2024届北京市密云区数学九年级第一学期期末检测试题含解析

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北京中学国人民大附属中学2024届九年级数学第一学期期末监测试题含解析

北京中学国人民大附属中学2024届九年级数学第一学期期末监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A ．72︒B ．108︒C ．144︒D ．216︒2．已知点C 在线段AB 上（点C 与点A 、B 不重合），过点A 、B 的圆记作为圆1O ，过点B 、C 的圆记作为圆2O ，过点C 、A 的圆记作为圆3O ，则下列说法中正确的是（）A ．圆1O 可以经过点CB ．点C 可以在圆1O 的内部 C ．点A 可以在圆2O 的内部D ．点B 可以在圆3O 的内部3．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（）A 5B ．2C ．52D ．54．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A ．1：16B ．1：6C ．1：4D ．1：25．将y ＝﹣（x +4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（）A ．y ＝﹣2B ．y ＝2C ．y ＝﹣3D ．y ＝36．如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，A ．19.4B ．19.5C ．19.6D ．19.77．对于二次函数y ＝﹣2x 2，下列结论正确的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．图象关于直线x ＝0对称C ．图象开口向上D ．无论x 取何值，y 的值总是负数 8．如图，，如果增加一个条件就能使结论成立，那么这个条件可以是A ．B ．C ．D ．9．下列运算中，正确的是（）A ．x 3+x=x 4B ．（x 2）3=x 6C ．3x ﹣2x=1D ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 210．已知点(1,3)A --关于x 轴的对称点'A 在反比例函数k y x =的图像上，则实数k 的值为（） A ．-3 B ．13- C ．13D ．3 二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，ABC 中，90ABC ∠=︒，8AC =，9ABC S =，=△ABC C __________．12．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为______．13．已知点A （a ，2019）与点A ′（﹣2020，b ）是关于原点O 的对称点，则a +b 的值为_____．()15．已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=1，tanC=23，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧交AC 于D ，分别以B 、D 为圆心，以大于12BD 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线AE 与BC 于F ，过点F 作FG ⊥AC 于G ，则FG 的长为______．17．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是．18．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为4时，则阴影部分的面积为_________.（结果保留π）三、解答题(共66分)19．（10分）已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数．（1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系．20．（6分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A ．器乐，B ．舞蹈，C ．朗诵，D ．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合图中所给信息，解答下列问题（1）本次调查的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）七年级一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．21．（6分）如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,8,0A B -，与y 轴交于点()0,4C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点N ，使90MNB ∠=︒？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l 沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点)，分别与抛物线、直线BC 以及x 轴交于点,,P E F ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，求面积PQE 的最大值．22．（8分）如图，已知在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿着CD 在C 点到D 点间运动（当达D 点后则停止运动），同时点Q 从点D 出发以每秒2个单位长度的速度沿着DA 在D 点到A 点间运动（当达到A 点后则停止运动）．设运动时间为t 秒，则按下列要求解决有关的时间t ．（1）△PQD 的面积为5时，求出相应的时间t ；（2）△PQD 与△ABC 可否相似，如能相似求出相应的时间t ，如不能说明理由；（3）△PQD 的面积可否为10，说明理由．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，己知点()0,4C，点A B 、在x 轴上，并且4OA OC OB ==，动点P 在过、、A B C 三点的拋物线上．（1）求抛物线的解析式．（2）作垂直x 轴的直线，在第一象限交直线AC 于点D ，交抛物线于点P ，求当线段PD 的长有最大值时P 的坐标．并求出PD 最大值是多少．（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得△ACQ 是等腰三角形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（8分）如图，矩形ABCD 中，() 4,0AB BC m m ==>.P 为边BC 上一动点(不与,B C 重合)，过P 点作⊥PE AP 交直线CD 于E .(1)求证：ABP PCE ∆∆；(2)当P 为BC 中点时，E 恰好为CD 的中点，求m 的值.25．（10分）为了配合全市“创建全国文明城市”活动，某校共1200名学生参加了学校组织的创建全国文明城市知识竞赛，拟评出四名一等奖.（1）求每一位同学获得一等奖的概率；（2）学校对本次竞赛获奖情况进行了统计，其中七、八年级分别有一名同学获得一等奖，九年级有2名同学获得一等奖，现从获得一等奖的同学中任选两人参加全市决赛，请通过列表或画树状图的方法，求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.26．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90º，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、B 、D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E ．(1)求证:AE=CE ．(2)若EF 与⊙O 相切于点E ，交AC 的延长线于点F ，且CD=CF=2cm ，求⊙O 的直径．(3)若EF 与⊙O 相切于点E ，点C 在线段FD 上，且CF:CD=2:1，求sin ∠CAB ．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解题分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【题目详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是360725︒=．根据旋转的性质，当该图形围绕点O旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．故选B．【题目点拨】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．2、B【分析】根据已知条件确定各点与各圆的位置关系，对各个选项进行判断即可．【题目详解】∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为1O∴点C可以在圆1O的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆2O∴点A可以在圆2O的外部，故C错误；∴点B可以在圆3O的外部，故D错误．故答案为B．【题目点拨】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意画出各点与各圆的位置关系进行判断即可．3、C【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，【题目详解】过点D作DE⊥BC于点E.由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm1．. ∴AD=a.∴12DE•AD＝a.∴DE=1.当点F从D到B5∴5Rt△DBE中，()2222=521 BD DE--=，∵四边形ABCD是菱形，∴EC=a-1，DC=a，Rt△DEC中，a1=11+（a-1）1.解得a=5 2 .故选C．【题目点拨】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．4、D【解题分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【题目详解】解：两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【题目点拨】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解5、A【分析】根据二次函数图象“左移x加，右移x减，上移c加，下移c减”的规律即可知平移后的解析式，进而可判断最值．【题目详解】将y＝﹣（x+4）1+1的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式是y＝﹣（x+4﹣1）1+1﹣3，即y＝﹣（x+1）1﹣1，所以其顶点坐标是（﹣1，﹣1），由于该函数图象开口方向向下，所以，所得函数的最大值是﹣1．故选：A．【题目点拨】本题主要考查二次函数图象的平移问题和最值问题，熟练掌握平移规律是解题关键．6、C【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．【题目详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的，观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，故答案为C【题目点拨】本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．7、B【分析】根据二次函数的性质可判断A、B、C，代入x=0，可判断D.【题目详解】解：∵a＝﹣2＜0，b=0，∴二次函数图象开口向下；对称轴为x＝0；当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，故A，C错误，B正确，当x=0时，y=0，故D错误，故选：B.本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握基础知识是解题关键.8、D【解题分析】求出∠DAE=∠BAC，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．【题目详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC，A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，故本选项错误；B、∵，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，故本选项错误；C、∵，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，故本选项错误；D、∵∠DAE=∠BAC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，故本选项正确；故选：D．本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了．9、B【解题分析】试题分析：A 、根据合并同类法则，可知x 3+x 无法计算，故此选项错误；B 、根据幂的乘方的性质，可知（x 2）3=x 6，故正确；C 、根据合并同类项法则，可知3x-2x=x ，故此选项错误；D 、根据完全平方公式可知：（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，故此选项错误；故选B ．考点：1、合并同类项，2、幂的乘方运算，3、完全平方公式10、A【分析】先根据关于x 轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为(1,3)-，然后把A′的坐标代入k y x=中即可得到k 的值．【题目详解】解：点(1,3)A --关于x 轴的对称点A'的坐标为(1,3)-，把A′(1,3)-代入k y x=，得k=-1×1=-1．故选：A ．【题目点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x=（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．二、填空题(每小题3分,共24分)11、18 【分析】根据勾股定理和三角形面积公式得2218,64AB BC AB BC •=+=，再通过完全平方公式可得.【题目详解】因为ABC 中，90ABC ∠=︒，8AC =，9ABC S =，所以222219,82AB BC AB BC AC •=+== 所以2218,64AB BC AB BC •=+=所以()2222AB BC AB BC AB BC +=++•=64+36=100所以AB+BC=10所以=△ABC C AC+AB+BC=8+10=18故答案为：18【题目点拨】考核知识点：勾股定理.灵活根据完全平方公式进行变形是关键.12、1【分析】连接BC ，由网格求出AB ，BC ，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求．【题目详解】解：连接BC ，由网格可得2322125AB BC ==+= ，2221310AC =+=，即2225510AB BC AC +=+==，∴ABC 为等腰直角三角形，∴45BAC ∠=︒，则1tan BAC ∠=，故答案为1.【题目点拨】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．13、1．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．【题目详解】解：∵点A （a ，2019）与点A′（﹣2020，b ）是关于原点O 的对称点，∴a ＝2020，b ＝﹣2019，∴a+b ＝1．故答案为：1．【题目点拨】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．14、1a ≥且5a ≠【解题分析】根据根的判别式△≥0且二次项系数50a -≠求解即可.【题目详解】由题意得，16-4()51a （）-⨯-≥0，且50a -≠，解之得1a ≥且5a ≠.故答案为：1a ≥且5a ≠.【题目点拨】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.15、1．【分析】过点D 作DM ⊥OB ，垂足为M ，则DM=DE=2，在Rt △OEF 中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt △DMF 中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【题目详解】过点D 作DM ⊥OB ，垂足为M ，如图所示．∵OC 是∠AOB 的平分线，∴DM ＝DE ＝2．在Rt △OEF 中，∠OEF ＝90°，∠EOF ＝60°，∴∠OFE ＝30°，即∠DFM ＝30°．在Rt △DMF 中，∠DMF ＝90°，∠DFM ＝30°，∴DF ＝2DM ＝1．故答案为1．【题目点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF 的长是解题的关键．16、35．【分析】过点F 作FH ⊥AB 于点H ，证四边形AGFH 是正方形，设AG=x ，表示出CG ，再证△CFG ∽△CBA ，根据相似比求出x 即可.【题目详解】如图过点F 作FH ⊥AB 于点H ，由作图知AD=AB=1，AE平分∠BAC，∴FG=FH，又∵∠BAC=∠AGF=90°，∴四边形AGFH是正方形，设AG=x，则AH=FH=GF=x，∵tan∠C=23，∴AC=ABtan C∠=32，则CG=32-x，∵∠CGF=∠CAB=90°，∴FG∥BA，∴△CFG∽△CBA，∴CG FG=CA AB，即32=312x x，解得x=35，∴FG=35，故答案为：35．【题目点拨】本题是对几何知识的综合考查，熟练掌握三角函数及相似知识是解决本题的关键.17、59．【解题分析】试题分析：∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数，∴任取一个数是奇数的概率是：59．故答案是59．考点：概率公式．18、48π-【分析】连结OC，根据等腰三角形的性质可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【题目详解】解：连接OC，∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，∴∠COD=45°，∴22，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积=2(2)6453π⨯-12×4×4=4π-1，故答案为4π-1．【题目点拨】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）①当n＝－3时，a＝b；②当－3＜n＜－1时，a＞b ；③当n＜－3或n＞－1时，a＜b 【分析】（1）方法一：当y=0时，（x-m）（x-m-1）=0，解得x1=m，x2=-m-1，即可得到结论；方法二：化简得y＝x2＋1x－m2－1m，令y＝0，可得b2－1ac≥0，即可证明；（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a与b 的大小.【题目详解】（1）方法一：令y＝0，(x－m)(x＋m＋1)=0，解得x1＝m；x2＝－m－1．当m＝－m－1，即m＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；当m≠－m－1，即m≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点．综上不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．方法二：化简得y＝x2＋1x－m2－1m．令y＝0，b2－1ac＝1m2＋16m＋16＝1(m＋2)2≥0，方程有两个实数根．∴不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x＝－2①当n＝－3时，a＝b；②当－3＜n＜－1时，a＞b③当n＜－3或n＞－1时，a＜b【题目点拨】本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，并且注意分情况讨论.20、（1）100；（2）见解析；（3）1 6【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；（3）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【题目详解】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；故答案为100；（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补全条形统计图如图1所示：（3）画树状图如图2所示：共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是212＝16．故答案为（1）100；（2）见解析；（3）16．【题目点拨】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．21、（1）213442y x x =-++；（2）不存在，理由见解析；（3）PQE S 最大值为165．【分析】(1)利用待定系数法求出解析式；(2) 设点N 的坐标为(0，m )，过点M 做MH ⊥y 轴于点H ，证得△MHN ∽△NOB ，利用对应边成比例，得到2425960m m -+=，方程无实数解，所以假设错误，不存在；(3) △PQE ∽△BOC ，得22PQE BOC SPE S BC =，得到215PQE S PE =，当PE 最大时，PQE S 最大，求得直线BC 的解析式，设点P 的坐标为 213442n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，，则E 142n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，再求得PE 的最大值，从而求得答案．【题目详解】(1) 把点A （-2，0）、B （8，0）、C （0，4）分别代入2y ax bx c =++，得：42064804a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，则该抛物线的解析式为：213442y x x =-++； (2)不存在∵抛物线经过A （-2，0）、B （8，0），∴抛物线的对称轴为()8232x +-==，将3x =代入213442y x x =-++得：254y =， ∴抛物线的顶点坐标为：2534M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，假设在y 轴上存在点N ，使∠MNB =90︒，设点N 的坐标为(0，m )，过顶点M 做MH ⊥y 轴于点H ，∴∠MNH +∠ONB =90︒，∠MNH +∠HMN =90︒，∴∠HMN=∠ONB ，∴△MHN ∽△NOB ， ∴MH HN NO OB=， ∵B （8，0），N (0，m )，2534M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴25834OB NO m HM HN m ====-，，，， ∴25348m m -=，整理得：2425960m m -+=，∵()2242544969110b ac =-=--⨯⨯=-<⊿，∴方程无实数解，所以假设错误，在y 轴上不存在点N ，使∠MNB =90︒；(3) ∵PQ ⊥BC ，PF ⊥OB ，∴90PQE BFE BOC ∠=∠=∠=︒，∴EF ∥OC ，∴PEQ BEF BCO ∠=∠=∠，∴△PQE ∽△BOC ，得22PQE BOC SPE S BC =， ∵B （8，0）、C （0，4），∴8OB =，4OC =，222228480BC OB OC =+=+=，∴BOC 11841622S OB OC ==⨯⨯=， ∴2222116805PQE BOC PE PE S S PE BC ==⨯=， ∴当PE 最大时，PQE S 最大，设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B （8，0）、C （0，4）代入得804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为142y x =-+，设点P 的坐标为 213442n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，，则点E 的坐标为142n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，∴()222131114424442244PE n n n n n n ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵104-<， ∴当4n =时，PE 有最大值为4， ∴PQE S 最大值为2211164555PE =⨯=．【题目点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数、一次函数解析式，点坐标，相似三角形的判定与性质和三角形的面积求法，特别注意利用数形结合思想的应用．22、（1）t=1; （2）t=2.4或1811t =; （3）△PQD 的面积不能为1，理由见解析．【分析】（1）△PQD 的两直角边分别用含t 的代数式表示，由△PQD 的面积为5得到关于t 的方程，由此可解得t 的值；（2）设△PQD 与相似△ABC ，由图形形状考虑可知有两种可能性，对两种可能性分别给予讨论可以求得答案；（3）与（1）类似，可以用含t 的表达式表示△PQD 的面积，令其等于1，由所得方程解的情况可以作出判断．【题目详解】因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD=6，BC=AD=8，4t ≤（1）S △PQD = 16)252t t -=（解得：t 1=1 t 2=5(舍去）（2）①当DQ DP BC AB=时△PDQ~△ABC 即2686t t -=得t=2.4 ②当DQ DP AB BC=时△PQ D ~△CBA 即2668t t -=得1811t =; （3）△PQD 的面积为1时，1(6)2102t t -⋅=, 此方程无实数根，即△PQD 的面积不能为1．【题目点拨】本题综合考查三角形相似、面积计算与动点几何问题，利用方程的思想方法解题是关键所在．23、（1）234y x x =-++；（2）存在，PD 最大值为4，此时P 的坐标为()2,6；（3）存在，()0,0或()4,0-或()4+或()442,0-【分析】（1）先确定A （4，0），B （-1，0），再设交点式y=a （x+1）（x-4），然后把C 点坐标代入求出a 即可；（2）作PE ⊥x 轴，交AC 于D ，垂足为E ，如图，易得直线AC 的解析式为y=-x+4，设P （x ，-x 2+3x+4）（0＜x ＜4），则D （x ，-x+4），再用x 表示出PD ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先计算出AC=42，再分类讨论：当QA=QC 时，易得Q （0，0）；当CQ=CA 时，利用点Q 与点A 关于y 轴对称得到Q 点坐标；当AQ=AC=42时可直接写出Q 点的坐标．【题目详解】（1）∵C （0，4），∴OC=4，∵OA=OC=4OB ，∴OA=4，OB=1，∴A （4，0），B （-1，0），设抛物线解析式为y=a （x+1）（x-4），把C （0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），即y=-x 2+3x+4；（2）作PE⊥x 轴，交AC 于D ，垂足为E ，如图，设直线AC 的解析式为：y=kx+b ，∵A （4，0），C （0，4）∴404k b b +=⎧⎨=⎩解得，14k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y=-x+4，设P （x ，-x 2+3x+4）（0＜x ＜4），则D （x ，-x+4），∴PD=-x 2+3x+4-（-x+4）=-x 2+4x =-（x-2）2+4，当x=2时，PD 有最大值，最大值为4，此时P 点坐标为（2，6）；（3）存在．∵OA=OC=4，∴，∴当QA=QC 时，Q 点在原点，即Q （0，0）；当CQ=CA 时，点Q 与点A 关于y 轴对称，则Q （-4，0）；当时，Q 点的坐标（，0）或（，0），综上所述，Q 点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（，0）或（，0）．【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．24、 (1)见解析；(2) m的值为【分析】（1）根据矩形的性质可得90B C ∠=∠=︒，根据余角的性质可得 APB CEP ∠=∠，进而可得结论；（2）根据题意可得BP 、CP 、CE 的值，然后根据（1）中相似三角形的性质可得关于m 的方程，解方程即得结果.【题目详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是矩形，90B C ∴∠=∠=︒，PE AP ⊥，90APB CPE ∴∠+∠=，90CPE CEP ∠+∠=︒， APB CEP ∴∠=∠，∴ABP △∽PCE ；(2)P 为BC 中点，E 为CD 的中点，且BC m =，4CD =，2m BP CP ∴==， 2CE =， ∵ABP △∽PCE ，AB BP PC CE∴=，即4222mm =，解得：m =m的值为.【题目点拨】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键.25、（1）1300；（2）13. 【分析】（1）让一等奖的学生数除以全班学生数即为所求的概率；（2）画树状图（用A 、B 、C 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．【题目详解】（1）因为一共有1200名学生，每人被抽到的机会是均等的，四名一等奖，所以P （每一位同学获得一等奖）411200300==；（2）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A 、B 、C 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率412=13. 【题目点拨】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 26、（1）见解析；（2）23cm ；（3）12 【分析】（1）连接DE ，根据90ABC ∠=︒可知：AE 是O 直径，可得90ADE ∠=︒，结合点D 是AC 的中点，可得出ED 是AC 的中垂线，从而可证得结论；（2）根据ADE AEF ∽，可将AE 解出，即求出⊙O 的直径；（3）根据等角代换得出CAB DEA ∠=∠，然后根据CF:CD=2:1，可得AC=CF ，继而根据斜边中线等于斜边一半得出2AE CE AC CF CD ====，在RT ADE 中，求出sin ∠CAB 即可．【题目详解】证明：（1）连接DE ，90ABC ∠=︒ ，90ABE ∴∠=︒ ，∴AE 是O 直径∴90ADE ∠=︒，即DE AC ⊥，又∵D 是AC 的中点，∴DE 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =；（2）在ADE 和EFA △中，90ADE AEF DAE EAF∠∠︒⎧⎨∠∠⎩＝＝＝，故可得ADE AEF ∽，从而AE AD AF AE = ，即26AE AE=，解得：cm ；即⊙O 的直径为cm ．（3）9090CAB ACB DEA DAE DAE ACB ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，CAB DEA ∴∠=∠，21CF CD =：：，D 是AC 的中点， 22CF CD AC CD ∴==，，2AE CE AC CF CD ∴====，在RT ADE 中，122AD CD sin DEA AE CD ∠===．故可得12sin CAB sin DEA ∠=∠=．【题目点拨】本题主要考查圆周角定理、切线的性质及相似三角形的性质和应用，属于圆的综合题目，难度较大，解答本题的关键是熟悉各个基础知识的内容，并能准确应用．。

