河北省唐山市2015届高三年级摸底考试文科数学试卷(带解析)
河北省唐山市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试文科数学试题(含详细答案)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
(13)Sn为等比数列{an}的前n项和，满足Sn=2an-1，则{an}的公比q=。
(14)已知向量a，b满足a·(a-b)=2，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角等于．
即AD＝AC＝2，故S△ACD＝1．…12分
（18）解：
（Ⅰ）茎叶图如下：
测试成绩（单位：次／分钟）如下表：
( I)在答题卡上补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数：
( II)试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析.
(19)（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，
∠BAD= ，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的
(8)在区间[一1,1]上随机取一个数x，使cos x≥ 的概率为
(A) (B) (C) (D)
(9)若x，y满足不等式组 则 的最大值是
(A) (B) 1
(C)2 (D)3
(10)某几何体的三视图如右图所示，则其体积为
(A) 8 (B)
(C) 9 (D)
(11) 为双曲线 =1（a>0，b>0）的右焦点，若 上存在一点P使得△OPF
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半
圆C(圆心为点C)的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈( ， )．
(I)求半圆C的参数方程：
(II)直线，与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A(O，-2)，点D在半圆C上，
且直线CD的倾斜角是直线，倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．
河北省唐山市高三数学上学期摸底考试试题 文
唐山市2015—2016学年度高三年级摸底考试文 科 数 学注意事项：一、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．二、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．三、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．四、考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求．（1）已知集合M ＝{x|x ＞1}，N ＝{x|x 2－2x ≥0}，则∩N ＝（A ）(－∞，－2] （B ）(－∞，0]（C ）[0，1) （D ）[－2，0](2)己知命题p ：2n ,2016,N n p ∃∈>⌝则为(A) 2,n N n ∀∈≤2016 (B) 2,n N n ∀∉≤2016(C) 2,n N n ∃∈≤2016 (D) 2,n N n ∃∉≤2016（3）已知（i 为虚数单位），则实数b ＝（A ） （B ）－6 （C ）－2 （D ）2（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）2 （B ）（C ）4 （D ）(5)向量a =（-1，1），b=(l ，0)，若(a-b ）⊥(2a+λb)，则λ=(A)2 (B) -2(C)3 (D) -3(6)若函数2()a f x x =在(2，f (2))处的切线过点(1，2)，则a=(A)4 (B)7(C)8 (D) 85（7）函数f (x)＝3sinx －cosx （x ∈[0，π]）的单调递减区间是（A ）[0，23π] （B ）[2π ，23π]（C ）[23π，π] （D ）[2π ，56π]（8）x ，y 满足约束条件目标函数z ＝2x ＋y ，则z 的取值范围是（A ）[－3，3] （B ）[－3，2]（C ）[2，＋∞) （D ）[3，＋∞)(9)三棱锥P-A BC 的四个顶点都在球D 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =3，AB=BC=2，则球O 的表面积为(A) 13π (B) 17π(C) 52π (D) 68π（10）执行如右图所示的程序框图，若输入a ＝390，b ＝156，则输出a=（A ）26 （B ）39（C ）78 （D ）156 （11）已知双曲线Γ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，与x 轴 平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若Γ的离心率为 2，则（A ）θ∈(0，2π ) （B ）θ＝2π （C ）θ∈(34π，π) （D ）θ＝34π （12）若函数)(x f ＝e x －ax 2有三个不同零点，则a 的取值范围是 （A ）(24e ，＋∞) （B ）(2e ，＋∞) （C ）(1，24e ) （D ）(1，2e ) 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（(13)某公司有A 、B 两个部门，共有职工300人，其中A 部门有职工132人，按部门职 工数比例用分层抽样的方法，从该公司的职工中抽取一个容量为25的样本，则从B 部门抽取的员工人数是 .（14）若函数101()101x x m f x ⋅+=-为奇函数，则m ＝____． (15)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ A =60°，b=2，c=3，则sin 2sin C B的值为 。
河北省唐山市高三数学第一次模拟考试试题 文(扫描版)
唐山市2015—2016学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABBD A BACA DCB 卷：BABCD A BACA CD 二、填空题：（13）2 （14）2π3（15）(x －1)2＋(y －1)2＝1（16）8π三、解答题： （17）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝6， 所以BC ＝6．…4分（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，则sin ∠ABC ＝22，又0°＜∠ABC ＜120°，所以∠ABC ＝45°，从而有∠ACB ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACD ＝75°，又∠DAC ＝30°，所以△ACD 为等腰三角形， 即AD ＝AC ＝ 2，故S △ACD ＝1． …12分 （18）解：（Ⅰ）茎叶图如下：…4分 乙队测试成绩的中位数为72，众数为75．…6分（Ⅱ）－x 甲＝63＋66＋72＋73＋76＋826＝72，s 2甲＝16[(63－72)2＋(66－72) 2＋(72－72) 2＋(73－72) 2＋(76－72) 2＋(82－72) 2]＝39；－x 乙＝62＋68＋69＋75＋75＋836＝72，s 2乙＝16[(62－72)2＋(68－72) 2＋(69－72) 2＋(75－72) 2＋(75－72) 2＋(83－72) 2]＝44，…10分因为－x 甲＝－x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲乙两队水平相当，但甲队发挥较稳定． …12分（19）解：（Ⅰ）连接AO 1，BD在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，∵ 四边形ABCD 是边长为2的菱形， ∴ AC ⊥BD ，又∵ BD ∩BB 1＝B ， ∴ AC ⊥平面DBB 1D 1， 又∵ O 1M ⊂平面DBB 1D 1， ∴ AC ⊥O 1M ．∵ 直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD ＝ π3，M 为BB 1的中点，∴ BD ＝2，AC ＝23，B 1M ＝BM ＝1，∴ O 1M 2＝O 1B 12＋B 1M 2＝2，AM 2＝AB 2＋BM 2＝5，O 1A 2＝O 1A 12＋A 1A 2＝7，∴ O 1M 2＋AM 2＝O 1A 2， ∴ O 1M ⊥AM ．又∵ AC ∩AM ＝A ， ∴ O 1M ⊥平面ACM ．…6分（Ⅱ）∵A 1C 1∥AC ，∴A 1C 1∥平面ACM ，即C 1到平面ACM 的距离等于O 1到平面ACM 的距离， 由（Ⅰ）得O 1M ⊥平面ACM ，且O 1M ＝2，即点C 1到平面ACM 的距离为2． …12分（20）解：（Ⅰ）由题意可得c ＝2，左焦点F 1(－2，0)，|PF |＝63， 所以|PF 1|＝|PF |2＋4c 2＝563，即2a ＝|PF |＋|PF 1|＝26， 即a 2＝6，b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1． …5分（Ⅱ）显然直线l 与x 轴不垂直，设l ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将l 的方程代入C 得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以AB 的中点N (6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2)，即M (－12k 21＋3k 2，4k1＋3k 2)．由点M 在C 上，可得15k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝ 15或－ 13（舍），即k ＝±55． 故直线l 的方程为y ＝±55(x －2)．…12分（21）解：（Ⅰ）解：f '(x )＝acos 2x－e x，所以f '(0)＝a －1，又f (0)＝a －1，所以a －1＝a －40－2，解得a ＝2．…4分（Ⅱ）由f (x )≥0得a ≥ex tan x ＋1，ABCDMC 1B 1 D 1A 1O 1令g (x )＝e x tan x ＋1，则g '(x )＝e xtan x (1－tan x )( tan x ＋1)2， x ∈(0， π 4)，g '(x )＞0；x ∈( π 4， π2)，g '(x )＜0，所以g (x )的最大值为g ( π4)＝e π 42，故所求a 的取值范围是a ≥e π 42．