1-2电流和磁场

例2 无限长载流圆柱体的 磁场 L 解 （1）对称性分析 ） （2） r > R ） µ0 I ∫l B ⋅ d l = µ 0 I B = 2π r π r2 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR µ0 Ir B= 2 2π R
I
R R
r
B
I .
dI
dB
B
B 的方向与 I 成右螺旋
2π R
I
B
o
∫ B ⋅ dl = ∫ 2π R dl
l
µ0 I
R
dl
l
设闭合回路 l 为圆 形回路（ 形回路（ l 与 I 成右螺 旋）
∫ B ⋅ dl = µ I
l 0
若回路绕向为逆时针 回路绕向为逆 µ0 I 2π dl ∫ B ⋅ d l = − ∫0 dφ = −µ0 I l o R 2π l 对任意形状的回路 µ0 I µ0 I dφ B B ⋅ dl = rdφ = dφ dl 2π r 2π I
d （5） ） I *A
R1
µ0 I
4π d
2R
I R o
B0 =
µ0 I
4R
R2
（3） I ） R o
*o
B0 =
µ0 I
8R
B0 =
µ0 I
4 R2
−
µ0 I
4 R1
−
µ0 I
4π R1
磁偶极矩
m = IS e n
例2中圆电流磁感强度公 式也可写成
I S
m
en
B=
µ 0 IR
2x
3
2
B=
µ0m
§2 电流和磁场
1.电荷守恒定律
1)
电流
电流为通过截面S 电流为通过截面 的电 荷随时间的变化率 荷随时间的变化率
S
+ + + + + +
dq I= dt dq = envi dtS
I
I = envi S
vi 为电子的漂移速度大小 为电子的漂移速度 漂移速度大小
单位: 单位 1A
mA = 10 A
-3
2) 电流密度 该点正电荷运动方向 该点正电荷运动方向 方向规定 规定： 方向规定： j 大小规定 规定： 大小规定：等于在单位时间内过该点附近垂直 于正电荷运动方向的单位面积的电荷
dQ dI j= = = envi dtdS cos α dS cos α
dI = j ⋅ dS = jdS cosα
讨 论
B=
µ0 nI
2
(cos β 2 − cos β1 )
β1 = π − β 2
l/2
点位于管内轴线中点 （1）P点位于管内轴线中点 ） 点位于管内
cos β1 = − cos β 2
B = µ0 nI cos β 2 =
若
cos β2 =
(l / 2)
l
2
+ R2
µ0 nI
2
(l
2
/4+ R
Idl
r
B
dB
p *
o
R
ϕ
B
I 解 根据对称性分析
4π r B = Bx = ∫ dB sin ϕ
dB =
µ 0 Id l
2
x
Idl
R
r
x
dB =
o
ϕ
r dB 2 2 2 ϕ r =R +x α µ 0 I cos αdl *p x B= 4 π ∫l r 2
B=
B=
cosα = R
µ 0 Id l
B
1 µ 0 nI 2
O
3.磁场的环量和旋度
• 1） 安培环路定理
∫ B ⋅ dl
= µ0 ∑ Ii
i =1
n
2）安培环路定理的微分形式 ）
∫ B ⋅ dl
l
= µ 0 ∫ j ⋅ dS
s
∵ ∫ B ⋅ dl = ∫ ∇ × B ⋅ dS
l s
∴ ∇ × B = µ0 j
安培环路定理的证明
B=
µ0 I
无限大均匀带电(线密度为 线密度为i)平面的磁场 例4 无限大均匀带电 线密度为 平面的磁场
d a c
µ0i
2
B
i
b
o
解
r
∫ B ⋅dl
l
= 2 ∫ B ⋅ dl = 2 B ab = µ 0i ab a µ0 i B= 2
b
4.磁场的散度
磁场高斯定理
∫S B ⋅ d S = 0
∇⋅B = 0
磁场是无源的 磁场是无源的
（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0
µ0 I
B 的方向沿 x 轴的负方向. 轴的负方向
无限长载流长直导线的磁场 无限长载流长直导线的磁场. 载流长直导线的磁场
z
D
θ2
B
B=
（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0