2024北京东城初三(上)期末数学(含答案)

2024北京东城初三（上）期末数学考生须知：1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（每题2分，共16分）1. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 若3x =是关于x 的方程220x x m −−=的一个根，则m 的值是（）A. 15−B. 3−C. 3D. 153. 关于二次函数22(1)2y x =−+，下列说法正确的是（）A. 当1x =时，有最小值为2B. 当1x =时，有最大值为2C. 当=1x −时，有最小值为2D. 当=1x −时，有最大值为2 4. 在下列事件中，随机事件是（）A. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C. 通常情况下，自来水在10℃结冰D. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为25. 如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点A ，B ，C ，D 都在O 上，则O 的半径为（）A. 3B. 6C.D.6. 北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（）A. 27000(1)8470x +=B. 270008470x =C.7000(12)8470x +=D. 37000(1)8470x +=7. 如图，某汽车车门的底边长为1m ，车门侧开后的最大角度为72︒，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（）A. 2m 10πB. 2m 5πC. 22m 5πD. 24m 5π 8. 如图，O 是ABC 的内切圆，与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ．若O 的半径为2，6AB =，8AC =，12BC =，则ABC 的面积为（）A. B. 24 C. 26 D. 52二、填空题（每题2分，共16分）9. 将抛物线22y x =向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为__________10. 若一元二次方程2610x x +−=经过配方，变形为2(3)x n +=的形式，则n 的值为_______． 11. 为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：（1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为________（结果保留两位小数）；（2）若在相同条件下播种该品种小麦10000个，则约有_______个能发芽．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为()1,2，点B 与点A 关于原点对称，则点B 的坐标为_____．13. 若一次函数()13(y m x m =−+为常数，1)m ≠的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的值可以是_________(写出一个即可)．14. 如阁，A ，B ，C 是O 上的三个点，若40ACB ∠=︒，则OBA ∠的大小是_____︒．15. 如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为5m 3，当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m ．铅球的行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，该二次函数的解析式为2112y x =−．若以过出手点且与地面垂直的直线为y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为________．16. 某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ，工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ，工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：________天完成；（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是______万元．三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，23题5分，24-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17. 解方程：3(1)2(1)x x x +=+．18. 如图，在Rt ACB △中，90C ∠=︒．求作：O ，使得ACB △的三个顶点都在O 上．作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB 于点O ；②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则O 为所求作的圆．（1）利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC ．由作图可知，12OB OA AB ==， ∴点B 在O 上，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，12OC ∴=（）（填推理依据）． OC OA ∴=．∴点C 在O 上．ACB ∴的三个顶点都在O 上．19. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx =+的图象过点(3,3)A ．（1）求该二次函数的解析式；（2）用描点法画出该二次函数的图象；（3）当03x <<时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx >+，直接写出k 的取值范围．20. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A ，B ，C ，D ，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．21. 如图，AB 是O 的弦，半径OD AB ⊥于点C ，若16AB =，2CD =，求O 的半径的长．22. 已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m −++−=．（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围；（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ，B 为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），3OA =，4OB =，且150AOB ∠=︒，线段OA 关于直线OB 对称的线段为OA '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．（1）画出线段OA '、OB '；（2）将线段OB 绕点O 逆时针旋转()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C '．若5A C ''=，求B OC ''∠的度数．24. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，过点D 作DE AB ∥，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 是O 的切线；（2）若30BAC ∠=︒，BC =CD 的长．25. 食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留．某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t 分钟，农药的去除率为1%y ，部分实验数据记录如下：记食用碱溶液的浓度为%x ，农药的去除率为2%y ，部分实验数据记录如下：（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率()1%y 与浸泡时间t （分）之间的关系，方式二中农药的去除率()2%y 与食用碱溶液的浓度()%x 之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；（2）利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为______分钟；（3）利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度%x 中，x 的取值范围可以是_____．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)c 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =．（1）求t 的值；（2）已知()11,M x y ，()22,N x y 是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <，求m 的取值范围．27. 在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE BC ⊥；（2）当BD CD ≠时（图2中BD CD <，图3中BD CD >），F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形．②猜想AFE ∠的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称12d d +为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记为d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，10d =；当点P 在直线2l 上时，20d =．（1）在点1(3,0)P ，2(1,2)P −，3(4,1)P −，中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是_____；（2）若P 是直线3y x =−+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为_____；（3）已知点(0,3)A ，A 的半径为1．若P 是A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线6y =+的“和距离”d 的取值范围．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1. 【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转180︒后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A 不是中心对称图形，故不符合要求；B 是中心对称图形，故符合要求；C 不是中心对称图形，故不符合要求；D 不是中心对称图形，故不符合要求；故选：B ．2. 【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．直接把3x =代入一元二次方程得到关于m 的方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把3x =代入方程220x x m −−=，得960,m −−=解得3m =．故选：C ．3. 【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键．【详解】解：∵22(1)2y x =−+，∴该函数图像开口向上，对称轴为1x =，当1x =时，取得最小值2，故选：A ．4. 【答案】D【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断．【详解】解：A 、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意；B 、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意；C 、通常情况下，自来水在10C ︒结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意；D 、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意，故选：D ．5. 【答案】C【分析】此题考查了正多边形和圆，连接BD ，ABCD 是正方形，则90BAD ∠=︒，AB AD =，利用圆周角定理可得BD 是O 的直径，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的应用．【详解】如图，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ∠=︒，AB AD =，∴BD 是O 的直径，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：BD ===，∴O 的半径为故选：C ．6. 【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用第三周接待游客人数=第一周接待游客人数(1⨯+这两个月的月平均增长率2)，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得27000(1)8470x +=，故选：A ．7. 【答案】B【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可．【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，其中扇形的半径为1m ，圆心角最大角度为72︒， ∴扇形的最大面积为：()2272m 3605r ππ=，故选：B ．8. 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．计算即可．【详解】 O 是ABC 的内切圆且半径为2，6AB =，8AC =，12BC =∴()12ABC S AB AC BC r =++⋅， ()168122262ABC S =⨯++⨯=，则ABC 的面积为26，故选：C二、填空题（每题2分，共16分）9. 【答案】223y x =−【分析】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式.直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，计算即可．【详解】根据题意，得所得抛物线解析式为223y x =−，故答案为：223y x =−．10. 【答案】10【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方．【详解】解：由题意得：2610x x +−=，即：269910x x ++−−=即()2310x +=．故10n =．故答案为：10．11. 【答案】 ①. 0.95 ②. 9500【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量是解题的关键．（1）根据当n 足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于概率，作答即可；（2）根据100000.95⨯，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为0.95，故答案为：0.95；（2）解：由题意知，在相同条件下播种该品种小麦10000个，则约有100000.959500⨯=个能发芽，故答案为：9500．12. 【答案】(1,2)−−【分析】本题考查坐标系上点的坐标的规律，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行求解即可．【详解】解：∵点()1,2A 与点B 关于原点对称，∴点B 的坐标是()1,2−−，故答案为：()1,2−−．13. 【答案】0(答案不唯一)【分析】根据一次函数()13y m x =−+的系数特点，若y 随x 的增大而减小，则10m −<都可满足．【详解】解：根据一次函数一次项系数k 的意义，若y 随x 的增大而减小，则只需10m −<，∴1m <∴取0m =(答案不唯一)．故答案为：0(答案不唯一)．【点睛】本题考查了一次函数的性质：一次函数(0y kx b k =+≠)，当0k >时，y 随x 的增大而增大；0k <时，y 随x 的增大而减小．14. 【答案】50【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得到AOB ∠的角度，然后根据三角形内角和为180︒和等腰三角形的性质可得到结果，熟悉掌握圆周角定理是解题的关键．【详解】解：∵40ACB ∠=︒，∴80AOB ∠=︒，∵OA OB =，∴OBA BAO ∠=∠，在ABO 中，180AOB OBA BAO ∠+∠+∠=︒， ∴18080502OBA ︒−︒∠==︒，故答案为：50．15. 【答案】21251233y x x =−++ 【分析】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是掌握a 的确定方法和抛物线顶点式的求法．【详解】解：图2二次函数的解析式为2112y x =−，铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m ，∴图3二次函数的解析式为()214312y x =−−+，即21251233y x x =−++，故答案为：21251233y x x =−++． 16. 【答案】 ①. 86 ②. 38【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算．（1）在完成C 的同时完成A 、B ，然后完成D ，E 的同时完成F ，最后完成G ，列式计算即可；（2）根据题意可以缩短A 工序2天，缩短C 工序4天，缩短D 工序2天，然后列出算式进行计算即可．【详解】解：（1）在完成C 的同时完成A 、B ，最少需要28天，完成D ，E 的同时完成F 最少需要171633天，完成G 需要25天，∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要：28332586++=（天）；故答案为：86；（2）86806−=（天），∴至少需要将整个任务缩短6天，∵B ，E ，F ，G 不可缩短，∴D 工序最多可以缩短1617312+−=天，∵2811152−−=天，∴只缩短C 工序2天，A 工序可以不缩短，然后A 工序每缩短1天，C 工序就要缩短1天，∴当缩短A 工序2天，缩短C 工序4天，缩短D 工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为：25446238⨯+⨯+⨯=（万元），故答案为：38．三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，23题5分，24-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17. 【答案】方程的两个根分别为11x =−，223x = 【分析】本题考查了解一元二次方程的能力，先移项，然后利用提公因式法将方程的左边因式分解可解得方程，结合方程的特点选择合适、简便的解方程方法是解题的关键．【详解】解：移项，得3(1)2(1)0x x x +−+=，因式分解，得(1)(32)0x x +−=，于是得10x +=，或320x −=，解得：11x =−，223x =，所以方程的两个根分别为11x =−，223x =. 18. 【答案】（1）见详解（2）AB ，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）根据要求作出图形即可．（2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC OA OB ==即可．【小问1详解】补全图形如图所示：【小问2详解】证明：连接OC ．由作图可知，12OB OA AB ==， ∴点B 在O 上，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，12OC AB ∴=（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． OC OA ∴=．∴点C 在O 上．ACB ∴的三个顶点都在O 上．19. 【答案】（1）二次函数的解析式为22y x x =−（2）见解析（3）k 的取值范围1k ≥【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式(组)，数形结合是解题的关键；（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用描点法画出所给函数的图象即可；（3）由于当直线y kx =经过点(33)，时1k =，利用一次函数和二次函数的性质，当0<<3a 时，函数y kx =的值大于二次函数2y x bx =+的值【小问1详解】点(3,3)A 在二次函数2y x bx =+的图象上，2333b ∴=+，解得2b =−．∴二次函数的解析式为22y x x =−．【小问2详解】列表：【小问3详解】当直线经过点(33)，时解得1k =，此时函数y kx =与二次函数2y x bx =+的交点为()0,0和(33)，，观察图象，当03x <<时，函数y kx =的值大于二次函数2y x bx =+的值，所以当03x <<时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx >+，k 的取值范围1k ≥．20. 【答案】（1）所有可能出现的结果共6种：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD（2）小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是12【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果．（1）按照先抽到A 、再抽到其他的，先抽到B 、再抽到C 或D ，然后抽到C ，再抽到D ，写出所有可能的结果即可；（2）根据概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：所有可能出现的结果共6种：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ．【小问2详解】解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M ，M 包含的结果有3种，即AC ，BC ，CD ，且6种可能的结果出现的可能性相等， ∴31()62P M ==． 21. 【答案】O 的半径的长为17．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得182AC AB ==，设OA r =，根据勾股定理得到方程2228(2)r r =+−，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．【详解】解：连接OA ，半径OD AB ⊥于点C ，16AB =，90ACO ∴∠=︒，182AC AB ==，设OA r =，则2OC r =−，在Rt AOC 中，根据勾股定理，得222OA AC OC =+，即2228(2)r r =+−，解得17r =O ∴的半径的长为17．22. 【答案】（1）94m >−；（2）12m =−．【分析】（1）根据根的情况确定参数m 的范围，由0∆>即可求解；（2）利用根与系数的关系得出12210x x m +=+=，解方程即可；此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=−，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根是解题的关键时，Δ0<，熟记：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根为1x ，2x ，则12b x x a+=−，12c x x a =．【小问1详解】 ∵关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m −++−=有两个不相等的实数根，∴()()22Δ21412490m m m ⎡⎤=−+−⨯⨯−=+>⎣⎦，解得：94m >−， ∴m 的取值范围是94m >−；【小问2详解】设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m −++−=的两个实数根，则12210x x m +=+=，解得：12m =−． 23. 【答案】（1）见解析（2）15︒【分析】本题主要考查了利用旋转和对称变换作图，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．（1）根据旋转的性质画图即可；（2）首先证明出A OC ''△是直角三角形，然后根据对称的性质得到150A OB '∠=︒，60α=︒，进而求解即可．【小问1详解】如图所示，线段OA '、OB '即为所求；【小问2详解】如图所示，在A OC ''△中，3OA OA '==，4OC OB '==，5A C ''=∴222A C OA OC ''''=+∴A OC ''△是直角三角形∴90A OC ''∠=︒∵150AOB ∠=︒，线段OA 关于直线OB 对称的线段为OA '，∴60C OB '∠=︒，即60α=︒∴604515B OC C OB B OB ''''∠=∠−∠=︒−︒=︒．24. 【答案】（1）见解析（2）2CD =+【分析】（1）连接OD ．根据直径所对的圆周角是直角得90ACB ∠=︒，再根据角平分线得45ACD BCD ∠=∠=︒，进而得45ABD ACD ∠=∠=︒，又由45ODB OBD ∠=∠=︒，从而根据平行线的性质得45BDE OBD ︒∠=∠=，于是90ODE ODB BDE ∠=∠+∠=︒，得OD DE ⊥，根据切线的判定即可证明结论成立；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，先证明BF CF =．再根据勾股定理得2BF CF ==，根据直角三角形的性质得24BD BF ==，进而利用勾股定理即可求解．【小问1详解】证明，如图1，连接OD ． AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CD 平分ACB ∠，45ACD BCD ∴∠=∠=︒45ABD ACD ∴∠=∠=︒OD OB =，45ODB OBD ∴∠=∠=︒，DE AB ∥，45BDE OBD ︒∴∠=∠=，90ODE ODB BDE ︒∴∠=∠+∠=，OD DE ∴⊥ OD 为O 的半径，∴直线DE 是O 的切线．【小问2详解】解：如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，90BFC BFD ︒∴∠=∠=，45BCD ∠=︒，BF CF ∴=．在Rt BFC △中，BC =根据勾股定理，得2BF CF ==，BC BC =，30CDB BAC ︒∴∠=∠=24BD BF ∴==，在Rt BFD 中，根据勾股定理，得DF =2CD CF DF ∴=+=+【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．25. 【答案】（1）图象见解析（2）10 （3）答案不唯一，如712x ≤≤【分析】本题考查一次函数的应用，用描点法作函数的图象是解题的关键；（1）分别将方式一和方式二表格中的数据在对应平面直角坐标系中描点，并将它们连接起来即可；（2）根据方式一的函数图象，1y 最大时对应的t 的值即为答案；（3）确定1y 的最大值，当2y 不小于这个值时对应的x 的取值范围即为答案；【小问1详解】方式一和方式二函数图象如图所示：【小问2详解】由方式一的函数图象可知，当10t =时，农药的去除率最高，故答案为：10【小问3详解】清水浸泡的最大去除率为57%..由方式二的函数图象可知，当712x ≤≤时食用碱溶液浸泡的去除率不小于57%故答案为: 712x ≤≤26. 【答案】（1）1 （2）12m ≥ 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，（2）根据题意判断出当1x ≥时，y 随x 的增大而增大；当1x <时，y 随x 的增大而减小；从而分为①当m 1≥时，②当112m ≤<时，③当102m ≤<时，④当102m −≤<时，⑤当112m −≤<−时，⑥当1m <时，六种情况解答即可；【小问1详解】解：点(2,)c 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，42,c a b c ∴=++2,b a ∴=− ∴对称轴为2122b a t a a−=−=−=．【小问2详解】∵0,1a t >=， ∴当1x ≥时，y 随x 的增大而增大；当1x <时，y 随x 的增大而减小；①当m 1≥时，∵121,12m x m m x m <<++<<+．∴121x x <<．∴12y y <，符合题意； ②当112m ≤<时，3122m ≤+<．当111x m ≤<+时，∵212m x m +<<+．∴121x x ≤<．∴12y y <．当11m x ≤<时，设()11,M x y 关于抛物线对称轴1x =的对称点为()01,M x y '，则1011x x −=−．∴012x x =−． ∵112m ≤<， ∴0312x <<． ∵2312,122m m x m ≤+<+<<+， 23.2x ∴> 0231.2x x ∴<<< 12.y y ∴<∴当112m ≤<时，符合题意； ③当102m ≤<时，3112m ≤+<，令1213,22x x ==，则12y y =，不符合题意； ④当102m −≤<时，1112m ≤+<，令120,1x x ==，则211x x <=，12y y ∴>，不符合题意； ⑤当112m −≤<−时，1012m ≤+<．令121,12x x =−=，则211x x <=． 12y y ∴>，不符合题意；⑥当1m <时，1221x x m <<+<，∴12y y >，不符合题意；综上所述，m 的取值范围是1.2m ≥ 27. 【答案】（1）见解析（2）选择图2：①补全图形见解析，②猜想90AFE ∠=︒．证明见解析【分析】（1）根据题意得ABC C ∠=∠，由旋转的性质得ADE 是等边三角形，即可证明；（2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想90AFE ∠=︒．过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接AE ，则有CAH ∠、C ∠和12AH AC =，根据题意有AH AF =，由（1）可知ADE 是等边三角形，即可证得ADH AEF ≌，即可证明猜想．【小问1详解】证明，AB AC =，120BAC ∠=︒，30ABC C ∴∠=∠=︒，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ，DE DA ∴=，60ADE ∠=︒，ADE ∴是等边三角形．60BAE ∴∠=︒，90AHB ∴∠=︒，则BC AE ⊥；【小问2详解】选择图2：①补全图形如图所示：②猜想90AFE ∠=︒．如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接AE ，则90AHB AHC ∠=∠=︒，AB AC =，120BAC ∠=︒，1602CAH BAC ∴∠=∠=︒，30C ∠=︒， 12AH AC ∴=， F 为线段AC 中点，12AF AC ∴=， AH AF ∴=．由（1）可知ADE 是等边三角形，60DAE CAH ︒∴∠==∠，AD AE =，DAH EAF ∴∠=∠，在ADH 利AEF △中，AD AE DAH EAF AH AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ()SAS ADH AEF ∴≌，90AFE AHD ︒∴∠=∠=．【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等．28. 【答案】（1）1P ，2P（2）3 （3）点P 关于x轴和直线6y =+的“和距离”d 的取值范围为71122d ≤≤ 【分析】（1）分别求出各点到x 轴和y 轴的距离，得到“和距离”，从而作出判断即可；（2）设点P 的坐标为(),3m m −+，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”为3m m −++，分类讨论根据m 的取值范围，求得3m m −++的值的范围，从而得到其最小值，即可解答；（3）设点()00,P x y ，利用等面积法表示出点P到直线6y =+的距离，从而表示出d ，发现d 的范00y +的范围，令t y =+，则直线:l y t '=−与A 有公共点，即点(0,3)A 到l '的距离1d '≤，利用前面得到的点到直线的距离公式计算t 的范围，从而得到d 的范围．【小问1详解】解：点1(3,0)P 到x 轴的距离为0，到y 轴的距离为3，则“和距离”为033+=；点2(1,2)P −到x 轴的距离为2轴的距离为1，则“和距离”为123+=；点3(4,1)P −到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为4，则“和距离”为145+=；∴点1(3,0)P ，2(1,2)P −，3(4,1)P −，中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是1(3,0)P，2(1,2)P −．故答案为：1P ，2P ．【小问2详解】解：点P 是直线3y x =−+上的动点，∴设点P 的坐标为(),3m m −+，∴点(),3P m m −+到x 轴的距离为3m −+，到y 轴的距离为m ，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3m m −++，当300m m −+≥⎧⎨≥⎩，即03m ≤≤时，333m m m m −++=−++=，当300m m −+≥⎧⎨<⎩，即0m <时，33323m m m m m −++=−+−=−>，当300m m −+<⎧⎨≥⎩，即3m >时，33233m m m m m −++=−+=−>，当300m m −+<⎧⎨<⎩时，该不等式组无解． 33m m ∴−++≥，即点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为3，故答案为：3．【小问3详解】解：如图，设点()00,P x y ，作PN x ⊥轴于点N，交直线6y =+于点R ，PM ⊥直线6y =+于点M ，PN x ∥轴交直线6y =+于点S ，10y d ∴=，2d =PM，点()006R x +，点0S y ⎫⎪⎭， PS PR RS PM ⋅=⋅，00026x kx y d ∴+−=，0022d ∴==，00001206322y y d d d y −++∴=+=+=+，令t y =+，则直线:l y t '=−，依题意，直线l '与A 有公共点，设直线点(0,3)A 到l '的距离为d '，则1d '≤，根据上面点到直线的距离公式得到32td '−=，则312t−≤，15t ∴≤≤，153322d ∴+≤≤+，即71122d ≤≤．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，绝对值不等式的分类讨论等，解题关键是利用点到直线的距离公式数形结合进行分析．。

2024北京西城初三(上)期末数学(含答案)

