第二章 刚体运动学与动力学(上)
f1 (t ) ， f1 (t )， f1 (t )
称为刚体定点运动的运 动方程。
地球自转轴与公转轴夹角 23.5°（章动），但这个角度以 约19年为周期变化，幅度约为9″。 章动改变南北回归线的纬度。 自转轴与公转轴构成的平面 （其法线就是节线）绕公转轴转 动，周期约为25600年，称为进 动。进动改变季节的时间。地球 的进动使每年冬至都有微小的提 前。称为“岁差”。
1
0 ห้องสมุดไป่ตู้ 1
1 0 A( , , ) 1 0 1 不难验证，无论怎样的 顺序进行矩阵 A( )，A( )，A( )乘法 转动结果与转动次序无 关。
对于一般情况， ω1 不垂直于ω2 也可以证明： ωa ω2 ω1
cos sin sin θ x ψ
4. 刚体上各点的速度和加速度
刚体内任意一点 M的矢径为r，则该点的速度 v为： v ω r M点的加速度a为： dv dω dr a r ω α r ω v dt dt dt
记：a R α r，称为转动加速度，非 切线方向。 a N ω v，称为向轴加速度，非 法线方向，但垂直且 指向于瞬轴。 a R 不垂直于a N a aR aN (里瓦斯公式)
令： A( , , ) A( ) A( ) A( ) cos sin 0 sin cos 0 0 1 0 0 cos 0 1 0 sin cos sin sin cos 0 0 sin cos 0 0 0 1
x x y A( , , ) y z z
以上讨论表明，刚体的转动可以由变换矩阵来表示，多次 转动仅需要将变换矩阵依次相乘。
由于矩阵乘积不具有交换性，因此刚体有限转动的次序不 可交换。换句话说，改变转动次序刚体会有不同的最终位置。
下面讨论绕瞬轴的转角 与 欧拉角 , , 的关系。 为此，我们研究刚体上 一点的位移。 定义矢量β l，则 r β r
运算，其乘积在略去二 阶小量后，均相等。这 表明对于微小转动，
定义矢量ψ k，θ n， k 则相应的位移矢量为： r ψ r，r θ r，r r r r r r β r ψ r θ r r （ψ θ ） r β ψ θ β ψk Δθn Δk
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目 录
第二章 刚体运动学与动力学（上）
§2-1 刚体定点运动的运动学 §2-2 自由刚体的运动 §2-3 刚体运动的合成
2-2
§2-1 刚体定点运动的运动学
刚体运动时，其体内或外延部分有一点不动，称为定点运动。
2-3
1. 运动方程
O：为定点运动的定点
A( , , ) A( ) A( ) A( ) cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin cos cos
2. 有限转动的欧拉定理
前面已经看出，刚体转 动的结果与转动的次序 有关。下面 通过坐标变换来进一步 讨论。
设一组欧拉角为：（ ，，），开始时随体坐标系 Oxyz 与固定坐标系Oxyz重合。 （ 1 ）进动，此时随体坐标系到达 Ox1 y1 z1，如图所示。 刚体上一点M的坐标变换关系为： x x1 cos y1 sin z1 0 y x1 sin y1 cos z1 0 z x1 0 y1 0 z1 1
刚体绕定点运动时，其上任意一点的速度等于加速度与矢 径的矢量积；加速度等于向轴加速度与转动加速度的矢量和。
§2-2 自由刚体的运动
O ׳：为刚体上任意选定的 一点称为基点 Oxyz：定系，固定在参考 体上 O׳x׳y׳z ׳：体轴，固结在刚 体上
O ׳ξηζ：随动平动参考
2. 绕两个平行轴转动的合成
图示，行星柱齿轮 刚体齿轮II，相对连杆 的角速度为： ωr， 相对于定系的角速度为 ：ωa 动系为连杆，角速度为 ：ωe ωa ωe ωr 以上为矢量和。
当ωr ωe 时， ωa 0，对象刚体平移，无转 动。 这种情况称为转 动 偶 。
齿轮II转动时，瞬轴位置？如下图所示：
事实上，该点与定点的 连线上的点都不动。称 此固定直线为动轴。 该绕动轴的转角记为 ，刚体三次（任意次） 转动可以认为 是绕动轴的一次转动。
3. 瞬时转动轴 角速度 角加速度
当刚体作微小转动 ，，，动轴此称为瞬轴 , 转角。 此时： 1 0 A( ) 1 0 0 1 0 1 0 A( ) 1 0 0 1 0 1 A( , , ) 0 1 0 A( ) 0 1 0 0 1
进动角速度 章动角速度 自转角速度
k ω
y ψ sin cos θ sin cos z ψ 上式称为定点运动的欧 拉运动学方程。
ω dω 定义角加速度矢量： α lim 方向沿ω端点的切线。 t 0 t dt 一般来说，α与ω不共线，这与定轴转动 不同。
（ 3 ）自转，此时随体坐标系由 Ox2 y2 z2到达Oxyz，如图所示。 M的坐标变换关系为：
