228.因式分解(完全平方公式)(试题+参考答案)
因式分解运用公式法(完全平方公式)
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式 解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式 时，在运算过程中应用括号来表示这 个多项式的整体性,并且由于式子变 得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长， 且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到 每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用 例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
2022中考真题分类4——因式分解(参考答案)
2022中考真题分类——因式分解(参考答案)1.(2022·广西河池)多项式244x x −+因式分解的结果是( )A ．x (x −4)+4B ．(x +2)(x −2)C ．(x +2)2D ．(x −2)2 【答案】D【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解：()22442x x x −+=−.故选：D ．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键.2.(2022·四川绵阳)因式分解：32312x xy −=_________. 【答案】()()322x x y x y +−【分析】先提取公因式3x ，然后根据平方差公式因式分解即可求解.【详解】解：原式＝()()()2234322x x y x x y x y −=+−. 故答案为：()()322x x y x y +−.【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键.3.(2022·广西贺州)因式分解：2312m −=__________.【答案】3(2)(2)m m +−【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可.【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)；故答案为：3(x +2)(x −2).【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.4.(2022·湖北恩施)因式分解：3269a a a −+=______.【答案】2(3)a a −【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解：原式22(69)(3)a a a a a =−+=−，故答案为：2(3)a a −.【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征.5.(2022·辽宁锦州·)分解因式：2232x y xy y −+=____________. 【答案】2()y x y −【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：(a ±b )2=a 2±2ab +b 2.【详解】解：222223(2)(2)=−++=−−x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y −【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式.6.(2022·四川内江)分解因式：a 4−3a 2−4＝_____.【答案】(a 2+1)(a +2)(a −2)【分析】首先利用十字相乘法分解为()()2214a a +− ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可.【详解】解：a 4−3a 2−4＝(a 2+1)(a 2−4)＝(a 2+1)(a +2)(a −2)，故答案为：(a 2+1)(a +2)(a −2).【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查.7.(2022·黑龙江绥化)因式分解：()()269m n m n +−++=________.【答案】()23m n +−【分析】将m n 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可.【详解】解：()()269m n m n +−++ ()()22233m n m n =+−⨯⨯++ ()23m n =+−，故答案为：()23m n +−.【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键.8.(2022·辽宁沈阳)分解因式：269ay ay a ++=______. 【答案】()23a y +【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解：269ay ay a ++=()269a y y ++ ()23a y =+； 故答案为：()23a y +.【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.9.(2022·贵州黔东南)分解因式：2202240442022x x −+=_______.【答案】()220221x −##()220221x −【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解.【详解】解：原式=()()2220222120221x x x −+=−； 故答案为()220221x −.【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.10.(2022·四川广元)分解因式：a 3−4a ＝_____.【答案】()()22a a a +−【分析】根据提公因式及平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：原式=()()()2422a a a a a −=+−； 故答案为：()()22a a a +−.【点睛】本题主要考查提公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.11.(2022·湖南常德)分解因式：329x xy −=________.【答案】(3)(3)x x y x y −+【分析】先提取公因式，然后再根据平方差公式即可得出答案.【详解】原式=32229(9)x xy x x y −=−=(3)(3)x x y x y −+.故答案为：(3)(3)x x y x y −+.【点睛】本题考查分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法.12.(2022·湖南怀化)因式分解：24−=x x _____. 【答案】2(1)(1)+−x x x【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可.【详解】解：()242221(1)(1)−=−=+−x x x x x x x ， 故答案为：2(1)(1)+−x x x【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键.13.(2022·内蒙古赤峰)分解因式：32242x x x ++=______. 【答案】22(1)x x +【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解.【详解】解：32242x x x ++，22(21)x x x =++，22(1)x x =+，故答案是：22(1)x x +.【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式及完全平方公式.14.(2022·四川巴中)因式分解：322a a a −+−=______.【答案】2(1)a a −−【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可【详解】∵322a a a −+−=−a 22)1(a a −+=2(1)a a −−故答案为： 2(1)a a −−.【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键.15.(2022·山东威海)因式分解24ax a −=___________ 【答案】(2)(2)a x x +−.【详解】试题分析：原式=2(4)(2)(2)a x a x x −=+−.故答案为(2)(2)a x x +−. 考点：提公因式法与公式法的综合运用.16.(2022·贵州黔西)已知2ab =，3a b +=，则22a b ab +的值为_____. 【答案】6【分析】将22a b ab +因式分解，然后代入已知条件即可求值.【详解】解：22a b ab +()ab a b =+23=⨯6=.故答案为：6【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.17.(2022·四川广安)已知a +b =1，则代数式a 2−b 2 +2b +9的值为________. 【答案】10【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +−++，可得9a b ++，即可求解.【详解】解：a 2−b 2 +2b +9()()29a b a b b =+−++29a b b =−++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键.。
初中数学《运用完全平方公式分解因式》专项练习题(含答案)
