结构力学第7章7-3(华南理工)
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华南理工大学结构力学试题7
学号
姓名
四、
Z1
Z2
基本体系
11
1
84
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ14
3
4
1 28
M 图 ( ×ql 2 )
Z1 = ql2 / (56i), Z2 = ql2 / (4i)
五、
AB µ
BA BE BC CB CF 1/3 1/3 1/3 1/2 1/2
F
M
-75 75
22.5 45 45 -60 60
78.92
67.19
90
59.38 73.13
16.88
3.91
六、
1
9/8
2/2
8.44
N1 影 响 线
（5 分）
N2 影 响 线
（5 分）
《 结构力学 》试卷答案第 2 页 共 2 页
2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；
3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共 6 大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。
题号 一
二
三
四
五
六
得分
评卷人
总分
专业
学院
_____________ ________
一、
几 何 瞬 变 体 系 (三 刚 片 三 铰 共 线 )。
二、
3ql 2/8
(密封线内不答题) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………
座位号
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！（2009.01）
华南理工大学期末考试
《 结构力学 》试卷答案
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；
结构力学I-第7章 位移法
4
Page
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§7-1位移法基本概念
位移法基本方程：
i 1 5
EAi sin 2 i FP li
FP EAi sin 2 i i 1 li
5
关键的一步！
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
(2) 杆件转角以顺时针为正 , 反之为负。杆件两端在垂直 于杆轴方向上的相对线位移 ΔAB （侧移）以使杆件顺时针转 动为正,反之为负。 B A B A θB
θ
A
AB
2015-12-21
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14
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
ΔAB F M AB l
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23
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
FQBA=0,ΔAB是θA 和θB的函 数，转角位移方程为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
2015-12-21
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2. 一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0
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§7-1位移法基本概念
位移法基本方程：
i 1 5
EAi sin 2 i FP li
FP EAi sin 2 i i 1 li
5
关键的一步！
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
(2) 杆件转角以顺时针为正 , 反之为负。杆件两端在垂直 于杆轴方向上的相对线位移 ΔAB （侧移）以使杆件顺时针转 动为正,反之为负。 B A B A θB
θ
A
AB
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浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
ΔAB F M AB l
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23
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
FQBA=0,ΔAB是θA 和θB的函 数，转角位移方程为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
2015-12-21
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2. 一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0
7力法结构力学
(5) 求基本结典构型在方已程知荷！载作用时的位移 iP
(6) 解力法方程求出多余未知力 X i
(7) 根据叠加原理作超静定结构的内力图，并校核
M Mi Xi MP i
FN FNi Xi FNP i
FQ
i
FQi
Xi
FQP
2 力法的算例
例1.用力法解图示结构,作M图.
21 X1 22 X2 2P 0
q
X1 3ql / 20, X 2 ql 2 / 40XFra bibliotek X2法2
12
0 0
11 X1 12 X2 1P 0 21 X1 22 X2 2P 0
X1 ql 2 / 20, X 2 ql 2 / 40
P 3Pl / 32
M
EI
EI
l/2 l/2 l P
X1
M1
l / 2 X1=1 P
Pl / 4
MP 3Pl / 8
解: 1 0
11X1 1P 0
11 l 3 / 6EI
即可使结构的内力重新分布.
ql 2 20
ql 2 / 40 M
原结构
约束力
解除多余约束 代以约束反力
基本未知量
“超” 静
=0 位移条件
基本体系
线性代数 方程
§7-5 力法的计算步骤和示例
1 回顾力法的计算步骤
(1) 判断结构的超静定次数，解除多余约束代以多余约束力， 确定基本结构与基本体系
注意： (a) 超静定次数 = 变成基本结构所需解除的多余约束数 = 多余未知力数
二.超静定结构的计算方法
(6) 解力法方程求出多余未知力 X i
(7) 根据叠加原理作超静定结构的内力图，并校核
M Mi Xi MP i
FN FNi Xi FNP i
FQ
i
FQi
Xi
FQP
2 力法的算例
例1.用力法解图示结构,作M图.
