《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何
自主招生讲义
那么两个切点的连线方程为
1 k1k2
3. 根轴：到两个圆（不是同心圆）的幂相等的点恰好 构成一条直线，这条直线称为这两个圆的根轴. 根轴 垂直于两圆连心线.
解析几何
一、直线和圆锥曲线
4. 根轴的主要性质： 两圆相交，根轴就是公共弦所在直线； 两圆相切，根轴就是公切线； 三个圆之间每两个圆有一条根轴，那么三条根轴三线共点.
切线就是两圆的根轴，其方程由两圆方程相减得
(D 2 x0 ) x (E 2 y0 ) y F x02 y02 0
因为P点在圆上，所以 x02 y02 Dx0 Ey0 F，
代入得切线方程为
x0 x
y0 y
D(x0 2
x)
E( y0 2
y)
F
0.
二、圆锥曲线的参数方程
解析几何
分析B选项
1
1 2 sin
1
2 1 sin
ep
1 e cos(
)
2
2
与直角坐标系的“左加右减”类似，这里的
说明这个图形
2
是由 ep 向负方向(即顺时针方向)旋转四分之一圈得到，因
1 e cos
此还是椭圆.
同理D选项是双曲线.
解析几何
四、圆锥曲线的切线
1. 标准圆锥曲线切线方程：设 P( x0 , y0 )是圆锥曲线上一点， 那么以P为切点的切线方程如下：
2
3
2，
所以三角形的最小面积为
1 2 2 ( 3 1) 3 2
2
2
解析几何
例2 已知等腰三角形的底边过点P(2,1)，两腰所在直线分别为x+y-2=0和
7x-y+4=0，求底边所在直线方程.
高中数学自主招生考试分类 专题七 解析几何
专题七 解析几何1、已知椭圆22221x y a b+=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切点分别为,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其方程为2(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b bx y a θθ==, 于是331||||2|sin 2|EOFE F b b S x x a aθ∆=⋅=≥,当且仅当(,)22M ±±时,上述等号成立. 2、点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧.(1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C 是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k 处的切线方程为y k x -=,即1y x p=-;同理在()E k处的切线方程为1y x p=-. 3、椭圆长轴长为4，左顶点在圆()22(4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）(A) 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解：设左顶点为[)42cos ,0,212sin x tt y t π=+⎧∈⎨=+⎩，则对称中心为()62cos ,12sin t t ++，令62cos ,12sin u x tv y t=--⎧⎨=--⎩则在uv 坐标系中，其左准线为62cos u t =--，因此2411162c o s ,3c o s 42a c t e c c a t ⎡⎤-=-=--⇒==∈⎢⎥+⎣⎦.选B. 4、已知两点()()2,0,2,0A B -，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22PA PB PH ⋅=① 求动点P 的轨迹C 的方程② 已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点,M N ，设MN 的中点为R ，过R 于点()0,2Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。
第十八讲 解析几何II自主招生
第十八讲 解析几何II【考点说明】解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。
【知识引入】一．椭圆中的经典结论：1.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=． 2.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b+=． 3.椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，12F PF α∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b α∆=．二．双曲线中的经典结论：1.点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=． 2点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP的直线方程是00221x x y ya b-=． 3.双曲线22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上一点，12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b α∆=．三．抛物线：1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB , 记准线与x 轴交点为E ，AE BE、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0AE BE EF PEQ K K ∠⇔+=线段平分角2.端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、 ，则：(1)2124p x x =，212y y P =- ； (2) p FB FA 211=+ 。
《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何
专题之7、解析几何一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
数学自主招生试题答案
数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。
若a>0，求b与c的关系。
答案：根据题意，函数f(x)在x=1处取得极小值，因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。
又因为x=1是唯一极值点，根据二次函数的性质，其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。
将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。
由于a>0，可以化简得ac < 0，即b与c的关系为c < 0。
2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2，a，a+2，求该数列的前n项和公式。
答案：设等差数列的首项为a1，公差为d。
根据题意，有a1 = a - 2，a2 = a，a3 = a + 2。
由于是等差数列，有a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。
将已知条件代入得a = a1 + d，a + 2 = a1 + 2d。
解这个方程组得a1 = a - d，d = 2。
所以首项a1 = a - 2，公差d = 2。
根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，代入a1和d的值，得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。
二、填空题1. 一个圆的半径为r，求该圆的面积与周长。
答案：圆的面积公式为A = πr^2，周长公式为C = 2πr。
所以该圆的面积为πr^2，周长为2πr。
2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，请判断该三角形的形状。
答案：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。
2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)
2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。
自主招生数学解读(二)
1.方程论的相关知识
1.(2008年南开大学) 求证: 方程2x x2 7 0有唯一的实数根x 5.
f (x) 2x ln 2 2x(x 4) f (x) 2x ln2 2 2(x 4) 且24 ln 2 2 ln 2 2 0.35.