运用完全平方公式因式分解一 、填空题（本大题共9小题）1.化简求值，其中12a =，2b =-，则22()()________a b a b +--=2.利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．3.填空：⑴222_____4(2)x y x y ++=+；⑵2229_____121(3___)a b a -+=-；⑶2244____(2___)m mn m ++=+；⑷2_____6______(3)xy x y ++=+. 4.填空：(1)222()______a b a b +=+-；(2)222()______a b a b +=-+；(3)22()()_______a b a b -=+-；5.已知3a b +=，2230a b ab +=-，则2211a ab b -++= ．6.已知2(1)()5a a a b ---=-，则222a b ab +-的值为7.若214x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是8.若1990a =，1991b =，1992c =，则222a b c ab bc ac ++---= ． 9.设a ，b 为有理数，且20a b +=，设22a b +的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则m n += ．二 、解答题（本大题共11小题）10.计算：⑴222(30.5)a b ab + ⑵2(1113)m n a b - ⑶2(25)(52)(25)x x x ---- 11.计算：⑴2()a b c ++ ⑵2()a b c -- ⑶2(23)a b c -+12.⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.13.已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值． 14.计算：⑴22(2)(2)x x +-；⑵(59)(59)x y x y +--+； ⑶()()a b c a b c ++--； ⑷先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-15.已知3a b +=，12ab =，求下列各式的值：⑴22a b +；⑵22a ab b -+；⑶2()a b - 16.计算（1）2(23)x y -+ （2）(2)(2)a b b a -- （3）2222()()a ab b a ab b ++-+ （4）(22)(22)x y y x -+-+ 17.计算⑴2()()()x y x y x y --+-； ⑵3131(2)(2)5353x y z y z x ---+； ⑶2222()()a ab b a ab b ++-+； 18.计算：⑴2(811)a b -+⑵2(23)x y --19.计算：⑴2(4)m n + ⑵21()2x - ⑶2(32)x y - ⑷21(4)4y -- 20.计算：⑴2(35)x y z -+；⑵2(59)x y --；填空：⑶2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++； ⑷22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+运用完全平方公式因式分解答案解析一 、填空题1.-4；原式=2222224a ab b a ab b ab ++-+-=；当12a =，2b =-时，原式14(2)42=⨯⨯-=-2.a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．3.⑴4xy ；⑵66ab ，11b ；⑶2n ，n ；⑷29x ，2y .4.⑴2ab ；⑵2ab ；⑶4ab ；5.22()330a b ab ab a b ab +=+==-所以10ab =-，22211()31150a ab b a b ab -++=+-+=．6.由条件得5a b -=，222()25222a b a b ab +--==7.1±8.222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b a c b c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦2221(1)(2)(1)32⎡⎤=-+-+-=⎣⎦ 9.222222()()120()22a b a b a b a b ++-⎡⎤+==+-⎣⎦， 因为2()0a b -≥，所以22a b +最小值200m =；222()()1400()44a b a b ab a b +--⎡⎤==--⎣⎦，所以ab 的最大值100n =，故300m n +=． 二 、解答题10.⑴222423324(30.5)930.25a b ab a b a b a b +=++；⑵222(1113)121286169m n m m n n a b a a n b -=-+；⑶22222(25)(52)(25)(25)(25)2(25)84050x x x x x x x x ----=----=--=-+-. 11.⑴原式222222a b c ab ac bc =+++++⑵原式222222a b c ab ac bc =++--+ ⑶原式232234618a b c ab ac bc =++-+-12.⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦又3x =， 1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-13.2222()()132a b a b a b ++-+==，22()()64a b a b ab +--==-，227a b ab ++=．14.(1)[]2222242(2)(2)(2)(2)(4)816x x x x x x x +-=+-=-=-+；(2)22(59)(59)(59)x y x y x y +--+=--2222(259081)259081x y y x y y =--+=-+-.(3)原式[][]22222()()()2a b c a b c a b c a b c bc =++-+=-+=---(4)2222(32)(32)5(1)(21)9455(441)95x x x x x x x x x x x +-----=--+--+=- 又13x =-，故原式=1959()583x -=⨯--=-15.⑴22222222()232(12)33a b a ab b ab a b ab +=++-=+-=-⨯-=⑵2222223()345a ab b a ab b ab a b ab -+=++-=+-=⑶222222()224()457a b a ab b a ab b ab a b ab -=-+=++-=+-= 16.（1）原式222(23)4129x y x xy y =-=-+（2）原式22222(2)(44)44a b a ab b a ab b =--=--+=-+-（3）原始22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦（4）原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+- 17.⑴222222()()()2()22x y x y x y x xy y x y y xy --+-=-+--=-；⑵22222313113419(2)(2)(2)()45353353925x y z y z x x z y x xz z y ---+=--=-+-⑶原式22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦18.⑴原式222(118)12117664b a b ab a =-=-+；⑵原式222(23)4129x y x xy y =+=++.19.⑴22222(4)(4)24168m n m mn n m mn n +=+⨯+=++⑵22221111()2()2224x x x x x -=-+=-+⑶22222(32)(3)232(2)9124x y x x y y x xy y -=-⨯⨯+=-+⑷222222111111(4)(4)(4)(4)24()1624444416y y y y y y y ⎡⎤--=-+=+=+⨯⨯+=++⎢⎥⎣⎦20.⑴2222(35)92561030x y z x y z xy yz zx -+=++--+；⑵222(59)2581109018x y x y xy y x --=++-+-. ⑶13a ，14b ，12c ；⑷2m ，n .。
因式分解基础测试题及答案解析
因式分解基础测试题及答案解析一、选择题1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ）A ．±B ．C ．±D ．【答案】C【解析】【分析】将原式进行变形，3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】解：∵3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-∴33)a b b ab a =--又∵22()()4a b a b ab -=+-∴22()414a b -=-⨯=∴2a b -=±∴33(2)a b ab =±=±-故选：C ．【点睛】本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．2．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( )A ．23B ．2C ．83D ．163【答案】C【解析】【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．【详解】 ∵12,23x y xy -==，∴43342x y x y -=x 3y 3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×1 3=83，故选C．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．3．