大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

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抛物型方程的差分格式

a umn 1 umn 1 2h

a
umn 1

2umn h2
umn 1
抛物型方程的古典显格式
整理得方程(2.38)的显式格式(2.39)
U n1 m

(1
2ra)U
n m

r
(a

1 2
ha)U
n m1

r
(a

1 2
ha)U
n m1
截断误差为 O(k h2 ).
tn x
抛物型方程的古典显格式
三、算子
Dx

x
为 x 方向偏导数算子
Tx为 x 方向位移算子
Txumn umn 1, Tx1umn umn 1
μ x 为 x 方向平均算子

xu
n m

1 2
un
m

1 2
un
m

1 2
抛物型方程的古典显格式
x 方向差分算子
边界条件为 u(0,t) 1(t) 0, 0 t 0.20 u(1,t) 2(t) 0, 0 t 0.20
取步长⊿x = h = 0.2 , ⊿t = k = 0.02 。
抛物型方程的古典显格式
解 r = k / h2 = 0.02 / 0.22 = 0.5, 古典显式格式为
n m

umn

h

h 2!

2u x2
n
m

h2 3!

3u x3
n
m

微分方程数值解法课程设计---抛物型方程问题的差分格式[9页].doc

目录一、问题的描述 (1)二、算法设计及流程图 (1)2.1 算法设计 (1)2.2 流程图 (2)三、算法的理论依据及其推导 (2)3.1 截断误差分析 (2)3.2 稳定性分析 (3)四、数值结果及分析 (3)五、总结 (5)六、附件（源代码） (6)抛物型方程问题的差分格式一、问题的描述有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。

此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。

偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题，其定解问题为各种边值问题，即要求解在某个区域内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。

常系数扩散方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式求解。

常系数扩散问题的有限差分格式求常系数扩散问题为正常数其中a ,0,,22>∈∂∂=∂∂t R x xua t u （1.1）的近似解，其初始条件为R x x g x u ∈=),()0,(二、算法设计及流程图2.1 算法设计运用加权隐式格式求解常系数扩散问题（1.1）02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 10≤≤θ,h τ其中分为时间步长和空间步长。

步骤1 输入初始值，确定加权隐式格式的参数；步骤2 定义向量A ，把初边值条件离散，得到0j u ，j=0,1,…,J 的值存入向量A 步骤3 利用加权隐式差分格式由第n 层计算第n+1层，建立相应线性方程组，求解并且存入向量A;步骤4 计算到t=1，输出u2.2 流程图三、算法的理论依据及其推导3.1 截断误差分析常系数扩散问题（1.1）的加权隐式格式如下：02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6）其中10≤≤θ，,h τ其中分为时间步长和空间步长。

抛物型方程的差分方法

抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。

差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。

首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。

抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。

这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。

差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。

差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。

在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。

通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。

2.建立差分格式。

差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。

对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。

其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。

因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。

3.编写计算程序。

在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。

具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。

4.计算结果的验证与分析。

求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。

在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。

下面将对其中一些问题进行详细讨论。

1.边界条件的处理。

边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。

大连理工大学高等数值分析主要内容总结

高等数值分析主要内容总结1. 矩阵部分(1) 矩阵变换a) Householder 变换（反射变换/镜像变换）定义设ωϵC n是一个单位向量，令H(ω)=I−2ωωH(1)则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。

H具有以下性质：H H=H (Hermite矩阵),H H H=I (酉矩阵)H2=I (对合矩阵), H−1=H (自逆矩阵)det(H)=−1, diag(I,H)也是一个Householder矩阵定理设uϵC n是一个单位向量，则对于任意的xϵC n，存在Householder矩阵H=I−2ωωH，使得Hx=au，其中|a|=‖x‖2（a不唯一）。

当x=0时，ω可任取；当x=au≠0时，取ωH x=0；当x≠au时，应取ω=x−au。

‖x−au‖2b) Givens 变换（旋转变换）定义设c,sϵC ，|c |2+|s |2=1，记n 阶矩阵T kl =[1⋱1c̅s̅1⋱1−sc1⋱1](k ) (l)(2)称为Gives 矩阵或初等旋转矩阵。

Givens 矩阵为酉矩阵，且det (T kl )=1。

定理对于任意向量xϵC n ，存在Givens 变换T kl ，使得y =T kl x 的第k 个分量为非负实数，第l 个分量为0，其余分量不变。

当|x k |2+|x l |2=0时，取c =1，s =0，则T kl =I 。

当|x k |2+|x l |2≠0时，取c =k √|x k |2+|x l |2，s =l√|x k |2+|x l |2。

(2) 矩阵分解-QR 分解（正交三角分解/酉三角分解）定义设AϵC n×n ，如果存在n 阶酉矩阵（酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广）Q 和n 阶上三角矩阵R ，使得A =QR ，则称A =QR 为A 的QR 分解。