B=
µ0 I
I
o
x
C
θ1 → 0 θ2 →π
µ0I
2 π r0
θ1
P y
+
无限长载流长直导线的磁场
磁感线
I
I
I
I S N
1） 磁通量：通过某曲面的磁感线数 ） 磁通量：
B
s⊥
θ
s
B
θ
en
匀强磁场下， 匀强磁场下，面 S的磁通量为： 的磁通量为： 的磁通量为
Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS
B
dS
θ B
Φ = BS cosθ = BS⊥
一般情况
s
Φ = ∫s B ⋅ dS
B
dS2
S2 θ
I
S
I2
恒定电场： 恒定电场： 1）在恒定电流情况下，导体中电荷分布 ）在恒定电流情况下， 不随时间变化形成恒定电场； 不随时间变化形成恒定电场； 2）恒定电场与静电场具有相似性质（高 与静电场具有相似性质（ ）恒定电场与静电场具有相似性质 斯定理和环路定理）， ），恒定电场可引入 斯定理和环路定理），恒定电场可引入 电势的概念； 电势的概念； 3）恒定电场的存在伴随能量的转换 ）恒定电场的存在伴随能量的转换.
x
C
o
Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 2 CD 4π r dB z = −r0 cotθ , r = r0 / sinθ 2 * y dz = r0dθ / sin θ P µ0I θ2 B= ∫θ1 sin θdθ 4 π r0
µ0
r
2
B=
µ0 I
4 π r0
∫θ
θ2
1
sin θ d θ =
B=
µ0I
2π r
I B
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系 电流与磁感强度成右螺旋关系 半无限长载流长直导线的磁场 半无限长载流长直导线的磁场
π θ1 → 2 θ 2 →π
BP =
µ0I
4π r
I
o
r
* P
圆形载流导线的磁场. 例2 圆形载流导线的磁场 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆 电流. 的磁感强度的方向和大小. 电流 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小
∫ B ⋅ d l = µ (I
0
2
− I3 )
I1
I2
I3
推广： 推广： 安培环路定理
l
∫ B ⋅ dl
= µ0 ∑ Ii
i =1
n
安培环路定理
∫ B ⋅ dl
= µ0 ∑ Ii
i =1
n
在真空的恒定磁场中， 在真空的恒定磁场中，磁感强度 B 沿任一闭合路径的积分的值， 沿任一闭合路径的积分的值，等于 µ 0 乘以 该闭合路径所穿过的各电流的代数和. 该闭合路径所穿过的各电流的代数和 注意 正负的规定 电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺 旋时， 之为负 旋时，I 为正；反之为负.
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理
B = ∫ dB = ∫
µ0 I dl × r
4π r
3
判断下列各点磁感强度的方向和大小. 例 判断下列各点磁感强度的方向和大小
1 8 2
d 1、5 点 ： B = 0 、
3、7点 ：dB 、 点 +3
+
=
µ 0 Id l
4π R
2
7
Idl
R
6 5
讨 论
的方向不变( 右螺旋关系 关系） B 的方向不变 I 和 B 成右螺旋关系） µ 0I B = 3）x = 0 ） 2R 4）x >> R ）
2）x < 0 ）
B=
µ 0 IR
2x
3
2
， B=
µ 0 IS
2π x
3
（1） ） I （2 ）
R B x 0 µ0 I o B0 =
（4） ）
BA =
R
o * p
dx
x
x
++ ++++ ++ +++++ +
解 由圆形电流磁场公式
B=
µ 0 IR
2
2 2 3/ 2
（x + R ） 2
β1
β
x1
o p
β2
x2
++ + + + + + + + + + + + + +