对数函数的运算法则全版.ppt
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4.4 对数函数及其性质 课件【共13张PPT】
x
a)
是奇函数，
求f(x)<0的解集.
{x | 1 x 0}
巩固练习
5.已知 loga(3a－1)恒为正,求 a 的取值范围.
解：由题意知 loga(3a－1)＞0＝loga1. 当 a＞1 时，y＝logax 是增函数， ∴33aa－－11＞＞10，， 解得 a＞23，∴a＞1； 当 0＜a＜1 时，y＝logax 是减函数， ∴33aa－－11＜＞10，， 解得13＜a＜23.∴13＜a＜23. 综上所述，a 的取值范围是13，32∪(1，＋∞).
(2)若函数 f(x)的最小值为－4，求 a 的值．
解：(1)要使函数有意义，则有1x－＋x3＞＞00，， 解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3) ＝loga[－(x＋1)2＋4],
因为－3＜x＜1,所以 0＜－(x＋1)2＋4≤4.
[解] (1)由 loga12＞1 得 loga12＞logaa. ①当 a＞1 时，有 a＜21，此时无解； ②当 0＜a＜1 时，有12＜a，从而12＜a＜1.∴a 的取值范围是12，1.
(2)∵函数 y＝log0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，
2x＞0， ∴由 log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，得x－1＞0，
则x1＋ －1x＞ ＞00， ， 即－1＜x＜1,所以 F(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}． (2)F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1,1)，且 F(－x)＝f(－x)－g(－x) ＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－F(x)，所 以 F(x)是奇函数．
对数运算法则_PPT
a ,
p
M a
n
np
loga M n np
即证得
loga M nlog a M(n R) (3)
n
例1. 用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式： （ 1） （ 2）
lg( xyz)
（ 3）
lg
x
2
x lg yz
y
3
z
小结 : 积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数 式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形； 然后再a (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N loga M n nloga M(n R) (3)
对数的运算
指数运算法则 ：
a a a
m n m
mn
(m, n R )
a mn a (m, n R ) n a m n mn (a ) a ( m, n R ) (ab) a b (n R )
n n n
log a M + log a N =
?
设 log M p, a 由对数的定义可以得：M ∴ MN 即得
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,) ④对公式容易错误记忆，要特别注意：
loga (MN ) loga M loga N , loga (M N ) loga M loga N
证明：③设 loga M p, 由对数的定义可以得：M ∴
loga N q,
对数函数PPT课件
单调性
换底公式
当底数a>1时，对数函数是单调增函数；当 0<a<1时，对数函数是单调减函数。
log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中c可以 是任意正实数且c≠1。
对数函数与指数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数，即如果y=log_a(x)，那么x=a^y。
对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。
偶函数
当底数为正数时，对数函数为偶函数，满足f(-x)=f(x)。
03
CHAPTER
对数函数的应用
对数函数在数学领域的应用
求解对数方程
对数函数在数学中常用于 求解对数方程，如求解以 自然对数为底的指数方程。
数值计算
对数函数在数值计算中也 有广泛应用，例如在计算 复利、求解物理问题中的 对数问题等。
在热力学中，对数函数用于描述温 度和热量之间的关系，特别是在处 理热传导和热辐射等问题时。
对数函数在计算机科学中的应用
数据压缩
网络传输
在数据压缩领域，对数函数用于实现 数据压缩和解压缩，特别是在处理图 像和音频等大数据量信息时。
在网络传输中，对数函数用于描述网 络流量和拥塞控制，特别是在处理网 络延迟和丢包等问题时。
加密算法
对数函数在加密算法中用于实现加密 和解密操作，例如基于对数原理的公 钥加密算法。
04
CHAPTER
对数函数与其他函数的关系
对数函数与幂函数的关系
要点一
总结词
对数函数和幂函数在形式上具有密切的联系，可以通过换 底公式相互转化。
要点二
详细描述
对数函数和幂函数之间的关系主要表现在它们的定义和性质 上。对数函数定义为“以某数为底，某数的指数为真数”， 而幂函数定义为“某数的指数为底，该数为真数”。通过换 底公式，我们可以将对数函数转化为幂函数的形式，反之亦 然。例如，以e为底的对数函数ln(x)可以转化为x的1/e次方 的幂函数形式。
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04 对数函数与其他函数的比 较
与指数函数的比较
指数函数和对数函数是互为反函数， 它们的图像关于直线y=x对称。
当a>1时，指数函数和对数函数都是 增函数，但它们的增长速度不同，对 数函数的增长速度更慢。
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图 像总是经过点(0,1)，而对数函数 y=log_a x（a>0且a≠1）的图像则 总是经过点(1,0)。
