第二型曲线积分
第二型曲线积分
§2 第二型曲线积分教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．(2)了解两类曲线积分的联系．教学建议：(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式．（2）两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题教学程序：一. 第二型曲线积分的定义:1. 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功:一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).为此,我们对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与 A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向 小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以Si ∆ 记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ∇=λ设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y) 即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 和ii m C 1-=(),(y x ∆∆)从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈ii m C 1-= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==11),()),((ηη当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得(,)ABW F dx dy →=⋅⎰ , 即 ds F W L⋅=⎰.2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到 右侧的流量E . 通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为 ⎰⎰-=ABABdx y x Q dy y x P dE ),(),(.3. 第二型曲线积分的定义: 设P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,}max{Si ∇=λ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , I=1,2,3,……,n.又设 (j i ηξ,)∈ i i M M 1-,若极限lim ∑=n i i i p 1. ),(ηξxi ∆+lim ∑=ni i i Q 1. ),(ηξyi ∆存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为⎰cQdy Pds + or⎰ABQdy Pds +or ⎰⎰+ccQdy Pdx or⎰ABQdy Pds AB⎰+注(1)若记f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy)则上述记号可写成向量形式:⎰cfds(2)倘若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P fds cc),,(),,(),,(++=⎰⎰按这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为 ⎰+=ABQdy Pdx W .流速场),(y x v ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为 ⎰-=ABQdx Pdy E .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB,因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 ⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.4. 第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比,除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.(1)线性性 设C 为有向曲线,⎰cfds ,⎰cgds 存在, 则,,R ∈∀βα则ds f f c)(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cccgds fds ds f f βαβα)((2)可加性:设⎰cfds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且⎰⎰⎰+=21c c cfds fds fds(1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?此时无所谓”起点””终点”,若为封闭有向线段,则记为⎰cfds(2)设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反),则⎰cfds =-⎰cfds即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘机,它与曲线C 的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差别. 二. 第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向: 设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L 为光滑或按段光滑曲线 , L : βαψϕ≤≤==t t y t x , )( , )(.A ())( , )(αψαϕ,B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L 的自然方向( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+Ldt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(.(证略)注：起点参数值作下限，终点参数值作上限．