把多项式分解因式，正确的结果是（）A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2+b2【答案】A【解析】【分析】本题考查的是因式分解中的平方差公式和完全平方公式【详解】解：A. 4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；B. a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；C. a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故此选项错误；D. （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，故此选项错误；故选A4．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A．2ab(a-b)=2a2b-2ab2B．x2+1=x(x+1 x )C．x2-4x+3=(x-2)2-1 D．a2-b2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0C.不是因式分解，原式＝(x－3)(x－1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.5．下列运算结果正确的是( )A ．321x x -=B ．32x x x ÷=C ．326x x x ⋅=D ．222()x y x y +=+【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.【详解】A 、3x ﹣2x ＝x ，故A 选项错误；B 、x 3÷x 2＝x ，正确；C 、x 3•x 2＝x 5，故C 选项错误；D 、x 2+2xy+y 2＝(x+y)2，故D 选项错误，故选B.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.6．将3a b ab 进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【解析】【分析】多项式3a b ab 有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；7．如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．60B ．16C ．30D ．11【答案】C【解析】【分析】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】∵矩形的周长为10，∴a+b=5，∵矩形的面积为6，∴ab=6，∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30．故选：C ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．8．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．2(a ﹣b)＝2a ﹣2bB ．221(a b)(a b)1-=-+++a bC ．2224(2)x x x -+=-D ．22282(2)(2)x y x y x y -=-+【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出.【详解】解：由因式分解的定义可知：A. 2(a ﹣b)＝2a ﹣2b ，不是因式分解，故错误；B. 221(a b)(a b)1-=-+++a b ，不是因式分解，故错误；C. 2224(2)x x x -+=-，左右两边不相等，故错误；D. 22282(2)(2)x y x y x y -=-+是因式分解；故选：D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.9．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；C、xy﹣x=x（y﹣1），故此选项正确；D、2x+y无法因式分解，故此选项错误．故选C．【点睛】本题考查因式分解．10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．8x2y3＝2x2⋅4 y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1 D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.【详解】①是单项式的变形，不是因式分解；②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D正确；故选D．【点睛】本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．11．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．x2+4x+4=（x+2）2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.12．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ， 则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，∴b=c 或a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．故选D ．13．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）A ．()2212x x x x --=--B ．()()22a b a b a b +-=-C ．()()2422x x x -=+-D ．()2222a b a b ab +=++ 【答案】C【解析】【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．【详解】A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.B 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.C 选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.D选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．14．下列各因式分解正确的是（）A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2D．x3﹣4x=2（x﹣2）（x+2）【答案】C【解析】【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【详解】A．﹣x2+(﹣2)2=(2+x)(2﹣x)，故A错误；B．x2+2x﹣1无法因式分解，故B错误；C.4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2，故C正确；D、x3﹣4x= x(x﹣2)(x+2)，故D错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．15．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．12xy2＝3xy•4y B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．16．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）A ．4a 2+4a +1=（2a +1）2B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣4b ）（a +b ）C ．a 2﹣2a ﹣1=（a ﹣1）2D ．（a ﹣b ）（a +b ）=a 2﹣b 2【答案】A【解析】【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案．【详解】A ．4a 2+4a +1=（2a +1）2，正确；B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣2b ）（a +2b ），故此选项错误；C ．a 2﹣2a ﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；D ．（a ﹣b ）（a +b ）=a 2﹣b 2，是多项式乘法，故此选项错误．故选：A ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．17．已知a 、b 、c 是ABC 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC 是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c ≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．2112(12)(12)22a a a -=+-B ．2224(2)x y x y +=+C ．2239(3)x x x -+=-D ．222()x y x y -=- 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．【详解】 A. 2112(12)(12)22a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误；C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误；D. ()22()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A.