对数函数和三角函数的应用领域也不同。对数函数主要用于解决与对数运算相关的问题，如 对数的换底公式、对数的运算性质等；而三角函数则主要用于解决与三角形的边角关系、周 期性等问题相关的问题。
05 对数函数的学习方法与技 巧
学习方法
1 2 3
理解对数函数的定义
首先需要理解对数函数的基本定义，包括对数函 数的定义域、值域以及其变化规律。
对数函数ppt课件
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数的学习方法与技巧
01 对数函数的定义与性质
定义
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其中e是自然对数的底数，约等于 2.71828。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx。
当0<a<1时，指数函数和对数函数都 是减函数，但它们的下降速度也不同， 对数函数的下降速度更快。
与幂函数的比较
幂函数y=x^n（n为实数）的图像在 第一象限和第三象限都存在，而对数 函数y=log_a x（a>0且a≠1）的图像 只存在于第一象限。
幂函数的增长速度与指数和对数函数 不同，当n>0时，幂函数的增长速度 比对数函数更快；当n<0时，幂函数 的增长速度比对数函数更慢。
对数函数PPT课件
第4章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
对数函数的概念、图象及性质
第4章 指数函数与对数函数
1.了解对数函数的概念． 2.会画对数函数的图象，记 住对数函数的性质． 3．掌握对数函数图象和性质的应用．
第4章 指数函数与对数函数
1．对数函数的概念 一般地，函数 y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数 的定义域是___(0_，__＋__∞__)___，值域为___(_－__∞_，__＋__∞_)__．
a
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
定义 趋势
y＝logax(a>0 且 a≠1) a 值越大图象越靠近
a 值越小图象越靠近 x，y 轴 x，y 轴 x 趋于零，y 趋于－
x 趋于零，y 趋于＋∞；x 趋 ∞；x 趋于＋∞，y
于＋∞，y 趋于－∞ 趋于＋∞
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
3.y＝ax 称为 y＝logax 的反函数，反之，y＝logax 也称为 y＝ ax 的反函数，一般地，如果函数 y＝f(x)存在反函数，那么它 的反函数记作 y＝f－1(x)．
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
对数函数的图象和性质 (1)如图所示的曲线是对数函数 y＝ logax 的图象，已知 a 的取值可为35，110， 3， 43，则相应曲线 C1，C2，C3，C4 的底数 a 的值 依次为________． (2)若函数 y＝loga(x＋b)＋c(a>0，a≠1)的图象恒过定点(3，2)， 则实数 b，c 的值分别为________，________.
定义 共点性
函数值
对称性
y＝logax(a>0 且 a≠1) 图象过点__(1_，___0_)_，即 loga1＝0
4.4 对数函数
对数函数的概念、图象及性质
第4章 指数函数与对数函数
1.了解对数函数的概念． 2.会画对数函数的图象，记 住对数函数的性质． 3．掌握对数函数图象和性质的应用．
第4章 指数函数与对数函数
1．对数函数的概念 一般地，函数 y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数 的定义域是___(0_，__＋__∞__)___，值域为___(_－__∞_，__＋__∞_)__．
a
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
定义 趋势
y＝logax(a>0 且 a≠1) a 值越大图象越靠近
a 值越小图象越靠近 x，y 轴 x，y 轴 x 趋于零，y 趋于－
x 趋于零，y 趋于＋∞；x 趋 ∞；x 趋于＋∞，y
于＋∞，y 趋于－∞ 趋于＋∞
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
3.y＝ax 称为 y＝logax 的反函数，反之，y＝logax 也称为 y＝ ax 的反函数，一般地，如果函数 y＝f(x)存在反函数，那么它 的反函数记作 y＝f－1(x)．
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
对数函数的图象和性质 (1)如图所示的曲线是对数函数 y＝ logax 的图象，已知 a 的取值可为35，110， 3， 43，则相应曲线 C1，C2，C3，C4 的底数 a 的值 依次为________． (2)若函数 y＝loga(x＋b)＋c(a>0，a≠1)的图象恒过定点(3，2)， 则实数 b，c 的值分别为________，________.
定义 共点性
函数值
对称性
y＝logax(a>0 且 a≠1) 图象过点__(1_，___0_)_，即 loga1＝0
《对数运算法则》课件
3 幂的对数法则
logb(mn) = n * logb(m)
2 除法法则
logb(m/n) = logb(m) - logb(n)
4 对数的换底公式
loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a,b,c为正实 数，且a≠1，c≠1
对数函数的图像
对数函数的图像
对数函数在坐标系中呈现出一种 规律的பைடு நூலகம்斜向上的曲线，图像的 特点和性质对于研究对数函数的 应用和本质具有重要意义。
对数函数也在计算机科学中有着 广泛的应用，例如在算法分析、 图像处理、热力学建模等领域都 有着节约时间、节省成本的效果。
对数函数在金融学和商业领域中 也十分常见。例如在利率计算、 财务分析、股票投资中扮演着重 要的角色。
自然对数以e（自然常数）为底数，广泛应用于科 学计算和理论推导中，有着方便的性质和简单的应 用。
• ln 1 = 0 • ln e = 1 • ln e^2 = 2 • ...