21 X1 22 X2 2P 0
q
X1 3ql / 20, X 2 ql 2 / 40XFra bibliotek X2法2
12
0 0
11 X1 12 X2 1P 0 21 X1 22 X2 2P 0
X1 ql 2 / 20, X 2 ql 2 / 40
P 3Pl / 32
M
EI
EI
l/2 l/2 l P
X1
M1
l / 2 X1=1 P
Pl / 4
MP 3Pl / 8
解: 1 0
11X1 1P 0
11 l 3 / 6EI
即可使结构的内力重新分布.
ql 2 20
ql 2 / 40 M
原结构
约束力
解除多余约束 代以约束反力
基本未知量
“超” 静
=0 位移条件
基本体系
线性代数 方程
§7-5 力法的计算步骤和示例
1 回顾力法的计算步骤
(1) 判断结构的超静定次数，解除多余约束代以多余约束力， 确定基本结构与基本体系
注意： (a) 超静定次数 = 变成基本结构所需解除的多余约束数 = 多余未知力数
二.超静定结构的计算方法
结构力学+李廉锟版-+第七章 力法
Δ1P ——基本结构由荷载引起的竖向位移, Δ1X ——基本结构由知力引起的竖向位移。
§7-3 力法的基本概念
由叠加原理 Δ1X=δ11X1 δ11X1+Δ1P=0
A B M1
X1= 1
(b) ——力法典型方程
ql
2
互乘
2
l
A
B MP
自 乘
ii — 位移系数
iP
— 广义荷载位移
AyC M 1M 1 1 1 2 1 3 11 dx ( l l l) l EI EI EI 2 3 3EI
§7-3 力法的基本概念
AyC M 1M P 1 1 1 2 3 ql 4 Δ1P dx ( ql l l ) EI EI EI 3 2 4 8EI
将δ11、Δ1P 入力法典型方程，解得:
X1
11
Δ1P
3 ql 8
3)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加 法即可求出超静定结构的内力。
}
l
△ 22
B'
△2P
§7-4 力法的典型方程
Δ1 Δ11 Δ12 Δ1p 0 Δ2 Δ21 Δ22 Δ2 p 0
将 Δ11 11 X1 ， Δ21 21 X 1 ，
（b）
Δ12 12 X 2
Δ22 22 X 2
代入（b）式，
§7-3 力法的基本概念
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。
§7-4 力法的典型方程 一、多次超静定的计算
超静定刚架如图所示, 荷载是作用在刚性结点C上 的集中力矩M 。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7章 力 法【圣才出品】
第7章 力 法
7.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、概述（见表7-1-1） ★★
表7-1-1 概述
二、超静定次数的确定（见表7-1-2） ★★★★
表7-1-2 超静定次数的确定
三、力法的基本概念（见表7-1-3） ★★★
力法的基本概念，包括基本未知量、基本体系、基本结构以及基本方程见表7-1-3，此外，表中还归纳了超静定结构的力法分析步骤。
表7-1-3 力法的基本未知量、基本体系和基本方程
四、力法的典型方程（见表7-1-4） ★★★
表7-1-4 力法的典型方程
五、对称性的利用 ★★★★
1．对称结构及作用荷载的对称性（表7-1-5）
表7-1-5 对称结构及作用荷载的对称性
2．非对称荷载的处理（表7-1-6）
表7-1-6 非对称荷载的处理。
华南理工大学结构力学考研试题(99-07真题)