2024北京西城初三（上）期末数学注意事项1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将考试材料一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 若抛物线23y x x c =++经过点()0,2，则c 的值为（） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2−2. 北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（）A. 3个球都是白球B. 至少有1个黑球C. 3个球都是黑球D. 有1个白球2个黑球4. 下列关于函数21y x =−的结论中，正确的是（）A. y 随x 的增大而减小B. 当0x >时，y 随x 的增大而增大C. 当0x <时，y 随x 的增大而增大D. 当0x >时，y 随x 的增大而减小 5. 小云从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的图中角α的度数为（）A. 60°B. 70°C. 72°D. 75°6. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里下降至2022年的3.6吨/平方公里月，若设降尘量的年平均下降率为x ，则可列出关于x 的方程为（）A. ()3.612 5.2x +=B. ()5.212 3.6x −=C. ()23.61 5.2x +=D. ()25.21 3.6x −= 7. 如图，AB 为O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，BE BC =．若40CAB ∠=︒，则BAD ∠的大小为（）A. 45︒B. 50︒C. 55︒D. 65︒8. 如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠经过点()1,0−．下面有四个结论：①0a >；②20a b +<；③420a b c ++>；④关于x 的不等式()20ax b c x +−>的解集为10x −<<．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点()3−2，关于原点的对称点坐标为 ___________． 10. 一元二次方程2250x −=的解为__________．11. 已知O 的半径为6cm ，点P 在O 外，则OP ___6cm （填“>”、“ <”或“=” )12. 若关于x 的一元二次方程260x x k −+=有两个相等的实数根，则k 的值为______．13. 写出一个开口向上，并且经过原点的抛物线的解析式，y =________．14. 如图，四边形ABCD 内接于O ，110A ∠=︒，则C ∠=________°，依据是________．15. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为l ，“直边长”为d ，“下圆弧”的长为x ，则x =________（用含l ，d 的式子表示）．16. 如图，在三角尺ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =．把CB 边放在直尺l 上，让三角尺在桌面上沿直尺l 按顺时针方向无滑动地滚动，直到CB 边再一次落到直尺l 上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点B 顺时针旋转了150︒ ，记为(),150B ︒．有以下三个结论：①第一次滚动的过程中，点C 运动的路径长为2π；②第二次滚动可记为(),120A ︒；③点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动路径最长的是点B ．上述结论中，所有正确结论的序号是________．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 解方程：2630x x −+=．18. 已知二次函数2245y x x =−+．（1）将2245y x x =−+化成()2y a x h k =−+的形式；（2）抛物线2245y x x =−+可以由抛物线22y x =经过平移得到，请写出一种平移方式．19. 两个质地均匀的正方体M 和N ，正方体M 的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“3”，“4”，“5；正方体N 的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“6”，“7”，“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字．（1）掷一次正方体M 时，出现奇数的概率是多少；（2）如果先掷一次正方体M ，再掷一次正方体N 得到两个数字，如先后掷到“0”和“1”记为01，可表示某月的01日；先后掷到“5”和“8”记为58，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M 和正方体N ，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率．20. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x x c =−+与x 轴的一个交点为()1,0A −．（1）c =________；（2）画出函数22y x x c =−+的图像；（3）当22x −<≤时，结合函数图像直接写出y 的取值范围．21. 已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m −+++=．（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m 的值．22. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ．120ACB ∠=︒，6AB =，求O 的半径．23. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别为()2,5A −，()3,0B −，()1,2C ．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到A B C '''，点A ，B ，C 的对应点分别为A '，B '，C '．（1）画出旋转后的A B C '''；（2）直接写出点C '的坐标；（3）记线段B C ''与线段BC 的交点为G ，直接写出BGC '∠的大小．24. 如图，AB 是O 的直径，AB BC =，AC 交O 于点D ，点F 在OD 的延长线上且12FAD ABC ∠=∠．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若8AF =，4DF =，求AC 的长．25. 如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线M 和下方拱线N 的最高点均为点C ，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线N 的跨径AB 长为14m ，高HC 为6.125m ．HC 右侧的四根立柱在拱线N 上的端点D ，E ，F ，B 的相关数据如下表所示．根据以上信息，解答下列问题：（1）选取拱线M 上的任意三点，通过尺规作图作出拱线M 所在的圆；（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线N 上的点，求出拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线N 上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，()1,A t y ，()21,B t y +，()33,C t y +三点都在抛物线224y ax ax =−+（0a >）上．（1）这个抛物线的对称轴为直线________．（2）若132y y y >≥，求t 的取值范围；（3）若无论t 取任何实数，点A ，B ，C 中都至少有两个点在x 轴的上方，直接写出a 的取值范围． 27. 在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CM AB ⊥于点M ．点P 在射线CM 上，连接AP ，作CD AP ⊥于点D ．连接MD ，作CE MD ⊥于点E ，作DF AB 交直线CE 于点F ，连接MF ．（1）当点P 在线段CM 上时，在图1中补全图形，并直接写出ADM ∠的度数；（2）当点P 在线段CM 的延长线上时，利用图2探究线段DF 与AM 之间的数量关系，并证明；（3）取线段MF 的中点K ，连接BK ，若8AC =，直接写出线段BK 的长的最小值．28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0S −，()1,0T ．对于一个角α（0180α︒<≤︒），将一个图形先绕点S 顺时针旋转α，再绕点T 逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．（1）点R 在线段ST 上，则在点()1,1A −，()3,2B −，()2,2C −，()0,2D −中，有可能是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点是________；（2）x 轴上的一点P 经过一次“α对称旋转”得到点Q ．①当60α=︒时，PQ =________；②当30α=︒时，若QT x ⊥轴，求点P 的坐标；（3）以点O 为圆心作半径为1的圆．若在O 上存在点M ，使得点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点在x 轴上，直接写出α的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数一般式的常数项c 就是抛物线23y x x c =++与y 轴的交点()0,2，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：抛物线23y x x c =++经过点()0,2，∴c 的值为2，故选：A ．2. 【答案】A【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的定义是解决问题的关键．【详解】解：A 、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：A ．3. 【答案】B【分析】本题考查必然事件，涉及事件的分类与概念，熟记事件分类及相应概念是解决问题的关键．【详解】解：不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则A 、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意；B 、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意；C 、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意；D 、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意；故选：B ．4. 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为y 轴，∴当0x <时，y 随x 增大而减小，A 、C 选项说法错误，当0x >时，y 随x 增大而增大，B 选项说法正确，D 选项说法错误，故选：B ．5. 【答案】C【分析】本题考查圆的性质，涉及周角为360︒，由将圆五等分得到的图中角α，列式即可得到答案，读懂题意，掌握周角为360︒是解决问题的关键．【详解】解：由题意可得360725α︒==︒，故答案为：C ．6. 【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．【详解】解：设降尘量的年平均下降率为x ，则 ()25.21 3.6x −=，故选：D ．7. 【答案】D【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到50B ∠=︒，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到65ECB CEB ∠=∠=︒，再由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：AB 为O90ACB ∴∠=︒，40CAB ∠=︒，904050B ∴∠=︒−︒=︒，BE BC =，18050652ECB CEB ︒−︒∴∠=∠==︒， BD BD =， 65BAD BCE ∴∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．8. 【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得①错误；根据对称轴可判断②正确；由2x =时，0y >，即可判断③正确；利用二次函数与一次函数1y cx c =+的图像位置关系可判断④正确．【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴a<0，则①错误．②∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且与x 轴的交点一个为1,−另外一个在2到3之间， ∴12b a−<， ∵a<0∴2b a <−，∴20a b +<，则②正确．③由图象可知，当2x =时，0y >，∴420a b c ++>，则③正确．④()20ax b c x +−>，可变式为2ax bx c cx c ++>+，令1y cx c =+，∵一次函数1y cx c =+，过点()0,c 和()1,0−，则一次函数1y cx c =+与抛物线2y ax bx c =++图象如图，2ax bx c cx c ++>+的解集为10x −<<．则④正确．故选：D ．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】()2,3−【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：点()3−2，关于原点的对称点坐标为()2,3−，故答案为：()2,3−．10. 【答案】125,5x x =−=【分析】先将常数项25移项到方程的右边，再利用直接开平方法解题即可．【详解】2250x −=2=25x ∴5x ∴=±故答案为：125,5x x =−=．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11. 【答案】>【分析】根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．【详解】解：O 的半径为6cm ，点P 在O 外，6cm OP ∴>．故答案为：>．【点睛】本题考查点与圆的关系，解题关键是熟知点与圆的三种关系．12. 【答案】9【分析】根据一元二次方程根的判别式，Δ0=，构建方程求解．【详解】解：∵260x x k −+=有两个相等的实数根，2(6)413640k k ∆=−−⨯⨯=−=，∴9k =．故答案为：9【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式定理是解题的关键．13. 【答案】22x x +（答案不唯一）【分析】由开口方向可确定a 的符号，由过原点可确定常数项，则可求得答案．【详解】解：设抛物线解析式为2y ax bx c =++(0)a ≠，∵抛物线开口向上，∴0a >，故可取1a =，∵抛物线过原点，∴0c ，∵对称轴没有限制，∴可取2b =，∴一个开口向上，并且经过原点的抛物线的解析式可为22y x x =+．故答案为：22x x +．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的开口方向由a 的符号决定是解题的关键．14. 【答案】 ①. 70 ②. 圆内接四边形对角互补【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补求解作答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴18070C A ∠=︒−∠=︒，依据是圆内接四边形对角互补，故答案为：70，圆内接四边形对角互补． 15. 【答案】π12l d −【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出l ，d ，找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键．【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：3601524BOC ︒∴∠==︒， 15π2π36012l OC OC ∴=⨯⨯=；()()15π2π36012x OC d OC d =⨯⨯−=−， ∴πππ121212x OC d l d =−=−，故答案为：π12l d −． 16. 【答案】②③【分析】由勾股定理及含30︒直角三角形性质得到相应边及角度的大小，再利用弧长公式即可验证①错误；读懂题意，理解(),150B ︒的含义即可验证②错误；利用旋转性质及弧长公式可求出点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动的路径长，再由实数大小的比较即可确定③正确；从而得到答案．【详解】解：如图所示：在三角尺ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，1AC =，2,AB BC ∴===∴第一次滚动的过程中，点C 运动的路径长为1502ππ2π360BC ⨯⨯=≠，①错误；根据三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点B 顺时针旋转了150︒，记为(),150B ︒可知(),150B ︒的横坐标是旋转中心，纵坐标是旋转角度，∴三角尺的第二次滚动可看成将三角尺绕点C 顺时针旋转了120︒，记为(),120C ︒，如图所示：∴第二次滚动可记为(),120A ︒，②正确；∴在滚动全程中，点A 运动的路径长为15090132π2ππ3603606BA AC ⨯⨯+⨯⨯=；∴在滚动全程中，点B 运动的路径长为120902π2π360360AB BC ⨯⨯+⨯⨯=；∴在滚动全程中，点C 运动的路径长为15012042π2ππ3603606BC AC ⨯⨯+⨯⨯=；()13850−+=−=<，136∴<； ()()4840−+==<，4866∴<；综上所述，点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动路径最长的是点B ，③正确；故答案为：②③．【点睛】本题考查旋转，涉及圆的性质、旋转性质、勾股定理、含30︒直角三角形性质、弧长公式和实数比较大小等知识，掌握旋转性质及弧长公式是解决问题的关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.【答案】13x =，23x = 【分析】根据公式法解方程即可．