【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.19．把多项式3(x －y)－2(y －x)2分解因式结果正确的是（ ）A ．()()322x y x y ---B ．()()322x y x y --+C ．()()322x y x y -+-D ．()()322y x x y -+-【答案】B【解析】【分析】提取公因式x y -，即可进行因式分解．【详解】 ()()232x y y x --- ()()322x y x y =--+故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键．20．下列因式分解正确的是（ ）A ．()222x xy x x y -=-B ．()()2933x x x +=+- C ．()()()2x x y y x y x y ---=-D ．()22121x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据提公因式法和公式法进行判断求解即可.【详解】A. 公因式是x ，应为()222x xy x x y -=-，故此选项错误； B. 29x +不能分解因式，故此选项错误；C. ()()()()()2x x y y x y x y x y x y ---=--=-，正确；D. ()2221=1x x x x -+=-，故此选项错误.故选：C【点睛】此题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服.。
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)二次根式的运算知识点知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(1)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.，即积的算术平方根知识点二、积的算术平方根的性质等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a 移到根号外面.（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式②利用积的算术平方根的性质③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外④被开方数中每个因数指数都要小雨2（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：把被开方数相除.要点诠释：，即两个二次根式相除，根指数不变，(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b的取值范围应特别注意，其中，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.（2）步骤①利用商的算术平方根的性质② a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化（3）被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1. 定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2. 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号； (6)约分.3. 把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法. 实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2. 合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并. 对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算要点诠释：二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式.规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式. 通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练26 完全平方公式因式分解的5个类型
专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________. 2．因式分解：1-2a +a 2=________．3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．4．因式分解：222x xy y -+=______． 5．因式分解：222x xy y ++=________． 6．因式分解：222m mn n ++=__________． 7．分解因式：221x x ++= ___________ ． 8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．9．因式分解：244b b -+=____． 10．因式分解221x x -+=______．类型二 完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 12．分解因式：214m m -+=__________． 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 14．因式分解：2441a a ++=______________ 15．分解因式：2244a ab b -+=______． 16．分解因式221236x xy y -+=______． 17．分解因式：224129x xy y -+=________．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______． 19．分解因式：224129m mn n -+= __________.20．因式分解24129m m -+=______． 21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____． 23．24129a a -+分解因式得__________． 24．因式分解：2296x xy y ++=______. 25．因式分解229124x xy y -+=______ 26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )； （2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____． 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝___________．33．因式分解：22bx bx b -+=______. 34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___． 35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝________． 类型四 展开后再用完全平方公式因式分解38．分解因式：2(1)4a a +-=_________．39．因式分解：()241x x --=__________．40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________． 42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______． 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____． 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是________．47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____． 48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______． 类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．50．因式分解2221b bc c -+-=______． 51．分解因式：2221y x x ---=_____．52．分解因式：2242x y xy --+=___________．专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________.解：原式=a 2-2×a ×2b +（2b ）2=（a -2b ）2， 2．因式分解：1-2a +a 2=________．解：由题意可知：1-2a +a 2=(1-a )2，3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．【解答】a 2－10a ＋25=（a －5）24．因式分解：222x xy y -+=______．解：原式()2x y =-，5．因式分解：222x xy y ++=________．解：222x xy y ++=()2x y +．6．因式分解：222m mn n ++=__________．【解答】222m mn n ++=2()m n +，7．分解因式：221x x ++= ___________ ．解：221x x ++=2(1)x +8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．【解答】x 2-8x +16，=x 2-2×4×x +42，=（x -4）2． 9．因式分解：244b b -+=____．解：原式＝()22b -，10．因式分解221x x -+=______．解：221x x -+=（x ﹣1）2． 