x2 cos sin 0 x y sin cos 0 y 2 0 1 z2 0 z cos sin 0 A( ) sin cos 0 0 1 0
系，固连在刚体O׳ 上，但不转动
自由刚体的运动方程：
xO f1 (t )，yO f 2 (t )，zO f 3 (t ) f 4 (t )， f 5 (t )， f 6 (t )
自由刚体任意一点 M的速度， 根据速度合成定理： va ve v r v M v O ωr r
定义角速度矢量： ω，其方向沿瞬轴， 指向由右手法则确定， 大小为： β ω lim t 0 t
β ψ θ lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t t 0 t ψ θ lim k lim n lim k t 0 t t 0 t t 0 t ω ω ω ω ω lim k ω ψ n ω θ
欧拉定理：绕定点运动的刚体，从一个位置到另一个位 置的任何（有限或微小）位移，可以绕通过定点的某一轴转 动一次而实现。
证明： 只需证明刚体上，除定 点外，在三次坐吧变换 （转动）后， 存在一条直线，其上每 一点的位置不变。 事实上，A( , , )为正交矩阵。根据线性 代数理论，该矩阵 存在特征值为 1的特征矢量，即存在一 特征向量（x0 , y0 , z0 )有： x0 x0 y A( , , ) y 0 0 z0 z0 其实，（x0 , y0 , z0 )就是坐标变换的不动点 。
刚体由一个位置绕定点 转动到另一个位置的 有限运与转动 次序有关。 1. 绕x1转90 2. 绕x3转90
1. 绕x3转90 2. 绕x1转90
欧拉角的次序为:进动-章动-自旋，体轴为
3-1-3
按转轴的不同次序有24种不同组合，即24种广义欧拉角。
按1-2-3转动称为卡尔丹角。 按3-1-2转动的称为姿态角。
写成矩阵形式： x cos sin y sin cos 0 z 0 cos sin 令：A( ) sin cos 0 0 称为坐标变换矩阵。 0 x1 y 0 1 1 z1 0 0 1
（ 2 ）章动，此时随体坐标系由 Ox1 y1 z1到达Ox2 y2 z2，如图所示。 M的坐标变换关系为：
x1 1 y 0 1 z1 0 1 A( ) 0 0 x2 y cos sin 2 sin cos z2 0 0 cos sin sin cos 0 0
Oxyz：定系，固定在参考体上
Ox׳y׳z ׳：体轴，固结在刚体上 显然，确定刚体的位置（运动），可以与确定体轴Ox׳y׳z׳ 位置（运动）等价。若能确定z ׳轴的位置（需两个参数）以 及刚体绕z ׳轴相对固定参考系Oxyz的转角则刚体的位置可完 全确定。因此，定点运动的刚体有三个自由度，或需三个广 义坐标确定刚体的位置。 广义坐标的选取方法有很多种，下面介绍一种常用的方 法，称为欧拉角。
自由刚体任意一点 M的加速度： aa ae a r aM aO αr r ωr v r
§3-3 刚体运动的合成
1. 平移与平移的合成
图示，刚体小车 v1 , a1， 动系为横梁v 2 , a 2 小车上任一点的速度： v v e v r v 2 v1 a ae a r a 2 a1 显然，当两个刚体平移 时，刚体的合成运动为 平移。
ωr，ωe 指向相同时， 瞬轴内分两轴 O1C ωr O2C ωe
ωr，ωe 指向相反时， 瞬轴内分两轴，瞬轴在 较大角速度的外侧 O1C ωr O2C ωe
3. 绕两个相交轴转动的合成
图示，行星锥齿轮。小 齿轮显然作 定点运动。设相对于定 系的角速度 为：ωa，相对横杆的角速度为 ：ω2， 连杆的角速度为： ω1，可以证明： ωa ω2 ω1
x cos y sin z 0 sin cos 0 0 1 0 0 cos 0 1 0 sin cos sin sin cos 0 0 sin cos 0 0 x y 0 1 z
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《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
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THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
《刚体动力学 》课件
常用方法：拉格朗日方程、 哈密顿原理等
注意事项：需要熟练掌握 数学基础
数值法
定义：数值法 是一种通过数 值计算求解刚 体动力学问题
的方法
特点：精度高、 计算速度快、 适用于复杂问
题
常用算法：有 限元法、有限 差分法、有限
体积法等
应用领域：航 空航天、机械 制造、土木工
程等领域
近似法
近似法的定义和特点
刚体转动实例
