2017年高考必备系列之数列

数列复习小结1、数列[数列的通项公式] ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn [数列的前n 项和] n n a a a a S ++++= 3212、等差数列[等差数列的判定方法]1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

[等差数列的通项公式]如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。

[等差数列的前n 项和] 1．2)(1n n a a n S +=2. d n n na S n 2)1(1-+=[说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

[等差中项]如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2ba A +=或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

[等差数列的性质]1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=2． 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,123213．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ （6）性质：①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数；②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ;④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{nS n是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；⑦设{a n }与{b n }是等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1，λ2是常数）也是等差数列；⑧设{a n }与{b n }是等差数列，且b n ∈N*，则{a bn }也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{a n }是等差数列，则{na C }（c>0, c ≠1）是等比数列.3、等比数列 [等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

[等比中项]如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =2。

[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。

2．等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。

[等比数列的通项公式]如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。

[等比数列的前n 项和]○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n○3当1=q 时，1na S n =[等比数列的性质]1．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=3． 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。

如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,123214．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ （7）性质：①设{a n }是等比数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m ·a n =a p ·a q ；②设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …， S pm －S (p －1)m (m>1, p ≥3，m 、n ∈N*)仍为等比数列；③设{a n }是等比数列，则{λa n }（λ是常数）、{mn a }（m ∈Z*）仍成等比数列；④设{a n }与{b n }是等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列；⑤设{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，b n ∈Z*，则{a bn }是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；⑥设{a n }是正项等比数列，则{log c a n }(c>0, c ≠1)是等差数列.4、数列前n 项和 （1）重要公式：2)1(321+=+++n n n ； 6)12)(1(3212222++=+++n n n n ；2333)]1(21[21+=++n n n（4）裂项求和：111)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4= 。

2．三个正数a,b,c 成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为3．已知a>0,b>0,a ,b ≠在a 与b 之间插入n 个正数x 1,x 2,…,x n ，使a,x 1,x 2…,x n ,b 成等比数列，则nn x x x ⋯21=4．在正数项列{a n }中，a 2n+3=a n+1,a n+5,且a 3=2,a 11=8,则a 7= 5．已知首项为21，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k 项顺次为M ，N ，K ，则(n-k)log 21M+(k-m)log 21N+(m-n)log 21K=6．若数列{a n }为等比数列，其中a 3,a 9是方程3x 2+kx+7=0的两根，且(a 3+a 9)2=3a 5a 7+2,则实数k=7．若2，a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log 92222d c b a ++=8.2+(2+22)+(2+22+23)+…+（2+22+23+…+210）=9．数列{a n }的前n 项和S n 满足log a (S n +a)=n+1(a>0,a ≠1),则此数列的通项公式为10．某工厂在某年度之初借款A 元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n 年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为 元。

二、解答题1． 已知数列{a n }为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

2． 已知数列{a n }的前n 项和为Sn=n 2+C(C 为常数)，求数列{a 0}的通项公式，并判断{a n }是不是等差数列。

3． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =nS 1，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21,求b n 。

4． 已知数列{a n }为首项a 1≠0，公差为d ≠0的等差数列，求S n =13221111++⋯++n n a a a a a a 。

5． 求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。

数列求和的基本方法一）、公式法利用等差、等比数列的前n 项和公式进行求和．例1 等比数列{}n a 中，345a a +=，6740a a +=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．二）、周期转化法如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n 项和进行转化合并．例2 已知数列{}n a 中，11a =-，22a =，220n n a a ++=，求122009a a a ++⋅⋅⋅+的值．三）、分类转化法对于一些“摆动”型（项按一定的规律循环现，如按“+”，“-” 或“大”，“小”等）非等比数列，求和时通常要对项数分奇偶两种情形进行讨论． 例3 已知数列{}n a ：2，-5，8，-11，14，-17，…． 求数列{}n a 的前n 项和n S ．四）、裂项相消法将数列中的每一项拆裂成两项之差，使拆裂后的项互相之间出现一些互为相反数的部分，求和时这些互为相反数的部分就能互相抵消，从而达到求和的目的．例4求数列的前n 项和n S ．解：因为n a =，所以n S1+…+1．例5 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：20n S n n +-=，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．五）、错位相减法如果数列｛a n ｝是等差数列，数列｛b n ｝是等比数列，那么用错位相减法可求数列｛a n b n ｝的前n和．例6 已知数列{}n a ，对*n ∈N 都有23122311112222n n a a a a n ----+++⋅⋅⋅+=， 求数列{}n a 的前n 项和n S ．六）、倒序相加法如果一个数列中，与首末两端“等距离”的两项之和(或“系数” 之和)等于首末两项之和（或等于首末两项“系数” 之和）， 那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加，从而可求出数列的前n 和． 例7 已知函数11()31x f x -=+，数列{}n a 中，123123(),(),()a f a f a f n n n===，…()k k a f n =，…，11(),()n n n na f a f n n--==，求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：1111()(1)3131x x f x f x --+-=+++=1111313113x x x ---+=++， 123()()()n S f f f n n n =+++⋅⋅⋅+1()n f n-+()n f n ， 设1231()()()()n S f f f f n n n n-=+++⋅⋅⋅+ 把上式右边倒序得：1221()()()()n n S f f f f n n n n--=++⋅⋅⋅+++ 两式相加得11222[()()][()()]n n S f f f f n n n n --=++++ … +11[()()]n f f n n-+=1n n ⋅=，∴2n S =∴1()(1)(1)22n n n S S f f n n =+=+=+．七）、通项分析法通过对数列的通项进行分析、整理，从中发现数列求和的方法，这也是求数列前n 项和的一种基本方法．例8已知数列{}n a 中，21231,121,12221,a a a ==++=++++23241222221,a =++++++⋅⋅⋅．求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：数列{}n a 的通项公式是：21212222n n n a --=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅ 2221+++21(1222)n -=+++⋅⋅⋅++23(22n n --++2221)⋅⋅⋅+++112121212n n ---=+-- 1(21)(21)n n -=-+-1322n -=⋅-， 2(312)(322)(322)n S ∴=⋅-+⋅-+⋅-+ … 1(322)n -+⋅-213(1222)2n n -=+++⋅⋅⋅+- 3(12)2323212n n n n -=-=⋅---． 例9 已知数列{}n a 中，12346,57,558,5559a a a a ====，55560=n a ．求数列{}n a 的前n 项和n S ．八）分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。