类型二 完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 解：214a a -+＝212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12．分解因式：214m m -+=__________．解：221142m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 原式＝（x +12）2．14．因式分解：2441a a ++=______________根据完全平方公式可得，原式=()()2224121a a a ++=+，15．分解因式：2244a ab b -+=______．16．分解因式221236x xy y -+=______．17．分解因式：224129x xy y -+=________．原式22(2)2(2)(3)(3)x x y y =-⨯⨯+ 2(23)x y =-．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______．【解答】：x 2y 2－2xy ＋1＝(xy －1)². 19．分解因式：224129m mn n -+= ___________________.直接运用完全平方公式分解因式即可，即原式=(2m －3n )2.20．因式分解24129m m -+=______．解：24129m m -+=22(2)2233m m -⨯⨯+=2(23)m -21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；【解答】222441(2)41(21)x x x x x -+=-+=-，2222216249(4)24(3)(43)a ab b a ab b a b ++=++=+，22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____．解：4x 2+12xy +9y 2＝（2x +3y ）2．23．24129a a -+分解因式得__________．解：224129(23)a a a -+=-，24．因式分解：2296x xy y ++=______.解：()222963x xy y x y ++=+25．因式分解229124x xy y -+=______解：229124x xy y -+=()232x y -.26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．解：原式＝(3﹣2t)2．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )； （2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 试题解析：（1）25x 2+10x+1=（5x+1）2；（2）1-2b+b 2=（b-1）2（3）x 2+4x+4=（x+2）2；（4）4m 2+（±12mn ）+9n 2=（2m±3n ）2． 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____．解：am 2﹣2amn +an 2＝()()2222a m mn n a m n -+=-， 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____．解：2mx 2﹣4mxy +2my 2，＝2m （x 2﹣2xy +y 2），＝2m （x ﹣y ）2． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．解：原式＝2x （m 2﹣6m+9）＝2x （m ﹣3）2．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．解：ma 2﹣2ma +m = m （a 2﹣2a +1）=m （a －1）2，32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝_______________________． 解：原式=xy （x 2-6x+9）=xy （x-3）2，33．因式分解：22bx bx b -+=______.由完全平方公式：22bx bx b -+=()221b x x -+ =()21b x -34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___．解：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y()()22=693y x x y x --+=--35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．解：原式=-（m 2-4m +4）=-（m -2）2.36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝__________________________． 原式=-2x （x 2-2xy+ y 2）=－2x （x －y ）2，38．分解因式：2(1)4a a +-=___________________________________． 2222(1)412421(1)a a a a a a a a +-=++-=-+=-．类型四 展开后再用完全平方公式因式分解39．因式分解：()241x x --=________________．解：()241x x --244x x =-+()22x =-． 40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________．原式=x 2-2x+1=（x-1）2.42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．()()()222811681281.a aa a a +-=+-=-43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______．解：()228a b ab +-22448a ab b ab =++-2244a ab b =-+()22a b =- 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．解：（a-b ）（a-9b ）+4ab=a 2-10ab+9b 2+4ab= a 2-6ab+9b 2=（a-3b ）2． 45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____．首先去括号，进而利用乘法公式分解因式，（a+1）（a+3）+1=244a a ++=2(2)a +. 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是___________．()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -． 47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____．解：x （x-1）-3x+4，=x 2-x-3x+4，=x 2-4x+4，=（x-2）2．48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______．x 2-4（x-1）=x 2-4x+4=（x-2）2．类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--． 50．因式分解2221b bc c -+-=______．解：原式=2()1b c --=[][]()1()1b c b c ---+=()()11b c b c ---+， 51．分解因式：2221y x x ---=_____．解：2221y x x ---=()22+2+1y x x -()22+1y x =-()()=11y x y x ++-- 52．分解因式：2242x y xy --+=__________________．原式=()()()()22242422x y xy x y x y x y -=--=+--++-.。
用完全平方公式分解因式 浙教版数学七年级下册同步练习(含解析)
4.3用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式基础过关全练知识点1完全平方式1.若关于x的多项式x2-4x+a(其中a是常数)是完全平方式,则a的值是()A.2B.-2C.4D.-42.【新独家原创】若关于x的多项式x2+mx+n是完全平方式,则m,n 的值可能是()A.-1,14B.12,14C.14,-14D.-14,143.下列各式中,与2x2-6x的和是完全平方式的是()A.x+9B.3C.9D.9-x2知识点2用完全平方公式分解因式4.下列可以用完全平方公式因式分解的是()A.4a2-4a-1B.4a2+2a+1C.1-4a+4a2D.2a2+4a+15.(2022浙江杭州余杭期末)下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)2B.x2+2xy+y2=(x-y)2C.x2+x=x(x-1)D.x2-y2=(x+y)(x-y)6.(2022贵州黔东南中考)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=.7.【一题多变】(2022黑龙江绥化中考)分解因式: (m+n)2-6(m+n)+9=.[变式] 分解因式:19-13(a+b)+14(a+b)2= . 8.【教材变式·P108T5变式】因式分解:(1)m 2-4mn+4n 2; (2)-a+2a 2-a 3;(3)4+12(a-b)+9(a-b)2; (4)(x 2+4)2-16x 2.9.(2021浙江杭州余杭模拟)给出三个多项式:①a 2+3ab-2b 2;②b 2-3ab;③ab+6b 2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果分解因式.知识点3 简便运算10.