高考数学课时达标52
2022高考数学总复习(人教A理一轮)课时规范练52 算法初步
课时规范练52算法初步基础巩固组1.如图,若依次输入的x分别为5π6,π6,相应输出的y分别为y1,y2,则y1,y2的大小关系是()A.y1=y2B.y1>y2C.y1<y2D.无法确定(第1题图)(第2题图)2.如图所示的程序框图所实现的功能是()A.输入a的值,计算(a-1)×32 021+1B.输入a的值,计算(a-1)×32 020+1C.输入a的值,计算(a-1)×32 019+1D.输入a的值,计算(a-1)×32 018+13.如果执行如图的程序框图,那么输出的S值是()A.2 010B.-1C.12D.2(第3题图)(第4题图)4.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,…,a n分别为0,1,2,…,n.若n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为()A.248B.258C.268D.2785.执行如图所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.3(第5题图)(第6题图)6.按如图所示的程序框图,某同学在区间[0,9]上随机地取一个数作为x输入,则该同学能得到“OK”的概率为()A.12B.19C.1318D.897.某程序框图如图所示,运行该程序后输出S=()A.53B.74C.95D.116(第7题图)(第8题图)8.执行如图的程序框图,如果输入的x∈-π4,π,则输出y的取值范围是() A.[-1,0] B.[-1,√2] C.[1,2] D.[-1,1]综合提升组9.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是()A.i<20?S=S-1i,i=2iB.i≤20?S=S-1i,i=2iC.i<20?S=S2,i=i+1D.i≤20?S=S2,i=i+110.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”,用现代数学的方法解释如下,“三分损一”是在原来的长度减去一分,即变为原来的三分之二;“三分益一”是在原来的长度增加一分,即变为原来的三分之四,如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的x的值为1,则输出的x的值为()A.1627B.3227C.89D.2311.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成,用来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“EAN-13”通用代码,它是由从左到右排列的13个数字(用a1,a2,…,a13表示)组成,这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码,其中a13是校验码,用来校验前12个数字代码的正确性.图1是计算第13位校验码的程序框图,框图中符号[M ]表示不超过M的最大整数(例如[365.7]=365).现有一条形码如图2所示(97a37040119917),其中第3个数被污损,那么这个被污损的数字a3是()图1图2A.6B.7C.8D.912.根据某校10位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图(图1),其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,设计一个程序框图(图2),用A i(i=1,2,…,10)表示第i个同学的身高,计算这些同学身高的方差,则程序框图①中要补充的语句是()图1图2A.B=B+A iB.B=B+A i 2C.B=(B+A i -A )2D.B=B 2+A i 213.我国南北朝时期的数学家张丘建在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题,问题如下:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?用代数方法表述为:设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x ,y ,z ,则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组{5x +3y +z3=100,x +y +z =100的解.其解题过程可用框图表示如下图所示,则框图中正整数m 的值为 .(第13题图)(第14题图)14.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”.若输入的m,n分别为385,105,执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数,例:11 MOD 7=4),则输出的m=.参考答案课时规范练52算法初步1.C由程序框图可知,当输入的x为5π6时,sin5π6>cos5π6成立,所以输出的y1=sin5π6=12;当输入的x为π时,sinπ>cosπ不成立,所以输出的y2=cosπ=√3,所以y1<y2.2.B由程序框图可知a1=a,a n+1=3a n-2,由i的初值为1,末值为2 019可知,此递推公式共执行了2 019+1=2 020(次),又由a n+1=3a n-2,得a n+1-1=3(a n-1),得a n-1=(a-1)×3n-1,即a n=(a-1)×3n-1+1,故a2021=(a-1)×32 021-1+1=(a-1)×32 020+1,故选B.3.D当k=0时,S=-1,k=1时,S=12,当k=2时,S=2,所以S的值呈现周期性变化,周期为3.当k=2 018=3×672+2时,S的值与k=2时的值相等,即S=2.当k=2 019时,k<2 019不成立,输出S=2.故选D.4.B该程序框图是计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值,f(2)=258,故选B.5.C先画出x ,y 满足的约束条件{x ≥0,y ≥0,x +y ≤1,对应的可行域如图中的阴影部分.平移直线l 0:y=-2x.当直线经过点A (1,0)时,y=-2x+S 中截距S 最大,此时S max =2×1+0=2. 与x ≥0,y ≥0,x+y ≤1不成立时S=1进行比较,可得S max =2. 6.C 当x ∈0,12时,由算法可知y=-2x+2得y ∈[1,2],能得到“OK ”; 当x ∈12,1时,由算法可知y=-2x+2得y ∈(0,1),不能得到“OK ”;当x ∈[1,3)时,由算法可知y=log 3x 得y ∈[0,1),不能得到“OK ”; 当x ∈[3,9]时,由算法可知y=log 3x 得y ∈[1,2],能得到“OK ”;∴P=12+69=1318,故选C .7.D 根据程序框图可知其功能为计算:S=1+11×2+12×3+…+1n (n+1)=1+1-12+12−13+…+1n −1n+1=1+1-1n+1=2n+1n+1,初始值为n=1,当n=6时,输出S ,可知最终赋值S 时n=5,所以S=2×5+15+1=116,故选D .8.B 流程图计算的输出值为分段函数:y={2cos 2x +sin2x -1,x <π2,cos 2x +2sinx -1,x ≥π2,原问题即求解函数在区间[-π4,π]上的值域.当-π4≤x<π2时,y=2cos 2x+sin 2x-1=cos 2x+1+sin 2x-1=√2sin (2x +π4),-π4≤x<π2,则-14π≤2x+π4<54π,此时函数的值域为[-1,√2]. 