第八章_离散模型
第八章 离散因变量模型
第八章离散因变量模型离散（分类）因变量模型（Models with Discrete /Categorical Dependent Variables）分为二元选择模型（Binary Choice Models）和多类别选择（反应）模型（Multicategory Choice /Polytomous Response Models）。
在多类别选择模型中，根据因变量的反应类别（response category）是否排序，又分为无序选择模型（Multinominal Choice Models）和有序选择模型（Ordered Choice Models）（也称有序因变量模型Ordered Dependent Variable Models、有序类别模型Ordered Category Models等）一、二元选择模型设因变量1、线性概率模型（LPM模型）如果采用线性模型，给定，设某事件发生的概率为P i，则有所以称之为线性概率模型。
不足之处：1、不能满足对自变量的任意取值都有。
2、3、所以线性概率模型不是标准线性模型。
给定，为使，可对建立某个分布函数，使的取值在（0，1）。
2、Logit模型（Dichotomous/ Binary Logit Model）Logit模型是离散（分类）因变量模型的常用形式，它采用的是逻辑概率分布函数（Cumulative Logistic Probability Function）（e为自然对数的底），逻辑曲线如图4-1所示。
其中，二元Logit模型是掌握多类别Logit模型的基础。
图4-1 逻辑曲线（Logit Curve）以二元选择问题为例，设因变量有0和1两个选择，由自变量来决定选择的结果。
为了使二元选择问题的研究成为可能，首先建立随机效用模型：令表示个体i选择=1的效用，表示个体i选择=0的效用，显然当时，选择结果为1，反之为0。
将两个效用相减，即得随机效用模型：，记为（4-1）当时，，则个体i选择=1的概率为：若的概率分布为Logistic分布，则有即（4-2）式（4-2）即为最常用的二元选择模型——Logit模型。
离散模型的原理和应用
离散模型的原理和应用原理离散模型是指在数学和计算机科学中，将连续对象或现象进行离散化处理的模型和方法。
它涉及到对连续数据进行离散化表示和处理的技术，广泛应用于各个领域。
离散模型的原理主要涉及以下几个方面：离散化表示离散化表示是将连续数据转化为离散数据的过程。
在离散化表示中，连续数据被划分为若干个不相交的区间，每个区间用一个离散值来表示。
离散化表示可以通过等宽法、等频法、聚类法等多种方法来完成。
状态空间离散模型中的状态空间是指系统在不同时刻可能处于的不同状态的集合。
状态空间可以用有限状态机、马尔科夫链等形式来表示。
状态空间的大小和粒度直接影响了离散模型的复杂度和效果。
离散模型的转移规则离散模型中的转移规则描述了系统在不同状态之间的转移概率或条件。
转移规则可以通过概率矩阵、转移图等方式来表示。
转移规则的设计和优化对于离散模型的准确性和效率都有很大影响。
离散模型的推理和学习算法离散模型的推理和学习算法用于对离散模型进行推理和学习。
推理算法可以用于根据给定的观测数据来推断系统的状态，学习算法则可以用于从数据中学习转移规则和状态空间。
常用的离散模型推理和学习算法包括贝叶斯网络、隐马尔可夫模型等。
应用离散模型在各个领域中都有广泛应用。
以下是几个典型的应用领域：自然语言处理在自然语言处理领域，离散模型被用于词义消歧、句法分析、机器翻译等任务。
通过将单词或句子的表示离散化，可以方便地进行语义匹配和推理。
图像处理在图像处理领域，离散模型被用于图像分割、目标检测、图像生成等任务。
通过将像素或图像的表示离散化，可以方便地进行图像的分析和处理。
机器学习在机器学习领域，离散模型被用于分类、聚类、回归等任务。
通过将输入特征和输出标签的表示离散化，可以方便地进行模型的训练和预测。
强化学习在强化学习领域，离散模型被用于描述智能体和环境之间的交互。
通过将状态、动作和奖励的表示离散化，可以方便地进行智能体的决策和优化。
社交网络分析在社交网络分析领域，离散模型被用于描述人与人之间的联系和行为。
第八章离散因变量模型
第⼋章离散因变量模型第⼋章离散因变量模型离散（分类）因变量模型（Models with Discrete /Categorical Dependent Variables）分为⼆元选择模型（Binary Choice Models）和多类别选择（反应）模型（Multicategory Choice /Polytomous Response Models）。
在多类别选择模型中，根据因变量的反应类别（response category）是否排序，⼜分为⽆序选择模型（Multinominal Choice Models）和有序选择模型（Ordered Choice Models）（也称有序因变量模型Ordered Dependent Variable Models、有序类别模型Ordered Category Models等）⼀、⼆元选择模型设因变量1、线性概率模型（LPM模型）如果采⽤线性模型，给定，设某事件发⽣的概率为P i，则有所以称之为线性概率模型。
不⾜之处：1、不能满⾜对⾃变量的任意取值都有。
2、3、所以线性概率模型不是标准线性模型。
给定，为使，可对建⽴某个分布函数，使的取值在（0，1）。
2、Logit模型（Dichotomous/ Binary Logit Model）Logit模型是离散（分类）因变量模型的常⽤形式，它采⽤的是逻辑概率分布函数（Cumulative Logistic Probability Function）（e为⾃然对数的底），逻辑曲线如图4-1所⽰。
其中，⼆元Logit模型是掌握多类别Logit模型的基础。
图4-1 逻辑曲线（Logit Curve）以⼆元选择问题为例，设因变量有0和1两个选择，由⾃变量来决定选择的结果。
为了使⼆元选择问题的研究成为可能，⾸先建⽴随机效⽤模型：令表⽰个体i选择=1的效⽤，表⽰个体i选择=0的效⽤，显然当时，选择结果为1，反之为0。