4 而很显然有ln 2 1 ,即ln 4 1
3.函数与方程
6.(2010年南京大学)
函数f (x)是定义在(0, )上的减函数,满足f (x y) f (x) f ( y).
(1)证明:f ( x ) f (x) f ( y); y
(2) f (4) 4,求f (x) f ( 1 ) 12的解集. x 12
解 : (1)令x y 1,则f (1) f (1) f (1),得f (1) 0.
2 从而f (x) 0(x 4),所以f (x)单调递增, 且f (4) 16ln 2 8 8(ln 4 1) 0,知f (x) 0. 所以f (x)在[4, )上单调递增,因而原命题成立.
1.方程论的相关知识
其实本题，我们可以非常容易地利用观察法发 现x=5是原方程的一个根，但利用观察法的缺点 是会减根，不能找到全体的根.确定唯一性的方 法是多种多样的，构造函数证明该函数的单调 性来进行说明唯一性是我们最常用的一种方法. 但对本题而言，直接证明单调性却很难做出， 应该首先对根所在的区间进行缩小范围，再来 证明其单调性.类似的题目在2009年的南京大学 的自主招生试题中也有所体现，例如：
1.方程论的相关知识
2.(2009年南京大学)
解方程 x3 3x x 2.
令x 2cos,0
则方程变为8cos3 6cos 2cos 2,
s三c即io从n又s倍233而因c角o得为 s公334s3式cion:s3202,c4o4ss3i[2nc0,o34,(s720.])sicno(s3于(所3是以 )3ns)icno0s2或 sincn(o2s3(n31.(n)) Z )
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专题之7、解析几何一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x-2y+2=0,x-2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x-1)+1和y=±k2(x-1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=-1 C.ρcos θ=1 D.ρsin θ=-1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x-1B.y=-x+3C.2y=3x-4D.3y=-x+57．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1-b2)≥１B.a2(1-b2)>1C.a2(1-b2)<1D.a2(1-b2)≤１8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2-6ρcos θ－4ρsin θ=0C.ρ2-ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲A.圆或直线C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=-16xD.y2=-8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x-4)2+(y-1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。
15．(2009年华南理工大学)设三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(-1,2),C(3,-1),D,E 分别为AB,BC上的点,M是DE上一点,且(1)求点M的横坐标的取值范围;(2)求点M的轨迹方程.16．(2009年南京大学)在x轴上方作与x轴相切的圆,切点横坐标为,过B(-3,0),C(3,0)分别作圆的切线,两切线交于点P,Q是C在锐角BPC的平分线上的射影.(1)求点P的轨迹方程及其横坐标的取值范围;(2)求点Q的轨迹方程.17．(2010年南京大学)设|y2-16x|=256-16|x|.(1)记方程表示的曲线围成的封闭区域为D,试作出这个区域D;(2)过抛物线y2=16x焦点的直线l与该抛物线交于P,Q两点,若|PQ|=a,求S△OPQ;(3)当过抛物线y2=16x焦点的直线l与该抛物线在区域D内的部分相交于P,Q时,求S△OPQ的最大值.18．(2009年浙江大学)双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为,A(x1,y1),B(x2,y2)两点在双曲线上,且x1≠ｘ2.(1)若线段AB的垂直平分线经过点Q(4,0),且线段AB的中点坐标为(x0,y0),试求x0的值;(2)双曲线上是否存在这样的点A与B,满足OA⊥OB?19．(2011年同济大学等九校联考)已知椭圆的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆与直线y=x 相切.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.20．(2012年同济大学等九校联考)抛物线y2=2px(p>0),F为抛物线的焦点,A、B是抛物线上两点,线段AB的中垂线交x轴于D(a,0),a>0,(1)证明:a是p、m的等差中项;(2)若m=3p,l为平行于y轴的直线,其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值,求直线l的方程.21．(2009年清华大学)有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面?证明你的结论. 22．(2009年清华大学)已知|PM|-|PN|=2,M(-2,0),N(2,0).(1)求点P的轨迹W;(2)直线y=k(x-2)与W交于点A,B,求S△OAB(O为原点).23．(2009年清华大学)椭圆C: + =1(a>b>0),直线l过点A(-a,0),与椭圆交于点Q,与y轴交于点R,过原点的平行于l的直线l'与椭圆交于点P,证明:|AQ|, |OP|,|AR|成等比数列.24．(2010年清华大学等五校联考)设A,B,C,D 为抛物线x2=4y上不同的四点,A,D关于该抛物线的对称轴对称,BC 平行于该抛物线在点 D 处的切线l.设D 到直线AB,AC 的距离分别为d1,d2,(Ⅰ)判断△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由; (Ⅱ)若△ABC 的面积为240,求点 A 的坐标及直线BC的方程.25．