第八章_离散模型
第八章 离散因变量模型
第八章离散因变量模型离散（分类）因变量模型（Models with Discrete /Categorical Dependent Variables）分为二元选择模型（Binary Choice Models）和多类别选择（反应）模型（Multicategory Choice /Polytomous Response Models）。
在多类别选择模型中，根据因变量的反应类别（response category）是否排序，又分为无序选择模型（Multinominal Choice Models）和有序选择模型（Ordered Choice Models）（也称有序因变量模型Ordered Dependent Variable Models、有序类别模型Ordered Category Models等）一、二元选择模型设因变量1、线性概率模型（LPM模型）如果采用线性模型，给定，设某事件发生的概率为P i，则有所以称之为线性概率模型。
不足之处：1、不能满足对自变量的任意取值都有。
2、3、所以线性概率模型不是标准线性模型。
给定，为使，可对建立某个分布函数，使的取值在（0，1）。
2、Logit模型（Dichotomous/ Binary Logit Model）Logit模型是离散（分类）因变量模型的常用形式，它采用的是逻辑概率分布函数（Cumulative Logistic Probability Function）（e为自然对数的底），逻辑曲线如图4-1所示。
其中，二元Logit模型是掌握多类别Logit模型的基础。
图4-1 逻辑曲线（Logit Curve）以二元选择问题为例，设因变量有0和1两个选择，由自变量来决定选择的结果。
为了使二元选择问题的研究成为可能，首先建立随机效用模型：令表示个体i选择=1的效用，表示个体i选择=0的效用，显然当时，选择结果为1，反之为0。
将两个效用相减，即得随机效用模型：，记为（4-1）当时，，则个体i选择=1的概率为：若的概率分布为Logistic分布，则有即（4-2）式（4-2）即为最常用的二元选择模型——Logit模型。
第8章_离散模型(投影版)
A的秩为1，A的惟一非零特征根为n
由成对比较阵求 A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量
A的归一化特征向量可作为权向量
权向量的特征根 法
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征 根λ的特征向量作为权向量w ，即A w = A λ 层次分析模型
数学建模
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 n阶一致阵A的惟一非零特征根为n
aij · ajk=(wi / wj) · (wj / wk)= wi / wk= aik
所以当aij离一致性的要求不远时， 表示诸因素 n阶一致阵A有下列性质 C1 ，…，Cn对上 A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。
如果一个正互反阵A满足aij · ajk = aik , i，j，k = 1，2，…，n 因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素aij， 则A称为一致性矩阵，简称一致阵。
随机一致性指标RI的数值 4 0.90 5 6 7 n RI 1 0 2 0 3 0.58 8 9 10 11
计算A'的一致性指标 CI 1，2阶的正互反 是因为
表中n = 1，2时RI = 0，
随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。 CI A的不一致程度在容许范围之内，可用其 CR 0.1 RI 特征向量作为权向量：通过一致性检验 层次分析模型
1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 0.1的选取是带有 一定主观信度的 对于n≥3的成对比较阵A，将它的一致性指标 CI与同阶(指n相同)的
数学建模
第八章 离散模型
―选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验
3 1 1/ 2 4 3 2 1 7 5 5 A 1 / 4 1 / 7 1 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 5 2 1 1 当检验不通过时， 1 1 / 3 1 / 5 3 1 要重新进行成对比较， 或对已有的A进行修正。
数学建模简明教程课件：离散模型
5
②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
16
⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
17
定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
26
6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
3
6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
离散模型
Aw w
3. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经 归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素 相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓 一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。
第七部分
离散模型
离散模型
一、层次分析模型 二、循环比赛的名次
三、社会经济系统的冲量过程
四、效益的合理分配
y
离散模型
• 离散模型：差分方程、整数规划、
图论、对策论、网络流、… …
• 分析社会经济系统的有力工具
• 只用到代数、集合及图论（少许）
的知识
一、层次分析模型
层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教 授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防 部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而 进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标 综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。 这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影 响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用 较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多 目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便 的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策 的模型和方法。
目标层
工作选择
贡 准则层 献
收
发
声
入
展
誉
工 作 环 境
生 活 环 境
方案层
可供选择的单位P1’ P2
，
Pn
例2. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
目标层 O(选择旅游地)
离散模型的原理与应用
离散模型的原理与应用1. 什么是离散模型离散模型是一种数学模型，它描述了具有离散性质的系统或过程。
在离散模型中，系统或过程的状态、变量和行为都是离散的，而不是连续的。