将两个效⽤相减，即得随机效⽤模型：，记为（4-1）当时，，则个体i选择=1的概率为：若的概率分布为Logistic分布，则有即（4-2）式（4-2）即为最常⽤的⼆元选择模型——Logit模型。
第8章_离散模型(投影版)
A的秩为1，A的惟一非零特征根为n
由成对比较阵求 A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量
A的归一化特征向量可作为权向量
权向量的特征根 法
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征 根λ的特征向量作为权向量w ，即A w = A λ 层次分析模型
数学建模
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 n阶一致阵A的惟一非零特征根为n
aij · ajk=(wi / wj) · (wj / wk)= wi / wk= aik
所以当aij离一致性的要求不远时， 表示诸因素 n阶一致阵A有下列性质 C1 ，…，Cn对上 A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。
如果一个正互反阵A满足aij · ajk = aik , i，j，k = 1，2，…，n 因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素aij， 则A称为一致性矩阵，简称一致阵。
随机一致性指标RI的数值 4 0.90 5 6 7 n RI 1 0 2 0 3 0.58 8 9 10 11
计算A'的一致性指标 CI 1，2阶的正互反 是因为
表中n = 1，2时RI = 0，
随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。 CI A的不一致程度在容许范围之内，可用其 CR 0.1 RI 特征向量作为权向量：通过一致性检验 层次分析模型
1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 0.1的选取是带有 一定主观信度的 对于n≥3的成对比较阵A，将它的一致性指标 CI与同阶(指n相同)的
数学建模
第八章 离散模型
―选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验
3 1 1/ 2 4 3 2 1 7 5 5 A 1 / 4 1 / 7 1 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 5 2 1 1 当检验不通过时， 1 1 / 3 1 / 5 3 1 要重新进行成对比较， 或对已有的A进行修正。
数学建模简明教程课件：离散模型
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②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
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⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
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定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
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6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
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6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
第八章：离散模型解答
萧澜 1 . 循环赛模型一、 问题：下图是5位网球选手循环赛的结果。
作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当的方法排出5位选手的名次。
二、模型分析与建立：这是一个关于竞赛图排列名次的问题，我们可以利用双向连通竞赛的名次排序方法来处理这一问题。
根据图形建立竞赛图的邻接矩阵A=（ij a ）n n ⨯如下：⎩⎨⎧=，否则的有向边到存在从顶点0,1j i a ij由此得到邻接矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111100100000010110001010三、模型求解： 各级分量为S=S(1)=(2,2,1,2,3),S(2)=(4,3,2,4,5),S(3)=(7,6,4,7,9),S(4)=(13,11,7,13,17).由此可以知道名次为：5，1（4），2，3（选手1和4名次相同）。
另外此结果也可以根据Perron-Frobenius 定理，由s A kk k =→λ1lim我们只需算出矩阵A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到大小排处名次。
我们可以用Matlab 求解，程序如下： A=[0,1,0,1,0 0,0,1,1,0 1,0,0,0,0 1,1,1,0,0]; eig(A)[X,D]=eig(A)从结果中可以看到A 的最大特征根8393.1=λ，所对应的特征向量为：)2769.0,2137.0,1162.0,11793.0,2137.0(=s由此得到排名顺序也是：5，1（4），2，3（选手1和4名次相同）。