风力发电机：利用风力驱动风车叶片旋转，通过变速器和齿轮装置将动力传递至发电机，最终 转化为电能。
搅拌机：利用电动机驱动搅拌器旋转，对物料进行搅拌、混合和输送等操作。
洗衣机：利用电动机驱动洗衣机的滚筒旋转，通过水和洗涤剂的作用将衣物清洗干净。
旋转木马：利用电动机驱动旋转木马旋转，使人们能够欣赏到各种美丽的景观和音乐。
物理教师
需要了解刚体 动力学知识的
相关人员
Part Three
刚体动力学概述
刚体定义
刚体：在运动过程中，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体 刚体运动：刚体的运动是相对于其他物体的位置和姿态的变化
刚体动力学：研究刚体运动过程中所受到的力、力矩以及运动状态变化规律的科学
刚体动力学的研究对象：各种工程实际中的刚体，如机械零件、构件、机构等
动能定理
定义：动能定理是描述物体动能变化的定理 表达式：动能定理的表达式为ΔE=W 应用范围：动能定理适用于一切具有动能变化的物理系统 注意事项：在使用动能定理时需要注意初始和终了状态的动能
Part Five
刚体动力学应用实 例
刚体平动实例
刚体平动定义 刚体平动应用实例1 刚体平动应用实例2 刚体平动应用实例3
刚体动力学在各领 域的应用
《刚体动力学》课件
动量定理公式：Ft=mv
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应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
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应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
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公式：F=ma
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注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
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刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
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应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
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应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
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公式：F=ma
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注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
刚体的一般运动的运动学和与动力学动力学
加速度
刚体在一段时间内速度的 变化率，表示刚体速度变 化的快慢。
刚体的平动
平动
刚体在运动过程中，其上任意两 点都沿着同一直线作等距离的移 动。
平动特点
刚体上各点的速度和加速度都相 等，与参考系的选择无关。
刚体的转动
转动
刚体绕某一定点做圆周运动。
转动特点
刚体上各点的速度和加速度大小相等，方向不同。
阻尼振动
阻尼振动是指由于阻力作用而使振动系统受到损 耗的振动。
受迫振动
受迫振动是指在外力作用下产生的振动。
刚体的稳定性和平衡性
静态平衡
刚体在静止状态下，如果受到微小扰 动后能恢复到原来的平衡位置，则称 该平衡为静态平衡。
动态平衡
刚体在运动状态下，如果受到微小扰 动后能保持原来的运动状态不变，则 称该平衡为动态平衡。
感谢观看
THANKS
刚体的平衡
总结词
刚体的平衡是指刚体在运动或静止时，其上各点的加速度均为零的状态。
详细描述
刚体的平衡可以通过力的合成和分解来分析。当刚体处于平衡状态时，其上各点的加速度均为零，即合外力为零。 根据力的平移定理，可以将力的作用点平移至刚体的质心，从而将刚体平衡问题转化为质点平衡问题。同时，根 据力矩平衡条件，可以得出刚体平衡的条件为合外力矩为零。
力矩和角速度
总结词
力矩是力和力臂的乘积，它描述了力对刚体转动的效应；角速度是描述刚体转动快慢的 物理量。
详细描述
