第六章 刚体动力学(II)dch6D
刚体动力学
以上论及的只是单刚体动力学。由于现代科学技术的发展，多刚体系统动力学的研究也正在开展中（见多刚 体系统）。
参考文献
1、词条作者：陈滨．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学词条：刚体动力学：中国大百科全书出版社， 1987 ：168-170页．
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逐项类比。同质点质量m对应的量是Iz。m是质点运动时惯性的度量；Iz则是刚体定轴转动时转动惯性的度量。 这正是Iz称为“转动惯量”的来由。
应用刚体定轴转动的微分方程（2）可以对物理摆的运动规律、旋转机械输入和输出功率同平衡转速的关系进 行研究。刚体定轴转动的另一重要研究课题是支承的动载荷。动载荷是与刚体转动角速度有关的载荷。当刚体既 满足静平衡——刚体的重心在转动轴上，又满足动平衡——旋转轴是惯性主轴时，支承才不受动载荷的作用。这 个结论在工程上有重要价值（见动平衡）。
刚体平面运动是机器部件一种常见的运动形态，例如曲柄连杆、滚轮等的运动。过刚体质心作刚体平面运动 的固定平面，此平面在刚体上截得一平面图形。此图形在上述固定平面上的运动完全刻画了刚体的平面运动。由 运动学可知，刚体的平面运动可由质心C在平面上相对固定坐标系Oxy的运动和刚体绕过C并同固定平面垂直的轴 Cz的转动合成（图2）。刚体的旋转轴Cz虽然在空间中变动，但它的方向不变，相对刚体的位置也不变，因而刚 体绕Cz轴旋转的转动惯量是常值Iσ，绕Cz轴的动量矩为
刚体一般运动是对惯性坐标系而言的。设C为刚体的质心，Cxyz为同刚体固联的质心惯性主轴坐标系。因刚 体一般运动可分解为平动和绕质心的转动，故应用质心运动定理和对质心的动量矩定理，可以立即建立刚体一般 运动的微分方程组：
大学物理-刚体运动动力学2
在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得
重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析（机械能）：EP1 0 Ek 1 0
2 2
例3 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) < R 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m/ R m O′ r
则填满后的总质量为m+m/
m m/ π R2 R2 2 2 / m πr r
dh v，v a d dt dt
mgr 2 a 2 常量 mr J Z mgr 2 2 h 1 at 2 1 2 t 2 2 mr J Z
若滑轮质量不可忽略，怎样？
gt 2 J Z mr 2 ( 1) 2h
例2 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
2 Jz Jx Jy
Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
C
x
例1 求空心圆柱绕中心轴的转动惯量 z 解 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值 m
R2 R1 l
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为
dm 2 dJ R dm dV π R 2 dl 2 m 实心圆柱绕中心轴的转动惯量为 2 2 (π R2 π R1 )l
A Md (
积分形式 ） 若 M = C
06 刚体动力学 I
对轴的力矩 M z =−mg l sin ⇒ V =− mg l cos
1 2 机械能守恒 E = J zz ˙ −mgl cos =const. 2 1 2 − cos = h =const. d 2 2 0=mgl / J zz , = 0 t , = 令 d 下面画出相图定性说明（可用椭圆函数定量求解 , 感兴趣可查参考书）
e 故运动微分方程也可表示为 J zz = ¨ Mz
附：关于 Jzz=JZZ 的证明 . 证明：坐标变换关系为 Z=z, X=xcosφ+ysinφ, Y=-xsinφ+ycosφ 可以证明 dXdYdZ=dxdydz, X2+Y2=x2+y2
X , Y , Z = x cos y sin ,− x sin y cos , z ≡ x , y ,z
d 1 1 2 2 e m t v C J ZZ ˙ =∑ n F n ⋅v n dt 2 2
蚂蚁位置与 x 轴夹角 θ. 设固连于圆盘的直线逆时针转过角 φ ，
˙ ⇒ ˙ u/ R ⇒ u = R − = ˙ ˙ −
质点系所受外力只有 mg 不过轴心 O ，可应用角动量定理
d a [ J zz ˙ L z ]=−mg R sin dt
˙ 其中蚂蚁对 O 轴的角动量 Lza = mR2
O
-3π
-2π -π π 2π 3π
φ
φ C
特点 : (1) 2 =
(2) h<-1 时无解 ;h=-1 时稳定平衡点 2nπ
(3) -1<h<1 时对应为有限周期摆动（红线） (5) h>1 单向转动（黑粗线） (4)h=1 一种是不稳定点 2nπ+π; 一种是摆向最高点 , 周期∞（蓝线） (6) 相曲线走向如箭头所示
《刚体动力学 》课件
常用方法：拉格朗日方程、 哈密顿原理等
注意事项：需要熟练掌握 数学基础
数值法
定义：数值法 是一种通过数 值计算求解刚 体动力学问题