用简便方法计算: 1012+198×101+992.能力提升全练11.下列因式分解正确的是( ) A.ab+ac+a=a(b+c)B.a 2-4b 2=(a+4b)(a-4b)C.9a 2+6a+1=3a(3a+2)D.a 2-4ab+4b 2=(a-2b)212.(2022浙江绍兴柯桥期中,7,)若x 2+2(k+1)x+4是完全平方式,则k 的值为( ) A.1 B.-3 C.-1或3 D.1或-313.把(a+b)2-4(a 2-b 2)+4(a-b)2因式分解为( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)214.若ab=2,b-a=3,则-a 3b+2a 2b 2-ab 3的值为 .15.因式分解:a 2-b 2-x 2+y 2-2ay+2bx= .16.【新独家原创】下列单项式:①3x;②-5x;③-154;④-1516x 2;⑤-3x 中,加上x 2-x+4后成为一个完全平方式的有 .(填序号)17.【作差法比大小】已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,试比较P,Q的大小.18.【学科素养·运算能力】(2022浙江杭州外国语学校期中,22,)配方法是一种重要的解决问题的数学方法,它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或代数式最大值、最小值的问题.请用配方法解决以下问题.(1)试说明:无论x,y取何值,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数;(2)分解因式:a4+a2+1;(3)已知实数a,b满足-a2+5a+b-3=0,求a+b的最小值.素养探究全练19.【运算能力】我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,若将该式从右到左使用,就可得到用“十字相乘法”因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.答案全解全析基础过关全练1.C ∵关于x 的多项式x 2-4x+a(其中a 是常数)是完全平方式,∴a=4,故选C.2.A 当m=-1,n=14时,x 2+mx+n=x 2-x+14=(x −12)2,故选A. 3.D (2x 2-6x)+(9-x 2)=2x 2-6x+9-x 2=x 2-6x+9.故选D.4.C 1-4a+4a 2=(1-2a)2,故选C.5.D x 2+y 2不能分解,故A 错误;x 2+2xy+y 2=(x+y)2,故B 错误; x 2+x=x(x+1),故C 错误;x 2-y 2=(x+y)(x-y),故D 正确.故选D.6.答案 2 022(x-1)2解析 原式=2 022(x 2-2x+1)=2 022(x-1)2.7.答案 (m+n-3)2解析 原式=(m+n)2-2·(m+n)·3+32=(m+n-3)2.[变式] 答案 (13−12a −12b)2解析 原式=[13−12(a +b)]2=(13−12a −12b)2. 8.解析 (1)原式=m 2-2·m·2n+(2n)2=(m-2n)2.(2)原式=-a(a 2-2a+1)=-a(a 2-2·a·1+12)=-a(a-1)2.(3)原式=22+2·2·3(a-b)+[3(a-b)]2=[2+3(a-b)]2=(2+3a-3b)2.(4)原式=(x 2+4)2-(4x)2=(x 2+4+4x)(x 2+4-4x)=(x 2+4x+4)(x 2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2.9.解析答案不唯一,写出以下任意一个即可.①+②得a2+3ab-2b2+b2-3ab=a2-b2=(a+b)(a-b).①+③得a2+3ab-2b2+ab+6b2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2.②+③得b2-3ab+ab+6b2=7b2-2ab=b(7b-2a).10.解析1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.能力提升全练11.D ab+ac+a=a(b+c+1),故A错误;a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故B错误; 9a2+6a+1=(3a+1)2,故C错误;a2-4ab+4b2=(a-2b)2,故D正确.故选D.12.D∵x2±2·x·2+22=(x±2)2,∴k+1=±2,∴k=1或-3,故选D.13.C(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2=(a+b)2-2×2(a+b)(a-b)+[2(a-b)]2=(a+b-2a+2b)2=(3b-a)2.14.答案-18解析当ab=2,b-a=3时,-a3b+2a2b2-ab3=-ab(a2-2ab+b2)=-ab(b-a)2= -2×32=-18.15.答案(a-y+b-x)(a-y-b+x)解析a2-b2-x2+y2-2ay+2bx=(a2-2ay+y2)-(b2-2bx+x2)=(a-y)2-(b-x)2=(a-y+b-x)(a-y-b+x).16.答案③④⑤解析 ①3x+x 2-x+4=x 2+2x+4,不是完全平方式;②-5x+x 2-x+4=x 2-6x+4,不是完全平方式;③-154+x 2-x+4=x 2-x+14=(x −12)2,是完全平方式; ④-1516x 2+x 2-x+4=116x 2-x+4=(14x −2)2,是完全平方式; ⑤-3x+x 2-x+4=x 2-4x+4=(x-2)2,是完全平方式.综上,满足条件的有③④⑤.故答案为③④⑤.17.解析 ∵P=2x 2+4y+13,Q=x 2-y 2+6x-1,∴P-Q=(2x 2+4y+13)-(x 2-y 2+6x-1)=2x 2+4y+13-x 2+y 2-6x+1=x 2-6x+9+y 2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.18.解析 (1)x 2+y 2-4x+2y+6=x 2-4x+4+y 2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1>0,∴无论x,y 取何值,多项式x 2+y 2-4x+2y+6的值总为正数.(2)a 4+a 2+1=a 4+2a 2+1-a 2=(a 2+1)2-a 2=(a 2+a+1)(a 2-a+1).(3)∵-a 2+5a+b-3=0,∴b=a 2-5a+3,∴a+b=a 2-4a+3=(a-2)2-1,∴当a=2时,a+b 有最小值,为-1,∴a+b的最小值为-1.素养探究全练19.解析(1)2;4或4;2.(2)因为x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x-4)·(x+1)=0,所以x-4=0或x+1=0, 所以x=4或x=-1.。
(完全平方公式)(试题+参考答案)
完全平方公式【目标导航】1．理解完全平方公式的意义； 2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解．【例题选讲】 例1（1）把229124b ab a +-分解因式．（2）把22816y x xy +-分解因式．（3）把2411x x ++分解因式．（4）把xy y x 4422-+分解因式．练习：把下列各式分解因式： （5）．1692+-t t（6）．412r r +-（7）．236121a a +- （8）．42242b b a a +-例2．把下列各式分解因式： （9）．122++n nm m（10）．222nm mn --（11）．ax y ax y ax ++2232 （12）．22224)1(4)1(a a a a ++-+ 练习：把下列各式分解因式： （13）．n n m m y y x x42242510+-(14)．222y xy x -+-(15)21222+-x x (16)161)(21)(2+---y x y x(17)n n m my y x x2245105-+-例3．把下列各式分解因式： (18)．222)1(4+-a a(19)．2)(4y x y x --练习：把下列各式分解因式： (20)．222)41(+-m m(21)．222224)(b a b a -+(22)．)(42s t s s -+- (23)．1)3)(2)(1(++++x x x x例4(24)．已知054222=+++-b b a a 求b a ,的值．【课堂操练】一．填空：（25）．-2x （ ）+29y =（x - 2) （26）．+-244x x =-2(x 2)（27）．++x x 32 =+x ( 2)（28）．++22520r r =（ +52)r 二．填空，将下列各式填上适当的项，使它成为完全平方式（222b ab a ++）的形式： （29）．+-x x 2（30）．++2241y x （31）．242x xy -+ （32）．++24414b a （33）．++469n m（34）．+-x x 52三．把下列各式分解因式： （36）．244x x +-（37）．49142++x x（38）．9)(6)(2++-+n m n m （39）．n n n x x x7224212+-++【课后巩固】一．填空1．（ ）2+=+22520y xy （ ）2．2．=+⨯-227987981600800（ -- 2)= ．3．已知3=+y x ，则222121y xy x ++= ．4．已知0106222=++-+y x y x 则=+y x ．5．若4)3(2+-+x m x 是完全平方式，则数m 的值是 ．6．158-能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是 ． 二．把下列各式分解因式： 7．32231212x x y xy -+ 8．442444)(y x y x -+9．22248)4(3ax x a -+10．2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-（11）．