…12分（22）解：（Ⅰ）因为BF ∥CD ，所以∠EDC ＝∠BFD ， 又∠EBC ＝∠EDC ，所以∠EBC ＝∠BFD ，又∠BCE ＝∠BDF ，所以△BCE ∽△FDB . …4分（Ⅱ）因为∠EBF ＝∠CBD ，所以∠EBC ＝∠FBD ， 由（Ⅰ）得∠EBC ＝∠BFD ，所以∠FBD ＝∠BFD ， 又因为BE 为圆O 的直径，所以△FDB 为等腰直角三角形，BD ＝22BF ＝2，因为AB 与圆O 相切于B ，所以EB ⊥AB ，即AD ·ED ＝BD 2＝2． …10分（23）解：（Ⅰ）半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1（y ＞1），它的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ，φ为参数且φ∈(0，π)．…4分（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的方程为y ＝x tan α－2，D (cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．|AB |＝2sin α，点D 到直线l 的距离为|sin αcos2α－cos αsin2α－3cos α|＝|3cos α－sin αcos2α＋cos αsin2α|＝3cos α＋sin α，由△ABD 的面积为4得tan α＝1，得α＝ π4，故点D 为(0，2)．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ＜－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (－43)＝f (2)＝5， 得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－ 43，或x ＞2}．…5分（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥|x＋1||x－1|＋|x＋3|，由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1|得|x＋1||x－1|＋|x＋3|≤12，得a≥12．（当且仅当x≥1或x≤－3时等号成立）故a的最小值为12．…10分。
河北省唐山一中2015届高三上学期12月调研考试数学文试
河北省唐山一中2015届高三上学期12月调研考试本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何，统计概率等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份好试卷.一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设集合1122M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2N x x x =≤，则M N = ( ) A.1[0,)2B.1(,1]2-C.1[1,)2-D.1(,0]2-【知识点】集合及其运算A1【思路点拨】解一元二次不等式求得N ，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N ．2.复数i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为( ) A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i +【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】A则复数z 的共轭复数可求．3.设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（ ）22=⋅b a C.b a // D.b b a ⊥-)( 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F24.下列关于命题的说法错误的是 ( )A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；C ．若命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝：,21000n n N ∀∈≤；D ．命题“(,0),23xxx ∃∈-∞< ”是真命题【知识点】命题及其关系A2 【答案】D 【解析】因为命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2-3x+2≠0”，所以A 正确；由a=2能得到函数f （x ）=log a x 在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f （x ）=log a x 在区间（0，+∞）上为增函数，a 不一定大于2，所以“a=2”是“函数f （x ）=log a x 在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B 正确；命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，的否定为￢P ：∀n ∈N ，2n ≤1000，所以C 正确；因为当x ＜0时恒有2x ＞3x ，所以命题“∃x ∈（-∞，0），2x ＜3x ”为假命题，所以D 不正确【思路点拨】选项A 是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B 看由a=2能否得到函数f （x ）=log a x 在区间（0，+∞）上为增函数，反之又是否成立；选项C 、D 是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式． 5.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图， 则由图可估计样本的重量的中位数为( )A ．11B ．11.5C ．12D ．12.5【知识点】用样本估计总体I2 【答案】C【解析】由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50由于[10，15]的组中值为12.5，由图可估计样本重量的中位数12.【思路点拨】由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，结合[10，15]的组中值，即可得出结论．6.已知函数00x a e ,x f (x )ln x,x ⎧⋅≤=⎨->⎩，(a >0，其中e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程0f (f (x ))=，有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()1,+∞B. ()12,C. ()01,D. ()()011,,+∞【知识点】函数与方程B9 【答案】B【思路点拨】若a=0则方程f （f （x ））=0有无数个实根，不满足条件， 若a≠0，若f （f （x ））=0，可得当x≤0时，a•e x =1无解，进而得到实数a 的取值范围． 7．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（） A ．①④③② B ．①④②③ C ．④①②③ D ．③④②① 【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】B【解析】分析函数的解析式，可得：①y=x•sinx 为偶函数；②y=x•cosx 为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x 为非奇非偶函数且当x ＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③ 【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y 轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y 轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y 轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．8. 如图三棱锥,,,30oV ABC VA VC AB BC VAC ACB -∠=∠=⊥⊥，若侧面VAC ⊥底面ABC ，则其主视图与左视图面积之比为（ ）A ．4B ．4C :Dx x【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【思路点拨】主视图为Rt △VAC ，左视图为以△VAC 中AC 的高为一条直角边，△ABC 中AC 的高为另一条直角边的直角三角形．9.点)2,4(-P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．1)1()2(22=++-y x B ．4)1()2(22=++-y x C ．4)2()4(22=-++y x D ．1)1()2(22=-++y x 【知识点】圆的方程H3【答案】A代入x +y =4得（2x-4）+（2y+2）=4，化简得（x-2）+（y+1）=1．CVA.7B.9C.11D.13【知识点】算法与程序框图L1【思路点拨】根据题意，分析该程序的作用，可得b 的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．11.以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中心O (坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线,垂 足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为（ ）A 1BC 1D ．2【知识点】双曲线及其几何性质H612.设等差数列{}n a 满足：33363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A ．74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2【答案】B【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．第II 卷（非选择题，共90分）二、选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 向量,,a b c在单位正方形网格中的位置如图所示，则=+⋅)(c b a .