当π2≤x ≤π时,y=cos 2x+2sin x-1=-sin 2x+2sin x ,π2≤x ≤π,则0≤sin x ≤1,此时函数的值域为[0,1].综上可得,函数的值域为[-1,√2]∪[0,1],即[-1,√2]. 即输出y 的取值范围是[-1,√2].故选B .9.D 根据题意可知,第一天S=12,所以满足S=S 2,不满足S=S-1i,故排除A,B,由框图可知,计算第二十天的剩余时,有S=S 2,且i=21,所以循环条件应该是i ≤20.故选D .10.B 若x=1,则x=23,i=2,则x=89,i=3,则x=3227,i=4,结束循环,输出结果x=3227,故选B . 11.B 由程序框图可知,S 表示的结果为前12项中所有偶数项之和,T 表示的结果为前12项中所有奇数项之和,则 S=7+7+4+1+9+1=29,T=9+a 3+0+0+1+9=19+a 3,M=3×29+19+a 3=106+a 3,由检验码,a 13=7,可知N=10-a 13=3, 结合选项进行检验: 若a 3=6,则N=106+a 3-106+a 310×10=106+6-106+610×10=2,不合题意; 若a 3=7,则N=106+a 3-106+a 310×10=106+7-106+710×10=3,符合题意; 若a 3=8,则N=106+a 3-106+a 310×10=106+8-106+810×10=4,不合题意; 若a 3=9,则N=106+a 3-106+a 310×10=106+9-106+910×10=5,不合题意.故选B .12.B 由s 2=(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2n=x 12+x 22+…+x n 2-2(x 1+x 2+…+x n )x+nx2n=x 12+x 22+…+x n 2-2nx 2+nx 2n=x 12+x 22+…+x n 2n−x 2,循环退出时i=11,知x 2=(A i -1)2.所以B=A 12+A 22+…+A 102,故程序框图①中要补充的语句是B=B+A i 2.故选B .13.4 由{5x +3y +z3=100,x +y +z =100,得y=25-74x ,故x 必为4的倍数,当x=4t 时,y=25-7t ,由y=25-7t>0得t 的最大值为3,故判断框应填入的是“t<4?”,故m=4.14.35 模拟执行程序,可得m=385,n=105,执行循环体,r=70,m=105,n=70,不满足条件r=0,执行循环体;r=35,m=70,n=35,不满足条件r=0,执行循环体;r=0,m=35,n=0,满足条件r=0,退出循环,输出的m 值为35.内容仅供参考后记亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。
高中数学课时达标训练五新人教A版选修1_1
课时达标训练（五）[即时达标对点练]题组1 全称命题、特称命题及其真假判断1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( ) A ．斜三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2>0 C ．任意无理数的平方必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>22．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>23．有下列四个命题：①∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1>0；③∃x 0∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题组2 全称命题、特称命题的否定4．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥05．命题“∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( ) A ．∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 C ．∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0 D ．∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >06．命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则是( )A ．有些三角形不是等腰三角形B ．所有三角形是等边三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形7．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________________________． 题组3 全称命题、特称命题的应用8．已知命题“∃x 0∈R ，2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．9．已知p ：∀x ∈R ，2x >m (x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．[能力提升综合练]1．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<33．已知命题p ：∀x ∈R ，2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．是假命题 D ．是假命题4．已知命题p ：∀b ∈[0，＋∞)，f (x )＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为增函数，命题q ：∃x 0∈Z ，使log 2x 0>0，则下列结论成立的是( )5．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________．6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．①∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)；③∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ④∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)．7．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x·m ＋1＝0成立，若是假命题，求实数m 的取值范围．8．已知p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．答 案 即时达标对点练1.解析：选A 只有A ，C 两个选项中的命题是全称命题；且A 显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C 为假命题．2.解析：选BA 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x＜0，所以D 是假命题．3. 解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题； 对于③，这是特称命题，当x 0＝0或x 0＝1时，有x 20≤x 0成立，故③为真命题； 对于④，这是特称命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数成立，所以④为真命题． 4. 