例1计算()⎰-+Ldy x y xydx ，其中L 分别沿以下路线从点()1,1A 到点()3,2B ⅰ）直线ABⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ⅲ）三角形周界ADBA解ⅰ）直线AB :[]⎩⎨⎧∈+=+=1,0,21,1t t y t x 故()⎰-+ABdy x y xydx =()()[]dt t t t ⎰+++12211=625 ⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ，21≤≤x()⎰-+ACBdy x y xydx =()[]()[](){}dx x x x x x ⎰--+-++-12214112112=310ⅲ）三角形周界ADBA ：()⎰-+ADBAdy x y xydx =()⎰-+ADdy x y xydx +()⎰-+DBdy x y xydx +()⎰-+Bady x y xydx=⎰21xdx +()⎰-312dy y +()()[]dt t t t ⎰+++012211=625023-++=38- 注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0． 例2计算⎰+Lydx xdy ，这里L ：ⅰ）沿抛物线从O 到B ⅱ）沿直线段O B ：x y 2= ⅲ）沿封闭曲线OABO解ⅰ）沿抛物线从O 到B ：⎰+Lydx xdy =()[]dx x x x ⎰+1224=2ⅱ）沿直线段O B ：x y 2=，⎰+Lydx xdy =()dx x x ⎰+122=2注：这里不同路径积分值相同 ⅲ）沿封闭曲线OABO ：⎰+Lydx xdy =⎰+OAydx xdy +⎰+ABydx xdy +⎰+BOydx xdy =()0220=-++注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0 空间曲线时有：设有空间光滑曲线L ：()()()[]βα,,,,∈⎪⎩⎪⎨⎧===t t z z t y y t x x 起点为()()()()αααz y x ,,，终点为()()()()βββz y x ,,则有：⎰++L Rzy Qdy Pdx =()()()()()()()()()()()()()()()[]⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P ,,,,,, 注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限．例3计算第二型曲线积分()⎰+++Ldz x dy y x xydx 2，L 是螺旋线：t a x cos =，t a y sin =，bt z =从0=t 到π=t 上的一段解 ()⎰+++Ldz x dy y x xydx 2=()⎰+-+-π2222223cos cos sin cos sin cos dt t b a t t a t a t t a=()πb a +1212 例4求力F ()z y x x y ++-,,作用下ⅰ）质点由A 沿螺旋线 1L 到B 所做的功，其中1L ：t a x cos =，t a y sin =，bt z =，π20≤≤t ,ⅱ）质点由A 沿直线 2L 到B 所做的功 解 ⅰ）W =()⎰+++-Ldz z y x xdy ydx=()⎰+++--π2022222sin cos cos sin dt t b t ab t ab t a t a=()222a b -ππⅱ）W =()⎰+++-Ldz z y x xdy ydx=()⎰+π20dt t a =()b a b ππ+2注：这里不同路径积分值不同．第二十章 习题课1§1第一型曲线积分例1 求⎰++Lds zx yz xy )(，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线.解法1 ⎰++Lds zx yz xy )(⎰++=Lds zx yz xy )(221⎰++-++=Lds z y x z y x )]()[(212222 ⎰++-=L ds z y x )(21222⎰-=-=La ds a 322π 解法2 求曲线L 的参数方程.由2222a z y x =++，0=++z y x 消去y ，得2222)(a z z x x =+++即 )231(2)2(2222z aa z x -=+ 令t a z sin 32=，则)231(22222z aa z x -±-=t a t a sin 6cos 2-±= t at a z x y sin 6cos 2)(-=+-=于是得到两组参数方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-=t a z t a t a y t a t a x sin 32sin 6cos 2sin 6cos 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=t a z t a t a y t a t a x sin 32sin 6cos 2sin 6cos 2 我们可任选一组，例如第一组.显然，被积函数和L 都具有轮换对称性，则⎰++Lds zx yz xy )(⎰=Lzxds 3⎰=π202sin 3t a dt t z t y t x t t )()()()sin 31(cos 222'+'+'-⎰=π203sin 3t adt t t )sin 31(cos -32023sin a dt t aππ-=-=⎰解法 3 作坐标旋转.就坐标是),(y x ，新坐标是),(Y X ，旋转角为θ，则旋转变换的一般公式为θθsin cos Y X x -=， θθcos sin Y X y +=因为平面0=++z y x 的单位法矢为}1,1,1{31=n ，则它与z 轴的夹角余弦为31cos =φ.下面分两步进行旋转，先将Oxy 平面旋转4π，得新坐标系vz u O '；再将u Oz '平面旋转φ，得新坐标系Ouvw .即Oxyz → vz u O ' → Ouvw 由旋转公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'=-'=)(21)(21v u y v u x ⎩⎨⎧+='-=φφφφcos sin sin cos u w u u w z 于是得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++=+-=φφφφφφsin cos )sin cos (21)sin cos (21u w z w v u y w v u x 在这组变换下，曲线L ：2222a z y x =++，0=++z y x 变为2222a w v u =++，0=w ，故⎰++L ds zx yz xy )(⎰=L xyds 3⎰+-=Lds v u v u )cos )(cos (23φφ ⎰-=L ds v u )cos (23222φds v u L)3(2122-=⎰ ds v v u L]4)([21222-+=⎰320233sin 2a tdt a a πππ-=-=⎰ 注1 三种解法各具特点：解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分. 