的方法
特点：精度高、 计算速度快、 适用于复杂问
题
常用算法：有 限元法、有限 差分法、有限
体积法等
应用领域：航 空航天、机械 制造、土木工
程等领域
近似法
近似法的定义和特点
刚体转动实例
风力发电机：利用风力驱动风车叶片旋转，通过变速器和齿轮装置将动力传递至发电机，最终 转化为电能。
搅拌机：利用电动机驱动搅拌器旋转，对物料进行搅拌、混合和输送等操作。
洗衣机：利用电动机驱动洗衣机的滚筒旋转，通过水和洗涤剂的作用将衣物清洗干净。
旋转木马：利用电动机驱动旋转木马旋转，使人们能够欣赏到各种美丽的景观和音乐。
物理教师
需要了解刚体 动力学知识的
相关人员
Part Three
刚体动力学概述
刚体定义
刚体：在运动过程中，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体 刚体运动：刚体的运动是相对于其他物体的位置和姿态的变化
刚体动力学：研究刚体运动过程中所受到的力、力矩以及运动状态变化规律的科学
刚体动力学的研究对象：各种工程实际中的刚体，如机械零件、构件、机构等
动能定理
定义：动能定理是描述物体动能变化的定理 表达式：动能定理的表达式为ΔE=W 应用范围：动能定理适用于一切具有动能变化的物理系统 注意事项：在使用动能定理时需要注意初始和终了状态的动能
Part Five
刚体动力学应用实 例
刚体平动实例
刚体平动定义 刚体平动应用实例1 刚体平动应用实例2 刚体平动应用实例3
刚体动力学在各领 域的应用
《刚体动力学》课件
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应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
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应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
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公式：F=ma
添加标题
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注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
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刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
刚体运动的动力学方程
一、已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的外力 例12-4 二、已知作用于刚体上的力矩，求转动规律 例12-5 例12-6
第四节 动静法
节
一、质点的达朗伯原理
二、质点系的达朗伯原理
平面任意力系的平衡条件: （1）力系中各力在X 轴和Y轴上投影的代数和为零； （2）力系中各力对平面内任一点的力矩的代数和为零
第二节 刚体简单运动的动力学方程
一、平动刚体的动力学方程
平动刚体的动力学方程 ：
刚体的质心加速度
二、刚体定轴转动的动力学方程
二、刚体定轴转动的动力学方程
刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体 上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
上式反映了刚体的转动状态变化与其所受的外力矩之间的关系， 称为刚体定轴转动动力学基本方程。
成是车轮随同车厢的平动和
相对车厢的转动的合成．
车轮对于静系的平面运动 车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动
（绝对运动） （牵连运动）
车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
（相对运动）
所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关， 而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图 形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点的选取是任意的。 (通常选取运动情况已知的点作为基点)
动静法的应用：刚体的平动和绕定轴转动 1、刚体的平动
例题
；
惯性力系的主矢等于刚体质量和质心加速度的乘积，方向和加 速度方向相反。 惯性力系的主矩等于转动惯量和角加速度的乘积，但方向和刚 体转动的角加速度相反。
练习
(m1>m2)
第五节 点的复合运动分析
有关概念
两种参考系——动参考系和静参考系 三种运动——绝对运动、相对运动和牵连运动 三种速度——绝对速度、相对速度和牵连速度
《理论力学》第六章 刚体的简单运动ppt课件
i jk
vrnr0.6 0.48 0.648j6k
86 8
例6-3
一矢量绕z轴以角速度ω转动，假设a =常量
求：d a
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点
rA a
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r 11 v A v A v B v B r 22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