当AϵR n×n 时，则称为A 的正三角分解。

定理任意一个满秩实（复）矩阵A ，都可唯一地分解为A =QR 。

10_抛物型方程的有限差分方法

10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。

有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。

有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。

对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。

有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。

假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。

在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。

对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。

重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。

总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。

它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。

抛物方程的有限差分法

图1
,我们需要求解这1/h +1()×T/τ+1()个点对应的函数值实上由已知的初边值条件蓝色标记附近的点可直接得到,所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可,可记为u []
k j
=u (x j ,t k )。

建立差分格式
j =1, (1)
-1;k =0,1,…,T τ-1,用向前差分代替关于时间的
一阶偏导数,用二阶中心差分代替关于空间的二阶偏导数,则可定义最简显格式:
-u k j =u k j+1-2u k j +u k
j-1
h
2
变形有:
(上接第50页)极大值理论,检测初始行波、故障点反射波和对端母线反射波到达测量端的时间,测量故障点距离,从测试结果看,该方案有效弥补传统行波测距的不足之处,提高了故障测距的精确度。

【参考文献】
[1]陈靖.行波法故障测距的理论研究及其实现方案[D].武汉:武汉大学,2004.数值解的剖分图如图2:
图2
真解与数值解的误差剖分图如图3:
图3
3数值实验及结果分析
我们对所求解的初边值问题(1)进行算法精度的数值实验,当
u 0
(x )sin πx 时,边界值仍然为u (0,t )=u (1,t )=0,其精确解为:u (x ,t )
从表中我们可以看出。

抛物型方程差分方法

偏微分方程数值解复习提纲一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法.二.基本概念:(1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径;(2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶;(3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件;(4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度；(5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度；(6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法；(7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳定性、网格的P`e clet数;(8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件；(9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法；(10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解；(11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性.三.基本方法与技巧:(1)比较函数与利用最大值原理的误差分析;(2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理；(3)修正方程分析、能量法分析；(4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件；(5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar´e-Friedrichs不等式;(6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系;(7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理.四.基本格式:(1)二维Poisson方程的五点差分格式;(2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法；(3)具有热守恒性质的格式；(4)ADI格式与LOD格式；(5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendroﬀ格式、盒式格式和蛙跳格式；(6)守恒型格式、有限体积格式；(7)二阶椭圆型方程C0-类协调有限元方法.五.基本定理与结论:(1)最大值原理,比较定理;(2)Lax等价定理;(3)CFL条件、von Neumann条件、实用稳定性和强稳定性条件;(4)Lax-Milgram引理、C´e a引理、第一和第二Strang引理；(5)椭圆型方程有限元解的先验误差估计与收敛性.。

2.2 抛物型方程的差分解法

2 2

u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n) u 2h 4 ( j , n) u ( j , n) 2 2 4 h 2 t 4! x
n
（8）
0
Lu j
n
Lh, u j R j n
式中：
2 4 2 2 h 2 Rn u ( j , n ) u ( j , n ) O ( h ) j 4 2 4! x 2 t
(backward space difference) (backward time difference)
u n j

（3）一阶中心差分（central difference）
hu
n j
un 1 un
j 2
j
1 2
h
u
n j
uj
n
1 2
uj
n
1 2

1 n 1 un u j j
n
（22）
n+1 n
j-1
j
j+1
注意：
① 泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。 ② ③
O( 2 h2 ) ——全二阶精度。 1 在 ( j, n ) 点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。 2 Rj
2u idea：是将微分方程中的 2 项以 u ( x, t ) x
u j n1 u j n 1 2

u j 1n 2u j n u j -1n h2
0 (23)
(24)
u j n1 2r(u j 1n - 2u j n u j 1n ) u j n1

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抛物型方程有限差分法1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程 (1.1))(22x f xua t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。

)(x f 是给定的连续函数。

（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ϕ=0,,∞<<∞-x第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：()13.1 ()()x x u ϕ=0,, l x l <<-及边值条件()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，T t ≤≤0假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近取Nlh =为空间步长，MT =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =；τk y y k ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。