2．投票权重 理事会有五个常任理事和十个非常任的理事，提案仅当全部的常任理事和至少非四个常任理事赞成时方可通过，求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重？ 模型分析：由题意可知题中涉及到了利益的分配问题，那么此题可以应用Shapley 值法进行求解Shapley 值法所需要的知识：设集合I={1,2,…,n},如果对于I 的任意一个子集s 都对应着一个实值函数v(s),满足v()=0;v( s s 21)≥v(s 1)+v(s 2), s 1 s 2= 称[I,v]为n 人合作对策，v 为对策的特征函数 Shapley 值由特征函数v 来确定记为)).()...,(),(()(21v v v v nϕϕϕ=Φ对于任意的子集s,记x(s)=∑∈si ix,即s 中成员的权重,对于一切s I ⊂满足x(s)≥v(s)的x 组成的集合称[I,v]的核心,当核心存在时,即所有s 的分配都不小于s 的效益,可以将Shapley 值作为一种特定的分配,即x iiv =)(ϕ;Shapley 值)).()...,(),(()(21v v v v nϕϕϕ=Φ为∑∈-=s i s v s v s v is i)]\()(|)[(|)(ωϕ,i=1,2,…,n!)!1|(||)!|(|)(|n s s n s --=ω其中s i 是中包含的所有子集,{s}是子集s 中的元素的数目(人数),）（||s ω是加权因子, s \ i 表示s 去掉i 后的集合.模型建立:集合I={1,2,…,5,6,…,15},其中i=1,2,…,5表示常人理事会员,i=6,…,15为非常任理事会员,将集合s=(），，（）（}15...{}7{}6{}{51=i i )中任意的k 个元素的集合,k=4,5,…,10的特征函数定义为1,I 中的其他集合的特征函数的定义为0,因为这样的集合有Ck 10个,且!15)]!5(15[)!15()(+--+=k k s ω(k=4,5,…,10),所以任意一个常任理事的Shapley 值为(即投票时占的比重)为∑==10410*|)(|k kiCs ωϕ代入数据可的ϕi=0.916,(i=1,2,…,5)而任意的非常任理事的权重为ϕi =101(1-5*0.196)=0.002(i=6,…,15).Matlab 语言程序:循环赛模型另解下图是5位网球选手循环赛的结果。
数学模型之离散模型
离散模型的应用领域
计算机科学
离散模型在计算机科学中广泛 应用于算法设计、数据结构、
网络流量分析等领域。
统计学
离散模型在统计学中用于描述 和分析离散数据，如人口普查 、市场调查等。
经济学
离散模型在经济学中用于描述 和分析离散的经济现象，如市 场交易、人口流动等。
生物学
离散模型在生物学中用于描述 和分析生物种群的增长、疾病
强化学习与离散模型
强化学习通过与环境的交互来学习最优策略。离散模型可以用于描述环境状态和行为，为 强化学习提供有效的建模工具。
离散模型在人工智能中的应用
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决策支持系统
离散模型在决策支持系统中发挥着重要作用，通 过建立预测和优化模型，为决策者提供科学依据 和解决方案。
推荐系统
离散模型常用于构建推荐系统，通过分析用户行 为和偏好，为用户提供个性化的推荐服务。
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分布式计算与并行化
为了处理大规模数据集，离散模型需要结合分布式计算和并行化技术，
以提高计算效率和可扩展性。
机器学习与离散模型的结合
集成学习与离散模型
集成学习通过结合多个基础模型来提高预测精度。离散模型可以作为集成学习的一部分， 与其他模型进行组合，以实现更准确的预测。
深度学习与离散模型
深度学习具有强大的特征学习和抽象能力。将深度学习技术与离散模型相结合，可以进一 步优化模型的性能，并提高对复杂数据的处且依赖于过去误差项的平方。
GARCH模型
定义
广义自回归条件异方差模型（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Model）的简称，是ARCH模型的扩展。
特点
离散模型的原理与应用
离散模型的原理与应用离散模型，顾名思义，是指将连续变量转化为有限或可数的取值集合，并对这些离散取值进行建模和分析的一种数学方法。
离散模型广泛应用于各个领域，包括计算机科学、统计学、经济学、市场营销以及生物学等，并在这些领域中起到了重要的作用。
离散化是指通过将连续变量转化为离散变量来简化问题。
在实际应用中，很多变量是连续的，如时间、空间、数量等，但是连续变量的取值范围往往非常大，导致计算和分析变得困难。
因此，将连续变量离散化可以将问题空间缩小为有限的可数集合，便于分析和建模。
离散化的方法包括等宽分箱、等频分箱、基于聚类的分箱等。
等宽分箱是将连续变量的取值范围等分为若干区间，每个区间对应一个离散值；等频分箱是将连续变量的取值按照频率分布等分为若干区间，每个区间对应一个离散值；基于聚类的分箱是根据样本数据的分布特点，采用聚类方法将连续变量的取值划分为若干离散值。
离散化的好处是可以降低分析复杂度，使数据更易理解和解释，并且可以保护数据的隐私性。
离散模型在实际应用中有很多优点。
首先，离散模型可以将问题简化为有限的离散集合，使问题更易于理解和分析。
其次，离散模型可以运用多种统计学和机器学习方法进行建模，因此具有很高的灵活性和适应性。
此外，离散模型还可以提供精确度、可解释性和可预测性，对于决策支持和优化问题具有较高的实用性。
离散模型的应用非常广泛。
在计算机科学领域，离散模型被广泛应用于图论、组合优化、自动控制等领域。
例如，网络路由算法可以采用离散模型来建立网络路由表，优化网络传输效率。
在统计学领域，离散模型可以用于建立概率图模型，分析变量之间的依赖关系和随机过程。
在经济学和市场营销领域，离散模型可以用于预测市场需求、优化定价策略和建立市场竞争模型。
在生物学和医学领域，离散模型可以用于研究生物分子的结构、功能和相互作用，以及预测药物分子的活性和毒性。
总之，离散模型是一种将连续变量离散化，并利用统计学和机器学习方法进行建模的数学方法。
