微积分B(1)第5次习题课答案_435002227

F ( x ) = f ( x) − x ，则 F ( x) 连续，且 F ( f ( x)) = f ( f ( x )) − f ( x) = x − f ( x) ，
所以
F ( x ) F ( f ( x)) ≤ 0 .当等号成立时，取 ξ = x ；当等号不成立时，由连续函数的零
点存在定理，存在介于 x 与 f ( x ) 之间的点 ξ ，使得
x → x0
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作者：闫浩
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处连续.(当 x0 = a 或者 x0 = b 时上述的极限和连续均表示单侧极限与单侧连续) 注意到
f ( x ) + g ( x) | f ( x) − g ( x) | + 2 2 f ( x ) + g ( x) | f ( x) − g ( x) | − min{ f ( x), g ( x )} = 2 2 max{ f ( x), g ( x)} =
1 f ( x) ．求证： 2
f ( x) > 0 .
因为 f ( x) 在 [ a, b] 上连续，根据闭区间上连续函数的性质，必存在最小值，即存在点
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ξ ∈ [a, b] 使得 | f (ξ ) |= min {| f ( x ) |} > 0 ．
x, y ∈ R , x ≠ y 但 f ( x ) = f ( y ) .所以 f ( f ( x )) = f ( f ( y )) 与 f ( f ( x )) = e − x 单调矛盾. 又
由于 f ∈ C ( R ) ，所以可以得到 f ( x ) 是 R 上的单调函数，从而 f ( f ( x )) = e − x 单调递增, 矛盾。因此不存在 R 连续函数 f ( x ) 使得 f ( f ( x )) = e − x . 7. 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，对 ∀x ∈ [ a, b] ，总存在 y ∈ [ a, b] 使得 f ( y ) ≤ 至少存在一点η ∈ [ a, b] ，使得 f (η ) = 0 ． 证明： 反证法：如果函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上没有零点，则函数 f ( x) 在 [ a, b] 上也没有零点, 所以
此 x1 = f ( f ( x1 )) = f ( f ( x3 )) = x3 ，矛盾. (2) ∀x ∈ [0,1] ， x, f ( x) ∈ [0,1] 如果 x ≤ f ( x ) ，由 f 的单调性，有 f ( x) ≤ f ( f ( x )) = x ，因此有 f ( x ) = x ； 如果 x > f ( x ) ，同理可得 f ( x ) ≥ x ，仍然有 f ( x ) = x 综上， f ( x ) = x . 4．证明：平面上，沿任一方向作平行直线，总存在一条直线，将给定的三角形分成面积相 等的两部分. 简证 建立如图所示的坐标系. S ( x ) 表示阴 影部分的面积，由于对于任意的
x ∈[ a , +∞ )
f ( a) < α <
都 ∃ξ ∈ ( a, +∞ ) ，使得α = f ( ξ ) . 证明： ∀α 使得 f (a ) < α < 使得
x∈[ a, +∞)
sup { f ( x )} ，
x∈[ a, +∞)
sup
{ f (x )} ， 取ε
=
1 则 ∃ b ∈ (a,+∞ ) ， sup { f ( x )} − α ， 2 x∈[ a , +∞ )
F (ξ ) = 0 ，即 f (ξ ) = ξ .
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法二：反证法.若 f ( x ) ≠ x ，不妨设 f ( x ) > x ，则
f ( f ( x )) > f ( x) > x ,
这与条件矛盾，故存在 ξ ∈ ( −∞,+∞ ) ,使得 f ( ξ ) = ξ . 3.设 f :[0,1] → [0,1] 的连续函数， f (0) = 0, f (1) = 1, f ( f ( x)) = x . 证明：(1) f ( x ) 是单调递增函数 (2) f ( x ) = x .
证 明 ： (1) 反 证 法 : 假 设 f ( x ) 不 是 单 调 递 增 函 数 ， 那 么 存 在 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ， 使 得
f ( x2 ) < f ( x1 ) ≤ 1 = f (1) .由于 f 的连续性，则存在 x3 ∈ [ x2 ,1] ，使得 f ( x3 ) = f ( x1 ) ，因
所以
F (a ) F (a + π ) ≤ 0 .当等号成立时，取 ξ = a ；当等号不成立时，由连续函数的零
点存在定理，存在 ξ ∈ ( a, a + π ) ⊂ R ，使得
F (ξ ) = 0 ，即 f ( ξ + π ) = f ( ξ) .
(2)（连续函数的零点存在定理，周期函数的概念） 以圆心为极点， 某个半径作极轴， 于是圆周上的点可以由极角 θ 决定. f 便是 θ 的连续函数， 且以 2π 为周期.至此问题变成求一 θ 0 ，使得 f (θ 0 ) = f (θ 0 + π ) .以下做法同第 2(1)题. 2．证明：若 f ( x) ∈ C ( −∞,+∞ ) , f ( f ( x )) = x ,则存在 ξ ∈ ( −∞,+∞ ) ,使得 f ( ξ ) = ξ . 证明 （连续函数的零点存在定理） 法一：令
n→∞
因为数列 {xn } 有界，所以存在收敛子列 {xn k } ，记η = lim xnk ，则η ∈ [ a, b] ．因为函
k →∞
数 f ( x ) 在η 处连续，所以 f (η ) = f (lim xnk ) = lim f ( xnk ) = 0 ．
k →∞ k →∞
8．设 f ( x ) ∈ C[ a , +∞ ) 且有界，若 f ( a ) < sup { f ( x )} ，则 ∀α ,满足
作者：闫浩
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微积分 B(1)第五次习题课题目参考答案 （第七周）
1 ． (1) 若 f ( x ) 是 以 2 π 为 周 期 的 连 续 函 数 , 则 在 任 何 一 个周 期 内 存 在 ξ ∈ R , 使 得
f ( ξ + π ) = f ( ξ) .
(2) 已知函数 f 在圆周上有定义， 并且连续.证明： 可以找到一条直径， 使得其两个端点 A ，
1 f ( x0 ) 2
1 f ( x1 )（假设 f ( x2 ) ≠ 0 ） ． 依 2 1 1 次下去， 存在 {xn } ⊂ [ a, b] ， 满足存 f ( xn ) ≤ f ( xn −1 ) ≤ L ≤ n f ( x0 )（假设 f ( xn ) ≠ 0 ） ， 2 2
易知 lim f ( xn ) = 0 ．
y L S ( x)
A
C
x1 , x 2 ∈ [a, b] ，都有 S ( x1 ) − S ( x 2 ) < L x1 − x 2 ，所以 S ( x ) ∈ C[a, b] ，又因为 S (a ) = 0, S (b) = s ，根据连续函数的介值
定理可知存在 ξ ∈ ( a, b) ，使得 S (ξ ) =
a ≤ x ≤b
由题设条件知， 在 [ a, b] 内存在 y ∈ [ a, b] ， 使得 f ( y ) ≤ 是最小值矛盾，所以函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上至少有一个零点．
1 f (ξ ) < f (ξ ) ．这与 f (ξ ) 2
直接法：取 x0 ∈ [ a, b], f ( x0 ) ≠ 0 ，根据题中条件，存在 x1 ∈ [ a, b] ，使得 f ( x1 ) ≤ （假设 f ( x1 ) ≠ 0 ） ； 类似地， 存在 x2 ∈ [ a, b] ， 使得 f ( x2 ) ≤
a ≤ξ ≤ x a ≤ξ ≤ x
证明：(1) ∀x0 ∈ [ a, b] ,由于 lim f ( x ) = f ( x0 ) 以及
x → x0
பைடு நூலகம்
0 ≤|| f ( x) | − | f ( x0 ) ||≤| f ( x) − f ( x0 ) | ，可以得到 lim | f ( x ) |=| f ( x0 ) | .因此 | f ( x) | 在 x0
f (b ) > sup
x∈[ a, +∞)
{ f (x )} − ε = 1