411华南理工大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题（试题附在答卷内交回）科目名称：结构力学411华南理工大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：结构力学411华南理工大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：结构力学411华南理工大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：结构力学411华南理工大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：结构力学适用专业：结构工程、防灾减灾工程及防护工程411华南理工大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：结构力学适用专业：结构工程、防灾减灾工程及防护工程411华南理工大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：结构力学适用专业：结构工程防灾减灾工程及防护工程桥梁与隧道工程411华南理工大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：结构力学适用专业：工程力学结构工程桥梁与隧道工程防灾减灾工程及防护工程411华南理工大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：结构力学适用专业：工程力学岩土工程结构工程防灾减灾工程及防护工程桥梁与隧道工程。
结构力学第7章
EI l
称杆件的线刚度。
M
F AB
,M
为由荷载和温度变化引起的 杆端弯矩，称为固端弯矩。
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定B端铰支
M
AB
3 i
A
3i l
AB M
F AB
A端固定B端定向
M M
AB
i A M
F AB F BA
BA
i A M
§7-3
无侧移刚架的计算
附加 刚臂
P A
C
θA
A
θA
C
附加刚臂限制结点
位移，荷载作用下
B 附加刚臂上产生附 加力矩
施加力偶使结点产生的 B角位移，以实现结点位 移状态的一致性。
P
θA
A
θA
C
实现位移状态可 分两步完成： 1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力；
B
分析：
2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移。
BA
1
同理可得
B
1 6i
M
AB
1 3i
M
BA
MAB
A
A
1 3i
1
M
AB
1 6i
1
M
BA
E I l
B
B
M
6i
AB
M
3i
BA
MBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A B
l
MAB
A
B
以上两过程的叠加
MBA
A
1 3i
四川大学结构力学第7章
概括起来，只有位移和相应位移方向上的内力 均未知时，该位移作为位移法的基本未知量。
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
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§7-3 等截面直杆的转角位移方程 刚度系数：三类基本超静定杆件由单位位移引起的杆端力。 也称为形常数。 固端力：三类基本超静定杆件由荷载引起的杆端力。 也称为载常数。 转角位移方程：支座位移与荷载共同作用下杆端力的表达式。 正负号规定：
⑴ 杆端转角以顺时针方向转动为正；杆端横向相对线位移 以使杆件顺时针方向转动为正。 ⑵ 杆端弯矩以顺时针方向为正；根据牛顿第三定律，杆端 对结点或支座的弯矩则以逆时针方向为正；杆端剪力的 正向仍以使微段顺时针方向转动为正。
6i 3i
A2
M AB
M BA
A2
A1
M AB
y1
M BA
A1
M图
M图
1
y1
1
y2
1
y2
M图
M图
1
当简支梁两端有相对竖向 位移Δ 时，杆端转角为：
A B l
A 1 M AB 1 M BA
3i 6i
B 1 M AB 1 M BA
A 1 M AB 1 M BA 综合起来：
基本结构
X1 X1 1
1c l A
l
A
M 1图
⑷ 解方程求未知量。 A 3 EI l A X 1 3 l A l 3 EI M AB X 1 l 2 l A 3i A 3i ⑸ 求杆端弯矩。 l l
7-3-2 一端固定另一端铰支的等截面直杆 设该杆A端发生顺时针转角θA , 并且AB两端发生横向相对线 位移Δ。 ⒈ 用力法导出杆端位移引起的杆端弯矩：
