第8章 离散模型

第8章 离散模型
8.1 设n 阶矩阵A 为一致阵，证明A 具有下列性质： （1）A 的秩为1，唯一的非零特征根为n ；
（2）A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量。

解：
（1） 由一致阵的定义，
ik
ij jk
a a a =，1,2,k n =，所以A 的任意两行成比例，对A 进行
初等行变换得B
B=111210000
0n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，所以A 的秩为1。

由初等变换及初等矩阵的关系得，存在可逆阵P ，使得PA=B ，所以
11PAP BP --==1112100
000
0n c c c ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
=C ，则A 与C 相似，便有相同的特征根。

易知C 的特征根为11c （一次根），0；由于对任意矩阵A 有12()n tr A λλλ+++=，
于是11c =n ，
所以A 的唯一非零特征值为n 。

（2） 对于A 的任一列向量[]12,,,T
k k nk a a a ，有：
[]12,,
,T k k nk A a a a =12111,,
,T
n n
n
j jk j jk nj jk j j j a a a a a a ===⎡
⎤⎢⎥⎣⎦∑∑∑=12111,,,T
n
n n
k k nk j j j a a a ===⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∑∑∑ =[]12,,,T
k k nk n a a a
所以，每一列均为对应于n 的特征向量。

8.2 若发现一成对比较矩阵A 的非一致性较为严重，应如何寻找引起非一致性的元素？例如，设已构造了成对比较矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=161316153511A
（1）对A 作一致性检验；
（2）若A 的非一致性较严重，应如何作修正。

解：（1）
对A 作一致性检验，算出A 的最大特征值，
A=[1 1/5 3;5 1 6;1/3 1/6 1]; a=max(eig(A)); CI=(a-3)/(3-1); RI=0.58; CR=CI/IR
解得CR=0.0810<0.1 （2）
根据一致阵的定义，一致阵满足ik kj ij a a a =，所以，应该对不满足这个条件的元素进行修正。

8.3 你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。

你选择的标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况。

经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=1315181315171551318731
A 三种车型（记为a ，b ，c ）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度的
成对比较矩阵为
（价格） （耗油量）
c b a c b
a
c b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡12112121321 c b a ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡17127152111
（舒适程度） （外表）
c b a c b a
c b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141514131531 c b a ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡171317153511
（1）根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的，请按由重到轻的顺
序将它们排出。

（2）哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适，你认为哪辆车最漂亮？ （3）用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）。

解：
(1) 根据矩阵A 的最大特征值对应的特征向量即为四项标准的比重。

Matlab 程序：
A=[1 3 7 8;1/3 1 5 5;1/7 1/5 1 3;1/8 1/5 1/3 1]; a=max(eig(A));
v=null(A-a*eye(size(A))); c=abs(v./norm(v,1))
解得c=[0.5820，0.2786，0.0899，0.0495]
所以，四项标准按由轻到重的顺序为价格、耗油量、舒适程度、外观 （2）根据价格、耗油量、舒适程度、外观的四个矩阵很容易得到结论。

显然,c 车最便宜，a 车最省油，a 车最舒适，b 车最漂亮
（3）先求出a,b,c 三车的各个标准之比，再根据各标准的比重算出三种车的比重，即为对三种车的喜欢程度之比。

Matlab 程序：
A1=[1 2 3;1/2 1 2;1/3 1/2 1]; A2=[1 1/5 1/2;5 1 7;2 1/7 1]; A3=[1 3 5;1/3 1 4;1/5 1/4 1]; A4=[1 1/5 3;5 1 7;1/3 1/7 1]; a1=max(eig(A1));
v1=null(A1-a1*eye(size(A1))); c1=abs(v1./norm(v1,1)); a2=max(eig(A2));
v2=null(A2-a2*eye(size(A2))); c2=abs(v2./norm(v2,1)); a3=max(eig(A3));
v3=null(A3-a3*eye(size(A3))); c3=abs(v3./norm(v3,1)); a4=max(eig(A4));
v4=null(A4-a4*eye(size(A4))); c4=abs(v4./norm(v4,1)); c=[c1 c2 c3 c4];
m=[0.5820,0.2786,0.0899,0.0495]'; t=c*m
解得t=[ 0.4092，0.4415，0.1493]
所以，对三种车的喜欢程度分别为40.92%，44.15%，14.93% 8.4 外出旅游选择交通工具（包括飞机、火车、汽车），由于不同人外出的目的不同，经济条件不同，体制、心理、经历、兴趣都不同，考虑到安全、舒适、快速、经济、游览等因素，问应如何选择交通工具。

解：
建立层次分析模型，用12345c c c c c ，，，，依次表示舒适、快速、安全、经济、游览
5个准则，构造成对比较矩阵
1
1/243
3217551/4
1/711/21/31/31/52111/3
1/5311A ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由给出的成对比较矩阵可以算出，特征值=5.073λ，归一化特征向量
=.2.4T
ω（063,075,0.055,0.099,0.110）。

由 5.07350.018151
n CI n λ--===--，
查表可知 1.12RI =。

0.0180.0160.11.12
CI CR RI =
==<，一致性检验通过，上述ω可作为权向量。

用同样的方法构造第三层（方案层）对第二层的每一个准则的成对比较阵如下：
11251/2121/51/21B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21571/5121/71/21B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 311/51/351231/21B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
41551/5111/511B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
511/21/5211/2521B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由第三层的成对比较矩阵k B 计算出权向量(3)
k ω，最大特征根k λ和一致性指标k CI ，
结果列表如下：
从上表可以看出，上面的k CI 均可通过一致性检验。

故三种方案在目标层中的权重为T
)
2063.0,2604.0,553.50(=ω,由此看出，选择飞机比较理想。

8.6 右图是5位网球 选手循环赛的结果。

作为 竞赛图，它是双向连通的 吗？找出几条完全路径， 用适当方法排出5位选手 的名次。

解：
（1）对图中的任意两点，都存在两条路径，使得这两点可以相互连通，所以此图为双向连通的。

（2）完全路径：53124→→→→，51243→→→→,54312→→→→,52431→→→→等
（3）此竞赛图的邻接矩阵为：A=010********
0000001001
1110⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
令[]1,1,1,1,1T
e =，各级得分向量为：
[]12,2,1,1,4T S Ae ==，[]213,2,2,1,6T S A S =⨯=，[]323,3,3,2,8T
S A S =⨯= []435,5,3,3,11T
S A S =⨯=，[]548,6,5,3,16T
S A S =⨯=
所以五位选手的名次为5，1，2，3，4。