解析：选C 全称命题：∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0的否定是特称命题：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.5. 解析：选D 特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选D.6. 解析：选C 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.7.解析：“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定为“∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0”． 答案：∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠08. 解析：由题意可得“对∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1<a <3.答案：(－1，3)9. 解：由命题p 为真可知2x >m (x 2＋1)恒成立， 即mx 2－2x ＋m <0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m 2<0，解得m <－1. 由命题q 为真可得 Δ＝4－4(－m －1)≥0， 解得m ≥－2， 因为p ∧q 为真， 所以p 真且q 真，所以由⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥－2，得－2≤m <－1，所以实数m 的取值范围是[－2，－1)．能力提升综合练1. 解析：选C 命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0”．2. 解析：选BA 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x 0∈Z ，故D 为假命题．3. 解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，∴p 为假命题，为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4＝2，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而为假命题．4. 解析：选D f (x )＝x 2＋bx ＋c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋c －b 24， 对称轴为x ＝－b2≤0， 所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数，命题p 是真命题．令x 0＝4∈Z ，则log 2x 0＝2>0，所以命题q 是真命题，为假命题，p ∨()为真命题．故选D.5. 解析：命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是特称命题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4>0恒成立，所以命题p为假命题，命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥06. 解析：由题意：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．答案：③7. 解：∵为假命题，∴p为真命题．即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．由4x＋2x·m＋1＝0，得m＝－2x－12x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x＋12x≤－2.即m的取值范围为(－∞，－2]．8. 解：p为真时，x2－a≥0，即a≤x2.∵x∈[1，2]时，上式恒成立，而x2∈[1，4]，∴a≤1. q为真时，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．∴a＝1或a≤－2.即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}.。
高考数学课时达标测试：第1章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
课时达标 第2讲一、选择题1．已知命题p ：正数a 的平方不等于0,命题q ：若a 不是正数,则它的平方等于0,则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定B 解析 命题“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题．2．(2018·天津卷)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12得0＜x ＜1,由x 3＜1得x ＜1,而0＜x ＜1⇒x ＜1,x ＜1⇒/ 0＜x ＜1.故选A. 3．原命题为“△ABC 中,若cos A <0,则△ABC 为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．真、假、假B 解析 因为cos A <0,0<A <π,则A 必为钝角,△ABC 为钝角三角形,所以原命题为真,从而逆否命题也为真；△ABC 为钝角三角形,可能是B 或C 为钝角,A 为锐角,则cos A >0,所以逆命题为假,从而否命题也为假．故选B.4．(2018·浙江卷)已知平面α,直线m ,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析 由立体几何知识知m ⊄α,n ⊂α,m ∥n ⇒m ∥α.但m ∥α时,m 与α内的直线n 可能异面．故选A.5．命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≤4B ．a ≥4C ．a ≤5D ．a ≥5D 解析 命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充要条件是∀x ∈[1,2],a ≥x 2恒成立,即a ≥4.故命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是D 项．6．(2019·北京东城期末)下列四个选项中错误的是( )A ．命题“若x ≠1,则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0,则x ＝1”B ．存在x 0∈R ,使x 20＋2x 0＋3＝0C ．“若α＝β,则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题D ．“x ＞2”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件B解析对于A项,显然正确；对于B项,因为Δ＝4－12＜0,所以方程无实根,故B项错误；对于C项,“若α＝β,则sin α＝sin β”为真命题,所以其逆否命题也为真命题,故C项正确；对于D项,x2－3x＋2＞0的解集是{x|x＞2或x＜1},故D项正确．二、填空题7．已知命题p：若a>b>0,则log12a<log12b＋1,命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．解析因为a>b>0,所以log12a<log12b,所以命题p为真命题,其逆命题为：若log12a<log12b＋1,则a>b>0,因为a＝2,b＝2时,log12a<log12b＋1,而a＝b,所以逆命题为假命题．