【知识点】平面向量的数量积及应用F3 【答案】3【解析】如图建立平面直角坐标系，则a =（1，3），b=（3，-1）-（1，1）=（2，-2）， c =（（3，2）-（5，-1）=（-2，3），∴b +c=（0，1）， ∴a •b=（1，3）•（0，1）=3．【思路点拨】首先以向量的起点为原点，分别以水平方向和竖直方向为x 轴、y 轴建立坐标系，将三个向量用坐标表示，再进行运算． 14.若53)4sin(=-x π，则=x 2sin __________. 【知识点】二倍角公式C6 【答案】7代入即可得到答案．15. 已知正项等比数列}{n a 满足5672a a a +=，若存在两项n m a a ,12a =，则nm 91+的最小值为 . 2a b+≤E6【答案】416.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：①1()f x x =；②()sin f x x =；③()f x =ln ()x f x x=其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).【知识点】单元综合B14【思路点拨】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论． 二、解答题：(本题共5小题，每小题12分，共60分)17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B cos C ． (Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a ∆ABC 的面积． 【知识点】解三角形C8【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A =，cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A cos C ＋23sin C ．整理得：tan C ．(Ⅱ) tan C 则 sin C ．又由正弦定理知：sin sin a c A C =，故c =． 又cos A ＝222223b c a bc +-=． 解得b =or b 舍去)．∴∆ABC 的面积为：S ＝1sin 2bc A ． 【思路点拨】根据同角三角函数基本关系求出，利用正弦定理余弦定理求出边，求出面积。
河北省唐山市2015-2016学年高三第二次模拟考试文科数学试题 Word版含答案资料
试卷类型：A唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试文科数学说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，则A ∪B ＝（A ）(－2，1) （B ）(－1，1) （C ）(－2，2)（D ）(－1，2)（2）设复数z 满足(1＋z )(1＋2i)＝i ，则复平面内表示复数z 的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知α为实数，则“α＝2k π＋4（k ∈Z ）”是“tan α＝1”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件（4）大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为 （A ） 1 3（B ）12（C ） 5 6（D ） 2 3（5）执行右侧的程序框图，若输入M 的值为1，则输出的S ＝（A ）6 （B ）12 （C ）14（D ）20（6）已知a ＝log 34，b ＝log π3，c ＝50.5，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜c ＜a（D ）b ＜a ＜c（7）若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤6，2x －y ≤2，则z ＝3x ＋4y 的最大值是（A ）3 （B ）8 （C ）14（D ）15（8）函数f (x )＝cos (x ＋2π5)＋2sin π 5sin (x ＋ π5)的最大值是 （A ）1（B ）sin π5（C ）2sinπ5（D ）5（9）椭圆y 2＋x 2m2＝1（0＜m ＜1）上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是（A ）[22，1) （B ）(0，22] （C ）[ 12，1) （D ）(0，12] （10）在 ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则BD →·AE →＝（A ）－12 （B ）12 （C ）－6（D ）6（11）在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ．该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （A ） 1 2（B ） 13 （C ） 1 4（D ）15（12）已知函数f (x )＝x x －1＋sin πx 在上的最小值为n ，则m ＋n ＝ （A ）－2 （B ）－1 （C ）1（D ）2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程是y ＝±2x ，则C 的离心率e ＝____． （14）已知△ABC 的三边长分别为2，3，7，则△ABC 的面积S ＝_____． （15）已知函数f (x )＝e x －ax －1，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a ＝____．（16）已知AB 是球O 的直径，C 、D 为球面上两动点，AB ⊥CD ，若四面体ABCD 体积的最大值为9，则球O 的表面积为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－7，S 8＝0． （Ⅰ）求{a n }的前n 项和为S n ；（Ⅱ）数列{b n }满足b 1＝ 1 16，b n b n ＋1＝2a n ，求数列{b n }的通项公式．（18）（本小题满分12分）正视图侧视图俯视图二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2，a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ （19）（本小题满分12分）如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，E 为边AD 的中点，分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 折叠，使平面ABE 和平面DCE 均与平面BCE 垂直． （Ⅰ）证明：AD ∥平面BEC ； （Ⅱ）求点E 到平面ABCD 的距离．（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过点(4，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M (－4，0)，O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：k AM ＋k BM ＝0；（Ⅱ）若直线l 的斜率为k （k ＜0），求k k AM ·k BM的最小值．（21）（本小题满分12分）设函数f (x )＝x 22＋(1－k )x －k ln x ．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若k 为正数，且存在x 0使得f (x 0)＜32－k 2，求k 的取值范围． ACDBBC EEAD请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AC 与BD 相交于点F ，AE 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线相交于点E ，∠ADE ＝∠BDC ． （Ⅰ）证明：A 、E 、D 、F 四点共圆； （Ⅱ）证明：AB ∥EF ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C 2与曲线C 1关于原点对称．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 3的极坐标方程是ρ＝2（0＜θ＜π）．过极点O 的直线l 分别与曲线C 1，C 2，C 3相交于点A ，B ，C ． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程； （Ⅱ）求|AC |·|BC |的取值范围．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|＋m |x －1|．（Ⅰ）当m ＝2时，求不等式f (x )＜4的解集； （Ⅱ）若m ＜0，f (x )≥2m ，求m 的最小值．唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一、选择题A 卷：CBADB DCABA BD B 卷：CCADB DDABA BC 二、填空题（13） 5 （14）332（15）1（16）36π三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由S 8＝0得a 1＋a 8＝－7＋a 8＝0， ∴a 8＝7，d ＝a 8－a 18－1＝2， …3分所以{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－7n ＋n (n －1) ＝n 2－8n ． …6分（Ⅱ）由题设得b n b n ＋1＝2an ，b n ＋1b n ＋2＝2an ＋1， 两式相除得b n ＋2＝4b n ， …8分又b 1b 2＝2a1＝1 128，b 1＝ 1 16，所以b 2＝ 18＝2b 1， 所以b n ＋1＝2b n ，即{b n }是以 116为首项，以2为公比的等比数列， 故b n ＝2n －5．…12分（18）解：（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -＝10，5i ＝1∑x i y i ＝242，5i ＝1∑x 2i ＝220，^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx-y -ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45，a ˆ＝y -－^b x -＝18.7；…6分所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5＝－0.05(x－3)2＋1.95，所以预测当x＝3时，销售利润z取得最大值．