【详解】解：∵()2641324∆=−−⨯⨯=，∴632x ±===±，∴13x =，23x =∴此方程的解为：13x =+，23x =【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 18.【答案】（1）()2213y x =−+（2）先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可）【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．（1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式；（2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案．【小问1详解】解：2245y x x =−+()2225x x =−+ ()222115x x =−+−+()222125x x ⎡⎤=−+−+⎣⎦()2213x =−+，∴将2245y x x =−+化成()2y a x h k =−+的形式为()2213y x =−+；【小问2详解】解：由（1）中抛物线2245y x x =−+可化为()2213y x =−+，∴抛物线22y x =经过平移得到()2213y x =−+可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 19. 【答案】（1）12 （2）1936【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，正确的列表格是解题的关键．（1）由题意知，掷一次正方体M 时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果，然后求概率即可；（2）根据题意列表格，然后求概率即可．【小问1详解】解：由题意知，掷一次正方体M 时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果， ∵3162=， ∴掷一次正方体M 时，出现奇数的概率是12；【小问2详解】解：由题意列表如下：∴得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率为1936． 20. 【答案】（1）3−（2）作图见解析（3）45y −≤<【分析】（1）根据题意，将()1,0A −代入表达式解方程即可得到答案；（2）由（1）可知2=23y x x −−，利用描点法作出图形即可得到答案；（3）由（2）中图像，作出图形，利用图像即可得到当22x −<≤时，y 的取值范围．【小问1详解】解：抛物线22y x x c =−+与x 轴的一个交点为()1,0A −，()()20121c ∴=−−⨯−+，解得3c =−，故答案为：3−；【小问2详解】解：由（1）知2=23y x x −−，列表：描点、连线，画函数2y x x c =−+图像，如图所示：；【小问3详解】解：题中给出22x −<≤，过()2,0−作2x =−，过()2,0作2x =，如图所示：2=23y x x −−的开口向上，对称轴为1x =，在图像上，当21x −≤≤时，图像是下降的，即y 随x 增大而减小，当1x =时，4y =−；当2x =−时，5y =；在图像上，当12x ≤≤时，图像是上升的，即y 随x 增大而增大，当1x =时，4y =−；当2x =时，=3y −；∴当22x −<≤时，结合函数图像，再由上述计算可知：当1x =时，min 4y =−；当2x =−时，max 5y =；∴当22x −<≤时，结合函数图像得到y 的取值范围是45y −≤<．【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、描点法作二次函数图像和利用二次函数图形与性质求y 的取值范围，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 21. 【答案】（1）见详解（2）12−或1 【分析】（1）根据24b ac ∆=−即可证明；（2）根据公式法即可得()()122222m m x x ++==，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解；【小问1详解】解：根据题意，()()222Δ42410b ac m m m ⎡⎤=−=−+−+=≥⎣⎦，∴无论m 取何值，方程总有两个实数根. 【小问2详解】由题意，根据公式法得，()22m x +±==，∴()()122222m m xx +++==，∴()()22222m m +++=⋅，解得：12112m m =−=，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．22. 【答案】【分析】连接OA OB 、，在优弧AB 上取一点E ，连接AE BE 、，如图所示，根据圆内接四边形性质及圆周角定理得到120AOB ∠=︒，再由垂径定理、含30︒的直角三角形性质及勾股定理得到O 的半径．【详解】解：连接OA OB 、，在优弧AB 上取一点E ，连接AE BE 、，如图所示：∴四边形AEBC 是圆的内接四边形，120ACB ∠=︒，60E ∴∠=︒，AB AB =，2120AOB E ∴∠=∠=︒，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，6AB =，∴由垂径定理可知3AD BD ==，1602∠=∠=︒AOD AOB ，90ADO ∠=︒，在Rt AOD 中，30OAD ∠=︒，设OD x =，则2OA x =，由勾股定理可知3AD ===，解得x =∴O 的半径为．【点睛】本题考查求圆的半径，涉及圆内接四边形性质、圆周角定理、垂径定理、含30︒的直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握圆的性质及定理是解决问题的关键． 23. 【答案】（1）作图见解析（2）()2,1C '− （3）90BGC '∠=︒【分析】本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键．（1）根据旋转的性质作出ABC 三个顶点绕点O 顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到A B C '''；（2）由（1）中作出的A B C '''即可得到答案；（3）过C 作CD x ⊥轴于D 、过C '作C D y ''⊥轴于D ，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到()HL BDC B D C '''≌，进而DBC D B C '''∠=∠，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案．【小问1详解】解：作图如下：∴A B C '''即为所求；【小问2详解】解：由（1）中图形，如图所示：()2,1C ∴'−；【小问3详解】解：在（1）的图形中，过C 作CD x ⊥轴于D 、过C '作C D y ''⊥轴于D ，如图所示：,,90BC B C CD C D BDC B D C '''''''==∠=∠=︒，()HL BDC B D C ''∴'≌，DBC D B C '''∴∠=∠， BEO B EG '∠=∠，在Rt BEO △中，90BEO DBC ∠+∠=︒，则90B EG D B C ''''∠+∠=︒，在B EG '中，由三角形内角和定理可知90EGB '∠=︒，90BGC '∴∠=︒．24. 【答案】（1）详见解析；（2 【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理可得1902BAC ABC ∠=︒−∠，再由已知及切线的判定定理可得结论；（2）由（1）知90OAF ∠=︒，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D 为AC 的中点，利用中位线定理可得出OD BC ，可证出AOF ABC ∠=∠，得出AOF EBA ∽，利用相似比得出7.2,9.6BE AE ==，最后利用勾股定理即可得出答案．【小问1详解】 ∵AB BC =， ∴1902BAC C ABC ∠=∠=︒−∠， ∵12FAD ABC ∠=∠， ∴11909022BAF BAC FAD ABC ABC ∠=∠+∠=∠+∠∠=︒， ∵AB 为O 直径， ∴AF 是O 的切线；【小问2详解】由（1）知，AF 是O 的切线，∴AF AB ⊥， ∴90OAF ∠=︒， ∴222AF OA OF += 设O 的半径为r ，∵8,4AF DF ==， ∴()22284r r +=+， ∴6r =，∴612,10OA OB OD AB BC OF ======，，连接AE BD ，，∵AB 为O 的直径，∴,90BD AC AEB ⊥∠=︒， ∵AB BC =， ∴D 为AC 中点， ∴OD BC ， ∴AOF ABC ∠=∠， ∵90AEB OAF ∠=∠=︒， ∴AOF EBA ∽， ∴AO AF OFBE AE AB==， ∴681012BE AE ==， ∴7.2,9.6BE AE ==，∴127.2 4.8CE BC BE =−=−=，∴在Rt AEC 中，AC ===【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 25. 【答案】（1）尺规作图见解析（2）()()1778y x x =−−+，其他已知点都在抛物线上，验证过程见解析【分析】本题考查圆与二次函数综合，涉及圆的性质、尺规作图-中垂线、待定系数法确定函数关系式、验证点是否在函数图像上等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图及待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．（1）选取拱线M 上的任意三点，连线构成圆的弦，作两条弦的垂直平分线交于点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆即可得到答案；（2）以H 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以HC 所在的直线为y 轴，如图所示，利用交点式，待定系数法确定函数关系式即可得到拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式为()()1778y x x =−−+，再将D ，E ，F ，B 的横坐标代入表达式验证纵坐标是否与y 值相等即可得到答案．【小问1详解】解：如图所示：O ∴即为所求；【小问2详解】解：以H 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以HC 所在的直线为y 轴，如图所示：拱线N 的跨径AB 长为14m ，高为6.125m ，()7,0A ∴−、()7,0B 、()0,6.125C ，设拱线N 的表达式为()()77y a x x =−+，∴将()0,6.125C 代入表达式得6.12549a =−，解得18a =−，∴拱线N 所在的抛物线对应的函数解析式为()()1778y x x =−−+，∴将4x =代入()()778y x x =−−+得()()4747 4.1258y =−⨯−⨯+=，故点D 在拱线N 所在的抛物线上；将5x =代入()()1778y x x =−−+得()()1575738y =−⨯−⨯+=，故点E 在拱线N 所在的抛物线上；将6x =代入()()1778y x x =−−+得()()16767 1.6258y =−⨯−⨯+=，故点F 在拱线N 所在的抛物线上；将7x =代入()()1778y x x =−−+得()()1777708y =−⨯−⨯+=，故点B 在拱线N 所在的抛物线上． 26. 【答案】（1）1x =（2）112t −≤<−（3）1603a << 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．（1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程；（2）先根据已知条件判断出A ，B ，C 所在的位置，然后根据距离对称轴的大小得到取值求解即可；（3）有两种情况满足题意，①当抛物线与x 轴有一个交点或者没有交点时，函数图像与x 轴有交点，且两个交点的距离小于1时，w 分类讨论求解即可；【小问1详解】解：对称轴为212a x a −=−=，故答案为：1x =；【小问2详解】解：∵()1,A t y ，()21,B t y +，()33,C t y +三点都在抛物线224y ax ax =−+（0a >）上，且132y y y >≥，又∵13t t t <+<+，抛物线的对称轴为1x =，∴A ，B 两点位于对称轴左侧，点C 位于对称轴右侧，且点A 到对称轴的距离大于点C 到对称轴的距离，点C 到对称轴的距离大于等于点B 到对称轴的距离，即()3111131t t t t ⎧+−≥−+⎨−>+−⎩，解得112t −≤<−；【小问3详解】解：无论t 取任何实数，点A ，B ，C 中都至少有两个点在x 轴的上方，有两种情况满足题意，①当抛物线与x 轴有一个交点或者没有交点时，满足题意，即Δ0≤，∴()22440a a −−⨯⨯≤，化简得()440a a −≤，∵0a >，∴40a −≤，解得4a ≤，∴此时04a <≤；②函数图像与x 轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意，此时三点中，距离最近的A 和B 不能同时在x 轴下方，临界情况A 、B 两点分别是这两个交点，得0.5=t ，此时t =0.5.带入224y ax ax =−+，解得163a =， ∴此时163a <；综上所述，1603a <<27. 【答案】（1）45ADM ∠=︒（2）DF AM =，证明见解析；（3）2BK =−【分析】（1）先补全图形，如图所示：取AC 的中点T ，连接DT ，MT ，证明A ，C ，D ，M 四点共圆，可得45ADM ACM ∠=∠=︒；（2）由（1）同理可得：A ，C ，D ，M 四点共圆，可得45CDM CAM ∠=∠=︒，证明CE DE =，再证明DEF CEM ≌，可得DF CM =，即可得到结论；（3）如图，取BC 的中点R ，连接RM ，RF ，RK ，取MR 的中点Q ，连接QK ，由（2）同理可得：ME FE =，而CE ME ⊥，可得45CEF CBA ∠=∠=︒，连接BF ，证明90CFB ∠=︒，可得K 在以Q 为圆心，半径为2的弧上运动，当B ，K ，Q 三点共线时，BK 最小，从而可得答案．【小问1详解】解：补全图形，如图所示：∵CM AB ⊥，CD AP ⊥，∴90CDP CMA ∠=∠=︒，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ， ∴12DT AC MT ==，∴A ，C ，D ，M 四点共圆，∴ADM ACM ∠=∠，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CM AB ⊥，∴45ACM ∠=︒，∴45ADM ∠=︒；【小问2详解】DF AM =，理由如下：如图所示：∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CM AB ⊥，∴45CAB CBA ∠=∠=︒，CM AM BM ==，由（1）同理可得：A ，C ，D ，M 四点共圆，∴45CDM CAM ∠=∠=︒，∵CE DM ⊥，∴45DCE CDE ∠=∠=︒，∴CE DE =，∵DF AB ，∴DF CM ⊥，∴90DGM CEM ∠=∠=︒，∵CME DMG ∠=∠，∴FDE MCE ∠=∠，而90CEM DEF ∠=∠=︒，∴DEF CEM ≌，∴DF CM =，∴DF AM =；【小问3详解】如图，取BC 的中点R ，连接RM ，RF ，RK ，取MR 的中点Q ，连接QK ，由（2）同理可得：ME FE =，而CE ME ⊥，∴45CFM CBA ∠=∠=︒，连接BF ，∵BGM CGF ∠=∠，∴BMF BCF ∠=∠，∴MGB CGF ∽， ∴MG BG CG FG=，而CGM FGB ∠=∠， ∴CGM FGB ∽，∴CMG CBF ∠=∠，∴90FCB CBF FMB CMF ∠+∠=∠+∠=︒，∴90CFB ∠=︒， ∴142RM RF BM BC ====，而K 为MF 中点，Q 为MR 中点， ∴122QK MR ==， ∴K 在以Q 为圆心，半径为2的弧上运动，∴当B ，K ，Q 三点共线时，BK 最小，在Rt BQR 中，4,2BR QR ==此时BQ ==∴2BK =．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的确定及基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28. 【答案】（1）()3,2B −、()2,2C −（2）①2；②)1,0P （3）030α<≤︒或150180α︒≤≤︒【分析】（1）由一次“α对称旋转”定义，将()1,1A −，()3,2B −，()2,2C −，()0,2D −先绕点S 顺时针旋转90︒，再绕点T 逆时针旋转90︒，即可验证；（2）①作出图形，数形结合，分类讨论，由等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可得到答案；②作出图形，由含30︒的直角三角形的性质，求出三角形边长即可得到点P 的坐标；（3）设点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点为点M '，则点M '先绕点T 顺时针旋转α，再绕点S 逆时针旋转α得到点M ，进行分类讨论：①当090α<≤︒时，令1l 和O 相交于G ，连接SG ，过点S 作2l 的垂线，垂足为点H ，易得2sin SG SH α==，根据点M 再O 上，则2l 与O 有公共点，得出01SH <≤，即02sin 1α<≤，即可求解；②当90180α︒<≤︒时，用相同的方法，即可解答．【小问1详解】解：由一次“α对称旋转”定义，将()1,1A −先绕点T 顺时针旋转90︒，再绕点S 逆时针旋转90︒，如图所示：()1,1A ∴−不是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；同理可得()3,2B −是由点()1,0R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；()2,2C −是由点()0,0R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；()0,2D −不是由点R 经过一次“90︒对称旋转”后得到的点；故答案为：()3,2B −、()2,2C −；【小问2详解】解∶①令点P 绕点S 顺时针旋转α得到点P '，连接,,,,AP TP PP P Q PQ ''''，∵P 经过一次“60︒对称旋转”得到Q 时，∴,60,,60SP SP PSP TP TQ P TQ ''''=∠=︒=∠=︒，∴,SPP P TQ ''是等边三角形，∴60SP P TP Q ''∠=∠=︒，,SP PP P T PQ '''==，∴SP P TP P TP Q TP P ''''∠−∠=∠−∠，即SP T PP Q ''∠=∠，∵,,SP PP SP T PP Q P T PQ '''''=∠=∠=，∴SP T PP Q ''≌，∴2ST PQ ==；。