指向 右手螺旋定那么
知：刚体绕定轴转动，知转轴经过坐标原点O,角速度矢
为
5sinπ 2 ti5cosπ 2 tj53 。k
求：t =1s时,刚体上点M〔0，2，3〕的速度矢及
加速度矢。
解：
i
j
k
v r 5sin πt 5cos πt 5 3
2
2
0
2
3
1 03 i 1 5 j 1 0 k
arvdrv
dt 1 2 5π753 i200j75k
例6-2 知：某定轴转动刚体经过点M0〔2，1，3〕，其角
速度矢 的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度
的大小ω=25rad/s 。 求：刚体上点M〔10，7，11〕的速度矢。 解： 角速度矢量
n 其中 n ( 0 . 6 , 0 . 4 , 0 . 6 8 )4
M点相对于转轴上一点M0的矢径
刚体的静力学与动力学
刚体的静力学与动力学刚体是物理学中的重要概念之一，它是指一类在力的作用下没有形变的物体。
刚体的运动可以通过静力学和动力学来描述。
本文将对刚体的静力学和动力学进行探讨。
一、刚体的静力学静力学研究的是物体在力的作用下处于静止状态的力学性质和规律。
对于刚体的静力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 力矩力矩是刚体静力学中的重要概念，它描述了力对刚体产生转动的效应。
力矩等于力乘以作用点到旋转轴的距离，可以用以下公式表示：M = F × d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示作用点到旋转轴的距离。
2. 杠杆原理杠杆原理是刚体静力学中的基本原理之一，它描述了力矩的平衡条件。
根据杠杆原理，如果一个杠杆系统在平衡状态下，力矩的总和为零：ΣM = 0即所有力矩的代数和等于零。
3. 平衡条件在刚体的静力学中，平衡条件是指物体在力的作用下保持平衡的条件。
根据平衡条件，刚体在平衡状态下，必须满足以下两个条件：(1) 力的合力为零，即ΣF = 0；(2) 力矩的总和为零，即ΣM = 0。
二、刚体的动力学动力学研究的是物体在力的作用下的运动学性质和规律。
对于刚体的动力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 动量和角动量动量是刚体动力学中的重要概念，它描述了物体的运动状态。
对于一个刚体，其动量等于质量乘以速度，可以用以下公式表示：p = mv其中，p表示动量，m表示质量，v表示速度。
角动量是刚体动力学中与转动相关的物理量，对于一个刚体，其角动量等于惯性矩乘以角速度，可以用以下公式表示：L = Iω其中，L表示角动量，I表示惯性矩，ω表示角速度。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律是刚体动力学的基本定律之一，它描述了力对物体的加速度产生的影响。
对于一个刚体，其受力等于质量乘以加速度，可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示力，m表示质量，a表示加速度。
3. 动力学定律刚体的动力学定律包括动量定理和角动量定理。
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§6-3 陀螺近似理论•什么是陀螺？•为什么要研究陀螺近似理论？•用什么方法研究？什么是陀螺？•陀螺(gyroscope)：绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。
结构特性：有质量对称轴运动特性：绕质量对称轴高速转动（角速度的大小为常量）为什么要研究近似理论问题:1、如何定性分析轴承C、D约束力的方向？2、如何简便计算轴承C、D约束力的大小？3、如何定性分析陀螺的动力学特性？目的：要建立陀螺的运动及其作用力的简洁关系式用什么方法研究定点运动刚体的欧拉动力学方程'''''''''k j i L z z y y x x O J J J ωωω++=∑=)(d d e)(F M L O O t⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-+=-+=-+∑∑∑''''''''''''''''''''')()()(z y x x y z z y z x z x y y x z y y z x x M J J J M J J J M J J J ωωωωωωωωω xyz'x o'z 'y 其中：Ox’、Oy’、Oz’为刚体对O 点的惯量主轴（随体坐标轴）方程的特点：具有普遍性，适用范围广。
ωωωψ+=a ]),max[,('''y x z J J J >>>ψωω'''''''''k j i L z z y y x x O J J J ωωω++=')(''''''''k j i L o ωωωωψψψ+++=z z y y x x J J J ''k ωz J ≈利用动量矩定理tOO d d L M =''d k k ⨯=ωωωψ'z O J ⨯=M =a ω')('''''k j i z y x ψψψωωωω+++充分利用陀螺的特性')(''k z z J ψωω+≈,d 'd 'tJ z k ω=当ω为常量时利用公式陀螺近似理论公式：xyz'x 'y 'z oωψω陀螺的动力学特性：陀螺（力矩）效应、进动性、定向性ωωψ'z O J ⨯=M •陀螺力矩(gyroscopic torque)：由于进动引起陀螺转子上各质点惯性力对O 点之矩的矢量和。