对数的性质
1
对数的基本性质
对数满足一些有趣的性质，例如 log(a*b) = log(a) + log(b)、log(a/b) = log(a) - log(b)。这 些性质使得对数的运算变得更加简便。
2
对数函数在坐标系中的位置
对数函数的图像通常表现为一条斜向上的曲线，且经过与x轴交点（1, 0），随着自变量的增 大而不断上升。
3
对称性和反函数
对数函数的反函数是指数函数，它们具有互为反函数的特点。它们的对称轴为y=x直线。
对数的运算法则
1 乘法法则
logb(m*n) = logb(m) + logb(n)
对数函数作为一个重要的函数 类别，也在微积分和微分方程 的求解中发挥着重要的作用。 例如，在连续复利计算和蒙特 卡洛积分中都需要对数函数。
logb(mn) = n * logb(m)
2 除法法则
logb(m/n) = logb(m) - logb(n)
4 对数的换底公式
loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a,b,c为正实 数，且a≠1，c≠1
对数函数的图像
对数函数的图像
对数函数在坐标系中呈现出一种 规律的பைடு நூலகம்斜向上的曲线，图像的 特点和性质对于研究对数函数的 应用和本质具有重要意义。
对数函数也在计算机科学中有着 广泛的应用，例如在算法分析、 图像处理、热力学建模等领域都 有着节约时间、节省成本的效果。
对数函数在金融学和商业领域中 也十分常见。例如在利率计算、 财务分析、股票投资中扮演着重 要的角色。
自然对数以e（自然常数）为底数，广泛应用于科 学计算和理论推导中，有着方便的性质和简单的应 用。
• ln 1 = 0 • ln e = 1 • ln e^2 = 2 • ...
对数的性质
1
对数的基本性质
对数满足一些有趣的性质，例如 log(a*b) = log(a) + log(b)、log(a/b) = log(a) - log(b)。这 些性质使得对数的运算变得更加简便。
2
对数函数在坐标系中的位置
对数函数的图像通常表现为一条斜向上的曲线，且经过与x轴交点（1, 0），随着自变量的增 大而不断上升。
3
对称性和反函数
对数函数的反函数是指数函数，它们具有互为反函数的特点。它们的对称轴为y=x直线。
对数的运算法则
1 乘法法则
logb(m*n) = logb(m) + logb(n)
对数函数作为一个重要的函数 类别，也在微积分和微分方程 的求解中发挥着重要的作用。 例如，在连续复利计算和蒙特 卡洛积分中都需要对数函数。
对数函数及其性质ppt
符号
常用对数函数记作f(x) = lgₐx，以10 为底；自然对数函数记作f(x) = lnₐx， 以e为底。源自对数函数的性质定义域
对数函数的定义域为(0, +∞)，这是因为对数函数的底数必须大于0且不等于1。
值域
对数函数的值域为R，即所有实数。
单调性
当a > 1时，对数函数是增函数；当0 < a < 1时，对数函数是减函数。
对数函数的除法性质
总结词
对数函数的除法性质是指当两个对数相除时，其结果等于将被除数的底数取倒数后再取对数。
详细描述
对数函数的除法性质可以表示为log_b(m) / log_b(n) = log_b(1/n) / log_b(1/m) = log_b(m/n)，其中 m和n是正实数，且n不等于1。这个性质在对数运算中也非常重要，因为它简化了多个对数项的除法运算。
对数函数，我们可以更好地理解放射性物质在环境中的行为和影响。
THANKS
感谢观看
对数函数及其性质
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数在实际问题中的应用案例
01
对数函数的定义与性质
定义与符号
定义
对数函数是指数函数的反函数，记作 f(x) = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其定义 域为(0, +∞)。
对数运算法则
对数函数具有对数运算法则，包括换底公式、对数乘法公式、对数除法公式等。
对数函数的图象
01
图像形状
对数函数的图像通常为单调递增或递减的曲线，随着x的增大而无限接
近y轴。
02
图像特点
对数函数的图像具有垂直渐近线，即x=1和x=0。此外，当a>1时，图
常用对数函数记作f(x) = lgₐx，以10 为底；自然对数函数记作f(x) = lnₐx， 以e为底。源自对数函数的性质定义域
对数函数的定义域为(0, +∞)，这是因为对数函数的底数必须大于0且不等于1。
值域
对数函数的值域为R，即所有实数。
单调性
当a > 1时，对数函数是增函数；当0 < a < 1时，对数函数是减函数。
对数函数的除法性质
总结词
对数函数的除法性质是指当两个对数相除时，其结果等于将被除数的底数取倒数后再取对数。
详细描述
对数函数的除法性质可以表示为log_b(m) / log_b(n) = log_b(1/n) / log_b(1/m) = log_b(m/n)，其中 m和n是正实数，且n不等于1。这个性质在对数运算中也非常重要，因为它简化了多个对数项的除法运算。
对数函数，我们可以更好地理解放射性物质在环境中的行为和影响。
THANKS
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对数函数及其性质
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数在实际问题中的应用案例