2024年北京密云区初三九年级上学期期末数学试题和答案

北京市密云区2023-2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷2024.1考生须知1.本试卷共7页，共3道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用．．．．．．2．B ．铅笔．．.4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．选项是符合题意的.1.二次函数y =3(x +1)2-4的最小值是（）A ．1B．-1C ．4D ．-42.已知⊙O 的半径为6，点P 在⊙O 内，则线段OP 的长度可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．83.中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4.下列事件中，为必然事件的是（）A ．等腰三角形的三条边都相等；B ．经过任意三点，可以画一个圆；C ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D ．任意画一个三角形，其内角和为360°．5.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（）A ．x +2=0B ．x 2-x =0C ．x 2-4=0D ．x 2+4=06.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A =60°，⊙O 的半径为3，则的长为（）A ．πB ．2πC．3πD ．6π7.如图，在正方形网格中，A ，B 两点在格点上，线段AB 绕某一点逆时针旋转一定角度后得到线段A'B'，点A'与点A 对应，其旋转中心是（）A ．点B B ．点GC ．点ED ．点F8．某种幼树在相同条件下进行移植试验，结果如下：移植总数n 400750150035007000900014000成活数m 364651133031746324807312620成活的频率0.9100.8680.8870.9070.9030.8970.901下列说法正确的是（）A ．由于移植总数最大时成活的频率是0.901，所以这种条件下幼树成活的概率为0.901；B ．由于表格中成活的频率的平均数约为0.90，所以这种条件下幼树成活的概率为0.90；C ．由于表格中移植总数为1500时成活数为1330，所以移植总数3000时成活数为2660；D ．由于随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，所以估计幼树成活的概率为0.90．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若关于x 的方程(k +3)x 2-6x ＋9=0是一元二次方程，则k 的取值范围是．10．将抛物线y=x 2向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为．11．用配方法解一元二次方程x 2-4x =1时，将原方程配方成(x -2)2=k 的形式，则k 的值为．12．如图，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 为切点，连接OC 并延长到D ，使CD =OC ，连接AD ．若∠BAD =75°，则∠AOC 的度数为．mnB D13.若点A （-2，y1），B （-1，y 2），C （3，y 3）三点都在二次函数y =-3x 2的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（按从小到大的顺序，用“<”连接）．14.请写出一个常数a 的值，使得二次函数y =x 2+4x +a 的图象与x 轴没有交点，则a 的值可以是．15.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则正六边形ABCDEF 的面积为_________．16.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、点B 的位置如图所示，抛物线y =ax 2-2ax 经过A 、B 两点，下列四个结论中：①抛物线的开口向上②抛物线的对称轴是x =1③A 、B 两点位于对称轴异侧④抛物线的顶点在第四象限所有不．正确．．结论的序号是．三、解答题(本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分)17.解方程：x 2+8x -20=0．18.下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD .求作：AE ⊥BC ，垂足为E .作法：如图所示,①连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P ,Q 两点；②作直线PQ ，交AC 于点O ;③以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，交线段BC 于点E （点E 不与点C 重合），连接AE .所以线段AE 就是所求作的高.12AC根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AP=CP，AQ=，∴点P、Q都在线段AC的垂直平分线上，∴直线PQ为线段AC的垂直平分线，∴O为AC中点．∵AC为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEC=°．（）(填推理的依据)∴AE⊥BC．19.已知：二次函数y=x2+bx-3的图象经过点A（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）求该函数的顶点坐标．20.二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是___________；（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D 表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．21.2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出口贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率．22.玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载：“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1，“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d=2h．图2是一枚破损的汉代玉环，为修复原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长AB为6cm，半径OC⊥AB于点D，测得CD=1cm，连接OB，求该玉环的中孔半径的长．图1图2图323．已知关于x的一元二次方程x2-5x+m=0（m<0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根．24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的平行线交BC延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，AD=6，求线段CD的长．25．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如下：x（米）00.5 2.0 3.55y（米） 1.67 2.25 3.00 2.250小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为米；（3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3m处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为m（结果精确到0.1m）．26．在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和（5，n）在抛物线y=x2+2bx上，设抛物线的对称轴为x=t．（1）若m=0，求b的值；（2）若mn＜0，求该抛物线的对称轴t的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE、BE．（1）依据题意，补全图形；（2）直接写出∠ACE+∠BCD的度数；（3）若点F为BD中点，连接CF交AE于点P，用等式表示线段AE与CF之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，点A的坐标为（-1，0）．点B是⊙O上的一个动点（点B不与点A重合）．若点P在射线AB上，且AP=2AB，则称点P 是点A关于⊙O的2倍关联点．（1）若点P是点A关于⊙O的2倍关联点，且点P在x轴上，则点P的坐标为_______；（2）直线l经过点A，与y轴交于点C，∠CAO=30°．点D在直线l上，且点D是点A关于⊙O的2倍关联点，求D点的坐标；（3）直线y=x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的2倍关联点，直接写出b的取值范围．北京市密云区2023-2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷参考答案及评分标准2024.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678选项D A B C C B C D二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．k≠-3；10．y=(x-2)2-1；11．k=5；12．65°；13.y3<y1<y2；14．6；（答案不唯一，大于4均可）15．16．①④．三、解答题（本题共68分．其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分．17.解：x2+8x-20=0(x+10)(x-2)=0………………………………2分∴x+10=0或x-2=0………………………………3分∴x=-10或x=2………………………………4分∴x1=-10，x2=2………………………………5分18.（1）………………………………2分（2）CQ………………………………3分90°，直径所对的圆周角是直角．………………………………5分19.（1）解：将点A（2，5）代入y=x2+bx-3解析式4+2b-3=5………………………………1分2b=4b=2………………………………2分∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3………………………………3分（2）解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4………………………………4分∴该函数的顶点坐标是(-1，-4)………………………………5分20．（1）14………………………………1分（2）根据题意，可以画出如下树状图：………………………………3分由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，即AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，并且它们出现的可能性相等.其中，恰好抽到的两张邮票是“立春”和“立夏”（记为事件A）的结果有2种，即AB或BA.………………………………4分∴()21 126P A==.………………………………5分21．解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x，则：………………………………1分60000(1+x)2=86400………………………………2分(1+x)2=36251+x=65±解得：x1=0.2，x2=-2.2………………………………4分经检验：x=-2.2不符实际意义，舍去∴x=0.2=20%答：这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为20%.………………………………5分22.解：∵OC是⊙O的半径，且OC⊥AB∴AD=BD∵AB=6∴BD=3………………………………1分设⊙O的半径为x，则OC=OB=x∵CD=1∴OD=x-1………………………………2分在Rt△ODB中∵OD2+BD2=OB2∴(x-1)2+32=x2………………………………3分x=5∴OB=5………………………………4分∵玉环的中孔直径d=2h∴玉环的中孔半径为2.5cm.………………………………5分23.（1）该方程有两个不相等的实数根，理由如下：………………………………1分解：△=(-5)2-4m………………………………2分=25-4m∵m<0∴-4m＞0∴25-4m＞0即△＞0………………………………3分∴方程有两个不相等的实数根（2）解：将x=6代入原方程∴36-30+m=0∴m=-6………………………………4分原方程为x2-5x-6=0(x-6)(x+1)=0解得：x1=6，x2=-1………………………………5分∴方程的另一个根为-1．………………………………6分24.（1）证明：连接OA………………………………1分∵⊙O是△ABC的外接圆，且∠ABC=45°∴∠AOC=90°………………………………2分∵OC//AD∴∠AOC+∠OAD=180°∴∠OAD=90°∴AD是⊙O的切线………………………………3分（2）解：过点C作CF⊥AD于点F，∴∠AFC=90°∴∠AOC=∠OAD=∠AFC=90°∴四边形AOCF是矩形∵OC=OA∴矩形AOCF是正方形∵⊙O的半径为4∴AF=CF=OC=4………………………………4分∵AD=6∴FD=AD-AF=2………………………………5分在Rt△CFD中CD==∴线段CD的长为………………………………6分25．（1）………………………………1分（2）3；………………………………2分（3）解：设y=a(x-2)2+3(a<0)………………………………3分∵将（5，0）代入函数表达式，则9a+3=0a=∴………………………………4分自变量的取值范围为：0≤x≤5．………………………………5分（4）2.7m（误差均可）………………………………6分26．（1）解：当m=0时，将（2，0）代入y=x2+2bx∴4+4b=0………………………………1分4b=-4∴b=-1………………………………2分（2）解：由题意，抛物线经过点（2，m）和（5，n）∵a>0∴抛物线开口向上，且经过坐标原点（0，0）如果t≤0，那么当x≥t时，y随x的增大而增大∴m>0，n>0，与mn＜0不符，舍去如果t≥5，那么当x≤t时，y随x的增大而减小∴m＜0，n＜0，与mn＜0不符，舍去∴0＜t＜5∵mn＜0∴函数图象示意图为：图1图213-21(2)33y x=--+0.1±由图1，当0<t <2时作（0，0）关于x=t 的对称点（x 0，0）∵抛物线为轴对称图形∴点（x 0，0）在抛物线上∴x 0=2t∵a >0∴x ≥t 时，y 随x 的增大而增大∵m ＜0＜n ∴2＜2t ＜5………………………………3分∴512t <<∴12t <<………………………………4分由图2，当2≤t <5时作（5，n ）关于x=t 的对称点（x 1，n ）∵抛物线为轴对称图形∴点（x 1，n ）在抛物线上∴x 1=2t -5∵a >0∴x ≤t 时，y 随x 的增大而减小∵m ＜0＜n ∴2t -5＜0＜2………………………………5分其中0＜2恒成立，解2t -5＜0得t ＜52∴522t ≤<综上所述，512t <<………………………………6分27.（1）………………………………1分（2）∠ACE+∠BCD=180°………………………………2分（3）AE与CF之间的数量关系为：AE=2CF………………………………3分证明：延长CF至H，使FH=CF∵点F为BD中点∴DF=BF∵∠DFH=∠CFB∴△DFH≅△CFB………………………………4分∴DH=BC，∠H=∠BCF∵AC=BC∴DH=AC∵∠H=∠BCF∴DH//BC∴∠DCB+∠CDH=180°∵∠DCB+∠ACE=180°∴∠CDH=∠ACE………………………………5分∵CD=CE∴△CDH≅△ECA………………………………6分∴CH=AE∵CH=2CF∴AE=2CF………………………………7分28.（1）（3，0）………………………………1分（2）解：当直线l 与y 轴正半轴交于点C 时∵点D 在直线l 上，且点D 是点A 关于⊙O 的2倍关联点，∴直线l 与⊙O 的另一个交点为点B ，点D 在射线AB 上，满足AD =2AB 过点O 作OE ⊥AB ∴AB =2AE………………………………2分在Rt △AOE 中，∠CAO =30°，OA=1∴OE =12∴2AE ==∴AB =2∵AD =2AB∴AD =………………………………3分过点D 作DF ⊥x 轴，交x 轴于点F ∵在Rt △AOE 中，∠CAO =30°∴DF ，3AF ==∴OF =2∴D （2）………………………………4分同理可证，当直线l 与y 轴负半轴交于点C 时，D （2，……………………5分综上所述，D 点坐标为（2，）或（2，）（3）1b -≤≤或11b <≤………………………………7分。