离散模型广泛应用于计算机科学、数学、物理学等领域，它可以对系统或过程进行建模、分析和优化。
离散模型具有以下特点： - 离散变量：离散模型中的变量是离散的，可以取有限个或可数个值。
- 离散时间：离散模型中的时间是离散的，系统状态在不同的时间点发生变化。
- 离散行为：离散模型中的行为是离散的，系统在不同的状态下做出离散的决策。
离散模型可以描述许多实际问题，例如： - 离散事件系统：离散模型可以描述离散事件系统，如排队系统、生产线等。
- 离散优化问题：离散模型可以应用于离散优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
- 离散概率模型：离散模型可以用于描述离散概率模型，如马尔科夫链、朴素贝叶斯等。
2. 离散模型的基本原理离散模型的基本原理是通过建立数学模型来描述系统或过程的离散特性，并通过分析模型来确定系统的行为和性能。
离散模型的建立包括以下几个步骤： 1. 确定系统的离散变量：根据实际问题确定系统的离散变量，例如系统的状态、决策等。
2. 建立状态转移模型：根据系统的离散变量建立状态转移模型，描述系统在不同状态下的转移规则。
3. 确定系统的决策规则：根据系统的目标确定系统的决策规则，通过分析模型确定最优的决策策略。
4. 评估系统的性能指标：通过分析模型来评估系统的性能指标，例如系统的平均响应时间、吞吐量等。
离散模型的分析可以采用数学方法，例如概率论、图论等。
通过对模型进行精确的分析，可以得到系统的性能指标和最优决策策略。
3. 离散模型的应用案例3.1 排队论模型排队论是离散模型的一个重要应用领域，它研究系统中的排队现象，并通过建立排队模型来描述系统的性能。
排队论模型包括以下几个要素： - 到达率：描述单位时间内到达系统的请求的平均数量。
数学模型之离散模型
离散模型的应用领域
计算机科学
离散模型在计算机科学中广泛 应用于算法设计、数据结构、
网络流量分析等领域。
统计学
离散模型在统计学中用于描述 和分析离散数据，如人口普查 、市场调查等。
经济学
离散模型在经济学中用于描述 和分析离散的经济现象，如市 场交易、人口流动等。
生物学
离散模型在生物学中用于描述 和分析生物种群的增长、疾病
强化学习与离散模型
强化学习通过与环境的交互来学习最优策略。离散模型可以用于描述环境状态和行为，为 强化学习提供有效的建模工具。
离散模型在人工智能中的应用
1 2
决策支持系统
离散模型在决策支持系统中发挥着重要作用，通 过建立预测和优化模型，为决策者提供科学依据 和解决方案。
推荐系统
离散模型常用于构建推荐系统，通过分析用户行 为和偏好，为用户提供个性化的推荐服务。
03
分布式计算与并行化
为了处理大规模数据集，离散模型需要结合分布式计算和并行化技术，
以提高计算效率和可扩展性。
机器学习与离散模型的结合
集成学习与离散模型
集成学习通过结合多个基础模型来提高预测精度。离散模型可以作为集成学习的一部分， 与其他模型进行组合，以实现更准确的预测。
深度学习与离散模型
深度学习具有强大的特征学习和抽象能力。将深度学习技术与离散模型相结合，可以进一 步优化模型的性能，并提高对复杂数据的处且依赖于过去误差项的平方。
GARCH模型
定义
广义自回归条件异方差模型（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Model）的简称，是ARCH模型的扩展。
特点
离散模型的原理与应用
离散模型的原理与应用离散模型，顾名思义，是指将连续变量转化为有限或可数的取值集合，并对这些离散取值进行建模和分析的一种数学方法。
离散模型广泛应用于各个领域，包括计算机科学、统计学、经济学、市场营销以及生物学等，并在这些领域中起到了重要的作用。
离散化是指通过将连续变量转化为离散变量来简化问题。
在实际应用中，很多变量是连续的，如时间、空间、数量等，但是连续变量的取值范围往往非常大，导致计算和分析变得困难。
因此，将连续变量离散化可以将问题空间缩小为有限的可数集合，便于分析和建模。
离散化的方法包括等宽分箱、等频分箱、基于聚类的分箱等。
等宽分箱是将连续变量的取值范围等分为若干区间，每个区间对应一个离散值；等频分箱是将连续变量的取值按照频率分布等分为若干区间，每个区间对应一个离散值；基于聚类的分箱是根据样本数据的分布特点，采用聚类方法将连续变量的取值划分为若干离散值。
离散化的好处是可以降低分析复杂度，使数据更易理解和解释，并且可以保护数据的隐私性。
离散模型在实际应用中有很多优点。
首先，离散模型可以将问题简化为有限的离散集合，使问题更易于理解和分析。
其次，离散模型可以运用多种统计学和机器学习方法进行建模，因此具有很高的灵活性和适应性。
此外，离散模型还可以提供精确度、可解释性和可预测性，对于决策支持和优化问题具有较高的实用性。
离散模型的应用非常广泛。
在计算机科学领域，离散模型被广泛应用于图论、组合优化、自动控制等领域。
例如，网络路由算法可以采用离散模型来建立网络路由表，优化网络传输效率。
在统计学领域，离散模型可以用于建立概率图模型，分析变量之间的依赖关系和随机过程。
在经济学和市场营销领域，离散模型可以用于预测市场需求、优化定价策略和建立市场竞争模型。
在生物学和医学领域，离散模型可以用于研究生物分子的结构、功能和相互作用，以及预测药物分子的活性和毒性。
总之，离散模型是一种将连续变量离散化，并利用统计学和机器学习方法进行建模的数学方法。
离散模型
主讲人：杨会君
2010-8-18
西北农林科技大学 信息学院
离散模型
现实世界里，有些对象涉及的变量是 现实世界里， 离散的， 离散的，有些需将连续的转换为离散的 才能处理， 才能处理，离散模型是分析社会经济系 统的有力工具 离散模型包括：差分方程、层次分析法、 离散模型包括：差分方程、层次分析法、 离散模型包括 图的方法建模、逻辑方法建模… 图的方法建模、逻辑方法建模 只用到线性代数、集合及图论（少许） 只用到线性代数、集合及图论（少许） 只用到线性代数 的知识
定义一致性比率 CR = CI/RI
西北农林科技大学 信息学院
选择旅游地” “选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根λ=5.073
准则层对目标的成对比较阵 准则层对目标的成对比较阵
1 2 A = 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 5 1 / 3 1 1
西北农林科技大学 信息学院
一. 层次分析法的基本步骤
例. 选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择. 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
w1 w2 w w w w
2 2
n 2
w1 wn w2 wn wn wn
一致阵 的任一列向量是对应于n 的任一列向量是对应于 性质 A的任一列向量是对应于 的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 称为由成对比 的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内) 对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A， 比较阵 ，建议用对应于最大特征根λ 的特征向量(与一致阵相差不大) 的特征向量(与一致阵相差不大)作为 权向量w 权向量 ，即
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定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<0.1时，通过一致性检验
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根=5.073
一. 层次分析法的基本步骤
例. 选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
