2011年中考数学试题分类42 学科结合与高中衔接问题

第42章学科结合与高中衔接问题一、选择题1. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30∘，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？A．45 B．52．5 C．67．5 D．75【答案】Ｃ2. （2011贵州安顺，9，3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C3. （2011河北，11，3分）如图4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x 的函数图象大致是（）图4xyxxyOxyOxyOA ．B ．C ．D ．【答案】A3. （2011重庆市潼南,10,4分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形， 点C 的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x 轴的 直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长 度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分 别交于点M,N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则 能大致反映S 与t 的函数关系的图象是【答案】C4. （2011台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的ABC ∆，若在此三角形内找一点O ，使得OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的面积均相等。

判断下列作法何者正确？A ． 作中线AD ，再取AD 的中点Ooxy10题图xy ABC O MN ltsO 242343AtsO242343B tsO242343C tsO242343DB ． 分别作中线AD 、BE ，再取此两中线的交点OC ． 分别作AB 、BC 的中垂线，再取此两中垂线的交点OD ． 分别作A ∠、B ∠的角平分线，再取此两角平分线的交点O 【答案】B 二、填空题 三、解答题1. (2011重庆綦江，26，12分)在如图的直角坐标系中，已知点A （1，0）；B （0，－2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ． ⑴ 求点C 的坐标； ⑵ 若抛物线2212++-=ax x y 经过点C ． ①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】：解：(1)过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ， 在△ACD 和△BAO 中，由已知有∠CAD ＋∠BAO ＝90°, 而∠ABO ＋∠BAO ＝90°∴∠CAD ＝∠ABO ， 又∵∠CAD ＝∠AOB ＝90°,且由已知有CA ＝AB ， ∴△ACD ≌△BAO ，∴CD ＝OA ＝1,AD ＝BO ＝2， ∴点C 的坐标为(3,－1)(2)①∵抛物线2212++-=ax x y 经过点C (3,－1)， ∴2332112++⨯-=-a ,解得21=a∴抛物线的解析式为221212++-=x x y解法一：② i) 当A 为直角顶点时 ，延长CA 至点1P ,使AB AC AP ==1, 则△1ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形,如果点1P 在抛物线上,则1P 满足条件,过点1P 作1P E ⊥x 轴, ∵1AP ＝AC ,∠1EAP ＝∠DAC ，∠EA P 1＝∠CDA ＝90°, ∴△A EP 1≌△DCA ，∴AE ＝AD ＝2, 1EP ＝CD ＝1,∴可求得1P 的坐标为(－1,1)，经检验1P 点在抛物线上,因此存在点1P 满足条件； ii ） 当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L ⊥BA ，在直线L 上分别取AB BP BP ==32，得到以AB 为直角边的等腰直角△2ABP 和等腰直角△3ABP ，作F P 2⊥y 轴，同理可证△F BP 2≌△ABO∴,22==BO F P BF ＝OA ＝1，可得点2P 的坐标为（－2，－1），经检验2P 点在抛物线上,因此存在点2P 满足条件．同理可得点3P 的坐标为（2，－3），经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点1P (－1,1)，2P （－2，－1）两点，使得△1ABP 和△2ABP是以AB 为直角边的等腰直角三角形．解法二：（2）②（如果有用下面解法的考生可以给满分） i) 当点A 为直角顶点时,易求出直线AC 的解析式为2121+-=x y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=2212121212x x y x y 解之可得1P (－1,1) （已知点C 除外）作E P 1⊥x 轴于E ,则AE ＝2, E P 1＝1, 由勾股定理有又∵AB ＝5,∴AB AP =1，∴△AB P 1是以AB 为直角边的等腰三角形；ii ）当B 点为直角顶点时，过B 作直线L ∥AC 交抛物线于点2P 和点3P ，易求出直线L 的解析式为221--=x y ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=221212212x x y x y 解得21-=x 或42=x∴2P (－2,－1)，3P （4，－4）作F P 2⊥y 轴于F ，同理可求得AB BP ==52∴△AB P 2是以AB 为直角边的等腰三角形作H P 3⊥y 轴于H ，可求得AB BP ≠=+=5242223，∴Rt △3ABP 不是等腰直角三角形，∴点3P 不满足条件．综上：抛物线上存在点1P (－1,1)，2P （－2，－1）两点，使得△1ABP 和△2ABP 是以角AB 为直边的等腰直角三角形．2. （2011广东省，22，9分）如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）. （1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作⊥x 轴，交直线AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点G 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平等四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.【解】（1）把x=0代入2517144y x x =-++，得1y = 把x=3代入2517144y x x =-++，得52y =，∴A 、B 两点的坐标分别（0，1）、（3，52）设直线AB 的解析式为y kx b =+，代入A 、B 的坐标，得1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，112y x =+ （2）把x=t 分别代入到112y x =+和2517144y x x =-++ 分别得到点M 、N 的纵坐标为112t +和2517144t t -++∴MN=2517144t t -++-（112t +）=251544t t -+即251544s t t =-+∵点P 在线段OC 上移动， ∴0≤t≤3.(3)在四边形BCMN 中，∵BC ∥MN∴当BC=MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形 由25155442t t -+=，得121,2t t == 即当12t =或时，四边形BCMN 为平行四边形 当1t =时，PC=2，PM=32，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=52, 此时BC=CM=MN=BN ，平行四边形BCMN 为菱形； 当2t =时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=5, 此时BC≠CM ，平行四边形BCMN 不是菱形； 所以，当1t =时，平行四边形BCMN 为菱形．3. （2011湖南怀化，24，10分）在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数)0(>=k xky 的图像与AC 边交于点E. （1） 求证：AE×AO=BF×BO ；（2） 若点E 的坐标为（2，4），求经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式；（3） 是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出此时的OF 长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明：由题意知，点E 、F 均在反比例函数)0(>=k xky 图像上，且在第一象限，所以AE×AO=k ，BF×BO=k ，从而AE×AO=BF×BO. (2)将点E 的坐标为（2，4）代入反比例函数)0(>=k xky 得k=8， 所以反比例函数的解析式为xy 8=.