2024年北京市密云区数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

2024年北京市密云区数学九年级第一学期开学学业水平测试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）直线y ＝－3x ＋2经过的象限为（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2、（4分）如图，把一张正方形纸对折两次后，沿虚线剪下一角，展开后所得图形一定是()A ．三角形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3、（4分）如图，在ABCD 中，∠A=70°，DC=DB ，则∠CDB=（）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°4、（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O .下列结论中不一定成立的是（）A ．AB ∥CD B ．OA =OC C ．AC ⊥BDD ．AC =BD学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………5、（4分）下列命题中正确的是()A ．对角线相等的四边形是菱形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形6、（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+经过(0,2)A ，(3,0)B 两点，则不等式0ax b +>的解是()A ．0x >B ．3x >C ．0x <D ．3x <7、（4分）直线y ＝kx+b 与y ＝mx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式kx+b ＞mx 的解集为（）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣18、（4分）若关于x 的分式方程3144x mx x++=--有增根，则m 的值是（）A ．0或3B ．3C ．0D ．﹣1二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点A （-1，0），点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，……按所示的规律排列在直线l 上．若直线l 上任意相邻两个点的横坐标都相差1、纵坐标也都相差1，若点A n （n 为正整数）的横坐标为2015，则n=___________．10、（4分）已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，那么相邻两边的长分别是_____．11、（4分）一组数据：5,5,5,5,5，计算其方差的结果为__________．12、（4分）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA ），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x 支，则可列方程为_____．13、（4分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知关于x 的方程x 2-(m+1)x+2(m-1)=0，（1）求证：无论m 取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 的顶点()120A ,、()09C ,，将矩形OABC 的一个角OAB ∠沿直线BD 折叠，使得点A 落在对角线OB 上的点E 处，折痕与x 轴交于点D .（1）线段OB 的长度为__________；（2）求直线BD 所对应的函数解析式；（3）若点Q 在线段BD 上，在线段BC 上是否存在点P ，使四边形DEPQ 是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.16、（8分）先化简再求值：22x 1x 2x 1x 1x 1x 1--+⎛⎫-+÷ ⎪+-⎝⎭，然后在x <<的范围内选取一个合适的整数作为x 的值并代入求值．17、（10分）因为一次函数y kx b =+与0() y kx b k =-+≠的图象关于y 轴对称，所以我们定义:函数y kx b =+与互为()0y kx b k =-+≠“镜子”函数.(1)请直接写出函数32y x =-的“镜子”函数：________.(2)如图，一对“镜子”函数y kx b =+与()0y kx b k =-+≠的图象交于点A ，分别与x 轴交于B C 、两点，且AO=BO ，△ABC 的面积为16，求这对“镜子”函数的解析式.18、（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣2，6），且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1．（1）求一次函数y ＝kx +b 的解析式；（2）若点D 在y 轴负半轴上，且满足S △COD ═12S △BOC ，请直接写出点D 的坐标．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知（﹣1，y 1）（﹣2，y 2）（12，y 3）都在反比例函数y=﹣2x的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．20、（4分）如果a 2-ka+81是完全平方式，则k=________．21、（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝5，BD ＝6，则菱形ABCD 的面积是_____．22、（4分）甲，乙，丙，丁四人参加射击测试，每人10次射击的平均环数都为8.9环，各自的方差见如下表格：甲乙丙丁方差0.2930.3750.3620.398则四个人中成绩最稳定的是______．23、（4分）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为________________二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若DC ＝AC ＝4，求OE 的长．25、（10分）已知，如图，点D 是△ABC 的边AB 的中点，四边形BCED 是平行四边形．（1）求证：四边形ADCE 是平行四边形；（2）在△ABC 中，若AC ＝BC ，则四边形ADCE 是；（只写结论，不需证明）（3）在（2）的条件下，当AC ⊥BC 时，求证：四边形ADCE 是正方形．26、（12分）反比例函数y 1=kx（x ＞0）的图象与一次函数y 2=﹣x+b 的图象交于A ，B 两点，其中A （1，2）（1）求这两个函数解析式；（2）在y 轴上求作一点P ，使PA+PB 的值最小，并直接写出此时点P 的坐标．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】分析：根据一次函数的性质解答即可.详解：由题意可得，一次函数的系数小于零，则一次函数的图象经过二、四象限，因为一次函数的常数项大于零，则一次函数的图象与轴相交于正半轴，则经过第一象限，综上所述，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本一次函数不经过第三象限．故选A.点睛：本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.2、B【解析】此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项．【详解】由题意可得：四边形的四边形相等，故展开图一定是菱形．故选B．此题主要考查了剪纸问题，对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．3、D【解析】先根据平行四边形的性质得到∠C=70°，再根据DC=DB即可求∠CDB.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=70°，∵DC=DB，∴∠CDB=180°-2∠C=40°，故选D.此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形对角相等.4、D【解析】直接利用菱形的性质对边互相平行、对角线互相垂直且平分进而分析即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，OA=OC ，AC ⊥BD ，无法得出AC=BD ，故选项D 错误，故选D ．此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形对角线之间关系是解题关键．5、D 【解析】试题解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选D.点睛：菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.6、D 【解析】将A （0，2），B （3，0）代入y=ax+b 得出a ，b 值，再代入ax+b ＞0即可求出答案.【详解】将A （0，2），B （3，0）代入y=ax+b {b=23a+b=0得b=22a=-3⎧⎨⎩，即2-x+2>03，x<3.正确选D.根据函数的图象和交点坐标即可求得结果.此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用.7、D 【解析】根据函数图象交点左侧直线y ＝kx ＋b 图象在直线y ＝mx 图象的上面，即可得出不等式kx ＋b ＞mx 的解集．【详解】解：由函数图象可知，关于x 的不等式kx ＋b ＞mx 的解集是x ＜−1．故选：D ．本题考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象，比较函数图象的“高低”（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．8、D 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-4=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．【详解】解：3144x mx x++=--方程两边同乘（x-4）得3()4x m x -+=-∵原方程有增根，∴最简公分母x-4=0，解得x=4，把x=4代入3()4x m x -+=-，得3(4)44m -+=-，解得m=-1故选：D本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、4031.【解析】试题分析：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出坐标的规律.观察①n 为奇数时，横坐标纵坐标变化得出规律；②n 为偶数时，横坐标纵坐标变化得出规律，再求解.试题解析：观察①n 为奇数时，横坐标变化：-1+1，-1+2，-1+3，…-1+n 12+，纵坐标变化为：0-1，0-2，0-3，…-n 12+，②n为偶数时，横坐标变化：-1-1，-1-2，-1-3，…-1-n 2，纵坐标变化为：1，2，3，…n 2，∵点An（n为正整数）的横坐标为2015，∴-1+n12=2015，解得n=4031，故答案为4031.考点：一次函数图象上点的坐标特征．10、4和1【解析】设短边为x,则长边为x+4,再利用周长为24作等量关系，即可列方程求解.【详解】∵平行四边形周长为24，∴相邻两边的和为12，∵相邻两边的差是4，设短边为x,则长边为x+4∴x+4+x=12∴x=4∴两边的长分别为：4，1．故答案为：4和1；主要考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边相等这一性质，并建立适当的方程是解题的关键.11、0【解析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据5，5，5，5，5全部相等，没有波动，故其方差为1．【详解】解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故它的方差为1．故答案为：1．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．12、x（x﹣1）＝1【解析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛1场，可列出方程．【详解】设参赛队伍有x支，根据题意得：x（x﹣1）=1故答案为x（x﹣1）=1．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．13、1 10【解析】由一共有10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵一共有10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：1 10.故答案是：1 10.解题关键是根据概率公式(如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n).三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、()1证明见解析()21和2【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝(m－3)2≥0，由此即可证出结论；(2)等腰三角形的腰长为1，将x＝1代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论.【详解】（1）证明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣1×2（m ﹣1）=m 2﹣6m+9=（m ﹣3）2≥0，∴无论m 取何值，这个方程总有实数根；（2）等腰三角形的腰长为1，将x=1代入原方程，得：16﹣1（m+1）+2（m ﹣1）=0，解得：m=5，∴原方程为x 2﹣6x+8=0，解得：x 1=2，x 2=1．组成三角形的三边长度为2、1、1；所以三角形另外两边长度为1和2．本题考查了根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质以及解一元二次方程，⑴牢记当△≥0时，方程有实数根，⑵代入x ＝1求出m 的值是解决本题的关键.15、（1）1；（2）215y x =-；（3）15,92P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）根据勾股定理即可解决问题；（2）设AD=x ，则OD=OA=AD=12-x ，根据轴对称的性质，DE=x ，BE=AB=9，又OB=1，可得OE=OB-BE=1-9=6，在Rt △OED 中，根据OE 2+DE 2=OD 2，构建方程即可解决问题；（3）过点E 作EP ∥BD 交BC 于点P ，过点P 作PQ ∥DE 交BD 于点Q ，则四边形DEPQ 是平行四边形，再过点E 作EF ⊥OD 于点F ，想办法求出最小PE 的解析式即可解决问题。

2024年北京朝阳区初三九年级上学期期末数学试题和答案

张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植．随机摸出一张卡片写有“珍的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所在一定范围内变化时，l与S都随R的变第12题图第14题图试题13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h -=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k 为何值，函数y 1和y 2的图象总有公共点，则a 的取值范围是_______.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程x 2-1 =6x ．18．关于x 的一元二次方程x 2-(m +4)x +3(m +1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m 的取值范围．抽取的产品数n 5001000150020002500300035004000合格的产品数m 476967143119262395288333673836合格的产品频率nm0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959图2图3图1图1 图2试题北京市朝阳区2023～2024学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准(选用)2024.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DABCACAC二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=-）（x ．103±=-x ．1031+=x ，1032-=x ．18．（1）证明:依题意，得=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0，∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =．∴x 1= m +1，x 2=3．依题意，得m +1<0．∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3．题号9101112答案x 1=3，x 2=-3相切（1，3）140题号13141516答案答案不唯一，如0.9593438+π1.2或3a ＜0或a ≥52线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.由题意可知，抛物线顶点C ），（9254．设抛物线对应的函数解析式)4(2+-=x a y试题26. 解：（1）由题意知，a +b +c = 9a +3b +c .∴b = -4a .∴22=-=a b t . （2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.设抛物线上的四个点的坐标为A (t -1，m A ) ，B （t ，m B ），C （2，n C ），D （3，n D ）.点A 关于对称轴x =t 的对称点为A'（t +1，m A ）∵抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，∴m A ＞m B .ⅰ 当t ≤1时，n C < n D∴t +1≤2.∴m A ≤n C ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.ⅱ 当1<t ≤2时，n C < n D∴2<t ＋1≤3.∴m A ＞n C .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅲ当2<t ≤3时，∴n 的最小值为m B .∵m A ＞m B .. ∴存在m ＞n ，符合题意.ⅳ 当3<t <4时，n D <n C .∴2<t －1＜3.∴m A ＞n D .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅴ 当t ≥4时，n D <n C .∴t -1≥3.∴m A ≤n D ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是1<t <4.）解：补全图1，如图.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接，连接GE并延长，与AB的延长。

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《圆的综合》

2024年1月九上期末——圆的综合1.【东城】24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，BC =CD 的长．2.【西城】24．如图，AB 是O 的直径，AB BC =，AC 交O 于点D ，点F 在OD 的延长线上且12FAD ABC ∠=∠．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若8AF =，4DF =，求AC 的长．3.【海淀】25.如图，AB 为半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上，直线CM 与半圆O 相切于点C ，//CM AD .（1）若MCD ∠α=，求COA ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O 作OE CD ⊥交CM 于点E ，交CD 于点F ，若//CD AB ，6AB =，求CE 的长.4.【朝阳】24．如图，AC ，BD 是圆内接四边形ABCD 的对角线，AC ⊥BD 于点E ，BD 平分∠ADC .（1）求∠BAD 的度数；（2）点P 在DB 的延长线上，P A 是该圆的切线.①求证：PC 是该圆的切线；②若PA =AC =3，直接写出PD 的长.5.【石景山】24．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点F 在AC 的延长线上，12CBF BAC ∠=∠．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若5AB =，1tan 2CBF ∠=，求CE 的长．6.【丰台】24．如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，作DE ⊥AC 交AC 于点E ，延长ED 与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若△ABC 为等边三角形，AE=3，求⊙O 半径的长．7.【昌平】24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 为 AC 的中点，过点D 作⊙O 的切线，交BC 延长线于点P ，连接OD 交AC 于点E .（1）求证：四边形DECP 是矩形；（2）作射线AD 交BC 的延长线于点F ，若tan ∠CAB =43，BC =6，求DF 的长.8.【通州】25．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF AB ∥交CO 的延长线于点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）若30A ∠=︒，43AC =，求DF 的长．24题图9.【房山】24.如图,AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且DCB DAC∠=∠，⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，30∠=︒，求AE的长.D10.【大兴】24.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D,过点C作直线CE交OD的延长线于点E,使得∠E=∠B.(1)求证：CE是⊙O的切线.(2)若DE=6,CE=35,求OD的长.11.【门头沟】25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.12.【燕山】24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．(1)求证：AF＝AD；(2)若CE＝4，CF＝2，求⊙O的半径．13.【顺义】25．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．14.【密云】24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的平行线交BC延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，AD=6，求线段CD的长．15.【平谷】24.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，连接AC 、AD ，过点A 作⊙O 的切线与∠ADC 的平分线相交于点E ，DE 交AB 于点G ，交AC 于点F ，交⊙O 于点M ，连接AM ．（1）求证：AC=AD ；（2）若22tan =∠AMD ，CD=4，求AF 长．。