(2011年清华大学等七校联考)F1、F2分别为C的左、右焦点,P为C右支上一点,(1)求C的离心率e;(2)设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数λ(λ>0),使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.26．(2012年清华大学等七校联考)(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M,N,设MN的中点为R,过R与点Q(0,-2)作直线RQ,求直线RQ斜率的取值范围.27．(2010年北京大学等三校联考)A,B为y=1-x2上在y轴两侧的点,求过A,B的切线与x轴围成的图形面积的最小值.28．(2011年北京大学等十三校联考)C1和C2是平面上两个不重合的固定圆,C是该平面上的一个动圆,C与C1、C2都相切,则C的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.29．(2011年北京大学等十三校联考)求过抛物线y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3交点的直线方程.1.A【解析】如图,2.C【解析】三条直线相交于一点或者其中两条直线平行,则平面被分成六个部分.(1)当三条直线交于一点(2,2),对应一个k值;(2)当直线x+ky=0与x-2y+2=0或者x-2=0平行,则对应两个不同的k值.因此共有三个不同的k值.3.C4.A【解析】本题可以采用特殊值和特殊位置来分析,结合具体的选项,得到正确结果.当n=4时,相邻两射线的夹角为,然后可以让A1,A2,A3,A4正好为椭圆的四个顶点,容易得到|OA k|-2=2(a-2+b-2),结合各选项知A正确.7.B【解析】由得直线方程为y=mx+b,由消去y得(x-1)2+a2(mx+b)2-a2=0,即(1+a2m2)x2+(2a2mb-2)x+(1+a2b2-a2)=0,由于直线与椭圆相交,所以Δ=(2a 2mb-2)2-4(1+a 2m 2)(1+a 2b 2-a 2)>0,整理得(a 2-1)m 2-2bm+(1-b2)>0,上式对于任意的实数m 恒成立,所以有,整理得a 2(1-b 2)>1.8.D【解析】在D 选项中,由ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=1得ρ2(cos 2θ-sin 2θ)+2ρ(cos θ+sin θ)=1,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+2ρcos θ+2ρsin θ=1,由于x=ρcos θ,y=ρsin θ，代入可得x 2-y 2+2x+2y-1=0,显然这不是一个圆的方程. 9.A【解析】依题意知,椭圆上的各个点中到圆心(0,6)的距离最大的点是椭圆的下顶点(0,-4),最大距离为10,因此椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值等于11. 10.D【解析】设圆锥曲线上任一点M(ρ,θ),焦点F 到相应准线的距离为P,则ρ＝为三种圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一极坐标方程,0<e<1时曲线表示椭圆,e=1时曲线表示抛物线,e>1时曲线表示双曲线右支,允许ρ<0表示整个双曲线.由知识拓展中圆锥曲线的统一极坐标方程知:ρ==,则0<e=≤1,故极坐标方程所表示的曲线为椭圆或抛物线(当且仅当k=1时曲线为抛物线).11.A【解析】由题意可设抛物线方程为y 2=2px(p ≠0),A(x 3,y 3),B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),△ABC 的重心为G(,0).联立,得2y 2+py -20p=0,有,又,得,即A(10,),代入抛物线方程可得=2p(10),故p=8,抛物线方程为y 2=16x.故选A. 12.D【解析】利用C 2的短轴长与C 1的实轴长的比值等于C 2的离心率找到k 和a 之间的关系,再利用k 和a 表示出C 1在C 2的一条准线上截得线段的长,整理可得最终结果. 由C 2的短轴长与C 1的实轴长的比值等于C 2的离心率可知,= ,故k(a 2-4)=4,C 2的右准线方程为x=,代入C 1的方程得- =k,整理可得y=±2,故C 1在C 2的右准线上截得线段的长为4,选D. 13.A解法二如图,14.B15.(1)如图所示,16.(1)设x轴与圆的切点为D,PB,PC分别切圆于E,F,∴|x|≤16,∴-16≤x≤16.17.(1)首先,256-16|x|≥0,①y2-16x=256-16|x|.i)当0≤x≤16时,y2=256, ∴y=±16(0≤x≤16),图象是两条线段;ii)当-16≤x<0时,y2=256+32x=32(x+8)(-8≤x<0),图象是抛物线y2=32(x+8)的一段;(3)18.(1) x0=2. (2)不存在19.(1)椭圆方程为+y2=1.(2) S四边形PMQN的最小值为,最大值为 2 【解析】20.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知21.与抛物线对称轴不平行的直线与抛物线的位置关系有以下三种:(1)总有两个交点;(2)相切;(3)无公共点.对于(1),抛物线及其内部仅覆盖该直线上的一段线段;对于(2),抛物线及其内部仅覆盖该直线上的一个点;对于(3),抛物线及其内部不能覆盖该直线上的任意一点.根据以上三种情况,我们知道:用有限条抛物线及其内部不能覆盖与这有限条抛物线的对称轴均不平行的直线,而平面中存在这样的直线.于是,用有限条抛物线及其内部不能覆盖一条直线,当然不能覆盖整个坐标平面.22.(1)由题意可得点P的轨迹W是双曲线的右支:x2-y2=2(x>0).23.设l:y=k(x+a)(易知斜率存在,否则点Q不存在),则l':y=kx.24.如图.所以×8|4|=240,解得x0=±8,所以A(8,16)或A(-8,16),当取A(-8,16)时,求得B(4,4),又BC的斜率为x0=4,所以直线BC的方程为y-4=4(x-4),即4x-y-12=0.同理,当取A(8,16)时,求得B(-12,36),直线BC的方程为4x+y+12=0.25.(1)如图,26.27.【解析】设过A点的切线交x轴于点C,过B点的切线交x轴于点D,直线AC与直线BD 相交于点E,如图.28.假设圆C1、C2的半径分别为r1、r2,动圆半径为r.分以下情况进行讨论:(1)如果r1=r2.