解法2常规的方法，即写出参数方程 → 套公式 → 计算定积分这里主要难在第一步，写参数方程.通过解法2，给出了一种求参数方程的方法.解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算.Oxyz 坐标系下的线积分 → Ouvw 坐标系下的线积分 → 写出参数方程 → 套公式 → 计算定积分在新的坐标下，曲线有简单的参数方程.这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程.第二十章习题课2§2 第二型曲线积分例1 计算曲线积分⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222，（1）L 是球面三角形1222=++z y x ，0>x ，0>y ，0>z 的边界线，从球的外侧看去，L 的方向为逆时针方向；（2）L 是球面2222a z y x =++和柱面)0(22>=+a ax y x 的交线位于Oxy 平面上方的部分，从x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向.解 （1）显然，L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L 分为三段1L ：122=+y x ，0=z （0>x ，0>y ） 2L ：122=+z y ，0=x （0>y ，0>z ） 3L ：122=+z x ，0=y （0>x ，0>z ）则 ⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-+-+-=1)()()(3222222L dz y x dy x z dx z y⎰-=1223L dy x dx y 4)1(3)1(312012-=---=⎰⎰dy y dx x或 ⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=Ldx z y )(322⎰⎰⎰-++=312))((322L L L dx z y⎰⎰-+=132233L L dx z dx y 4)1(3)1(312012-=---=⎰⎰dx x dx x注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为1L 上的积分的3倍.第二种方法：积分曲线L 不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍.问题1 是否可化为既是1L 上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=1)(922L dx z y（2）曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反⎰-Ldx z y )(22⎰≥-=0,22)(y L dx z y ⎰≤=-+0,220)(y L dx z y 同理 ⎰-Ldz y x )(22⎰≥-=,22)(y L dz y x 0)(0,22=-=⎰≤y L dz y x 故 ⎰-+-+-=L dz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=Ldy x z )(22下面求曲线L 的参数方程. 方法1 利用球面的参数方程φθsin cos a x =，φθsin sin a y =，φcos a z =，代入柱面方程ax y x =+22得θφcos sin =，于是得L 的参数方程θ2cos a x =， θθcos sin a y =， |sin |θa z =， θ从2π到2π-方法2 利用柱面的参数方程θcos 22a a x +=，θsin 2a y =，代入球面方程2222a z y x =++，得L 的参数方程 θcos 22a a x +=， θsin 2a y =， |2sin |θa z =， θ从π2到0不妨取方法1中的参数方程进行计算， ⎰-=Ldy x z I )(22⎰---=2/2/22422)sin (cos ]cos [sin ππθθθθθd a a ⎰---=02/2423)1cos 2](cos cos 1[2πθθθθd a⎰--+--=2/06423)cos 2cos cos 31(2πθθθθd a332]224635222434321[2a a ππ=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-+--=注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的.例如第一项积分，曲线关于Ozx平面对称，且方向相反，而被积函数关于y是偶函数（不是奇函数），则⎰-Ldx zy)(22⎰≥-=,2 2)( y Ldxzy⎰≤=-+,220)(yLdxzy上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的. [作业] 教材P203:1;2;3.。
数学分析 第二型曲线积分
解. 根据库仑定律, (x, y , z) 处的单位正电荷在静电场中所受的力为
F
=
q
r r3
=
∇φ,
其中
φ
=
−
q r
.
因此 F
沿σ
所作的功为
qx
qy
qz
W = σ r 3 dx + r 3 dy + r 3 dz
β
β
= F (σ) · σ (t) dt = φ ◦ σ dt
α
α
qqΒιβλιοθήκη = −.r (α) r (β)
曲线的方向
因此, 为了使第二型曲线积分有意义, 我们总是要给曲线指定一个方向, 这个方 向是由某个参数决定的. 给定了方向的曲线称为有向曲线.
其实, 一元函数的 Riemann 积分也可以看成是第二型曲线积分, 这里的曲线就 是给定了方向的区间.
如果 σ 为一条闭曲线(环路), 即 σ(α) = σ(β), 则选定了方向以后, 不论从曲线上 哪一点出发, 沿此闭曲线的第二型曲线积分的值不变, 这样的积分常记为
第二型曲线积分和第一型曲线积分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向 有关. 设 φ : [γ, δ] → [α, β] 为严格单调的可逆连续映射, 则复合映射 σ ◦ φ 也是参数曲 线, 它和 σ 的像完全相同, 只是选取了不同的参数而已.
曲线的方向
第二型曲线积分和第一型曲线积分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向 有关. 设 φ : [γ, δ] → [α, β] 为严格单调的可逆连续映射, 则复合映射 σ ◦ φ 也是参数曲 线, 它和 σ 的像完全相同, 只是选取了不同的参数而已. 如果 φ 严格单调递增, 则称这两个参数是同向的; 如果 φ 严格单调递减, 则称这 两个参数是反向的(不同向).