北京市各区2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………北京市各区2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列运算中正确的是（）A ．27·3767=B ．()24423233333===C ．3313939===D ．155315151÷⨯=÷=2、（4分）分别顺次连接①平行四边形②矩形③菱形④对角线相等的四边形，各边中点所构成的四边形中，为菱形的是（）A ．②④B ．①②③C ．②D ．①④3、（4分）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 边上，△AEF 是等边三角形，则∠AED ＝（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°4、（4分）关于x 的不等式21x a -- 的解集如图所示，则a 的取值是()A ．0B ．3-C ．2-D ．1-5、（4分）据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x 分钟后，水龙头滴出y 毫升的水，请写出y 与x 之间的函数关系式是（）A ．y=0.05x B ．y=5x C ．y=100x D ．y=0.05x+1006、（4分）已知P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）是正比例函数y =－2x 图象上的两个点，则y 1、y 2的大小关系是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 27、（4分）菱形ABCD 对角线交于O 点，E ，F 分别是AD 、CD 的中点，连结EF ，若EF=3，OB=4，则菱形面积（）A ．24B ．20C ．12D ．68、（4分）代数式x 取值范围是（）A ．1x 2>B ．1x 2≥C ．1x 2<D ．1x 2≠二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）分解因式：4－m 2＝_____．10、（4分）已知菱形两条对角线的长分别为4和6，则菱形的边长为______.11、（4分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是．12、（4分）已知一个函数的图象与反比例函数2y x =的图象关于y 轴对称，则这个函数的表达式是__________．13、（4分）学校开展的“争做最美中学生”的一次演讲比赛中，编号分别为1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：那么这五位同学演讲成绩的众数是_____，中位数是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转对称都可以得到△OBD ．（1）△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是个单位长度；△AOC 与△OBD 关于直线对称，则对称轴是；△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△OBD ，则旋转角可以是度；（2）连接AD ，交OC 于点E ，求∠AEO 的度数.15、（8分）在小正方形组成的15×15的网格中，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．(1)现把四边形ABCD 绕D 点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A 1B 1C 1D 1，(1)若四边形ABCD 平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A 1B 1C 1D 1．16、（8分）如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF求证：四边形AECF 是平行四边形．17、（10分）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆车上至少要有1名教师．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．甲种客车乙种客车载客量/（人/量）4530租金/（元/辆）400280（1）填空：要保证师生都有车坐，汽车总数不能小于______；若要每辆车上至少有1名教师，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为_________．（2）请给出最节省费用的租车方案．18、（10分）如图，在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC ，交AC 的延长线于点N ，求证：BM=CN ．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图所示，小明从坡角为30°的斜坡的山底（A ）到山顶（B ）共走了100米，则山坡的高度BC 为_____米．20、（4分）铁路部门规定旅客免费携行李箱的长宽高之和不超过160cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为20cm ，长与宽之比为3:2，则该行李箱宽度的最大值是_______.21、（4分）=____．22、（4分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．23、（4分）正比例函数y ＝mx 经过点P （m ，9），y 随x 的增大而减小，则m ＝__．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐示系xOy 中，直线7y kx =+与直线2y x =-交于点A(3，m).(1)求k ，m 的値；(2)己知点P(n ，n)，过点P 作垂直于y 轴的直线与直线2y x =-交于点M ，过点P 作垂直于x 轴的直线与直线7y kx =+交于点N(P 与N 不重合).若PN≤2PM ，结合图象，求n 的取值范围.25、（10分）作平行四边形ABCD 的高CE ，B 是AE 的中点，如图．（1）小琴说：如果连接DB ，则DB ⊥AE ，对吗？说明理由．（2）如果BE ：CE ＝1：，BC ＝3cm ，求AB ．26、（12分）如图，已知一次函数y 1＝ax+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点D 、C ，与反比例函数y 2＝x k 的图象交于A 、B 两点，且点A 的坐标是（1，3）、点B 的坐标是（3，m ）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求C 、D 两点的坐标，并求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出：当x 在什么取值范围时，y 1＞y 2？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】根据二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．【详解】解:A.67=⨯=＝42，故本选项不符合题意；B.()23===，故本选项，符合题意；C.===3，故本选项不符合题意；D.÷==3，故本选项不符合题意；故选：B ．本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能灵活运用二次根式的乘除法则进行计算是解题关键．2、A 【解析】根据菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，只要保证四边形的对角线相等即可．【详解】∵连接任意四边形的四边中点都是平行四边形，∴对角线相等的四边形有：②④，故选：A ．本题主要利用菱形的四条边都相等及连接任意四边形的四边中点都是平行四边形来解决．3、D【解析】由题意可证△ABF ≌△ADE ，可得∠BAF=∠DAE=15°，可求∠AED=75°．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠C=∠D=∠DAB=90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ，∠EAF=60°，∵AD=AB ，AF=AE ，∴△ABF ≌△ADE （HL ），∴∠BAF=∠DAE==15°，∴∠AED=75°，故选D ．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练运用这些性质和判定解决问题是本题的关键．4、D 【解析】首先根据不等式的性质，解出x ≤12a -，由数轴可知，x≤-1，所以12a -=-1，解出即可；【详解】解：不等式21x a -≤-，解得x<12a -，由数轴可知1x <-，所以112a -=-，解得1a =-；故选：D ．本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5、B【解析】试题分析：每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x 分钟可滴100×0.05x 毫升，据此即可求解．因此，y=100×0.05x ，即y=5x．故选B．考点：函数关系式．6、B【解析】由y=－1x中k=－1＜0，可知y随x的增大而减小，再结合1＜1即可得出y1、y1的大小关系．【详解】解：∵正比例函数y=－1x中，k=－1＜0，∴y随x增大而减小，∵1＜1，∴y1＞y1．故选：B．本题考查了正比例函数的图象与性质，注意：y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．7、A【解析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，所以可得菱形的面积等于12倍的对角线的乘积.【详解】解：根据E，F分别是AD、CD的中点，EF=3可得AC=6,OB=4可得BD=8所以菱形ABCD的面积为：16824 2⨯⨯=故选A.本题主要考查菱形对角线的性质，关键在于菱形的对角线平分且垂直.8、A【解析】解：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须121012 210122xxxx x⎧≥⎪-≥⎧⎪⇒⇒>⎨⎨-≠⎩⎪≠⎪⎩．故选A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（2＋m）（2−m）【解析】原式利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式＝（2＋m）（2−m），故答案为：（2＋m）（2−m）．此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【解析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，所以对角线的一半为2和3，=．此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，综合利用了勾股定理的内容．11、24【解析】∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴口袋中白色球的个数很可能是（1-15%-45%）×60=24个．12、2yx-=【解析】直接根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的特点得出答案．【详解】解：∵反比例函数2yx=的图象关于y轴对称的函数x互为相反数，y不变，∴22 yx x ==--，故答案为：2 yx =-．本题考查反比例函数与几何变换，掌握关于y轴对称时，y不变，x互为相反数是解题关键．13、86,1【解析】根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】由表可知，这6为同学的成绩分别为：86、86、1、93、96，则众数为86，中位数为1，故答案为：86，1．此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）2；y轴；120（2）90°【解析】（1）由点A的坐标为（-2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°，则∠AOD=120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；（2）根据旋转的性质得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO=90°．【详解】（1）∵点A的坐标为（-2，0），∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；∴△AOC与△BOD关于y轴对称；∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC=∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴△AOC 绕原点O 顺时针旋转120°得到△DOB ．（2）如图，∵等边△AOC 绕原点O 顺时针旋转120°得到△DOB ，∴OA=OD ，∵∠AOC=∠BOD=60°，∴∠DOC=60°，即OE 为等腰△AOD 的顶角的平分线，∴OE 垂直平分AD ，∴∠AEO=90°．15、（1）图略（1）向右平移10个单位，再向下平移一个单位．（答案不唯一）【解析】（1）D 不变，以D 为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键点A ，C ，B 的对应点即可；（1）最简单的是以C′D′的为对称轴得到的图形，应看先向右平移几个单位，向下平移几个单位．16、证明见解析．【解析】首先由已知证明AF ∥EC ，BE=DF ，推出四边形AECF 是平行四边形．【详解】解：∵□ABCD ，∴AD=BC ，AD ∥BC ，又∵BE=DF ，∴AF=CE ，∴四边形AECF 为平行四边形．此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质，解题的关键是运用平行四边形的性质推出结论．17、（1）6，6，6；（2）租乙种客车2辆，甲种客车4辆.【解析】（1）根据师生总人数240人，以及所需租车数=人数÷载客量算出载客量最大的车所需辆数即可得租车总数最小值，再结合每辆车至少有一名老师即可租车数量最大值；（2）设租乙种客车x 辆，根据师生总数240人以及总费用2300元即可列出关于x 的不等式组，从而得出x 范围，之后进一步求出租车方案即可.【详解】（1）∵()2346455+÷=（辆）……15（人），∴为保证师生都有车坐，汽车总数不能小于6辆；又∵每辆车上至少有1名教师，共有6名教师，∴租车总数不可大于6，故答案为：6,6,6；（2）设租乙种客车x 辆，则：()30456240x x +-≥,且()28040062300x x +-≤，∴526x ≤≤，∵x 是整数，∴1x =，或2x =，设租车费用为y 元，则()2804006202400y x x =+-=-+，∴当2x =时，y 最小，且2160y =，故租乙种客车2辆，甲种客车4辆时，所需费用最低.本题主要考查了一元一次不等式组在方案问题中的实际运用，熟练掌握相关概念是解题关键.18、见解析【解析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN ，DB=DC ，根据HL 证明△DMB ≌△DNC ，即可得出BM=CN ．【详解】证明：连接BD ，∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分线BC ，∴DB=DC ，在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，DB DC DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMB ≌Rt △DNC （HL ），∴BM=CN ．本题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】直接利用坡角的定义以及结合直角三角中30°所对的边与斜边的关系得出答案．【详解】由题意可得：AB ＝100m ，∠A ＝30°，则BC ＝12AB ＝1（m ）．故答案为：1．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出BC 与AB 的数量关系是解题关键．20、56cm【解析】设长为3x ，宽为2x ，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm ，可得出不等式，解出即可．【详解】解：设长为3x ，宽为2x ，由题意，得：5x+20≤160，解得：x ≤28，故行李箱宽度的最大值是28×2=56cm ．故答案为：56cm ．本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式．21、4【解析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】原式.故答案为：4.(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩是解答本题的关键.22、内错角相等,两直线平行【解析】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”．23、－1【解析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．【详解】解：把x=m ，y=9代入y=mx 中，可得：m=±1，因为y 的值随x 值的增大而减小，所以m=-1，故答案为-1．本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y值随x 的增大而减小．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)k=-2；(2)n的取值范围为:713n≤＜或71133n≤＜【解析】（1）把A点坐标代入y=x-2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y=kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【详解】(1)∵直线y=kx+7与直线y=x-2交于点A(3，m)，∴m=3k+3，m=1.∴k=-2.(2)∵点P(n，n)，过点P作垂宜于y轴的直线与直线y=x-2交于点M，∴M(n+2，n).∴PM=2.∴PN≤2PM，∴PN≤4.∵过点P作垂直于x轴的直线与直线y=kx+7交于点N，k=-2，∴N(n，-2n+7).∴PN=|3n-7|.当PN=4时，如图，即|3n-7|=4，∴n=l 或n=113∵P 与N 不重合，∴|3n-7|≠0.∴73n ≠当PN≤4(即PN≤2PM)吋，n 的取值范围为:713n ≤＜或71133n ≤＜本题是一次函数图象的相交与平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，第（2）小题关键是用n 的代数式表示PM 与PN 的长度．25、（1）BD ⊥AE ，理由见解析；（2cm ）．【解析】（1）直接利用平行四边形的性质得出BD ∥CE ，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出BE 的长，进而得出答案．【详解】解：（1）对，理由：∵ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB 且CD ＝AB ．又B 是AE 的中点，∴CD ∥BE 且CD ＝BE ．∴BD ∥CE ，∵CE ⊥AE ，∴BD ⊥AE ；（2）设BE ＝x ，则CE x ，在Rt △BEC 中：x 2+x ）2＝9，解得：x 故AB ＝BE cm ）．此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确应用平行四边形的性质是解题关键．26、（1）y 1＝3x ，y 1＝﹣x +4；（1）4；（3）当x 满足1＜x ＜3、x ＜2时，则y 1＞y 1．【解析】（1）把点A （1，3）代入y 1＝x k ，求出k ，得到反比例函数的解析式；再把B （3，m ）代入反比例函数的解析式，求出m ，得到点B 的坐标，把A 、B 两点的坐标代入y 1=ax+b ，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（1）把x=2代入一次函数解析式，求出y 1=4，得到C 点的坐标，把y 1=2代入一次函数解析式，求出x=4，得到D 点坐标，再根据S △AOB =S △AOD -S △BOD ，列式计算即可；（3）找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．【详解】解：（1）把点A （1，3）代入y 1＝x k ，则3＝1k ，即k ＝3，故反比例函数的解析式为：y1＝3 x．把点B的坐标是（3，m）代入y1＝3x，得：m＝33＝1，∴点B的坐标是（3，1）．把A（1，3），B（3，1）代入y1＝ax+b，得a b331a b+=⎧⎨+=⎩，解得a14b=-⎧⎨=⎩，故一次函数的解析式为：y1＝﹣x+4；（1）令x＝2，则y1＝4；令y1＝2，则x＝4，∴C（2，4），D（4，2），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝12×4×3﹣12×4×1＝4；（3）由图像可知x＜2、1＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，故满足y1＞y1条件的自变量的取值范围：1＜x＜3、x＜2．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．利用了数形结合思想．。