2 x∈[a,+∞)
sup
{ f (x )} + α >α >


f (a ) .
由于 f ( x ) ∈ C[a, b] ，根据介值定理可知 ∃ξ ∈ (a, b ) ⊂ (a,+∞ ) ，使得 f (ξ ) = α . 9．设 f ( x), g ( x ) ∈ C[ a, b] . 证明： （1） | f ( x ) |, max{ f ( x), g ( x )}, min{ f ( x ), g ( x)} ∈ C[ a, b] . （2） m( x) = min f (ξ ), M ( x) = max f (ξ ) ∈ C[ a, b]
作者：闫浩
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使得 f ( x2 ) > f ( x1 ), f ( x3 ) > f ( x4 ) 。或者 f ( x2 ) < f ( x1 ), f ( x3 ) < f ( x4 ) 仅考虑 f ( x2 ) > f ( x1 ), f ( x3 ) > f ( x4 ) ，另外一种情况类似。 下面排列着四个数，我们仅考虑它们互不相等的情形，否则与 f ( x ) 在 [ a, b] 上存在反函数 矛盾。 若 f ( x2 ) > f ( x1 ) > f ( x3 ) ，由介值定理，存在 x5 ∈ ( x2 , x3 ) ，使得 f ( x5 ) = f ( x1 ) 若 f ( x2 ) > f ( x3 ) > f ( x1 ) ，存在 x6 ∈ ( x1 , x2 ) ，使得 f ( x3 ) = f ( x6 ) 若 f ( x3 ) > f ( x2 ) > f ( x1 ) ，考虑 f ( x4 ) 。 若 f ( x3 ) > f ( x2 ) > f ( x1 ) > f ( x4 ) ，存在 x7 ∈ ( x2 , x4 ) 使得 f ( x1 ) = f ( x7 ) 若 f ( x3 ) > f ( x2 ) > f ( x4 ) > f ( x1 ) 存在 x8 ∈ ( x1 , x2 ) 使得 f ( x4 ) = f ( x8 ) 若 f ( x3 ) > f ( x2 ) > f ( x4 ) > f ( x1 ) 存在 x9 ∈ ( x3 , x4 ) 使得 f ( x2 ) = f ( x9 ) 若 f ( x3 ) > f ( x4 ) > f ( x2 ) > f ( x1 ) 存在 x10 ∈ ( x2 , x3 ) 使得 f ( x4 ) = f ( x10 ) 以上情形均与 f ( x ) 在 [ a, b] 上存在反函数矛盾。综上可知函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上单调． 6.证明：不存在函数 f ∈ C ( R ) 使得 f ( f ( x )) = e − x . 证明： 假 设存在 R 连续函数 f ( x ) 使得 f ( f ( x )) = e − x . 那么 f ( x ) 有反函数 . 否 则，存在