∵OB=6，∴当x=6时，y=34，点F 的坐标为（6，34）. 设过点O 、E 、F 三点的二次函数表达式为)0(2≠++=a c bx ax y ，将点O （0，0），E （2、4），F （6，34）三点的坐标代入表达式得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=346364240c b a c b a c 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=092694c b a ∴经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式为：x x y 926942+-=. (1) 如图11，将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边于点C′.过点E 作EH ⊥OB于点H.设CE=n ，CF=m ，则AE=6-n ，BF=4-m由（1）得AE×AO=BF×BO ∴(6-n)×4=(4-m)×6 ,解得n=1.5m. 由折叠可知，CF=C′F=m ，CE=C′E=1.5m ，∠EC′F=∠C=90° 在Rt △EHC′中，∠EC′H+∠C′EH=90°，又∵∠EC′H+∠EC′F+FC′B=180°，∠EC′F=90° ∴∠C′EH=FC′B ∵∠EHC′=C′BF=90° ∴△EC′H ∽△C′FB ，∴FC C E B C EH ''=' ∴5.15.1==''='mmF C C E B C EH ， ∵由四边形AEHO 为矩形可得EH=AO=4 ∴C ′B=38. 在Rt △BC′F 中，由勾股定理得，C′F 2=BF 2+C′B 2，即m 2=(4-m)2+238⎪⎭⎫⎝⎛解得：m=926 BF=4-926=910, 在Rt △BOF 中，由勾股定理得，OF 2=BF 2+OB 2，即OF 2=62+2910⎪⎭⎫ ⎝⎛=813016.∴OF=97542 ∴存在这样的点F ，OF=97542,使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上. 4. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 在AB 上，AP=2.点E 、F 同时从点P 出发，分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立即以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止.在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设E 、F 运动的时间为t 秒（t ＞0），正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S .(1)当t=1时，正方形EFGH 的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH 的边长是 ；(2)当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？ ABCH GP E F【答案】(1)2；6； (2) 当0＜t ≤611时（如图），求S 与t 的函数关系式是：S=EFGH S 矩形=(2t )2=4t 2；AB CH GP E F当611＜t ≤65时（如图），求S 与t 的函数关系式是： S=EFGH S 矩形-S △HMN =4t 2-12×43×[2t-34(2-t )] 2 =2524 t 2+112t -32；当65＜t ≤2时（如图），求S 与t 的函数关系式是： S= S △ARF -S △AQE =12×34(2+t ) 2-12×34(2-t ) 2=3t .(3)由（2）知：若0＜t ≤611，则当t=611时S 最大，其最大值S=144121； 若611＜t ≤65，则当t=65时S 最大，其最大值S=185； 若65＜t ≤2，则当t=2时S 最大，其最大值S=6. 综上所述，当t=2时S 最大，最大面积是6.5. （2011山东临沂，26，13分)如图，已知抛物线经过A （－2，0），B （－3，3）及原点O ，顶点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P 使得以点P 、M 、A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线过原点O ，∴可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，将A （－2，0），B （－3，3）代入，得⎩⎨⎧.3b 3a 90b 2a 4＝－，＝－解得⎩⎨⎧.2b 1a ＝，＝∴此抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x ．……………………（3分） （2）如图，①当AO 为边时，∵以A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE ∥AO ，且DE ＝AO ＝2，…………………………………………（ 4分） 点E 在对称轴x ＝－1上，∴点D 的横坐标为1或－3，…………………………………………（ 5分） 即符合条件的点D 有两个，分别记为：D 1，D 2， 而当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－3时，y ＝3，∴D 1（1，3），D 2（－3，3）．…………………………………………（7分）②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为－1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（－1，,1），综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为D1（1，3），D2（－3，3），C（－1，,1）．………………………………………………………（8分）③存在．…………………………………………………………………（9分）6. （2011上海，24，12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数334y x=+的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数32y x=的图像上，且MO=MA．二次函数y=x2＋bx＋c的图像经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数334y x=+的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．【答案】（1）一次函数334y x =+，当x =0时，y =3．所以点A 的坐标为（0，3）． 正比例函数32y x =，当y =32时，x =1．所以点M 的坐标为（1，32）．如下图，AM =22313122⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（2）将点A （0，3）、M （1，32）代入y =x 2＋bx ＋c 中，得 3312c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩，． 解得523b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，．即这个二次函数的解析式为2532y x x =-+． （3）设B(0，m )（m <3），C(n ，2532n n -+)，D(n ，334n +)．则AB =3m -，DC =D C y y -=2134n n -，AD =54n ．因为四边形ABCD 是菱形，所以AB =DC =AD ．所以21334534m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，．解得1130m n =⎧⎨=⎩，；（舍去）12122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．将n =2代入2532y x x =-+，得C y =2．所以点C 的坐标为（2，2）． 7. （2011四川乐山26，13分）已知顶点为A(1,5)的抛物线2y ax bx c =++经过点B(5,1). (1)求抛物线的解析式;(2)如图(15.1),设C,D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值 （3）在（2）中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x 上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ. ①当△PBR 与直线CD 有公共点时,求x 的取值范围；②在①的条件下，记△PBR 与△COD 的公共部分的面积为S.求S 关于x 的函数关系式，并求S 的最大值。