…12分（19）解：（Ⅰ）分别取BE，CE中点M，N，连接AM，MN，DN，由已知可得△ABE，△DCE均为腰长为4的等腰直角三角形，所以AM⊥BE，且AM＝22．又∵平面ABE⊥平面BCE，且交线为BE，∴AM⊥平面BEC，同理可得：DN⊥平面BEC，且DN＝22．∴AM∥DN，且AM＝DN，∴四边形AMND为平行四边形．∴AD∥MN，又∵MN平面BEC，AD/平面BEC，∴AD∥平面BEC．…6分（Ⅱ）点E到平面ABC的距离，也就是三棱锥E－ABC的高h．连接AC，MC，在Rt△EMC中有MC＝EM2＋EC2＝210，在Rt△AMC中有AC＝AM2＋MC2＝43．可得AC2＋AB2＝BC2，所以△ABC是直角三角形．由V E—ABC＝V A—BEC得 13·12AB·AC·h＝13·12BE·EC·AM，可知h＝463．∴点E到平面ABC的距离为463．…12分（20）解：ACDB B CEE A DM NB CEA DM（Ⅰ）设l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将x＝my＋4代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－16．…3分k AM ＝y1x1＋4＝4y1y21＋16＝4y1y21－y1y2＝4y1－y2，同理k BM＝4y2－y1，所以k AM＋k BM＝0．…6分（Ⅱ）kk AM ·k BM＝(y1－y2)2－16m＝16m2＋64－16m＝－m＋4－m≥4，当且仅当m＝－2时等号成立，故kkAM·k BM的最小值为4．…12分（21）解：（Ⅰ）f'(x)＝x＋1－k－kx＝x2＋(1－k)x－kx＝(x＋1)(x－k)x,（ⅰ）k≤0时，f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；（ⅱ）k＞0时，x∈(0，k)，f'(x)＜0；x∈(k，＋∞)，f'(x)＞0，所以f(x)在(0，k)上单调递减，f(x)在(k，＋∞)上单调递增．…5分（Ⅱ）因k＞0，由（Ⅰ）知f(x)＋k2－ 32的最小值为f(k)＋k2－32＝k22＋k－k ln k－32，由题意得k22＋k－k ln k－32＜0，即k2＋1－ln k－32k＜0．…8分令g(k)＝k2＋1－ln k－32k，则g'(k)＝12－1k＋32k2＝k2－2k＋32k2＞0，所以g(k)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以k∈(0，1)时，g(k)＜0，于是k22＋k－k ln k－32＜0；k∈(1，＋∞)时，g(k)＞0，于是k22＋k－k ln k－32＞0．故k的取值范围为0＜k＜1．…12分（22）解：（Ⅰ）因为AE 与圆O 相切于点A ，所以∠CAE ＝∠CBA ； 因为四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠CBA ＝∠ADE ； 又已知∠ADE ＝∠BDC ，所以∠BDC ＝∠CAE ， 故A ，E ，D ，F 四点共圆．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ADE ＝∠AFE ＝∠BDC ， 又∠BDC ＝∠BAC （同弧所对的圆周角相等）， 所以∠AFE ＝∠BAC ，故AB ∥EF ． …10分（23）解：（Ⅰ）由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ．（φ为参数，0＜φ＜π）得(x －1)2＋y 2＝1（0＜y ≤1），所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ（0＜θ＜π2）． …5分（Ⅱ）由题意可设A (ρ1，θ)，C (2，θ)（0＜θ＜π2），则|AC |＝2－ρ1＝2－2cos θ，|BC |＝2＋ρ1＝2＋2cos θ， 所以|AC |·|BC |＝4sin 2θ∈(0，4)． …10分（24）解：（Ⅰ）当m ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ＜－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (53)＝f (－1)＝4，得f (x )＜4的解集为{x |－1＜x ＜53}．…5分（Ⅱ）由f (x )≥2m 得|x ＋1|≥m (2－|x －1|)，因为m ＜0， 所以－1m|x ＋1|≥|x －1|－2，在同一直角坐标系中画出y ＝|x －1|－2及y ＝－1m|x ＋1|的图像，根据图像性质可得－1m≥1，即－1≤m＜0，故m的最小值为－1．…10分- 11 -。
河北省唐山市2015届高三数学上学期摸底试卷 文(含解析)
河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）A．[﹣，+∞）B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）2．（5分）复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i3．（5分）函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数D．奇函数，在（0，+∞）是减函数4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．5．（5分）已sin（﹣x）=，则sin2x的值为（）A．B．C．D．±6．（5分）甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．B．﹣C．5 D．8．（5分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．9．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，则ω的值可能是（）A．B．C．5 D．210．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．+6 C．+5 D．+511．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关二、填空题13．（5分）函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为．14．（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为．16．（5分）在△ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=，co s∠C=，则AC+BC=三、解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），公差d为2．（1）求a n与k；（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=2（n≥2），求b n．18．（12分）某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．20．（12分）已知函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）（1）讨论函数的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点．当m=0时，•=﹣（1）求C的方程；（2）求证：|PA|2+|PB|2为定值．22．（10分）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．（1）求证：AT2=BT•AD；（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．24．（10分）设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）A．[﹣，+∞）B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合N，根据集合并集的定义得到答案．解答：解：∵集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}={x|﹣≤x≤}，∴M∪N={x|x≥﹣}=[﹣，+∞），故选：A点评：本题考查的知识点是集合的并集及其运算，属于基础题．2．（5分）复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可．解答：解：复数z====﹣1﹣i．显然A、B、C都不正确，z的共轭复数为﹣1+i．正确．故选：D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．3．（5分）函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数D．奇函数，在（0，+∞）是减函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数的定义域为R，然后利用定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，利用2x的单调性判断f（x）单调性．解答：解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）==﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；又y=2x为增函数，y=﹣2﹣x为增函数，∴f（x）为增函数；故选B．点评：本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：将抛物线方程化为标准方程，确定焦点的位置，从而可求抛物线y=2x2的准线方程．解答：解：抛物线y=2x2可化为，焦点在y轴上，2p=，∴∴抛物线y=2x2的准线方程是故选D．点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题的关键是将方程化为标准方程，属于基础题．5．（5分）已sin（﹣x）=，则sin2x的值为（）A．B．C．D．±考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用角之间的关系将sin2x化为cos2x，再利用二倍角公式求解．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（）=1﹣2×=；故选C．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式的运用．6．（5分）甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为n==6，甲、乙相邻的基本事件个数m==2．