二型曲面积分的正负
二型曲面积分的正负
第二型曲面积分正负怎么判断？
看对什么坐标：
若是对x和y的积分，则曲面上侧为正，下侧为负；
若是对x和z的积分，则曲面右侧为正，左侧为负；
若是对y和z的积分，则曲面前侧为正，后侧为负。
口诀：上正下负，前正后负，右正左负
第二型曲面积分可以根据投影面的法向量与Z轴正半轴的夹角来判断正负。
若夹角为锐角，则z积分为正;若夹角为钝角，则积分为负;若夹角为直角，则积分为0。
比如说:圆心在
原点,半径为1的球面，其在第一卦限取外法向量方向定侧,那么投影到xoy; yoz; zox上，它的符号都是正的;而在第二卦限，当投影到yoz平面上时符号为负，因为外法向量取了与x轴正方向相反的方向。
以此类推，把整个球面按八个卦限分为八块，分别化为八个对坐标的曲面积分计算即可。
第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。
第二形曲线积分
第二形曲线积分
在微积分中，曲线积分是一个非常重要的概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
其中，第二形曲线积分是曲线积分的一种特殊形式，它在计算力学中的功和电磁学中的电势等方面起着重要作用。
第二形曲线积分也被称为矢量场在曲线上的积分。
它的计算方法相对简单，只需要将积分路径上的矢量场与微小位移的点积相加即可。
这个过程可以看作是将曲线分成无数个微小的线段，然后将每个线段上的矢量场的投影相加，最终得到整个曲线上的积分结果。
这种方法在物理学中有着广泛的应用。
举例来说，在力学中，我们可以通过计算力场在位移路径上的第二形曲线积分来求解力的功。
功是描述力对物体所做的工作的量，通过计算力在位移路径上的投影相加，我们可以求出力所做的总功。
这个概念也可以扩展到电磁学中，通过计算电场在电势路径上的第二形曲线积分，我们可以求解电势差。
此外，第二形曲线积分还可以用来计算曲线的长度。
在数学中，我们经常遇到需要计算曲线长度的问题。
通过将曲线分成无数个微小的线段，然后对每个线段长度求和，最终可以得到整个曲线的长度。
这种方法在计算机图形学和几何学上有着广泛的应用，在绘制曲线和求解曲线的长度等方面起到了重要作用。
总而言之，第二形曲线积分是曲线积分的一种特殊形式，它在数学和物理学中具有重要的应用价值。
通过计算矢量场在曲线上的积分，我们可以求解力的功、电势差以及曲线的长度等问题。
这个概念不仅在理论学科中有着广泛的应用，也在实际应用中发挥着重要作用。
对于学习微积分和应用数学的人来说，掌握第二形曲线积分的概念和计算方法是至关重要的。
二类型曲线积分——对坐标的线积分
(3) 曲线反向积分反号：
设L是与L反向的同一条曲线即： 弧AB，L 弧BA， L 则有：
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
L
证：当L反向时，切线也随之反 向，因此cos、 也变号。 cos
同理，对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。
这里讲的是直 接计算方法。
L
所围平面区域的边界曲 线的逆时针方向。 解：设L L1 L2 L3且 L1 : y 0 O(0,0) A(1,0);
L2 : x2 y 2 1 A(1,0) B(0,1); L3 : x 0 B(0,1) O(0,0)
I xdx ydy xdx ydy xdx ydy I1 I 2 I 3
(2)分划弧AB得弧S (弧AB中的一段)，当弧S很小时，以点 x, y)处的 ( 有向切线段l 代替弧S；则F {P( x, y), Q( x, y)}在弧S上近似不变。 B l 与{cos, sin }同向且| l | s l {cosds, sin ds} y l ds dw F l P cosds Q cos ds (P cos Q cos )ds W dw F l {P, Q} {cos , sin }ds
二型曲线积分直接法举例
例1
求I ( x y)dx ( x y)dy ?, L如下图：
L
x cost 解： L : t :0 2 y sint
/2
0
(t为参数）
y
int )dt
L1
以x为参数 1
设
L2