力矩是力和力臂的乘积，其方向垂直于力和力臂所在的平面。力矩可以改变刚体的转动 状态，包括转动方向和角速度大小。角速度是描述刚体绕固定点转动的快慢的物理量， 其方向与转动方向相同。公式表示为M=FL，其中M表示力矩，F表示力，L表示力臂。
刚体运动的基本原理与动力学分析
刚体运动的基本原理与动力学分析刚体运动是物理学中的重要概念，研究刚体的基本原理和动力学分析对于理解力学运动规律具有重要意义。
本文将从刚体的定义、刚体运动的基本原理，以及刚体的动力学分析等方面展开论述。
一、刚体的定义刚体是指在力的作用下，保持形状和体积不变的物体。
刚体的特点是不易变形，内部各点之间的相对位置保持不变。
二、刚体运动的基本原理1. 平动和转动刚体运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体上所有点按照相同方向和相同距离运动，转动是指刚体绕着某个轴旋转。
2. 受力和力矩刚体的运动受到外力的作用，外力可以分为接触力和非接触力。
接触力是指物体之间直接接触施加的力，非接触力是指物体间通过场的相互作用施加的力，如重力和电磁力等。
另外，刚体的转动还受到力矩的影响。
力矩是由作用力与力臂的乘积，用来描述力对刚体的转动效果。
力矩的方向由右手定则确定，大小等于力的大小与力臂的长度之积。
3. 刚体的运动学方程刚体的运动学方程描述了刚体在运动过程中各个部分的位置、速度和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律和运动学关系可以得到刚体的运动学方程。
三、刚体的动力学分析1. 平动的动力学分析刚体的平动运动可以通过牛顿第二定律进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力等于刚体的质量与加速度的乘积。
2. 转动的动力学分析刚体的转动运动需要通过力矩和转动惯量进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。
此外，刚体的角动量和动能也是进行动力学分析的重要物理量。
角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。
四、刚体运动的应用刚体运动的研究在工程、医学等领域有广泛应用。
例如在机械工程中，对机械零件的运动进行分析可以用于设计和优化机械结构；在生物医学中，对人体骨骼系统的运动学和动力学分析可以用于疾病的诊断和康复治疗。
总结：刚体运动的基本原理和动力学分析是研究力学运动规律中的重要内容。
《大学物理期末复习》刚体动力学课件
ERA
刚体的自由振动
总结词
刚体的自由振动是指刚体在无外力作用下的振动，其振动频率由刚体的固有属性决定。
详细描述
刚体的自由振动是由其内部的弹性力和惯性力相互平衡而产生的。当刚体受到初始扰动 时，其内部的弹性力会试图将其恢复到平衡位置，而惯性力则试图保持其运动状态不变。 在无外力作用的情况下，这种相互作用会导致刚体进行周期性的振动。刚体的自由振动
自行车行驶的稳定性分析
自行车行驶的稳定性是保证骑行安全的关键因素之一。通过 刚体动力学原理，可以分析自行பைடு நூலகம்在行驶过程中的稳定性和 倾倒趋势。
在自行车倾倒过程中，车轮与地面之间的摩擦力、车身的质 心位置和转动惯量等因素都会影响自行车的稳定性。了解这 些因素之间的关系，有助于优化自行车的设计和骑行技巧， 提高行驶的安全性和稳定性。
ERA
刚体的定义与特性
刚体的定义
01
刚体是指在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持
不变的物体。
刚体的特性
02
刚体具有不可变形的特性，其形状和大小在力的作用下不会发
生改变。
刚体的运动
03
刚体的运动是指刚体在空间中的位置随时间的变化而变化的过
程。
刚体运动的基本形式
01
平动
转动
02
03
振动
刚体在空间中的位置随时间变化， 但刚体的各个点都沿着同一直线、 以相同的速度移动。
THANKS
感谢观看
《大学物理期末复习》刚
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
体动力学课件
• 刚体动力学概述 • 刚体的转动惯量 • 刚体的转动定律 • 刚体的振动与波动 • 刚体动力学应用实例
刚体的自由振动
总结词
刚体的自由振动是指刚体在无外力作用下的振动，其振动频率由刚体的固有属性决定。
详细描述
刚体的自由振动是由其内部的弹性力和惯性力相互平衡而产生的。当刚体受到初始扰动 时，其内部的弹性力会试图将其恢复到平衡位置，而惯性力则试图保持其运动状态不变。 在无外力作用的情况下，这种相互作用会导致刚体进行周期性的振动。刚体的自由振动
自行车行驶的稳定性分析
自行车行驶的稳定性是保证骑行安全的关键因素之一。通过 刚体动力学原理，可以分析自行பைடு நூலகம்在行驶过程中的稳定性和 倾倒趋势。