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第八章离散模型8.1 层次分析模型8.2 循环比赛的名次8.3 社会经济系统的冲量过程y离散模型•离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、……•分析社会经济系统的有力工具•只用到代数、集合及图论（少许）的知识8.1 层次分析模型背景•日常工作、生活中的决策问题•涉及经济、社会等方面的因素•作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化•Saaty于1970年代提出层次分析法AHP (Analytic Hierarchy Process)•AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法目标层准则层方案层一. 层次分析法的基本步骤例. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳•将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
•通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。
•将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A ijji ij n n ij a a a a A 1,0,)(=>=⨯层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C 1,C 2,…, C n 对目标O 的重要性ijj i a C C ⇒:A ~成对比较阵A 是正互反阵要由A 确定C 1,…, C n 对O 的权向量选择旅游地景色费用居住饮食旅途景色费用居住饮食旅途⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A212221212111允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况nw w w W ,,)1(21⇒=ji ij w w a /=令权向量~),,(21Tn w w w w =注意i 、j 的含义第1行形成w1见P226石头的解释数学模型wAw =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n w w ww w w w w w w w w w w w w w w A212221212111成对比较完全一致的情况n k j i a a a ik jk ij ,,2,1,,, ==⋅满足的正互反阵A 称一致阵，如•A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n•A 的任一列向量是对应于n 的特征向量•A 的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A ，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即一致阵性质成对比较阵和权向量矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，所有含有D 的r+1阶子式都等于0，则A 的秩为r 。
A x =λx方阵特征值特征向量如何求？见P238-239数学模型2 4 6 8比较尺度a ijSaaty 等人提出1~9尺度——a ij 取值1,3,…, 9及其互反数1,1/3, …, 1/9尺度1 3 5 7 9 ija 相同稍强强明显强绝对强的重要性j i C C :j i C C :~a ij = 1,1/3, ,…1/9的重要性与上面相反•心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个•用1~3,1~5,…1~17,…,1p ~9p (p =2,3,4,5), d +0.1~d +0.9(d =1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。
•便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标RI ——随机模拟得到a ij , 值“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A 准则层对目标的成对比较阵最大特征根 权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5=--=CI 一致性指标随机一致性指标RI=1.12 (查表)一致性比率CR =0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验是≥n 的组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为Tn w w w),,()2()2(1)2( =同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1212/15211B 方案层对C 1(景色)的成对比较阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1383/1138/13/112B 方案层对C 2(费用)的成对比较阵…C n…B n最大特征根λ1λ2 …λn权向量w 1(3) w 2(3) …w n (3)数学模型组合权向量RI =0.58 (n =3),CI k 均可通过一致性检验w (2)0.2630.4750.0550.0900.110方案P 1对目标的组合权重为0.595 0.263+ …=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300, 0.246, 0.456)T数学模型T nw w w ),,()2()2(1)2( =)2()3()3(wW w=组合权向量k w w w Tkmk k,2,1,),,()3()3(1)3( ==第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量],,[)3()3(1)3(n w w W=构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量)2()3()1()()(wW WW w s s s -=第s 层对第1层的组合权向量其中W (p )是由第p 层对第p -1层权向量组成的矩阵K=1，意为第3层的m 个要素对第2层的C1的权重数学模型组合一致性检验w (2)0.2630.4750.0550.0900.110如0.0030.001见前2页：仍然是0.1第3层对第2层的第2层对第1层的*层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。