数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1， 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分， 记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有 向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算 设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且 点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则 沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]， 起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π， 当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。
第二型曲线积分格林公式课件
第二型曲线积分定义为在给定曲线L上，对标量函数f(x,y)进行积分， 即∫Lf(x,y)ds，其中ds是曲线L上任意两点间的弧长。
性质
总结词
第二型曲线积分具有可加性、对称性和绝对性等性质。
详细描述
可加性是指如果曲线L被分成n个小的弧段，则在每个小弧段上的积分等于整个曲 线上的积分；对称性是指如果曲线L关于某一直线对称，则在对称轴一侧的积分 等于另一侧的积分的相反数；绝对性是指对于任意实数k，有 ∫L(k×f(x,y))ds=k×∫Lf(x,y)ds。
第二型曲线积分格林公式课 件
目录
• 第二型曲线积分的定义与性质 • 格林公式及其性质 • 第二型曲线积分与格林公式的联系
目录
• 第二型曲线积分与格林公式的实例分 析
• 第二型曲线积分与格林公式的扩展与 应用
01
第二型曲线积分的定义与 性质
定义
01
总结词
02
详细描述
第二型曲线积分是通过在给定曲线上的积分来计算面积的方法。
02
格林公式及其性质
格林公式
总结词
格林公式是数学分析中的一个重要公式，用于计算第二型曲线积分。
详细描述
格林公式给出了一个封闭曲线上的第二型曲线积分与该曲线所围成的区域上的二重积分之间的关系。 它是由英国数学家格林在1838年提出的，是解决复杂积分问题的一个重要工具。
格林公式的性质
总结词
格林公式的性质包括线性性、可加性、对称性等。
在物理学中的应用
利用第二型曲线积分与格林公式的理论，解决物理中的电磁学、力学等问题。
在工程领域的应用
将第二型曲线积分与格林公式的理论应用到工程领域，如流体动力学、控制理 论等。
第二型曲线积分与格林公式的未来发展
计算第二型曲线积分的基本方法(一)
计算第二型曲线积分的基本方法(一)计算第二型曲线积分的基本1. 什么是第二型曲线积分？第二型曲线积分是微积分中的一个重要概念，用于计算沿曲线的矢量场在曲线上的积分值。
它可以帮助我们理解和计算流体力学、电磁学等领域的相关问题。
2. 常用的计算方法参数方程法第一种常用的计算第二型曲线积分的方法是使用参数方程。
首先，我们需要将曲线表示为参数方程的形式，即x和y的函数关系。
然后，将矢量场的函数表达式中的x和y替换为参数方程的形式。
接下来，对参数t进行积分，计算得到曲线上的积分值。
标量场的方法第二种常用的计算方法是使用标量场。
将矢量场的函数表达式转化为标量字段的形式，再计算该标量场沿曲线的曲线积分。
这种方法常用于计算与位移、功率等有关的问题。
Green公式Green公式是计算第二型曲线积分的重要工具。
它将曲线积分转化为对曲线所围成的区域上的面积分。
利用这个公式，我们可以将曲线积分转化为更容易计算的面积分，进而求得答案。
Stokes公式Stokes公式是计算第二型曲线积分的另一个重要工具。
它将曲线积分转化为对曲线所围成的曲面上的面积分。
通过应用Stokes公式，我们可以将曲线积分转化为更容易计算的面积分问题。
3. 注意事项参数方程的选取在使用参数方程法计算第二型曲线积分时，需要选择一个合适的参数方程。
参数方程选取不当可能导致计算复杂度增加或无法得到正确的结果。
曲线的方向第二型曲线积分对曲线的方向敏感。
因此，在计算过程中要注意曲线的方向，并根据具体问题选择合适的曲线方向。
曲线的闭合性若曲线是闭合的，则可以利用Green公式或Stokes公式将曲线积分转化为面积分。
若曲线不闭合，则需要通过参数方程法或其他方法进行计算。
4. 总结第二型曲线积分是微积分中的重要概念，应用于多个领域中。
我们可以利用参数方程法、标量场的方法、Green公式和Stokes公式等多种方法对第二型曲线积分进行计算。
在实际计算过程中，需要注意参数方程的选取、曲线的方向和曲线的闭合性等因素。