―选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况
1 A 2
1/ 2 1
4 7
a12 1 / 2 (C1 : C2 )
a13 4 (C1 : C3 )
一致比较
不一致
a23 8 (C2 : C3 )
w1 w 1 w2 A w1 wn w1 w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn wn wn
0
收 岸 入 间 C2 商 业 C3
自 豪 感 C8
美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
投 入 资 金 C1
过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
操 作 维 护 C2
冲 击 渡 船 业 C3
冲 击 生 活 方 式 C4
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
W ( 1) w1 , w2 , wn
令aij wi / w j
w ( w1 , w2 , wn )T ~ 权向量
成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况
满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n 的正互反阵A称一致阵，如 一致阵 性质
第八章
离散模型
8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次
8.3 社会经济系统的冲量过程
8.4 效益的合理分配
y
离散模型
• 离散模型：差分方程（第7章）、
整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、… … • 分析社会经济系统的有力工具
• 只用到代数、集合及图论（少许）
的知识
8.1 层次分析模型
( 构造矩阵 W ( 3 ) [ w1( 3 ) ,, wn3 ) ]
则第3层对第1层的组合权向量 第s层对第1层的组合权向量
w
( 3)
W w
( 3)
( 2)
w W W
(s) (s)
( s 1)
Hale Waihona Puke W w( 3)( 2)
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
1.769 Aw 0.974 0.286
Aw w
精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
简化 计算
根法——取列向量的几何平均
幂法——迭代算法
1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度
~ 2) 计算 w( k 1) Aw( k )
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
第1层O
第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm
w ( w1 ,, wn )
( 2) ( 2) ( 2)
T
第3层对第2层各元素的权向量
( 3) ( 3) ( 3) T
wk ( wk 1 ,, wkm ) , k 1,2,, n
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 通过一致 性检验
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标） ( 2) ( 2) ( 2) T 的权向量为 w ( w1 ,, wn )
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1 / 3 8 3 1
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色) 的成对比较阵
1 B1 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应 Ak e 正特征向量w，且 lim T k w, e (1,1,,1)T k e A e 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n ,
n
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量
元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij
选 择 旅 游 地
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3
3 5 5 A~成对比较阵 1 / 2 1 / 3 A是正互反阵 1 1 1 1
例1 国家 实力分析
国家综合实力
国民 收入
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
对外 贸易
美、俄、中、日、德等大国
例2 工作选择
贡 献 收 入
工作选择
发 展
声 誉
关 系
位 置
供选择的岗位
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
节 省 时 间 C1
过河的效益 A
经济效益 B1 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 社会效益 B2 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 环境效益 B3 舒 适 C9 进 出 方 便 C1
准则层对目标的成对比较阵
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
6 列向量 4 归一化 1
0.6 0.615 0.545 算术 0.587 0.3 0.308 0.364 平均 0.324 w 0.089 0.1 0.077 0.091
1 1.769 0.974 0.268 ( ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
3）归一化 w
( k 1)
~ ( k 1) / w ( k 1) ~ w i
i 1
n
max wi( k 1) wi( k ) ，停止； 4）若 i
一致性检验
对A确定不一致的允许范围
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 定义一致性指标: CI
n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下
3 0
0.633 0.193 0.175
3.009 0.005
0.166 0.166 0.668
3 0
k
CI k
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验
方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300
交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
汽 车 排 放 物 C7
对 水 的 污 染 C8
对 生 态 的 破 坏 C9
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
例4 科技成果 的综合评价
效益C1
科技成果评价
水平C2
规模C3
直接 经济
间接 经济 效益 C12
社会 效益
学识
学术 创新
技术 水平
对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
成对比较阵和权向量 比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
• 便于定性到定量的转化：