2222224)(b a c b a --+ （12）．22222)(624n m n m +- （13）．115105-++-m m m x x x三．利用因式分解进行计算： （14）．419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ （15）．2298196202202+⨯+ （16）．225.15315.1845.184+⨯+四．（17）．将多项式1362+x 加上一个单项式，使它成为一个整式的平方．五．（18）．已知212=-b a ，2=ab 求：42332444b a b a b a -+-的值．（19）．已知n b a m b a =-=+22)(,)(，用含有m ，n 的式子表示：（1）a 与b 的平方和； （2）a 与b 的积； （3）baa b +．【课外拓展】（20）．已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,并且ca bc ab c b a ++=++222求证：此三角形为等边三角形．（21）．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且0)(22222=+-++c a b c b a 你能判断△ABC 的形状吗？请说明理由．（22）．求证：不论为x ,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．答案：【例题选讲】例1（1）【解】229124b ab a +-=2(23)a b - （2）【解】22816y x xy +-=2(4)xy - （3）【解】2411x x ++=21(1)2x + （4）【解】xy y x 4422-+=2(2)x y - 练习：（5）．【解】1692+-t t =2(31)t -（6）．【解】412r r +-=21(1)2r - （7）．【解】236121a a +-=2(16)a - （8）．【解】42242b b a a +-=222()a b - 例2．（9）．【解】122++n nm m=2(1)n m +（10）．【解】222n m mn --=2()m n -- （11）．【解】ax y ax y ax ++2232 =22(21)ax x y xy ++ =2(1)ax xy +（12）．【解】22224)1(4)1(a a a a ++-+ =22(12)a a +- =4(1)a - 练习： （13）．【解】n n m my y x x 42242510+-=222(5)mn xy -(14)．【解】222y xy x -+-=2()x y --(15)【解】2222+-x x =22()2x - (16)【解】161)(21)(2+---y x y x=221[()]4x y --=11()()22x y x y -+--(17)【解】n n m my y x x 2245105-+-=4225(2)mm n n x x y y --+ =225()mn xy --例3．(18)．【解】222)1(4+-a a =22[2(1)][2(1)]a a a a ++-+ =22(1)(1)a a -+-(19)．【解】2)(4y x y x -- =2244xy x y -- =2(2)x y --练习：(20)．【解】222)41(+-m m=2211[()][()]44m m m m ++-+ =2211()()22m m -+-(21)．【解】222224)(b a b a -+ =222222(2)(2)a b ab a b ab +++-=22()()a b a b +-(22)．【解】)(42s t s s -+-=(54)s s t --(23)．【解】1)3)(2)(1(++++x x x x =22(3)(32)1x x x x ++++ =222(3)2(3)1x x x x ++++ =22(31)x x ++ 例4(24)．【解】因为054222=+++-b b a a ，所以22(1)(2)0a b -++=.即1, 2.a b ==-【课堂操练】一、填空：（25）．答案：6,3xy y （26）．答案：4,2 （27）．答案：1x +，2 （28）．答案：4,2. 二、（29）．答案：14（30）．答案：xy （31）．答案：214y （32）．答案：22a b （33）．答案：326m n （34）．答案：254三．把下列各式分解因式： （36）．【解】244x x +-=2(2)x -（37）．【解】49142++x x =2(7)x +（38）．【解】9)(6)(2++-+n m n m=2(3)m n +-（39）．【解】n n n x x x 7224212+-++=22(6)nx x -【课后巩固】一、填空1．答案:2,25x x y + 2．答案:800,798,4 3．答案:924．答案:-25．答案：7或-1 6．答案：26、24二．把下列各式分解因式： 7．【解】32231212x x y xy -+ =232x(x y )-8．【解】442444)(y x y x -+ =42244224(2)(2)x x y y x x y y ++-+ =22222()()()x y x y x y ++- 9．【解】22248)4(3ax x a -+ =2223[(4)16]a x x +- =2223[(4)16]a x x +- =223(2)(2)a x x +-10．【解】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+- =2[3()2()]a b a b -++=2(5)a b -（11）．【解】2222224)(b a c b a --+=22222222(2)(2)a b c ab a b c ab +-++--=222222[()][()]a b c a b c +--- =()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--（12）．【解】22222)(624n m n m +- =222226[()4]m n m n -+- =226()()m n m n -+- （13）．【解】115105-++-m m m x x x=125(21)m x x x --+ =125(1)m xx --三．利用因式分解进行计算： （14）．【解】419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ =1(25.378.6 3.9)4+- =1(25.378.6 3.9)4+- =25（15）．【解】2298196202202+⨯+ =2(20298)+=90000（16）．【解】225.15315.1845.184+⨯+=2(184.515.5)+=40000 四．（17）．【解】12x ±五．（18）．【解】42332444b a b a b a -+-=2222(44)a b a ab b --+ =222(2)a b a b -- 而212=-b a ，2=ab .所以42332444b a b a b a -+-=222(2)a b a b --=-144⨯=-1. （19）．【解】（1）因为n b a m b a =-=+22)(,)(，所以2222,2a a b b m a a b bn++=-+=. 即22.a b m n +=+所以a 与b 的平方和为m n +. （2）由（1）可知：1()4ab m n =- 所以a 与b 的积为1()4m n - （3）由（1）（2）可知，22.a b m n +=+1()4ab m n =- 所以ba ab +=22a b ab +=1()4m n m n +-44m nm n+=-【课外拓展】 （20）．证明：因为ca bc ab c b a ++=++222，所以222222222a b c a b bc c a++=++. 即222()()()0a b b c c a -+-+-=. 所以0,0,0a b b c c a -=-=-=所以a=b=c.此三角形为等边三角形． （21）．【解】△ABC 是等边三角形．理由是： ∵0)(22222=+-++c a b c b a∴2222220a b c ba bc ++--= ∴22()()0a b b c -+-= 所以0,0,a b b c -=-= 所以a=b=c.∴△ABC 是等边三角形． （22）．证明：5422+-xy y x =2(2)110xy -+≥>.即不论为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
完全平方公式【目标导航】1．理解完全平方公式的意义； 2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解．【例题选讲】 例1（1）把229124b ab a +-分解因式．（2）把22816y x xy +-分解因式．（3）把2411x x ++分解因式．（4）把xy y x 4422-+分解因式．练习：把下列各式分解因式： （5）．1692+-t t（6）．412r r +-（7）．236121a a +- （8）．42242b b a a +-例2．把下列各式分解因式： （9）．122++n nm m（10）．222nm mn --（11）．ax y ax y ax ++2232 （12）．22224)1(4)1(a a a a ++-+ 练习：把下列各式分解因式： （13）．n n m m y y x x 42242510+- (14)．222y xy x -+-(15)21222+-x x (16)161)(21)(2+---y x y x(17)n n m m y y x x 2245105-+-例3．把下列各式分解因式： (18)．222)1(4+-a a(19)．2)(4y x y x --练习：把下列各式分解因式： (20)．222)41(+-m m (21)．222224)(b a b a -+ (22)．)(42s t s s -+- (23)．1)3)(2)(1(++++x x x x例4(24)．已知054222=+++-b b a a 求b a ,的值．