2013走向高考数学10-9

基础巩固强化1.已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋1，则Y ( ) A ．－16 B.23 C ．1 D.2936[答案] B[解析] 由分布列的性质知：12＋16＋a ＝1，∴a ＝13， 由期望的定义知，E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16. 由期望的性质知，E (Y )＝2E (X )＋1＝23. 2．已知随机变量X 的概率分布如下表所示：则X 的方差为( A ．3.56 B ．8.12 C ．3.2 D. 3.56[答案] A[分析] 先由离散型随机变量分布列的性质求出x ，再依据期望、方差的定义求解．[解析] 由0.4＋0.1＋x ＝1得x ＝0.5， ∴E (X )＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (X )＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. 3．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝8，则D (η)＝( )A ．0.5B ．0.8C ．0.2D ．0.4[答案] D[解析] ∵E (ξ)＝10p ＝8，∴p ＝0.8，∴D (ξ)＝10p (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6，又D (ξ)＝D (2η－1)＝4D (η)，∴D (η)＝0.4.4．(2011·湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝p ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (A 出现)，0 (A 不出现).则X 的方差D (X )等于( )A ．pB ．2p (1－p )C ．－p (1－p )D ．p (1－p )[答案] D[解析] X 服从两点分布，故D (X )＝p (1－p )．5．(2011·浙江温州模拟)某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125[答案] A[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P 1＝C 23·(35)2·25，三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3，所以此人至少有两次击中目标的概率是P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125.6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.7．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________.[答案] 0[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4， 又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝12， ∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝12E (ξ)－2＝0.8．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案] 2155[解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A 1、A 2、A 3，设从乙罐中取出白球的事件为B ，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，所求概率P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝12×411＋15×511＋310×411＝2155.9．已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球．从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，取球次数X 的均值为________．[答案] 145[解析] 依题意，X 的可能取值为2、3、4，P (X ＝2)＝A 24A 26＝25；P (X ＝3)＝(C 12C 14A 22)C 13A 36＝25； P (X ＝4)＝(C 22C 14A 33)C 13A 46＝15， ∴E (X )＝2×25＋3×25＋4×15＝145. 10.(2012·江西理，18)如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．(1)求V ＝0的概率；(2)求V 的分布列及数学期望E (V )．[分析] (1)从6个不同的点中随机选取3个点，共有C 36种方法，选取的3个点与原点共面时，3个点必须在同一个坐标平面内．因为每条坐标轴上有两个点，所以同一坐标平面内有4个点，从这4个点中任取3个即可；(2)先求出V 的各种可能取值，然后求其概率．[解析] (1)从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个面内的取法有3C 34＝12种，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35.(2)V 的所有可能取值为0、16、13、23、43，因此V 的分布列为由V 的分布列得E (V )＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.[点评] 本题以立体图形为载体，考查概率知识及分布列、期望的求法，立意新颖，第1问易于解决，第2问中要对各种体积情况进行逐一运算，以防遗漏，难度中等．能力拓展提升11.(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1) C ．(0，12) D ．(12，1)[答案] C[解析] 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)，故应选C.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89 B.35 C.25 D.13[答案] A[解析] ∵对称轴在y 轴左侧，∴－b2a <0，∴ab >0，即a 与b 同号，∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89.13．一批产品的次品率为0.01，现连续抽取20次，抽得次品数为ξ，则D (ξ)＝________.[答案] 0.198[解析] ∵ξ～B (20,0.01)，∴D (ξ)＝20×0.01×(1－0.01)＝0.198. 14．如果ξ～B (100，12)，当P (ξ＝k )取得最大值时，k ＝________. [答案] 50[解析] P (ξ＝k )＝C k 100⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－k＝C k 100⎝ ⎛⎭⎪⎫12100，由组合数的性质知，当k ＝50时取到最大值．15．(2012·湖北理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[分析](1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．[解析](1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝00.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝P (300≤x <900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.[点评] 本题考查随机变量的分布列与均值、方差、条件概率等知识，考查抽象概括能力与计算能力．16．(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率； (3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝10 5＝2 1，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率P ＝C 16·C 14C 210＝815.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3. P (ξ＝0)＝C 24C 210·35＝225； P (ξ＝1)＝C 16·C 14C 210·35＋C 24C 210·25＝2875； P (ξ＝2)＝C 26C 210·35＋C 16·C 14C 210·25＝3175；P (ξ＝3)＝C 26C 210·25＝215，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×225＋1×2875＋2×3175＋3×215＝85.1．(2011·广东广州二模)设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值等于( )A.73B.53 C ．5 D ．3[答案] A[解析] 已知ξ～N (3,4)，所以μ＝3， 又因为P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)， 所以(2a －3)＋(a ＋2)2＝3，解得a ＝73. 2．(2011·浙江五校联考)设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681 [答案] B[解析] 由P (ξ≥1)＝59，得C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，即9p 2－18p ＋5＝0，解得p ＝13或p ＝53(舍去)，∴P (η≥2)＝C 24p 2(1－p )2＋C 34p 3(1－p )＋C 44p 4＝6×(13)2×(23)2＋4×(13)3×23＋(13)4＝1127.3．(2011·潍坊模拟)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1， ∴P (ξ>120)＝0.1，∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)] ＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D.4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个．则X 的均值为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6[答案] B[解析] 由题意可知，X 可以取3、4、5、6，P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；P (X ＝6)＝C 25C 36＝12，∴E (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25.5．设随机变量ξ的分布列如下表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝( )A.0.2 C ．－0.2 D ．－0.4[答案] C[解析] 由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8①又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3② 由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5，∴a －b ＝－0.2，故应选C. 6．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1]B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)[答案] B[解析] ∵事件A 在一次试验中发生的概率为p ，∴由条件知C 14p (1－p )3≥C 24p 2(1－p )2，解得p ≤0.4，故选B.7．(2011·温州十校联考)已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案] B[解析] 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝22＝4，∴D (η)＝1.8．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束． 假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D －分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34.(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A －B C －D ，∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14.(2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则 P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18，P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38.P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。