一端固定另一端铰支等截面直杆的杆端弯矩：
M AB 3i A 3i
F M AB l
基本概念
杆件的受力状态由其两端的角位移、线位移以及作用于杆 件上的荷载唯一确定。
图7-10
若迫使其A、B两端的角位移以及相对 线位移与图7-9所示的两端固定杆相同， 则荷载相同时该简支杆的杆端弯矩和 剪力以及变形状态将与上述两端固定 杆完全相同。
7-3-1 两端固定的等截面直杆
设该杆A、B两端分别发生顺时针转角 θA和θB, 并且AB两端发生横向相对
EI
线位移Δ。
可以用力法导出杆端弯矩的一般公式 为：
M AB M BA
F 4i A 2i B 6i M AB l F 2i A 4i B 6i M BA l
⒉ 求杆端剪力（两种思路）： ⑴ 以简支梁为出发点。
当仅作用有杆端力矩时：
FQAB
⑵ 以原固端梁为出发点。
先求仅由杆端位移引起的剪力：
同时有荷载时, 再叠加简支梁剪力。
1 FQBA ( M AB MBA ) l
FQAB
A
1 6i 6i 12i A B 2 FQBA ( M AB MBA ) l l l l
式中：i EI 称为杆件的弯曲线
l 称为杆件的弦转角； 刚度； AB l F F M AB和MBA为固端弯矩。
⒈ 由杆端位移求杆端弯矩： 下面用求静定结构位移的方法
将杆端弯矩视为已知荷载，求 在此杆端弯矩作用下的位移：
EI
M AB
M BA
基本结构
M BA
M AB
M图
1 1
M图
A 1 ( 1 l M AB ) 2 ( 1 l M BA ) 1 l ( 1 M AB 1 MBA ) EI 2 3 2 3 EI 3 6
l
7-3-3 一端固定另一端滑动支座的等截面直杆
设该杆A端发生顺时针转角θA 。
同样用力法可导出杆端弯矩的 一般公式为：
F M AB iA MAB F M BA iA MBA
两端固定等截面直杆的杆端弯矩：
M AB 4iA 2i B 6i M BA F M AB l F 2iA 4i B 6i M BA l
B
同时有荷载时, 再叠加固端剪力。
FQAB FQBA
F 6i 6i 12i 2 FQAB M AB 4i A 2i B 6i l l l l A B F 6 i 6i 12i 2 FQBA M BA 2i A 4i B 6i l l l l
1 1 B M AB M BA 6i 3i l
解联立方程求解，得：
6i
3i
3i
6i
l
再叠加由荷载作用引起的固端弯矩，即 得两端固定等截面直杆的转角位移方程 M BA
M AB
4i A 2i 6i B l 2i A 4i 6i B l
⒉ 用力法求出由荷载引起的固端弯矩： M AB
F
根据叠加原理可得杆端弯矩的一般公式为：
M AB 3i A 3i
相应的杆端剪力为：
F M AB l
FQAB 3i FQBA
F FQAB l l2 A F 3i 3i 2 FQBA l l 3i
A
M AB 3i A 3i
基本概念
杆件的受力状态由其两端的角位移、线位移以及作用于杆 件上的荷载唯一确定。
图7-10
即：只要杆端位移均为指定值，则不管它原先的支承条件如何，实际 上就相当于两端固定杆。若将全部杆端位移作为未知量，则所有杆件 （包括静定杆）都可以归入两端固定杆这一种基本杆件。
图7-10
7-3-2 一端固定另一端铰支的等截面直杆 设该杆A端发生顺时针转角θA , 并且AB两端发生横向相对线 位移Δ。 ⒈ 用力法导出杆端位移引起的杆端弯矩：
⑴ 选取基本结构。 ⑵ 力法方程。 11 l3 11 ll l 2 EI 3 3 EI
B 1 ( 1 l M AB ) 1 ( 1 l M BA ) 2 l ( 1 M AB 1 MBA ) EI 2 3 2 3 EI 6 3
A 1 M AB 1 M BA
3i 6i
B 1 M AB 1 M BA
⑴ 杆端转角以顺时针方向转动为正；杆端横向相对线位移 以使杆件顺时针方向转动为正。 ⑵ 杆端弯矩以顺时针方向为正；根据牛顿第三定律，杆端 对结点或支座的弯矩则以逆时针方向为正；杆端剪力的 正向仍以使微段顺时针方向转动为正。
6i 3i
A2
M AB
M BA
A2
A1
M AB
y1
M BA
A1
M图
M图
1
y1
1
y2
1
y2
M图
M图
1
当简支梁两端有相对竖向 位移Δ 时，杆端转角为：
A B l
A 1 M AB 1 M BA
3i 6i