由此能求出甲、乙相邻的概率．解答：解：甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为n==6，甲、乙相邻的基本事件个数m==2．∴甲、乙相邻的概率p==．故选：B．点评：本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．B．﹣C．5 D．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=2，当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=3，当n=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=﹣，a=﹣，n=4，当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=5，当n=5时，不满足进行循环的条件，故输出的a值为5，故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值，开方可得．解答：解：设向量，的夹角为θ，∵||=||=|+|=1，∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，解得cosθ=，∴θ=，∴|﹣t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，∴|﹣t|的最小值为故选：D点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．9．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，则ω的值可能是（）A．B．C．5 D．2考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：当x=时，函数f（x）=sin（ωx+）的相位的终边落在y轴上，由此列式求得ω的可能取值．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，∴ω•+=k，k∈Z．ω=6k+2，k∈Z．当k=0时，ω=2．∴ω的值可能是2．故选：D．点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的对称性，关键是对函数具有对称性的理解，是基础题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．+6 C．+5 D．+5考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．解答：解：三视图复原的组合体是下部是棱长为1的正方体，上部是底面边长为1的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：5×1×1+4××1×=+5，故选：D点评：本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．11．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选：B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=a x﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．解答：解：令f（x）=0，得：a x﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：a x﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．点评：本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．二、填空题13．（5分）函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为（，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域满足2x﹣1＞0，由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域满足：2x﹣1＞0，解得x＞，∴函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．14．（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是6．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式和指数运算的性质即可得出．解答：解：∵实数x，y满足x+2y=2，∴3x+9y=3x+32y≥2=6，当且仅当x=2y=1时取等号．因此3x+9y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式和指数运算的性质，属于基础题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为x2﹣=1．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，可得=，由C的一个焦点到l的距离为1，可得=1，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，∴=，∵C的一个焦点到l的距离为1，∴=1，∴c=2，∴a=1，b=，∴C的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．点评：本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用．16．（5分）在△ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=，cos∠C=，则AC+BC=3考点：解三角形．专题：解三角形．分析：根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．解答：解：∵BD=2DC，∴设CD=x，AD=y，则BD=2x，∵cos∠DAC=，cos∠C=，∴sin∠DAC=，sin∠C=，则由正弦定理得，即，即y=，sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=×+×=，则∠ADB=，，在△ABD中，，即2=4x2+2x2﹣2×=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos=2+1﹣2×=5，即AC=，则AC+BC=3，故答案为：3点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．三、解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），公差d为2．（1）求a n与k；（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=2（n≥2），求b n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先利用S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），用k把a1和a2表示出来，再结合d=2即可求出k，则首项可求，通项可求；（2）对于数列b n所满足的条件，可采用迭代法，因为数列{a n}通项已知，且b1已知，所以最终b n可求．解答：解：（Ⅰ）由题设得a1=S1=2k﹣1，a2=S2﹣S1=4k﹣1，由a2﹣a1=2得k=1，则a1=1，a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（Ⅱ）b n===…=，由（Ⅰ）知，且b1=2，∴==．显然n=1时，上式成立，综上所述，．点评：本题主要考查了等差数列的基本量计算、迭代法求数列通项的问题．前者主要是方程（组）的思想方法，后者要注意使用条件的判断．18．（12分）某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图中，各组的累积频率为1，构造关于x的方程，解方程可得答案；（2）设中位数为t，则20×0.0125+（t﹣20）×0.0250=0.5，解得中位数；（3）根据已知数据可得享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%，进而根据抽取的样本容量为25，得到结论．解答：解：（1）由直方图可得：20×（x+0.0250+0.0065+0.0030+0.0030）=1，解得x=0.0125．…（4分）（2）设中位数为t，则20×0.0125+（t﹣20）×0.0250=0.5，得t=30．样本数据的中位数估计为30分钟．…（8分）（3）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%=3人，抽取不享受补助人员25×88%=22人．…（12分）点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，是统计基本概念的直接考查，难度不大，属于基础题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DE∥A1B．由此能证明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，从则C到与平面ADC1的距离即为所求．解答：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点．连接DE，则DE∥A1B．因为DE⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，则C到与平面ADC1的距离即为所求．…（6分）因为AB=AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，所以AD⊥平面BCC1B1，平面ADC1⊥平面BCC1B1．作于CF⊥DC1于F，则CF⊥平面ADC1，CF即为所求距离．…（10分）在Rt△DCC1中，CF==．所以A1到与平面ADC1的距离为．…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）（1）讨论函数的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）先求函数的定义域，易知x∈R，然后对原函数求导，借助于函数y=2e x的图象，通过变换得到f′（x）=2e x﹣a的图象，解不等式得到原函数的单调区间．