231 2直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定[新知初探]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.[点睛](1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.[点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α()答案：(1)×(2)√(3)×2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解[典例]下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．[答案]②(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：选C2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．答案：①③④线面垂直的判定[典例]如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．[活学活用]如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB . 证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，∴PA ⊥BM . 又∵PA ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面PAM . 又AN ⊂平面PAM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .直线与平面所成角[典例] 三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等且为所成角的余弦值． [解] 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO .则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， ∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC ， ∴AO ＝BO ＝CO ， ∴O 为△ABC 的外心． ∵△ABC 为正三角形， ∴O 为△ABC 的中心． ∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角． 在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23×32a ＝33a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33，∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.答案：(1)45°(2)30°(3)90°层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D.3．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．答案：菱形9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1.∵EF ＝2，∴EF 2＝EG 2＋FG 2，∴EG ⊥FG ， ∴BD ⊥EG .∵∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD . 又EG ∩CD ＝G ，∴BD ⊥平面ACD .10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO ，B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22，AE ＝A 1E 2＋AA 21＝ ⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条； ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条； ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个； ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个． 其中正确的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②D ．③④解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan∠FEB＝55.答案：5 56.如图所示，将平面四边形ABCD 沿对角线AC 折成空间四边形，当平面四边形ABCD 满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC 与BD 交于E ，假设AC ⊥BD ，则AC ⊥DE ，AC ⊥BE . 折叠后，AC 与DE ，AC 与BE 依然垂直，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC ⊥BD .若四边形ABCD 为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)7．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1. (1)求证：AB 1⊥平面A 1BC 1.(2)若D 为B 1C 1的中点，求AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值． 解：(1)证明：由题意知四边形AA 1B 1B 是正方形， ∴AB 1⊥BA 1.由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1. 又∵A 1C 1⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， 又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥AB 1.又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. (2)连接A 1D .设AB ＝AC ＝AA 1＝1， ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角． 在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边的中点， ∴A 1D ＝12×B 1C 1＝22.在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，。
直线与平面垂直的判定
1.如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
则能保证该直线与平面垂直的是( )
A.①③
B.①②
C.②④
D.①④
解析:三角形的两边,圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边,正六边
答案:B
(
)
3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 2,BC=AA1=1,则 BD1 与平面 A1B1C1D1
所成的角的大小为
.
解析:如图所示,连接 B1D1,
则 B1D1 是 BD1 在平面 A1B1C1D1 上的射影,
则∠BD1B1 是 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角.
直线与平面不一定垂直.
做一做 1
若三条直线 OA,OB,OC 两两垂直,则直线 OA 垂直于
A.平面 OAB B.平面 OAC
C.平面 OBC D.平面 ABC
解析:由线面垂直的判定定理知 OA 垂直于平面 OBC.
答案:C
(
)
3.直线和平面所成的角
(1)定义:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫
求证:AF⊥SC.
思路分析:要证 AF⊥SC,可证 SC⊥平面 AEF,又 EF⊥SC,只需证 AE⊥
SC.只需证 AE⊥平面 SBC,又 AE⊥SB,只需证 AE⊥BC,最后只需证 BC⊥平
面 SAB.又 BC⊥AB,BC⊥SA,结论得证.
证明:∵SA⊥平面 AC,BC⊂平面 AC,∴SA⊥BC.
交直线,故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件.