B 1 M AB 1 M BA
A 1 M AB 1 M BA 综合起来：
基本结构
X1 X1 1
1c l A
l
A
M 1图
⑷ 解方程求未知量。 A 3 EI l A X 1 3 l A l 3 EI M AB X 1 l 2 l A 3i A 3i ⑸ 求杆端弯矩。 l l
7-3-2 一端固定另一端铰支的等截面直杆 设该杆A端发生顺时针转角θA , 并且AB两端发生横向相对线 位移Δ。 ⒈ 用力法导出杆端位移引起的杆端弯矩：
一端固定另一端铰支等截面直杆的杆端弯矩：
M AB 3i A 3i
F M AB l
基本概念
杆件的受力状态由其两端的角位移、线位移以及作用于杆 件上的荷载唯一确定。
图7-10
若迫使其A、B两端的角位移以及相对 线位移与图7-9所示的两端固定杆相同， 则荷载相同时该简支杆的杆端弯矩和 剪力以及变形状态将与上述两端固定 杆完全相同。
7-3-1 两端固定的等截面直杆
设该杆A、B两端分别发生顺时针转角 θA和θB, 并且AB两端发生横向相对
EI
线位移Δ。
可以用力法导出杆端弯矩的一般公式 为：
M AB M BA
F 4i A 2i B 6i M AB l F 2i A 4i B 6i M BA l
⒉ 求杆端剪力（两种思路）： ⑴ 以简支梁为出发点。
当仅作用有杆端力矩时：
FQAB
⑵ 以原固端梁为出发点。
先求仅由杆端位移引起的剪力：
同时有荷载时, 再叠加简支梁剪力。
1 FQBA ( M AB MBA ) l
FQAB
A
1 6i 6i 12i A B 2 FQBA ( M AB MBA ) l l l l
式中：i EI 称为杆件的弯曲线
l 称为杆件的弦转角； 刚度； AB l F F M AB和MBA为固端弯矩。
⒈ 由杆端位移求杆端弯矩： 下面用求静定结构位移的方法
将杆端弯矩视为已知荷载，求 在此杆端弯矩作用下的位移：
EI
M AB
M BA
基本结构
M BA
M AB
M图
1 1
M图
A 1 ( 1 l M AB ) 2 ( 1 l M BA ) 1 l ( 1 M AB 1 MBA ) EI 2 3 2 3 EI 3 6
l
7-3-3 一端固定另一端滑动支座的等截面直杆
设该杆A端发生顺时针转角θA 。
同样用力法可导出杆端弯矩的 一般公式为：
F M AB iA MAB F M BA iA MBA
两端固定等截面直杆的杆端弯矩：
M AB 4iA 2i B 6i M BA F M AB l F 2iA 4i B 6i M BA l
B
同时有荷载时, 再叠加固端剪力。
FQAB FQBA
F 6i 6i 12i 2 FQAB M AB 4i A 2i B 6i l l l l A B F 6 i 6i 12i 2 FQBA M BA 2i A 4i B 6i l l l l
1 1 B M AB M BA 6i 3i l
解联立方程求解，得：
6i
3i
3i
6i
l
再叠加由荷载作用引起的固端弯矩，即 得两端固定等截面直杆的转角位移方程 M BA
M AB
4i A 2i 6i B l 2i A 4i 6i B l
⒉ 用力法求出由荷载引起的固端弯矩： M AB
F
根据叠加原理可得杆端弯矩的一般公式为：
M AB 3i A 3i
相应的杆端剪力为：
F M AB l
FQAB 3i FQBA
F FQAB l l2 A F 3i 3i 2 FQBA l l 3i
A
M AB 3i A 3i
基本概念
杆件的受力状态由其两端的角位移、线位移以及作用于杆 件上的荷载唯一确定。
图7-10
即：只要杆端位移均为指定值，则不管它原先的支承条件如何，实际 上就相当于两端固定杆。若将全部杆端位移作为未知量，则所有杆件 （包括静定杆）都可以归入两端固定杆这一种基本杆件。
图7-10
7-3-2 一端固定另一端铰支的等截面直杆 设该杆A端发生顺时针转角θA , 并且AB两端发生横向相对线 位移Δ。 ⒈ 用力法导出杆端位移引起的杆端弯矩：
⑴ 选取基本结构。 ⑵ 力法方程。 11 l3 11 ll l 2 EI 3 3 EI
B 1 ( 1 l M AB ) 1 ( 1 l M BA ) 2 l ( 1 M AB 1 MBA ) EI 2 3 2 3 EI 6 3
A 1 M AB 1 M BA
3i 6i
B 1 M AB 1 M BA