（2）这是一道不等式恒成立问题，因此只需当x≥0时，f（x）min≥0即可，再结合（1）中对函数单调性的研究，确定f（x）的最小值，则问题可解．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2e x﹣a．若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；若a＞0，令f′（x）=0得x=ln，易知当x∈（﹣∞，ln）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；当x∈（ln，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在[ln，+∞）上单调递增；综上，a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在ln，+∞）上单调递增．（Ⅱ）注意到f（0）=0．（1）当a≤0时，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，只需f（x）min=f（0）=0，显然成立．（2）当a＞0时若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，f（x）≥f（0）=0，符合题意．若ln＞0，即a＞2，则当x∈（0，ln）时，f（x）单调递减，又因为f（0）=0，所以此时f（x）＜0，不合题意．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题重点考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题．对于此类问题在解不等式时要充分利用数形结合的思想辅助分析，进行讨论；而不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，再进一步利用导数研究函数的单调性求最值．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点．当m=0时，•=﹣（1）求C的方程；（2）求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）因为离心率为，所以=．当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）l的方程为x=y+m，代入，得25y2+20my+8（m2﹣25）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则|PA|2=（x1﹣m）2+=，同理|PB|2=，由此能证明|PA|2+|PB|2是定值．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为离心率为，所以=．当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=．…（2分）设A（x0，y0），则B（﹣x0，﹣y0），P（m，0），•=﹣﹣=﹣=﹣•．又因为•=﹣，所以a2=25，b2=16，椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）l的方程为x=y+m，代入，并整理得25y2+20my+8（m2﹣25）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则|PA|2=（x1﹣m）2+=，同理|PB|2=．…（8分）则|PA|2+|PB|2=（+）=[（y1+y2）2﹣2y1y2]=[（﹣）2﹣]=41．所以，|PA|2+|PB|2是定值．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段平方和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（10分）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．（1）求证：AT2=BT•AD；（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）证明AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论；（2）取BC中点M，连接DM，TM，可得O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径，即可求∠A．解答：（1）证明：因为∠A=∠TCB，∠ATB=∠TCB，所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．又AT 2=AB⋅AD，所以AT 2=BT⋅AD．…（4分）（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．所以∠ABT=∠DBT=90°．所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．解答：解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．点评：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站24．（10分）设函数f（x）=|x ﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m 的范围取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x ﹣|+|x+m|≥|﹣（x ﹣）+x+m|=+m≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m ﹣+4，由f（2）＞5，求得m ＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．- 21 -。
河北省唐山市第一中学2015届高三模拟演练(十七)数学(文)试卷(扫描版)
文科数学 选择题： B卷：BDACB DBCAD AC 二、填空题： ；（15）；（16）3π． ： （17）解：（）当＋＋＋＋，，当．．＝q，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列．所以Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以a2＋a＝2a． 故a2，a8，a5成等差数列．（1）解：（）由表中数据计算得，＝4，＝8.5，＝10， ＝＝0.85，－＝－0.25．＝0.85t－0.25．（）的回归方程中得0.85×8－0.25＝6.55．细菌． （1）解：（）AC1，1，则ACC1和△B1CC1皆为正三角形． 取CC1中点O，连OA，O1，则CC1⊥OA，C1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则C1⊥AB1．…6分 （）由（）知OA＝OB1＝，又A1＝，所以OAOB1．又OA⊥CC1，O1∩CC1＝O，所以OA1C1C． S□BB1C1C＝BC×BB1 sin60°＝2，故A－BB1C1C＝S□BB1C1C×OA＝2．…12分 （）解：1，O1P， 则|OO1|＋1P|＝＝2，取A关于y轴的对称点，连，＋＝21|＋1P|)＝， 其中a＝2，c＝，b 曲线Γ的方程为＋y2＝1．…5分 （Ⅱ）因为OB与圆O1相切，所以⊥． 设B(x0，y0)，则x0(x0－)＋＝＋y＝1，解得x0＝＝±则kOB±，kAB＝，…10分 则直线AB的方程为y＝±(x－)，即 x＋＝x－＝ （）解：，f(x)＝＋．f(x)在定义域上是增函数得，f((x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋．＋＋Ⅱ）g((x)＝－1＋2时，f(x)＝x－2lnx－＋f(x)在定义域上是增函数得，又f(1)＝0， 所以，当x∈(0，1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋f(x)＞．(x)＞＋(x)＜0．(x)取得最大值－e．（）解： ＝＝＝＝＝＝＝＝＝x＝＝＝x， 所以∠CFA＝＝x， 在等腰π＝＝x，则x＝＝x＝（）解：（θ为为参数），l：x－y＋9＝ （Ⅱ）设P(2cosθ，sinθ＝cosθ， P到直线l的距离d＝． 由|AP|＝θ－4cosθ＝θ＋cos2θ＝θ＝θ＝． 故P(－，)．…10分 （）解：（）因为f(x)2x－1|＋|x＋ 且f()＝f(－1)＝3，所以，f(x)＜3的解集为 （）2x－a|＋|x＋|＋＋|≥|1＋＋＋)≤0且x－＝0时，取等号．＋1，解得a＝－ E C F B D A A y O B P O1 A( B O y x A O C1 B1 A1 C B A。
河北省唐山市第一中学2015届高三下学期高考仿真(一)数学(文)试卷(扫描版)
s唐山一中2015届高三第一次仿真考试数 学 试 题（文）参考答案一、选择题BBADD DBCB B DC二、填空题13．100 14．︒60 15 16． 201422015三、解答题17．解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅ =R i ∈-++)32sin 2()cos 32sin 2(θθθ……2分232sin =∴θ…………………………4分 又 πθ220≤≤ ，ππθ3232或=∴， 36ππθ或=∴…………………6分 （2）)cos 2,1OZ 3sin 2(OZ 21θθ（），，=-=θθcos 32sin 2OZ OZ 21-=⋅ )3sin(4πθ-=………………………9分3233ππθπ≤-≤-，4)3sin(432≤-≤-∴πθ[]4,32OZ OZ 21-∈⋅∴………12分 18．解：（1）取AB 中点D ，连接,GD CD ，又GB GF =，所以//2AF GD . 因为//2AF CE ，所以//GD CE ,四边形GDCE 是平行四边形，所以//CD EG因为EG ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC所以//EG 平面ABC .（2）假设存在点G ，使得BF ⊥平面AEG .，则GE BF AG BF ⊥⊥,,AB AF = 又,所以由等腰三角形的三线合一定理，G 为BF 的中点.GE BF ⊥ 又,所以BE EF =,而根据所给的数据，易得53==BE EF ，,与BE EF =矛盾.所以不存在点G 满足BF ⊥平面AEG .19．【解析】∴＝－＝80＋208.5＝250 ∴所求回归直线方程为：=－２０x ＋250 …………（6分） （2）设工厂获得的利润为L （x ）元，则∴当x 8.25时L(x)最大361.25 ∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为8.25元 …………（12分）20．