在自行车倾倒过程中，车轮与地面之间的摩擦力、车身的质 心位置和转动惯量等因素都会影响自行车的稳定性。了解这 些因素之间的关系，有助于优化自行车的设计和骑行技巧， 提高行驶的安全性和稳定性。
ERA
刚体的定义与特性
刚体的定义
01
刚体是指在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持
不变的物体。
刚体的特性
02
刚体具有不可变形的特性，其形状和大小在力的作用下不会发
生改变。
刚体的运动
03
刚体的运动是指刚体在空间中的位置随时间的变化而变化的过
程。
刚体运动的基本形式
01
平动
转动
02
03
振动
刚体在空间中的位置随时间变化， 但刚体的各个点都沿着同一直线、 以相同的速度移动。
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《大学物理期末复习》刚
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体动力学课件
• 刚体动力学概述 • 刚体的转动惯量 • 刚体的转动定律 • 刚体的振动与波动 • 刚体动力学应用实例
刚体平面运动动力学
av）c
作用在刚体上的力矩使刚体旋转，绕质心轴的角加速度为 z'
P.236 图 r
r
将力F沿作用线大小方向不变地滑移到 ，F不' 影响两种效果
7.27
作用在刚体上的力是滑移矢量
刚体力的三要素：大小、方向、作用线
4 刚体平面运动
二、作用于刚体上的力
2．力偶和力偶矩
力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力
平面运动动能定理
A外ຫໍສະໝຸດ Ek(1 2
mvc2
1 2
Ic2 )
P.240 例题 3
刚体平面运动的基本动力学方程：
v Fi
mavc
M I Z'
z' z'
力偶作用效果：
力偶不改变质心的运动状态 只改变刚体的转动状态
4 刚体平面运动
二、作用于刚体上的力
2．力偶和力r偶矩
r
F' O1
C
O2
F
Od' MZ O"
F O"C F O'C F ( O"C O'C )
4 刚体平面运动
v Fi
mavc
MZ' Iz' z' 0
二维平动：刚体作平面运动又只作平动
P.239 例题 2
4 刚体平面运动
三、刚体平面运动的动能
平面运动 = 平动 + 定轴转动 平面运动动能 = 随质心平动动能 + 绕质心轴转动的动能
Ek
1 2
mvc2
1 2
I c 2
4 刚体平面运动
刚体运动学解析
将矢量OA和OB按平行四边形法则合成矢量OC
• 两个转动在C点产生速度的大小分别为：
v1 r11 v1 2SOCA
v2 r22
v2 2SOCB
r2 r1
v1 v2 S□OBCA
• 两个转动在C点产生速度的方向分别为： ω1 v1 垂直平面向外 ω2 v2 垂直平面向里
v1 和 v2 抵消 C 点不动
OC 即，OC轴长等于ω大小
两步证明 角速度的合成服从平行四边形法则
§3
刚体定轴转动
定轴转动的动力学 与质点动力学相对应
角动量和角速度的关系
v ωr
把刚体看成质点组
J mi ri vi mi ri ω ri
i
i
A B C A C B A BC
mi ri ri ω ri ωri
i
i
令 miri2 I 叫做刚体绕定轴的转动惯量
i
• I 反映刚体质量相对于转轴的分布情况 • 同样质量的刚体，由于形状不同，其转动惯量因而不同
J// = Iω
p = mv
I 对应于m，二者都是惯性大小的量度
如何计算转动惯量？
对于质量连续分布的物体
m d m
若密度为ρ
I r2 d m r2 dV
v1 =ω1×(P到OA的垂直距离) = 2SΔPOA v2 =ω2×(P到OB的垂直距离) = 2SΔPOB
方向：v1 与 v2 反向
v v1 v2 2SPOA 2SPOB 2SPOC
= OC×(P到OC的垂直距离)
比较 v＝ω×(P到OC的垂直距离)
v =OC×(P到OC的垂直距离)
矢量不仅有大小和方 向，还需服从平行四 边形合成法则
刚体的静力学与动力学
刚体的静力学与动力学刚体是物理学中的重要概念之一，它是指一类在力的作用下没有形变的物体。
刚体的运动可以通过静力学和动力学来描述。
本文将对刚体的静力学和动力学进行探讨。
一、刚体的静力学静力学研究的是物体在力的作用下处于静止状态的力学性质和规律。
对于刚体的静力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 力矩力矩是刚体静力学中的重要概念，它描述了力对刚体产生转动的效应。
力矩等于力乘以作用点到旋转轴的距离，可以用以下公式表示：M = F × d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示作用点到旋转轴的距离。