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2024届北京市密云区数学九年级第一学期期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在四边形ABCD 中，90DAB ︒∠=，AD BC ∥，12BC AD =，AC 与BD 交于点E ，AC BD ⊥，则tan BAC ∠的值是（）A ．14B ．24C ．22D ．132．如图，ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，12AC =，则sin A =（）A ．1213B ．513C ．512D ．1353．如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF=40°，则∠F 的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°4．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a +b ＝0；③a ﹣b +c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为( )A．2 B．3 C．4 D．66．如图所示，是二次函数y=ax2﹣bx+2的大致图象，则函数y=﹣ax+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x＝13B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝13D．x＝08．如图是一个正八边形，向其内部投一枚飞镖，投中阴影部分的概率是（）A．13B．12C．22D．349．下列说法正确的是（）A ．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B ．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为2=3S 甲，2=4S 乙，说明乙的跳远成绩比甲稳定C ．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生10．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为____．12．如图，AB 是O 的直径，30B ∠=︒，弦6AC =，ACB ∠的平分线交O 于点D ，连接AD ，则阴影部分的面积是________．（结果保留π）13．已知关于x 的二次函数y ＝ax 2+（a 2﹣1）x ﹣a 的图象与x 轴的一个交点坐标为（m ，0）．若2＜m ＜5，则a 的取值范围是_____．14．分式方程22124x x x -=--的解为______________. 15．已知点15,4A y ⎛⎫-⎪⎝⎭、()21,B y 在二次函数23y x =+的图像上，则1y ___2y .（填“>”、“=”、“<”） 16．如图，若点P 在反比例函数y ＝﹣3x（x ＜0）的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积为_____．17．若圆锥的母线长为４cm ，其侧面积212cm π，则圆锥底面半径为 cm ．18．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为35，则袋中共有小球_____只．三、解答题(共66分)19．（10分）某景区检票口有A 、B 、C 、D 共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．（1）甲选择A 检票通道的概率是；（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．20．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示： x ...1- 0 1 2 3 ... y ... 0 3 43 0 ... （1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）结合图像，直接写出当23x -<<时，y 的取值范围．21．（6分）如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．判断△ABC 的形状，并证明你的结论；22．（8分）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，BAC DAC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AB =，23AC =，求菱形ABCD 的面积．23．（8分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品脚玩具上x 元（0＜x ＜60）元，销售利润为w 元，请求出w 关于x 的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．24．（8分）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC 如图2所示，BC =10米，∠ABC =∠ACB =36°，改建后顶点D 在BA 的延长线上，且∠BDC =90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD 的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：si n18°≈0.31，cos18°≈0.1．tan18°≈0.32，sin 36°≈0.2．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）25．（10分）某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元．如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？26．（10分）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，ACB ∠的平分线交O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CA 的延长线于点E .（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若6AC =，8BC =，求DE 的长度.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】证明ABC DAE ∽，得出AB BC DA AB =，证出2AD BC =，得出22AB BC AD BC BC =⨯=⨯22BC =，因此2AB BC =，在Rt ABC △中，由三角函数定义即可得出答案．【题目详解】∵AD BC ∥，90DAB ︒∠=，∴18090ABC DAB ︒︒∠=-∠=，90BAC EAD ︒∠+∠=，∵AC BD ⊥，∴90AED ︒=∠，∴90ADB EAD ︒∠+∠=，∴BAC ADB ∠=∠，∴ABC DAB ∽， ∴AB BC DA AB=， ∵12BC AD =， ∴2AD BC =，∴2222AB BC AD BC BC BC =⨯=⨯=，∴2AB BC =，在Rt ABC △中，2tan 22BC BC BAC AB BC∠===；故选：C ．【题目点拨】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．2、B【分析】由题意根据勾股定理求出BC ，进而利用三角函数进行分析即可求值.【题目详解】解：∵ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，12AC =，∴222213125BC AB AC =-=-=， ∴5sin 13BC A AB ==. 故选：B.【题目点拨】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，注意掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3、B【解题分析】连接FB ，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB 、∠EFB 的度数，继而根据∠EFO ＝∠EBF-∠OFB 即可求得答案.【题目详解】连接FB ，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB ＝12∠FOB=70°， ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故选B.【题目点拨】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 4、B【解题分析】由图象与x轴有交点，可以推出b2-4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由对称轴为x==-1可以判定②错误；由x=-1时，y>0，可知③错误．把x＝1，x＝﹣3代入解析式，整理可知④正确，然后即可作出选择．【题目详解】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故本选项正确，②∵对称轴为x＝＝﹣1，∴2a＝b，∴2a-b＝0，故本选项错误，③由图象可知x＝﹣1时，y>0，∴a﹣b+c>0，故本选项错误，④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，两边相加整理得5a+c＝b，∵c>0,即5a＜b，故本选项正确．故选：B．【题目点拨】本题考查了二次函数图像与各系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．5、D【分析】先求CD长度，再求点B坐标，再求函数解析式，可求得面积.【题目详解】因为，BD=3，S △BCD =1•2CD BD =3，所以，1•332CD =, 解得，CD=2，因为，C(2，0)所以，OD=4，所以，B （4，3）把B(4，3)代入y=k x ，得k=12, 所以，y=12x所以，S △AOC =162xy = 故选D【题目点拨】本题考核知识点：反比例函数. 解题关键点：熟记反比例函数性质.6、A【解题分析】解：∵二次函数y=ax 2﹣bx+2的图象开口向上，∴a ＞0；∵对称轴x=﹣2b a＜0， ∴b ＜0；因此﹣a ＜0，b ＜0∴综上所述，函数y=﹣ax+b 的图象过二、三、四象限．即函数y=﹣ax+b 的图象不经过第一象限．故选A ．7、C【解题分析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x 的值.【题目详解】∵3x 2﹣x=0，∴x（3x ﹣1）=0，∴x=0或3x ﹣1=0，∴x 1=0，x 2=，故选C ．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.8、B【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．根据正八边形性质求出阴影部分面积占总面积之比，进而可得到答案【题目详解】解：由正八边形性质可知∠EFB=∠FED=135°，故可作出正方形ABCD ．则AEF 是等腰直角三角形，设AE x =，则AF x =，2EF x =2x ．则正方形的边长是(22)x +．则正八边形的面积是：(2221(22)44122x x x ⎡⎤+-=⎣⎦，阴影部分的面积是：2212[(22)2]2(21)2x x x x -⨯=． ()2221241122x x++=，故选：B ．【题目点拨】本题考查了几何概率的求法：一般用阴影区域表示所求事件（A ）；首先根据题意将代数关系用面积表示出来；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率．同时也考查了正多边形的计算，根据正八边形性质构造正方形求面积比是关键．9、C【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果数据的个数是偶数，中间两数的平均数就是中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【题目详解】解：A ．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A 错误；B ．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为2=3S 甲，2=4S 乙，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B 错误；C ．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确；D ．可能性是1的事件在一次试验中可能会发生，D 错误．故选C ．【题目点拨】本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键．10、B【解题分析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选B ．点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题(每小题3分,共24分)11、17【分析】连接BE ，由菱形和折叠的性质，得到AF=EF ，∠C=∠A=60°，由cos ∠C=12，12CE BC =，得到△BCE 是直角三角形，则32BE BC =，则△BEF 也是直角三角形，设菱形的边长为m ，则EF=m FB -，32BE m =，由勾股定理，求出FB=18m ，则78EF m =，即可得到cos ∠EFB 的值. 【题目详解】解：如图，连接BE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD ，∠C=∠A=60°，AB ∥DC ，由折叠的性质，得AF=EF ，则EF=AB -FB ，∵cos ∠C=1cos602︒=， ∵点E 是CD 的中线， ∴12CE BC =， ∴1cos 2C C E BC ∠==， ∴△BCE 是直角三角形，即BE ⊥CD ，∴BE ⊥AB ，即△BEF 是直角三角形.设BC=m ，则BE=sin 60BC ︒=，在Rt △BEF 中，EF=m FB -，由勾股定理，得：222FB BE EF +=,∴222()2FB m FB +=-，解得：18FB m =，则78EF m =， ∴118cos 778m FB EFB EF m ∠===；故答案为：17. 【题目点拨】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，菱形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，从而利用解直角三角形进行解题.12、918π-【分析】连接OD ，求得AB 的长度，可以推知OA 和OD 的长度，然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得，阴影部分的面积=AOD AOD S S -△扇形.【题目详解】解：连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴212AB AC ==， ∴162OA OD AB -==， ∵CD 平分ACB ∠，90ACB ∠=︒，∴45ACD ∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，∴11661822AOD S OA OD =⋅=⨯⨯=△， ∴22116=944AOD S OD =π=π⨯π扇形， ∴阴影部分的面积918AOD AOD S S =-π-△扇形．故答案为：918π-．【题目点拨】本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式． 13、15＜a 12<或﹣5＜a ＜﹣1．【分析】首先可由二次函数的表达式求得二次函数图象与x 轴的交点坐标，可知交点坐标是由a 表示的，再根据题中给出的交点横坐标的取值范围可以求出a 的取值范围．【题目详解】解：∵y ＝ax 1+（a 1﹣1）x ﹣a ＝（ax ﹣1）（x +a ），∴当y ＝0时，x ＝﹣a 或x ＝1a， ∴抛物线与x 轴的交点为（﹣a ，0），（1a ，0），由题意函数与x 轴的一个交点坐标为（m ，0）且1＜m ＜5，∴当a ＞0时，1＜1a ＜5，即15＜a 12<；当a ＜0时，1＜﹣a ＜5，即﹣5＜a ＜﹣1；故答案为15＜a 12<或﹣5＜a ＜﹣1．【题目点拨】本题综合考查二次函数图象与与x 轴的交点坐标以及一元一次不等式的解法，熟练掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及一元一次不等式的解法是解题关键．14、1x =-；【解题分析】方程两边都乘以（x+2）（x-2）得到x （x+2）-2=（x+2）（x-2），解得x=-1，然后进行检验确定分式方程的解．【题目详解】解：22124x x x -=-- 去分母得x （x+2）-2=（x+2）（x-2），解得x=-1，检验：当x=-1时，（x+2）（x-2）≠0，所以原方程的解为x=-1．故答案为x=-1．【题目点拨】本题考查解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，最后确定分式方程的解．15、>【分析】把两点的坐标分别代入二次函数解析式求出纵坐标，再比较大小即可得解. 【题目详解】54x =-时，21525733341616y ⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭， 1x =时，2213134y =+=+=， ∵73941616-=＞0， ∴12y y >；故答案为：>．【题目点拨】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，用求差法比较大小是常用的方法.16、1【分析】设PN ＝a ，PM ＝b ，根据P 点在第二象限得P （﹣a ，b ），根据矩形的面积公式即可得到结论．【题目详解】解：设PN ＝a ，PM ＝b ，∵P 点在第二象限，∴P （﹣a ，b ），代入y ＝3x中，得k＝﹣ab＝﹣1，∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝1，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，即S矩形PMON=K17、3【解题分析】∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l=2305srπ==6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r=622lπππ==3cm，18、1．【分析】直接利用概率公式计算．【题目详解】解：设袋中共有小球只，根据题意得635x=，解得x＝1，经检验，x=1是原方程的解，所以袋中共有小球1只．故答案为1．【题目点拨】此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知概率公式的运用.三、解答题(共66分)19、（1）14；（2）14.【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】（1）解：一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率=14，故答案为:14；（2）解：列表如下：B （B ，A ）（B ，B ）（B ，C ）（B ，D ） C（C ，A ）（C ，B ）（C ，C ）（C ，D ） D （D ，A ）（D ，B ）（D ，C ）（D ，D ）共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E ，它的发生有4种可能：（A ，A ）、（B ，B ）、（C ，C ）、（D ，D ）∴P （E ）＝416＝14．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．20、（1）2(1)4y x =--+或2y x 2x 3=-++；（2）画图见解析；（3）54y -<≤.【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，4），则可设顶点式y=a （x-1）2+4，然后把点（0，3）代入求出a 即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x=2-、3时的函数值即可写出y 的取值范围．【题目详解】解：根据题意可知, 二次函数的顶点坐标为（1，4），∴设二次函数的解析式为：2(1)4y a x =-+，把(0,3)代入得：1a =-；∴2(1)4y x =--+；∴解析式为：2(1)4y x =--+或2y x 2x 3=-++. （2）如图所示：（3）当2x =-时，2(21)45y =---+=-；当3x =时，2(31)40y =--+=；∵抛物线的对称轴为：1x =，此时y 有最大值4；∴当23x -<<时，y 的取值范围为：54y -<≤.【题目点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．21、见解析.【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB ，∠ABC=∠APC ，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC 的形状；【题目详解】解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是弧BC 所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是弧AC 所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB ，∠ABC=∠APC ，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°=∠ACB ，∴△ABC 为等边三角形.【题目点拨】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°.22、（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA ，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA ，即可得出AB=BC ，进而证明是菱形即可；（2）连接BD 交AC 于O ，证明四边形ABCD 是菱形，得出AC ⊥BD ，12AO OC AC ===OB=OD=12BD ，由勾股定理求出OB ，得出BD ，▱ABCD 的面积=12AC•BD ，即可得出结果．【题目详解】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD 中，∵DC AB ∥，∴DCA CAB ∠=∠，又∵BAC DAC ∠=∠，∴DCA DAC ∠=∠，∴DA DC =，∴平行四边形ABCD 是菱形．（2）解：如图，连接DB ，与AC 交于O由（1）四边形，ABCD 是菱形，∴90BOA ∠=，132AO OC AC ===，在Rt ABO ∆中，()22231OB =-=， ∴22BD OB ==，∴菱形ABCD 的面积为2323212⨯⨯=．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．23、（1）w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000；（2）最大利润是1元，此时玩具的销售单价应定为65元．【分析】（1）利用销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，再结合每件玩具的利润乘以销量=总利润进而求出即可；（2）利用每件玩具的利润乘以销量=总利润得出函数关系式，进而求出最值即可．【题目详解】（1）根据题意得：w =[600﹣10（x ﹣40）]（x ﹣30）=﹣10x 2+1300x ﹣30000；（2）w =[600﹣10（x ﹣40）]（x ﹣30）=﹣10x 2+1300x ﹣30000=﹣10（x ﹣65）2+1．∵a =﹣10＜0，∴对称轴为x =65，∴当x =65时，W 最大值=1（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是1元，此时玩具的销售单价应定为65元．【题目点拨】本题考查了二次函数的应用，得出w 与x 的函数关系式是解题的关键．24、1.9米【解题分析】试题分析：在直角三角形BCD 中，由BC 与sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，在直角三角形ACD 中，由∠ACD 度数，以及CD 的长，利用锐角三角函数定义求出AD 的长即可．试题解析：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=， ∴CD=BC•sinB=10×0.2=5.9， ∵在Rt △BCD 中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°， ∴∠ACD=∠BCD ﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，∴在Rt △ACD 中，tan ∠ACD=， ∴AD=CD•tan ∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），则改建后南屋面边沿增加部分AD 的长约为1.9米．考点：解直角三角形的应用25、第二个月的单价应是70元.【解题分析】试题分析：设第二个月降价x 元，则由题意可得第二个月的销售单价为(80)x -元，销售量为(20010)x +件，由此可得第二个月的销售额为(80)(20010)x x -+元，结合第一个月的销售额为80200⨯元和第三个月的销售额为40[800200(20010)]x ⨯--+元及总的利润为9000元，即可列出方程，解方程即可求得第二个月的销售单价. 试题解析：设第二个月的降价应是x 元，根据题意，得:80×200+（80-x ）（200+10x ）+40[800-200-（200+10x ）] -50×800=9000,整理，得x 2-20x+100=0，解得x 1=x 2=10，当x=10时，80-x=70＞50，符合题意.答：第二个月的单价应是70元.点睛：这是一道有关商品销售的实际问题，解题时需注意以下几点：（1）进货成本=商品进货单价×进货数量；（2）销售金额=商品销售单价×销售量；（3）利润=销售金额-进货成本；（4）若商品售价每降价a 元，销量增加b 件，则当售价降低x 元时，销量增加：bx a件. 26、（1）见解析；（2）354【分析】（1）连接OD ，由AB 为O 的直径得到∠ACB=90︒，根据CD 平分∠ACB 及圆周角定理得到∠AOD=90︒，再根据DE ∥AB 推出OD ⊥DE ，即可得到DE 是O 的切线；（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，CD 交AB 于M ，利用勾股定理求出AB ，再利用面积法求出CH ，求出OH ，根据△CHM ∽△DOM 求出HM 得到AM ，再利用平行线证明△CAM ∽△CED ，即可求出DE.【题目详解】（1）如图，连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=45︒，∴∠AOD=90︒，即OD ⊥AB ，∵DE ∥AB ，∴OD ⊥DE ,∴DE 是O 的切线；（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，CD 交AB 于M ， ∵∠ACB=90︒，6AC =，8BC =，∴22226810AC BC +=+=,∵S △ABC =1122AC BC AB CH ⋅⋅=⋅⋅, ∴CH=68 4.810⨯=, ∴22226 4.8 3.6AC CH -=-=, ∴OH=OA-AH=5-3.6=1.4，∵∠CHM=∠DOM=90︒，∠HMC=∠DMO, ∴△CHM ∽△DOM, ∴CH HM CM DO OM DM== ∴CM DM = 4.824525HM OM ==，2449CM CD =， ∴HM=2435, ∴AM=AH+HM=307, ∵AB ∥DE, ∴△CAM ∽△CED, ∴2449AM CM ED CD ==, ∴DE=354.【题目点拨】此题考查圆的性质，圆周角定理，切线的判定定理，三角形相似，勾股定理，（2）是本题的难点，利用平行线构建相似三角形求出DE的长度，根据此思路相应的添加辅助线进行证明.。