01
对数函数的定义与性质
定义与符号
定义
对数函数是指数函数的反函数，记作 f(x) = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其定义 域为(0, +∞)。
对数运算法则
对数函数具有对数运算法则，包括换底公式、对数乘法公式、对数除法公式等。
对数函数的图象
01
图像形状
对数函数的图像通常为单调递增或递减的曲线，随着x的增大而无限接
近y轴。
02
图像特点
对数函数的图像具有垂直渐近线，即x=1和x=0。此外，当a>1时，图
对数的运算 课件(39张)
x
x
=x,则 log25=xlog23,即 log25=log23 ,从而有 3 =5,将
其化为对数式得 x=log35,若将对数函数的底数 2 换成 c(c>0 且 c≠1),
=log35 还成立吗?
提示:成立,证明如下:
设
x
x
=x,则 logc5=xlogc3,即 logc5=logc3 ,从而有 5=3 ,即 x=log35,
数学
(2)loga = logaM-logaN .
即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.
(3)logaMn= nlogaM(n∈R) .
即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.
特别地,logaaN=N.
数学
2.换底公式及导出公式
[问题 2] 假设
=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
数学
+ +
(2)
-
-
;
(3)log535-2log5 +log57-log51.8.
= (lg 2+lg 5)
= lg 10= .
数学
法二
=lg
原式=lg
×
×
=lg( × )
=lg
= .
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2
2
7log 4 5log 2 14 5 19
2
2
..........
(2) lg 5 100
1
lg 5 100 lg(100)5 1 lg102 2
5
5
练习：2 log525
3log264
1 log327
..........
(3) log 2
2
log 5
1
1 log327
log (3 3
p
q
log
M•N a
log
M a
log
N a
练习：证明
② logM N logM logN
a
a ..........
a
2、应用举例：
例1、用
log
x a
,
log表ay ,示lo下g az列各式：
xy
x2 y
(1) log z a
(2) log 3 z a
解：
xy
(1) log z log( xy) log z
① log(M • N ) logM logN
a
a
a
②
logM a
N
logM logN
a
a
③ logM n nlogM (n R)
a
a
aloga N N
..........
13
(2)公式的作用:
化简；求值；证明。
..........
14Biblioteka 对数运算法则..........
1
一、对数的定义：
真数
ab N logaN b 对数
loga 1 0
底数 loga a 1
log a a b b
aloga N N (N>0)
注： 负数和零没有对数 ..........
二、对数运算法则 1、运算公式：a>0, a≠1, M>0;N>0 则：
2 (lg2)2 lg 2（1 lg 2） lg 2 2（1 lg 2）
2
..........
练习：计算
(1) lg 25 2 lg8 lg5 lg 20 (lg 2) 2 3
(2)log 7 48 log 12 1 log 421
2
2 22
..........
12
知识回顾：（1）公式
5
)2
解：原式 1 0 log33 3 (5)2
1 3 25 23
..........
(4)(lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25 解：原式 (lg 2)2 lg 2 (lg510) lg52
(lg 2)2 lg 2(lg5 1) 2 lg 5 (lg2)2 lg 2 lg5 lg 2 2lg10
(x4 z3
y2 )
(其中x>0,y>0,z>0 x-y>0)
a
x2 y2
3
(
2)
log
a
x( x 2
y2
)
..........
例2：求下列各式的值：
（1） log(4 7 25 ) (2) lg 5 100 2
解：（1）log (47 25） log 47 log 25
2
① log(M • N ) logM logN
a
a
a
②
logM a
N
logM logN
a
a
③
logM n a
n logM a
(n R)
a N loga N
..........
证明：性质① 设 logM p
a
∴M=ap N=aq
∴M∙N=ap∙aq=aq+p
logN q a
∴ M∙N=aq+p
a
a
a
logx log y logz
a
a
a
..........
x2 y
(2) log 3 z
logx2
y
3 log
z
a
a
a
logx2 log
y
3 log
z
a
a
a
2logx 1 log y 1 logx a 2 a3 a
..........
练习：用对数的法则计算下列各式。
（1）log