2. 杠杆原理杠杆原理是刚体静力学中的基本原理之一，它描述了力矩的平衡条件。
根据杠杆原理，如果一个杠杆系统在平衡状态下，力矩的总和为零：ΣM = 0即所有力矩的代数和等于零。
3. 平衡条件在刚体的静力学中，平衡条件是指物体在力的作用下保持平衡的条件。
根据平衡条件，刚体在平衡状态下，必须满足以下两个条件：(1) 力的合力为零，即ΣF = 0；(2) 力矩的总和为零，即ΣM = 0。
二、刚体的动力学动力学研究的是物体在力的作用下的运动学性质和规律。
对于刚体的动力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 动量和角动量动量是刚体动力学中的重要概念，它描述了物体的运动状态。
对于一个刚体，其动量等于质量乘以速度，可以用以下公式表示：p = mv其中，p表示动量，m表示质量，v表示速度。
角动量是刚体动力学中与转动相关的物理量，对于一个刚体，其角动量等于惯性矩乘以角速度，可以用以下公式表示：L = Iω其中，L表示角动量，I表示惯性矩，ω表示角速度。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律是刚体动力学的基本定律之一，它描述了力对物体的加速度产生的影响。
对于一个刚体，其受力等于质量乘以加速度，可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示力，m表示质量，a表示加速度。
3. 动力学定律刚体的动力学定律包括动量定理和角动量定理。
刚体动力学运动学问题专题讲解
S
Ml s lS mM
lS
ml S mM
例2质心运动定律来讨论以下问题
一长为l、密度均匀的柔软链条,其单位长度 的质量为λ.将其卷成一堆放在地面.若手提 链条的一端,以匀速v 将其上提.当一端被提 离地面高度为 y 时,求手的提力.
y y yC o
F
c
解:建立图示坐标系
i 竖直方向作用于链条的合外力为
例3
设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在
最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个竖直自由下落,另 一个水平抛出,它们同时落地.问第二个碎片落地点在何处?
解:选弹丸为一系统,爆炸前、 后质心运动轨迹不变.建立 图示坐标系.
2m O
m
m1 m2 m x1 0
xC为弹丸碎片落地时质心 离原点的距离. xC
xC
C
xC
m x
x2
m1 x1 m2 x2 m1 m2
x2 2 xC
7
/12
2. 质心运动定理 dri mi miv i drc d t • 质心的速度 vc dt m m
P mvc —— 质点系的总动量
Pi m
•
质心的加速度和动力学规律
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力 f 的方向如 图所示，则由质心运动方程
l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
二、质心
1. 质心
质心运动定理
Ml s lS mM
lS
ml S mM
例2质心运动定律来讨论以下问题
一长为l、密度均匀的柔软链条,其单位长度 的质量为λ.将其卷成一堆放在地面.若手提 链条的一端,以匀速v 将其上提.当一端被提 离地面高度为 y 时,求手的提力.
y y yC o
F
c
解:建立图示坐标系
i 竖直方向作用于链条的合外力为
例3
设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在
最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个竖直自由下落,另 一个水平抛出,它们同时落地.问第二个碎片落地点在何处?
解:选弹丸为一系统,爆炸前、 后质心运动轨迹不变.建立 图示坐标系.
2m O
m
m1 m2 m x1 0
xC为弹丸碎片落地时质心 离原点的距离. xC
xC
C
xC
m x
x2
m1 x1 m2 x2 m1 m2
x2 2 xC
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2. 质心运动定理 dri mi miv i drc d t • 质心的速度 vc dt m m
P mvc —— 质点系的总动量
Pi m
•
质心的加速度和动力学规律
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力 f 的方向如 图所示，则由质心运动方程
l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
二、质心
1. 质心
质心运动定理