k
k
j1
j
j1
j1
j
j1
2
h2
h2
j
u0 ( x ), uk uk 0 ,
j
j
j
0
N
( 1.8 ) 2
( 1.8 ) 1
将(1.8)1改 写 为
r 2
uk1 j1
(1
r
)u
k j
1
r 2
uk 1 j 1
r 2
uk j1
(1
r
)u
k j
1
r 2
uk j 1
fj
(1.8)1
u(
t x,0)
a x2
(x),
f (x), 0 x
0 l
t
T (1.3)1
u(0,
t)
u(l, t)
0,
0 t T
(1.3)2
假 定f ( x)和( x)在 相 应 区 域 光 滑 ， 并 且在x 0, l满 足
相 容 条 件 ， 使 上 述 问 题有 唯 一 充 分 光 滑 的 解 。
2ukj h2
uk j 1
显然截断误差
R
k j
(
u)
L(1) h
u(
x
j
,
t
k
)
[Lu]kj
[ 1
12r
1 2
](
2u~ x 2
)kj
0(
2
h2 )
0(
h2 )(1.5)
(一) 向 后差 分 格式 ， 即
uk 1 j
ukj
a
uk 1 j1
2u
k j
1
h2
uk 1 j 1
fj
(1.6)1
u0j j ( x j ), u0k uNk 0,
§1最简差分格式
考虑一维热传导方程：
u t
a
2u x 2
f (x),
0 t T,
(1.1)
其 中a是正常数，f ( x)是给定的连续函数。
可 将(1.1)的 定 解 问 题 分 为 两 类 ：
第 一 、 初 值 问 题 （ 也 称Cauchy问 题 ） ： 求 具 有 所 需 次
数 偏 微 商 的 函 数u( x, y),满 足 方 程(1.1)和 初 始 条 件 ：
(四) Richardson格式，即
uk 1 j
uk 1 j
2
a
uk j1
2ukj h2
uk j 1
fj
(1.10)
或ukj 1
2r
(u
k j1
2u
k j
uk j 1
)
uk 1 j
2f j .(1.10)
衡 量 一 个 差 分 格 式 是 否经 济 实 用 ， 由 多 方 面 的因 数 决 定 ， 主 要 有: (1)计 算 简 单 （2） 收 敛 性 和 收 敛 速 度 。 （3） 稳 定 性 。
(1.6)2
其 中j 1,2, , N 1, k 1,2, , M 1.
将(1.6)1改 写 成 便 于 计 算 的 形 式，
ru
k 1 j1
(1
2r
)u
k j
1
ru
k 1 j 1
ukj
f
j
(1.6)1
记
L(h2
)u
k j
uk 1 j
u
k j
a
uk 1 j1
2u
k j
1
h2
uk 1 j 1
考察Richardson格式的稳定 性 Richardson格式是显格式，截断误差的阶为0( 2 h2 )，
但从稳定性方面来看，它是不可用的。
现 在 考 虑 边 值 问 题(1.1),(1.3)的 差 分 逼 近 。 取 空 间
步 长h l 和 时 间 步 长 T ,其 中N , M都 是 自 然 数 。 用
N
M
两 族 平 行 直 线x x j jh( j 0,1, , N )和t tk k (k
0,1, , M )将 矩 形 域G 0 x l;0 t T分 割 成
u t
a
2u x 2
f (x),
0 t T
(1.2)
u( x,0) ( x), x
第 二 、 初 边 值 问 题(也 称 混 合 问 题 ）: 具 有 所 需 次 数 偏 微
商 的 函 数u( x, y),满 足 方 程(1.1)、 初 始 条 件 和 边 值 条 件：
u 2u
以r
a
h2
表 示 网 比 。 将(1.4)1改 写 成 便 于 计 算 的 形 式，
使得第k层值（上标为k）在等式右边，第k 1层值
在等式左边，则得
ukj 1
ruk j1ຫໍສະໝຸດ (1 2r)u
k j
u kj 1
f j
(1.4)1
记
Lu
u t
a
2u x 2
,
L(h1)u
k j
uk 1 j
u
k j
a
uk j1
矩 形 网 格,网 格 节 点 为( x j , tk )。
y
2 1 0 1 23
N-1 l
x
以Gh表 示 网 格 内 点 集 合 ， 即位 于 开 矩 形G的 网 点 集 合 ； Gh表 示 所 有 位 于 闭 矩 形G的 网 点 集 合;h Gh Gh是 网 点 界 点 集 合.
其 次 ， 用ukj 表 示 定 义 在 网 点( x j , yk )的 函 数,0 j N , 0 k M .用 适 当 的 差 分 代 替 方 程(1.1)中 相 应 的 偏 微 商 ，
第五章抛物型方程的有限差分法
§1 最简差分格式 §2 稳定性与收敛性 §3 Fourier方法 §4 变系数抛物方程 §5 分数步长法
椭 圆 型 方 程 描 写 的 状 态（ 如 温 度 、 电 位 ） 不 随 时 间t改 变 称 为 驻 定 问 题 。 现在 我 们 讨 论 与 时 间t 有 关 的 非 驻 定 问 题 ： 抛物 型 方 程 （ 本 章 ） 和 双曲 型方程（下一章）。
便 得 到 以 下 几 种 最 简 差分 格 式 。 (一) 向 前 差 分 格 式 ， 即
u
k j
1
u
k j
a
u kj 1
2ukj h2
u
k j 1
fj
(1.4)1
fj f (xj)
u
0 j
j
( x j ),u0k
uNk
0,
(1.4)2
其 中j 1,2, , N 1, k 1,2, , M 1.
显然截断误差
R
k j
(
u)
L(h2)u( x j , tk
) [Lu]kj
[ 1
12r
1 2u~ 2]( x2
)kj
0(
2
h2 )
0(
h2
)(1.7)
( 三 ) 六点对称格式( Crank Nicolson格式 ).将向前差分 格式和向后差分格式作算术平均，即得六点对称格式：
k1
k
u u a [ u 2u u u 2u u f j