解：（Ⅰ）()232f x x ax b '=++， ………1分 于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩ ……………………3分当411a b =⎧⎨=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有极值点； 当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． 所以 11b =-． …… 6分（Ⅱ）法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…7分所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立． 因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， 所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立， 即 ()2max 38b x x ≥-+. ……………………………………10分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭， 所以 当43x =时，()2max 16383x x -+=， 所以 163b ≥， 所以 b 的最小值为163． ………………………………12分 法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立， 7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max 32b x ax ≥--．令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭， 当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；当40a -≤<时，()2max 33a a F x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ．……10分 又2max 1633a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以163b ≥． 综上，b 的最小值为163． ………………………………12分21．【分析】（1）待定系数；（2）根据对称性把求解结果1134x y -用00,x y 表达。
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河北省唐山市2015届高三年级摸底考试文科数学试卷（带解析）1．已知集合M ＝{x|x≥－1}，N ＝{x|2－x 2≥0}，则M ∪N ＝( )A.[1C.[－1，＋∞)D.(∪[－1，＋∞) 【答案】A【解析】试题分析：由已知，M ＝{x|x≥－1}，N ＝{x|故M ∪N ，选A 考点:集合运算，简单一元二次不等式 2．复数z ＝1312i i-+，则( )A.|z|＝2B.z 的实部为1C.z 的虚部为－iD.z 的共轭复数为－1＋i 【答案】D【解析】试题分析：z ＝(13)(12)1(12)(12)i i i i i --=--+-故|z|A 错；z 的实部为－1，B 错；z 的虚部为－1，C 错，z 的共轭复数为－1－i ，D 正确考点:复数的代数运算，复数的基本概念3．函数f(x)＝222x x--是( )A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数 【答案】B【解析】试题分析：因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数又因为y ＝2x是增函数，y ＝2－x为减函数，故22()2x xf x --=为增函数，选B考点:函数的奇偶性和单调性.4．抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A.x ＝－12 B.x ＝12 C.y ＝－18 D.y ＝18【答案】C【解析】试题分析：将抛物线方程改写为标准形式：212x y = 故122p =，且开口向上，故准线方程为128p y =-=-，选C考点:抛物线的标准方程，抛物线的准线5．已知1sin()44x π-=，则sin2x 的值为( )A.1516B.916C.78D.1516±【答案】C【解析】试题分析：2217sin 2cos(2)12sin ()12()2448x x x ππ=-=--=-⨯=.选C 考点:三角函数恒等变换，二倍角公式6．甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是( ) A.23 B.13 C.12 D.56【答案】A【解析】试题分析：甲乙丙三人站成一排，有(甲乙丙)，(甲丙乙)，(丙甲乙)，(乙甲丙)，(乙丙甲)，(丙乙甲)，共6种站法，其中甲乙相邻的站法只有4种，概率为23. 考点:古典概型7．执行如图所示的程序框图，则输出的a ＝( ) A.54 B.14- C.5 D.45【答案】C【解析】试题分析：该程序每循环一次，n 增加1，当n ＝5时跳出循环，故需要循环4次，每一次循环将1－1a 的值赋予新的a ，因此，9次运算的a 值依次为：5，45，－14，5，因此最后输出的a 值为5.选C考点:程序框图8．设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，则|a －tb|(t ∈R)的最小值为( )A.2B.12【答案】D【解析】试题分析：由于|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，于是|a ＋b|2＝1，即a 2＋2a·b＋b 2＝1，即a·b＝－12|a －tb|2＝a 2－2ta·b＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2t a·b＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －tb|的最小值为2.选D考点:平面向量基本运算 9．将函数()sin()6f x x πω=+的图象关于x ＝6π对称，则ω的值可能是( ) A.12 B.32C.5D.2 【答案】D【解析】试题分析：根据正弦型函数的性质及已知条件，有()662k k Z ωππππ+=+∈取k ＝0，得ω＝2满足条件，选D 考点:三角函数的图象及其性质10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.435【答案】C【解析】试题分析：原几何体下部是一个棱长为1的正方体，上部是底面变成为1，高为1的正四棱锥，正方体有五个面是几何体的表面，面积为5，正四棱锥四个侧面三角形的底边长为1，高为2=，面积和为11422⨯⨯=故几何体的表面积为5C 考点:三视图，表面积11．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.1D.2【答案】B【解析】试题分析：画出可行域，由于z ＝2x ＋y 与x 均正相关， 因此直线2x ＋y ＝z 在x 轴上截距最小时，z 取得最小值为1， 此时，直线2x ＋y ＝1应经过x ＝1与y ＝a(x －3)的公共点A 该点坐标为A(1，－1)，故a ＝12.选B考点:线性规划12．已知a ＞0，且a≠1，则函数f(x)＝a x ＋(x －1)2－2a 的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.与a 有关 【答案】B【解析】试题分析：设g(x)＝2a －a x ，h(x)＝(x －1)2， 注意到g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论a ＞1还是0＜a ＜1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个公共点考点:零点的个数13．函数f(x)＝log 2(2x －1)的定义域为________________. 【答案】(12，＋∞) 【解析】试题分析：由2x －1＞0，得x ＞12.注意写成集合或者区间形式. 考点:函数的定义域，对数函数的性质2x14．实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是________________. 【答案】6【解析】试题分析：3x＋9y＝3x＋32y6===考点:基本不等式15．已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线l ：0x =垂直，C的一个焦点到l 的距离为1，则C 的方程为__________________.【答案】x 2－23y ＝10y -=，即b = 1=，故c ＝2，即a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，b ＝3 双曲线方程为x 2－23y ＝1考点:双曲线的渐近线，点到直线距离公式16．在△ABC 中，AB =，点D 在边BC 上，2BD DC =，cos DAC ∠=，cos C ∠=，则AC ＋BC ＝_________________.【答案】3【解析】试题分析：△ADC 中，由cos ∠DAC ，得sin ∠DAC同理，由cos ∠C ＝5sin ∠C ＝5于是，sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C)＝1051052+=由正弦定理：sin sin AC DCADC DAC=∠∠，由此得：AC =，又BC ＝3DC于是，在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅∠22593DC DC DC =+-⋅ 22DC =由AB =，得DC ＝1 从而BC ＝3，AC即AC ＋BC ＝3考点:三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝kn(n ＋1)－n(k ∈R)，公差d 为2. (1)求a n 与k ；(2)若数列{b n }满足12b =，12n an n b b --=(n≥2)，求b n .【答案】(1)a n ＝2n －1；(2)b n ＝()2413n -【解析】试题分析：(1)先直接写出a 1，a 2，由d ＝2求出k ，再利用数列中a n 与S n 之间的关系求出a n ；(2)用迭代法(或叠加法)求出b n 满足的关系式，再利用等比数列求和公式求出b n . 