正解:证明:∵AA1⊥平面 ABC,CD⊂平面 ABC,
直线与平面垂直的判定
B m
α
g
n
g
l
AB=A’B
A
B m
α
g
n
A’
l
AB=A’B
A
B m
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AB=A’B
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n D
C
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C
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A
l
l ⊥m
B m
α
C A’
l⊥ m
A
l
AC=A’C
B m
的."李桃懂了,丈夫毕竟是中国人,还是喜欢吃中国菜的,旋即一路小跑的离开. "真好,它个孩子还有你那样的丈夫.你们都是大难不死."卡纳什金娃目光迷离的看着它个小姑娘,不禁自言自语. "也许吧,战场上有时候运气比战术技能还重要."李小克扭过身子,身边就剩下那个女人了."跟我走 吧,带你去见师长." 午餐时间尚未开始,耶夫洛夫很忙,他希望那些新来的民兵,最快下午开始就展开军事训练.见到李小克归来,他火急火燎的命起乖乖做好,新的会议立刻开始. 忽然间,耶夫洛夫注意到别列科夫身边还有个女人,说实话还是挺漂亮的女人."别列科夫,你去了一趟铁匠村,难道 也要立刻选择一个人做副官吗?" 李小克能听出来那话中夹杂着别的思绪,他果断将女人推到前台. "迪莉娅,那
直线和平面垂直的判定定理
直线和平面垂直的判定定理直线与平面垂直性是几何学中许多平面图形的基础，因此掌握判断它们是否垂直的方法也是十分重要的。
而判断它们是否垂直的定理就成了学习和掌握的关键环节。
直线与平面垂直的判定定理是几何学中的重要定理，它定义了直线与平面是否垂直的关系。
定理中提出：若一直线与一平面相交，当且仅当直线与该平面上的任意一点的线段的中垂线垂直于所求平面，则该直线与这个平面垂直。
因此，我们可以把这个定理拆解为三步：1.判断直线是否与平面相交。
当两者都在同一空间中，并且直线与平面交于一点时，它们就相交。
2.找出任意一点的线段的中垂线。
从直线上任意一点引一垂线，它与任意一点的线段的中垂线确定一个中垂平面，该平面与直线所在平面垂直，其中垂线就是中垂平面上任意一点线段的中垂线。
3.比较中垂线与所求平面的垂直性。
如果中垂线垂直于所求平面，那么直线与所求平面就是垂直的，否则就不是垂直的。
直线与平面垂直的判定定理可以让我们更加直观的判断几何图形的垂直性。
不仅可以用于判断直线与平面的关系，而且还可以判断平面与平面的关系。
如果两条平面都交于相同的一点，那么我们就可以判断它们是否垂直，判断它们是否垂直，只需遵循直线与平面垂直的判定定理。
虽然这个定理简单，但是它却是几何学中十分重要的定理，可以让我们更直观的判断几何图形的垂直关系以及几何图形的关系。
由于它的重要性，直线与平面垂直的判定定理已经成为几何学中的重要定理，也是几何学课程中必须掌握的知识点。
总而言之，《直线与平面垂直的判定定理》是几何学中十分重要的定理，它可以帮助我们正确判断几何图形的垂直性以及几何图形的关系，也是几何学课程中必须掌握的知识点。
当我们开始掌握有关《直线和平面垂直的判定定理》的知识时，就可以更加轻松的掌握几何图形的垂直关系，为今后的几何学学习打下基础。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
直线、平面垂直的判定及其性质
例 1、如图,已知点 P 为平面 ABC 外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.
证明：过 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O，连接 OA、OB、OC.
∵PO⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，
∴PO⊥BC. 又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面 PAO.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
直线与平面垂直的判定
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地 面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂 直的印象. 问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这 个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽 管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就 是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
∵BD∥NA，∴AC1⊥NA. 又由 BD⊥AC,可知 NA⊥AC， ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角.
在 Rt△ C1AC 中，tan∠C1AC= C1C 1 ，故∠C1AC=30°. CA 3
∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°.
直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。
要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”.这与“无数条直线”不同.注意区别。
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。
(3)若.则。
2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。
符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不可忽视。
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。
过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。
要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。
(2)直线与平面垂直射影是点。
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
(4)一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。
知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。
直线平面垂直的判定及其性质
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线 。
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直 线与这个平面垂直。
如果一个平面内的一条直线垂直于这个平面外的一条直线， 则这个平面与这条直线垂直。
直线与平面垂直的充分必要条件
光学
直线与平面垂直的性质在光学中也有应用，例如光线从 一个介质射向另一个介质时会发生折射，而光线的折射 方向通常与光线所在的平面垂直。
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直线与平面垂直的习题与解析
例题一：直线与平面垂直的判定
总结词
直线与平面垂直的判定定理是，如果一条直线垂直于 一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个 平面。
利用判定定理证明
总结词
利用直线与平面垂直的判定定理证明。
详细描述
根据直线与平面垂直的判定定理，如果一条 直线垂直于平面内两条相交的直线，那么这 条直线与这个平面垂直。因此，要证明直线 与平面垂直，我们可以将直线与平面内两条 相交的直线垂直作为已知条件，然后利用判
定定理进行证明。利用性质来自明要点一关系。
垂直平分线
利用直线与平面垂直的性质，我们 可以找到一个图形的垂直平分线， 从而将图形分为两个相等的部分。
等腰三角形
在几何作图中，直线与平面垂直的 性质可以帮助我们证明一个三角形 是等腰三角形，以及找到它的腰和 底边。
在立体几何中的应用
空间直线与平面
在立体几何中，直线与平面垂直 的性质可以帮助我们确定空间直
线和平面之间的关系。
体积计算
通过利用直线与平面垂直的性质 ，我们可以计算某些立体图形的
体积。
投影问题
在立体几何中，直线与平面垂直 的性质可以帮助我们解决投影问 题，例如一个平面投影到一个直