①当圆C1、C2相离时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则|CC1|=r+r1,|CC2|=r+r2,因此|CC1|=|CC2|,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(b)若动圆C与两个圆都内切,则|CC1|=r-r1,|CC2|=r-r2,因此|CC1|=|CC2|,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2=r1+r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线.②当圆C1、C2外切时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1=C2,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线,但应除去两圆的切点;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=r1,|CC2|=r2,因此C1=C2,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2r1r2C1C2(或C1C2=r1+r2),动圆圆心轨迹为直线C1C2,但应除去C1、C2以及两圆的切点.③当圆C1、C2相交时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1=C2,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线,但应除去两圆的公共弦;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=r1,C2=r2,因此C1=C2,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆.(2)如果r1≠ｒ2 ,不妨设r1>r2.①当圆C1、C2相离时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C2r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的一支;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=r-r1,C2=r-r2,因此C1r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C1的一支;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2=r1+r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线.②当圆C1、C2相外切时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1C2=r1-r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的一支,但应除去两圆的切点;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=r-r1,C2=r-r2,因此C2C1=r1-r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C1的一支;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则CC1CC2=r1+r2=C1C2(或CC1CC2=r1+r2),动圆圆心轨迹为直线C1C2,但应除去C1、C2以及两圆的切点.③当圆C1、C2相交时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则CC1=r+r1,CC2=r+r2,因此CC1CC2=r1-r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的一支,但应除去两圆公共区域内的部分;(b)若动圆C与两个圆都内切,则CC1r1,CC2r2,因此CC2CC1=r1-r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线,但应除去两圆公共区域内的部分;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1CC2=r1+r2>C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆,但应除去两圆公共区域内的部分.④当圆C1、C2内切时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,CC2=r+r2,因此C1-CC2=r1-r2=|C1C2|,动圆圆心轨迹为直线C1C2,除去直线C1C2与圆C1、C2的交点;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=r-r1,CC2=r-r2(或C1=r1-r,CC2=r-r2或C1=r1-r,CC2=r2-r),因此C1C2=r1-r2=C1C2(或C1+CC2=r1-r2),动圆圆心轨迹为直线C1C2,除去直线C1C2与圆C1、C2的交点;(c)若动圆C与C1内切,C2外切,则CC1+CC2=(r1-r)+(r+r2)=r1+r2>C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆(两圆C1、C2的交点除外).⑤当圆C1、C2内含时,(a)若动圆C与两个圆都内切,则CC1=r1-r,CC2=r-r2,CC1CC2=r1-r2>C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆.(b)若动圆C与C1内切、C2外切,这时CC1=r1-r,CC2=r+r2,所以CC1CC2(r1-r)+(r+r2)=r1+r2>C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆.【解析】两个定圆的半径的大小关系、位置关系将影响动圆的圆心的轨迹,因此应根据两个定圆的半径的大小关系、位置关系进行分类讨论.在求解中,要注意所得轨迹的纯粹性,即是不是整个曲线都是轨迹上的点,应结合图形的位置关系的实际情况进行分析,把不符合要求的点除去.29.6x+7y-1=0.【解析】可以直接对两个抛物线方程进行加减消元,消去二次项,得到所求直线的方程;也可以直接解方程组求出两个交点的坐标,然后求直线方程.。