【课堂操练】一．填空：（25）．-2x （ ）+29y =（x - 2)（26）．+-244x x =-2(x 2) （27）．++x x 32 =+x ( 2)（28）．++22520r r =（ +52)r 二．填空，将下列各式填上适当的项，使它成为完全平方式（222b ab a ++）的形式： （29）．+-x x 2（30）．++2241y x （31）．242x xy -+ （32）．++24414b a （33）．++469n m （34）．+-x x 52三．把下列各式分解因式： （36）．244x x +-（37）．49142++x x（38）．9)(6)(2++-+n m n m （39）．n n n x x x 7224212+-++【课后巩固】一．填空1．（ ）2+=+22520y xy （ ）2． 2．=+⨯-227987981600800（ -- 2)= ．3．已知3=+y x ，则222121y xy x ++= ．4．已知0106222=++-+y x y x 则=+y x ．5．若4)3(2+-+x m x 是完全平方式，则数m 的值是 ．6．158-能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是 ． 二．把下列各式分解因式： 7．32231212x x y xy -+ 8．442444)(y x y x -+9．22248)4(3ax x a -+10．2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-（11）．2222224)(b a c b a --+ （12）．22222)(624n m n m +- （13）．115105-++-m m m x x x三．利用因式分解进行计算： （14）．419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ （15）．2298196202202+⨯+ （16）．225.15315.1845.184+⨯+四．（17）．将多项式1362+x 加上一个单项式，使它成为一个整式的平方．五．（18）．已知212=-b a ，2=ab 求：42332444b a b a b a -+-的值．（19）．已知n b a m b a =-=+22)(,)(，用含有m ，n 的式子表示：（1）a 与b 的平方和； （2）a 与b 的积； （3）b aa b +．【课外拓展】（20）．已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,并且ca bc ab c b a ++=++222求证：此三角形为等边三角形．（21）．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且0)(22222=+-++c a b c b a 你能判断△ABC 的形状吗？请说明理由．（22）．求证：不论为x ,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．答案：【例题选讲】例1（1）【解】229124b ab a +-=2(23)a b - （2）【解】22816y x xy +-=2(4)xy - （3）【解】2411x x ++=21(1)2x + （4）【解】xy y x 4422-+=2(2)x y - 练习：（5）．【解】1692+-t t =2(31)t -（6）．【解】412r r +-=21(1)2r -（7）．【解】236121a a +-=2(16)a - （8）．【解】42242b b a a +-=222()a b - 例2．（9）．【解】122++n nm m=2(1)n m +（10）．【解】222n m mn --=2()m n -- （11）．【解】ax y ax y ax ++2232 =22(21)ax x y xy ++=2(1)ax xy +（12）．【解】22224)1(4)1(a a a a ++-+ =22(12)a a +- =4(1)a - 练习： （13）．【解】n n m my y x x 42242510+-=222(5)mn xy -(14)．【解】222y xy x -+-=2()x y --(15)【解】2222+-x x =22()2x - (16)【解】161)(21)(2+---y x y x=221[()]4x y --=11()()22x y x y -+--(17)【解】n n m m y y x x 2245105-+- =4225(2)m m n n x x y y --+ =225()m n x y -- 例3．(18)．【解】222)1(4+-a a =22[2(1)][2(1)]a a a a ++-+ =22(1)(1)a a -+-(19)．【解】2)(4y x y x -- =2244xy x y -- =2(2)x y --练习：(20)．【解】222)41(+-m m =2211[()][()]44m m m m ++-+ =2211()()22m m -+-(21)．【解】222224)(b a b a -+ =222222(2)(2)a b ab a b ab +++-=22()()a b a b +-(22)．【解】)(42s t s s -+-=(54)s s t --(23)．【解】1)3)(2)(1(++++x x x x =22(3)(32)1x x x x ++++ =222(3)2(3)1x x x x ++++ =22(31)x x ++ 例4(24)．【解】因为054222=+++-b b a a ，所以22(1)(2)0a b -++=.即1, 2.a b ==-【课堂操练】 一、填空：（25）．答案：6,3xy y （26）．答案：4,2 （27）．答案：1x +，2 （28）．答案：4,2. 二、（29）．答案：14（30）．答案：xy （31）．答案：214y （32）．答案：22a b （33）．答案：326m n （34）．答案：254三．把下列各式分解因式： （36）．【解】244x x +-=2(2)x -（37）．【解】49142++x x =2(7)x +（38）．【解】9)(6)(2++-+n m n m =2(3)m n +-（39）．【解】n n n x x x 7224212+-++=22(6)n x x -【课后巩固】一、填空1．答案:2,25x x y + 2．答案:800,798,4 3．答案:924．答案:-25．答案：7或-1 6．答案：26、24二．把下列各式分解因式： 7．【解】32231212x x y xy -+ =232x(x y )-8．【解】442444)(y x y x -+ =42244224(2)(2)x x y y x x y y ++-+ =22222()()()x y x y x y ++- 9．【解】22248)4(3ax x a -+ =2223[(4)16]a x x +- =2223[(4)16]a x x +- =223(2)(2)a x x +-10．【解】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-=2[3()2()]a b a b -++=2(5)a b - （11）．【解】2222224)(b a c b a --+=22222222(2)(2)a b c ab a b c ab +-++--=222222[()][()]a b c a b c +---=()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+-- （12）．【解】22222)(624n m n m +- =222226[()4]m n m n -+- =226()()m n m n -+-（13）．【解】115105-++-m m m x x x=125(21)m x x x --+=125(1)m x x --三．利用因式分解进行计算：（14）．【解】419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ =1(25.378.6 3.9)4+- =1(25.378.6 3.9)4+- =25（15）．【解】2298196202202+⨯+ =2(20298)+=90000（16）．【解】225.15315.1845.184+⨯+ =2(184.515.5)+=40000 四．（17）．【解】12x ±五．（18）．【解】42332444b a b a b a -+- =2222(44)a b a ab b --+=222(2)a b a b --而22=-b a ，2=ab .所以42332444b a b a b a -+-=222(2)a b a b --=-144⨯=-1. （19）．【解】（1）因为nb a m b a =-=+22)(,)(，所以22222,2a ab b m a ab b n ++=-+=.即22.a b m n +=+所以a 与b 的平方和为m n +. （2）由（1）可知：1()4ab m n =- 所以a 与b 的积为1()4m n - （3）由（1）（2）可知，22.a b m n +=+1()4ab m n =- 所以b a a b +=22a b ab+=1()4m nm n +-44m nm n+=-【课外拓展】 （20）．证明：因为cabc ab c b a ++=++222，所以222222222a b c ab bc ca ++=++.即222()()()0a b b c c a -+-+-=. 所以0,0,0a b b c c a -=-=-=所以a=b=c.此三角形为等边三角形． （21）．【解】△ABC 是等边三角形．理由是： ∵0)(22222=+-++c a b c b a∴2222220a b c ba bc ++--= ∴22()()0a b b c -+-= 所以0,0,a b b c -=-= 所以a=b=c.∴△ABC 是等边三角形． （22）．证明：5422+-xy y x =2(2)110xy -+≥>.即不论为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．。