二. 层次分析法的广泛应用•应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
•处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
•建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
•构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。
数学模型例1MIS综合评价n = 3, 即有3个方案。
数学模型第2层B对第1层A的权向量w(2):w(2)0.1620.3090.529一致性指标CI(2)=0.0056第3层C对第2层B的权向量分别为：w(31)=(0.101,0.177,0.177,0.312,0.056,0.177) w(32)=(0.350,0.126,0.230,0.126,0.043,0.126) w(33)=(0.336,0.161,0.420,0.082)CI(31)=0.0043 CI(32)=0.0048 CI(33)=0.0061那么，w(3)为：w(3)= W(3) * w(2)第3层C对第1层A w(3)为：数学模型0.101,0.177,0.177,0.312,0.056,0.17700000000000000000.350,0.126,0.230,0.126,0.043,0.12600000000000000000.336,0.161,0.420,0.082w(3)= W (3) * w (2)0.1620.3090.529*w (3)==0.016,0.029,0.029,0.051,0.009,0.0290.1080.0390.0710.0390.0130.0390.1780.0850.2230.043见P234表4，L1这就是第3层C 对第1层A 的权向量*第4层D 对第3层C 的权向量、一致性指标见P234的表4：什么含w (4)(4) * w (3) = (0.315,0,478,0.207)T第4层D 对第1层A 的权向量w (4)为：就是上面的3x16矩阵美、俄、中、日、德等大国例1国家实力分析节省时收入C 2岸间商当地商建筑就安全可交往沟自豪感舒适C 9出方美化C 11（1）过河效益层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择投入资金操作维护冲击渡船冲击生活交通拥挤居民搬迁汽车排放对水的污对生态的9（2）过河代价层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择三. 层次分析法的若干问题•正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？•怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？•为什么用特征向量作为权向量？•当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1正矩阵A 的最大特征根λ是正单根，对应正特征向量w ，且Tk T k k e w eA e e A )1,,1,1(,lim ==∞→定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根λ≥n , λ= n 是A 为一致阵的充要条件。
正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。
2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算•精确计算的复杂和不必要•简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，w=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡089.0324.0587.0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=286.0974.0769.1AwwAwλ=精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010、2根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w (0), k :=0，设置精度)()1(~k k Aww =+2) 计算∑=+++=ni k i k k w w w1)1()1()1(~/~3）归一化∑=+=ni k ik iw w n 1)()1(~1λ5) 计算简化计算4）若，停止；否则，k :=k +1, 转2ε<-+)()1(max k ik i iw w3.特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应问题一致阵A , 权向量w=(w 1,…w n )T , a ij =w i /w j A 不一致, 应选权向量w 使w i /w j 与a ij 相差尽量小（对所有i,j )。