试题解析：(Ⅰ)由题设得a 1＝S 1＝2k －1， a 2＝S 2－S 1＝4k －1， 由a 2－a 1＝2得k ＝1，则a 1＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 4分 (Ⅱ)b n ＝b n －1＋n·2n a＝b n －2＋(n －1)·12n a -＋n·2n a＝b 1＋2×22a ＋3×32a＋ ＋(n －1)·12n a -＋n·2n a由(Ⅰ)知2n a＝22n －1，又因为b 1＝2，所以b n ＝21＋23＋25＋ ＋22n －3＋22n －1＝()21414n --＝()2413n -．明显，n ＝1时，也成立．综上所述，b n＝()2413n-． 12分考点:等差数列与等比数列的通项公式与前n项和18．某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助.随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40.60)，[60，80)，[80，100].(1)求频率分布直方图中x的值；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？【答案】(1)x＝0.0125；(2)30；(3)3人，22人【解析】试题分析：(1)利用直方图的基本性质可求x；(2)根据直方图中中位数的定义求解中位数；(3)找出各层次人数的比例，然后按比例将人数分到两个层次中，确定抽取人数.试题解析：(Ⅰ)由直方图可得：20×(x＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1，解得x＝0.0125． 4分(Ⅱ)设中位数为t，则20×0.0125＋(t－20)×0.0250＝0.5，得t＝30.样本数据的中位数估计为30分钟． 8分(Ⅲ)享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%＝3人，抽取不享受补助人员25×88%＝22人． 12分考点:频率分布，直方图，统计19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点.(1)求证：A1B∥平面ADC1；(2)若AB＝AC，BC＝AA1＝2，求点A1到平面ADC1的距离.【答案】(1)见解析；【解析】试题分析：(1)通过“平面外的直线平行于平面内的直线”证明线面平行；(2)直接求距离不方便时，可以利用等面积或者等体积方法求点到平面的而距离. 试题解析：(Ⅰ)连接A 1C ，交AC 1于点E ，则点E 是A 1C 及AC 1的中点．连接DE ，则DE ∥A 1B ．因为DE ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1． 4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知A 1B ∥平面ADC 1，则点A 1与B 到与平面ADC 1的距离相等，又点D 是BC 的中点，点C 与B 到与平面ADC 1的距离相等，则C 到与平面ADC 1的距离即为所求． 6分 因为AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥A 1A ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1，平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1．作于CF ⊥DC 1于F ，则CF ⊥平面ADC 1，CF 即为所求距离． 10分 在Rt △DCC 1中，CF ＝11DC CC DC ⋅．所以A 1到与平面ADC 1的距离为5． 12分 考点:空间几何体，空间线面平行，点到平面的距离20．已知函数f(x)＝2e x－ax －2(a ∈R) (1)讨论函数的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a 的取值范围. 【答案】(1)当x ∈(－∞，ln2a )时，f (x)单调递减；当x ∈(ln 2a ，＋∞)时，f (x)单调递增．(2)(－∞，2]【解析】试题分析：(1)利用导数值的正负，通过对a 范围的讨论，找出相应单调区间；(2)利用(1)先确定a 的大范围为a≤0，然后通过函数的单调性解此不等式.试题解析：(Ⅰ)f '(x)＝2e x－a ．若a≤0，则f '(x)＞0，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增；若a ＞0，则 当x ∈(－∞，ln 2a)时，f '(x)＜0，f (x)单调递减； 当x ∈(ln2a，＋∞)时，f '(x)＞0，f (x)单调递增． 5分 (Ⅱ)注意到f (0)＝0．若a≤0，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，f (x)≥f (0)＝0，符合题意． 若ln 2a≤0，即0＜a≤2，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，f (x)≥f (0)＝0，符合题意． 若ln2a ＞0，即a ＞2，则当x ∈(0，ln 2a)时，f (x)单调递减，f (x)＜0，不合题意． 综上所述，a 的取值范围是(－∞，2]． 12分 考点:利用导数讨论函数的单调性，分类与整合，含参数不等式21．椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为35，P(m ，0)为C 的长轴上的一个动点，过P点斜率为45的直线l 交C 于A 、B 两点.当m ＝0时，412PA PB ⋅=- (1)求C 的方程；(2)求证：22||||PA PB +为定值.【答案】(1)2212516x y +=；(2)41【解析】试题分析：(1)用坐标表示向量，利用PA PB ⋅＝－412可求的椭圆相关数据，从而得到方程；(2)将|PA|2＋|PB|2通过坐标转化为m 的表达式，证明该表达式与m 的值无关. 试题解析：(Ⅰ)因为离心率为35，所以b a ＝45． 当m ＝0时，l 的方程为y ＝45x ， 代入22221x y a b +=并整理得x 2＝22a ． 2分设A(x 0，y 0)，则B(－x 0，－y 0)，PA PB ⋅＝－20x －20y ＝－412520x ＝－4125·22a ．又因为PA PB ⋅＝－412，所以a 2＝25，b 2＝16， 椭圆C 的方程为2212516x y +=． 5分(Ⅱ)l 的方程为x ＝54y ＋m ，代入2212516x y +=并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|PA|2＝(x 1－m)2＋21y ＝411621y ，同理|PB|2＝411622y ． 8分 则|PA|2＋|PB|2＝4116 (21y ＋22y )＝4116[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝4116 [(－45m )2－()2162525m -]＝41． 所以，|PA|2＋|PB|2是定值． 12分22．如图，⊙O 过平行四边形ABCT 的三个顶点B ，C ，T ，且与AT 相切，交AB 的延长线于点D.(1)求证：AT 2＝BT·AD；(2)E 、F 是BC 的三等分点，且DE ＝DF ，求∠A.【答案】(1)见解析；(2)45︒【解析】试题分析：(1)利用圆的切割线定理，寻求相关线段的关系；(2)充分利用弦切角等于同弧所对圆心角求解∠A. 试题解析：(Ⅰ)证明：因为∠A ＝∠TCB ，∠ATB ＝∠TCB ， 所以∠A ＝∠ATB ，所以AB ＝BT.又AT 2＝AB ⋅AD ，所以AT 2＝BT ⋅AD ． 4分 (Ⅱ)取BC 中点M ，连接DM ，TM ．由(Ⅰ)知TC ＝TB ，所以TM ⊥BC ．因为DE ＝DF ，M 为EF 的中点，所以DM ⊥BC ． 所以O ，D ，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径． 所以∠ABT ＝∠DBT ＝90︒.所以∠A ＝∠ATB ＝45︒. 10分 考点:平面几何证明23．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos a ρθθ=(a ＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，l 与C 分别交于M ，N.(1)写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值.【答案】(1)x －y －2＝0；(2)1.【解析】试题分析：(1)利用极坐标与普通方程的关系式，可得C 为抛物线方程，消去参数t ，可得直线l 的方程；(2)由|PM|＝|t 1|，|MN|＝|t 1－t 2|，|PN|＝|t 2|成等比数列，可转化为关于a 的等量关系求解.试题解析：(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax(a ＞0)；直线l 的普通方程为x －y －2＝0． 4分(Ⅱ)将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得t 2－2(4＋＋8(4＋a)＝0 (*) △＝8a(4＋a)＞0．设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t 1|，|PN|＝|t 2|，|MN|＝|t 1－t 2|．由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|．由(*)得t 1＋t 2＝2(4＋t 1t 2＝8(4＋a)＞0，则有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a ＝1，或a ＝－4．因为a ＞0，所以a ＝1． 10分考点:参数方程与极坐标24．设函数4()||||f x x x m m=-++(m ＞0) (1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)＞5，求m 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)(0，1)∪(12，＋∞) 【解析】试题分析：(1)利用绝对值基本性质：|x －a|＋|x －b|≥|a －b|及基本不等式可得；(2)分类写出f(2)关于m 的解析式，解相关分式不等式即可试题解析：(Ⅰ)由m ＞0，有f (x)＝|x －4m |＋|x ＋m| ≥|－(x －4m )＋x ＋m |＝4m＋m ≥4， 当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取“＝”．所以f (x)≥4． 4分 (Ⅱ)f (2)＝|2－4m|＋|2＋m |．当4m ＜2，即m ＞2时，f (2)＝m －4m ＋4，由f (2)＞5，得m ＞12． 当4m ≥2，即0＜m ≤2时，f (2)＝4m ＋m ，由f (2)＞5，0＜m ＜1．综上，m 的取值范围是(0，1)∪(12+，＋∞)． 10分 考点:绝对值不等式。