其中 ()j i y x ,表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kj k j u ux t t t∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）： ()()()ττO t u t x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-+,,1 ()()()2112,,ττO t u t x u t x u k jk j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--+()()()h O x u h t x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-+,,1()()()h O x u ht x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--,,1 ()()()2112,,h O x u ht x u t x u k jk j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--+()()()()222211,,2,h O x u ht x u t x u t x u kjk j k j k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+--+可得到以下几种最简差分格式（一）向前差分格式()14.1 =-+τk jk j u u 1j kj k j k j f h u u u a++--+2112()()j j x f f =()24.1()j j j x u ϕϕ==0，k u 0=kN u =0 其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。

取2ha r τ=为网比，则进一步有()14.1'1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +kj ru 1-+j f τ此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到1j u =01+j ru +()r 21-0j u +01-j ru +j f τ于是，利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，可算出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j 。

再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=kN u =0算出2ju ，1,,1,0-=N j 。

如此下去，即可逐层算出所有k ju （1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k ）。

由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。

并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。

若记()TkN k k k u u u 121,,,-= u ，()()()()TN x x x 121,,,-=ϕϕϕϕ ，()()()()T N xf x f x f 121,,,-=τττ f则显格式()14.1'可写成向量形式⎩⎨⎧=-=+=+ϕ11,,1,0,u f Au u M k k k 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r r r r r r r r r21002100210021A 若记22xua t u Lu ∂∂-∂∂=()--=+τk jk j kjh u u u L 112112hu u u akj k j k j -++-那末截断误差（1.5）()=u R kj()()[]k jk j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛--)~,~(2112122=()2h O +τ 其中(,)j k xt 是矩形11+-<<j j x x x ，1+<<j k t t t 中某一点。

事实上，()=u R k j kjx u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂222τ+()2τO kjx uh a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-442ˆ12 =kjx u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂222τ+()2τO ()22222ˆ112τO t u a h a kj+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅⋅⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-211212ττa h ()222~τO t u kj+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21121r τ()222~τO t u kj+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=()2h O +τ。

这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂222244x u xa x u a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂=t u a x a 122⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=t u x 22tx u ∂∂∂=2322t u ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=t u t 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=22x u a t tx u∂∂∂=23故22t u ∂∂44244x u a x u a a ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=，从而=∂∂44x u 221tua ∂∂⋅（二）向后差分格式()16.1 =-+τk jk j u u 1j k j k j k j f h u u u a++-+-+++2111112()()j j x f f =()26.1()j j j x u ϕϕ==0，k u 0=kN u =0 其中 1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。

取2h a r τ=为网比，则进一步有 ()16.1'r -k j u 1++()r 21+1+k j u r -11+-k j u =kj u +j f τ按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j ，即求解方程组：r -11+j u +()r 21+1j u r -11-j u =0j u +j f τ1,,1,0-=N j ，k u 0=k N u =0。

求出1j u ，在由()14.1'取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j 。

如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k 。

如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。

并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。

直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。

但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。

1.2.3 Grank-Nicholson 法将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Crank-Nicholson 格式：()18.1=-+τk jk j u u 1j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-+-+++-+211111211222()()j jx f f=()28.1()j j j x u ϕϕ==0，k u 0=kN u =0 进一步， ()18.1'2r -11++k j u +()r +11+k j u 2r -11+-k j u =2r k j u 1++()r -1kju 2r +k j u 1-+j f τ 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j ，即求解方程组：2r -11+j u +()r +11j u 2r -11-j u =2r 01+j u +()r -10ju 2r +01-j u +j f τ 1,,1,0-=N j ，k u 0=kN u =0。

求出1j u ，在由()18.1',取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j 。

如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k 。

若记22xua t u Lu ∂∂-∂∂=()--=+τk jk j k j h u u u L 13j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-+-+++-+211111211222 在1(,)(,()/2)j k k x t x t t +=+处作Taylor 展开，可以算出截断误差为（1.7） ()=u R k j ()()[]kj k j h Lu t x u L -,3=()22h O +τ。

+（四）Richardson 格式（1.10） =--+τ211k jk j u u 2112hu u u akj k j k j -++-+j f进一步 ()110.1'1+k j u =r 2（k j u 1+k j u 2-+k j u 1-）+1+k j u +2j f τ这是三层显式差分格式。

显然截断误差的阶为()22h O +τ。

为使计算能够逐层进行，除初值0j u 外，还要用到1j u 。

它可以用其他双层格式提供。

Richardson 格式的矩阵形式为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=-+另算10111,,1,u u f u u C u ϕτM k k k k 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⋅-=21001210012100122 r C2 稳定性与收敛性抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式: (2.1)1k k AU BU F τ+=+其中1111(,), (,,)k k k TN N U u u F f f --== ，A 和B 是1N -阶矩阵。