O M M g -=陀螺近似理论：其中：M O 是作用于陀螺转子上的所有外力对O 点之矩的矢量和，O 点可以是惯性参考系中的固定点，也可以是刚体的质心。
ψωω⨯='z J 0=+M M 作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡例：已知且大小均为常量，均质圆盘质量为m ，半径为R ，CD ＝2L ，求转轴CD 作用在支座C 、D 的附加动反力。
21ωω>>该问题是否满足陀螺近似理论的应用条件？ψωω⨯='z J g M ωωψ'z O J ⨯=M ψωωgM CF DF 21221ωωmR M g =L M F F g C D 2==当转子高速转动时，若转轴也转动，则陀螺力矩会产生附加动反力。
21241ωωmR L=陀螺力矩陀螺力矩产生的作用效应称为陀螺效应。
ωψω观察的现象：下半圆盘向里斜, 上半圆盘向外斜。
eωω>ψωω⨯='z J g M 陀螺力矩ψωωψωω⨯='z J g M gM 当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘ψωω221mR M g =计算机硬盘的陀螺效应陀螺效应的实例LM F F g C D 2==21241ωωmR L=问题：分析汽车转向时，车轮的陀螺效应.ψωω⨯='z J g M ωψωgM v设汽车右转弯问题：分析飞机盘旋飞行时，发动机转子的陀螺效应。
ψωω⨯='z J g M 转子的陀螺效应：使飞机抬头或低头。
ωvψωzO问题：分析舰艇在波浪中行进时，转动系统的陀螺效应。
ωψω⊗ψωω⨯='z J g M 陀螺效应:产生疲劳破坏ψωωgM 问题：碾轮转动时，作用在碾盘上外侧的正压力和内侧的正压力相比，哪个大？ψωω⨯='z J g M 陀螺效应：碾盘外侧的正压力增大陀螺的进动性ωωψ'z O J ⨯=M gm ψωω问题：如何确定陀螺转子的自转角速度方向？OM陀螺的定向性刚体绕最大或最小惯量主轴的转动是稳定的⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-+=-+=-+∑∑∑''''''''''''''''''''')()()(z y x x y z z y z x z x y y x z y y z x x M J J J M J J J M J J J ωωωωωωωωω 应用欧拉动力学方程证明:刚体在无外力矩作用下，绕最大或最小惯量转轴的转动是稳定的⎪⎭⎪⎬⎫=-+=-+=-+0)(0)(0)(''''''''''''''''''y x x y z z z x z x y y z y y z x x J J J J J J J J J ωωωωωωωωω,0'''≠===常量z y x ωωω设：初始时刚体绕z’ 轴转动)()(''''''''''=-+-y y y z y x x x z x J J J J J J ωωωω )2(0)()1(0)(''''''''''''=-+=-+z x z x y y z y y z x x J J J J J J ωωωωωω 由方程的前两式可得：然后两式相加得：式乘以式乘以,)()2(,)()1(''''x 'x 'y y z z J J J J ωω--)3(12'2'C B A y x =+ωω对时间积分得：如果受到初始微小扰动：将保持小量和''y x ωω⎪⎭⎪⎬⎫=-+=-+=-+0)(0)(0)(''''''''''''''''''y x x y z z z x z x y y z y y z x x J J J J J J J J J ωωωωωωωωω 相加得：分别乘以下各式，然后''',,z y x ωωω)4(22''2''2''C J J J z z y y x x =++ωωω)3(12'2'C B A y x =+ωω由将保持小量和得知''y x ωω是小量的）可知由（变化4'z ω由此证明：刚体绕最大或最小惯量主轴的转动是稳定的飞行器惯性导航东方红1号卫星利用自旋实现姿态的稳定定点运动刚体的动能xyz'x o'z 'y ii r v ⨯=ω∑∑⋅==iv v i i i i m v m T 21212)()(c b a c b a ⨯⋅=⋅⨯∑⨯⋅⨯=)()(21i i i m T r r ωω∑⨯⨯⋅=)]([21i i i m r r ωω∑⨯⨯⋅=)]([21i i i m r r ωωL ⋅=ω1T '''''''''k j i L z z y y x x O J J J ωωω++==ω''''''k j i z y x ωωω++)(212''2''2''z z y y x x J J J T ωωω++=例：求质量为m 半径为R 的均质圆盘的动能。
已知：21,ωω2''2'41,21mRJ J mR J y x z ==='z 'x 'y θθ2ω1ω1'ωω=z θωωθωωcos ,sin 2'2'==y x )2(8121222ωω+=mR T )'(212''2''2''z z y y x x J J J T ωωω++=思考题：已知大小均为常量，圆盘质量为m ，半径为R ，CD ＝2L ，用陀螺近似理论计算支座C 、D 的附加动反力是否精确？21ωω=L M F F gC D 2==21241ωωmR L=近似理论计算的结果力的方向是否有误差？力的大小是否有误差？用什么方法分析和判断误差？CF DF gM。