根据命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题的真假相同,知命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中只有2个是真命题．答案28．能够说明“设a,b,c是任意实数,若a＞b＞c,则a＋b＞c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________．解析取a＝－1,b＝－2,c＝－3,满足a>b>c,但a＋b＝－3＝c,不满足a＋b>c,故“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a＋b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为－1,－2,－3.答案－1,－2,－3(答案不唯一)9．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A,函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为________．解析由x2＋x－6<0得A＝(－3,2),由x－a>0得B＝(a,＋∞),若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B,则a≤－3.答案(－∞,－3]三、解答题10．写出“若x＝2,则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假．解析逆命题：若x2－5x＋6＝0,则x＝2,是假命题；否命题：若x≠2,则x2－5x＋6≠0,是假命题；逆否命题：若x2－5x＋6≠0,则x≠2,是真命题．11．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A,函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B.(1)求集合A,B；(2)已知p：m∈A,q：m∈B,若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围．解析(1)A＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞3},B＝{y|y＝2x－a,x≤2}＝{y|－a ＜y≤4－a}．(2)因为綈p是綈q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,所以B A,所以4－a<－1或－a≥3,所以a≤－3或a>5,即实数a的取值范围是(－∞,－3]∪(5,＋∞)．12．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0,x∈R},q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0,x∈R,m∈R}．(1)若A ∩B ＝[1,3],求实数m 的值；(2)若p 是綈q 的充分条件,求实数m 的取值范围．解析 (1)由题意得A ＝{x |－1≤x ≤3,x ∈R },B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3,x ∈R ,m ∈R },因为A ∩B ＝[1,3],所以m －3＝1,解得m ＝4.(2)因为p 是綈q 的充分条件,所以A ⊆(∁R B ),因为∁R B ＝{x |x ＜m －3或x ＞m ＋3,x ∈R ,m ∈R },所以m －3＞3或m ＋3＜－1,解得m ＞6或m ＜－4,即实数m 的取值范围是(－∞,－4)∪(6,＋∞)．13．[选做题](2019·商南高中模拟)在△ABC 中,设p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A,q ：△ABC 是等边三角形,那么p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析 a sinB ＝b sinC ＝c sin A ,即2R sin A sin B ＝2R sin B sin C,R 为△ABC 外接圆半径,所以sin A sin C ＝sin 2B ①；2R sin B sin C ＝2R sin C sin A,sin A sin B ＝sin 2 C ②. ①－②,得(sin C －sin B )(sin A ＋sin B ＋sin C )＝0,则sin C ＝sin B ,所以C ＝B .代入①得C ＝A ,所以A ＝B＝C ,则△ABC 是等边三角形．当△ABC 为等边三角形时,即A ＝B ＝C ,a ＝b ＝c 时,a sin B ＝b sin C ＝c sin A＝2R 成立,所以p 是q 的充要条件．故选A.。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练50二项式定理北师大版
课时规范练50 二项式定理基础巩固组1.(x +12x )6的展开式中的第3项为( ) A.3x 4B.52C.154x 2D.1516x 22.(1x -1)5的展开式中x -2的系数是( ) A.15 B.-15 C.10D.-103.(2021湖南怀化一模)(x 2+1)(1x -2)5展开式的常数项为( ) A.112 B.48 C.-112D.-484.(2021湖北荆门月考)若(x √x3)8的展开式中x 4的系数为7,则展开式的常数项为( )A.716 B.12 C.-716D.-125.(2021广东湛江三模)(1+3x )2+(1+2x )3+(1+x )4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4= ( )A.49B.56C.59D.646.(x +1x -2)6的展开式中含x 5项的系数为( ) A.12 B.-12 C.24D.-247.对于二项式(1x+x 3)n (n ∈N *),以下判断正确的有( )①存在n ∈N *,展开式中有常数项 ②对任意n ∈N *,展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N *,展开式中没有含x 的项 ④存在n ∈N *,展开式中有含x 的项 A.①③B.②④C.②③D.①④8.(2021福建漳州模拟)已知(x+1)6=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a 6(x-1)6,则a 4= . 9.(2021湖南长郡中学模拟三)若(x -12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 .(用数字作答)综合提升组10.(2021河南郑州一模)式子(x -y 2x)(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为( ) A.3 B.5 C.15 D.2011.已知(ax 2+√x)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法不正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15的项的系数为45 12.(2021河北石家庄一模)关于(1-2x )2 021=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2 021x 2 021(x ∈R ),则( )A.a 0=0B.a 1+a 2+a 3+…+a 2 021=32 021C.a 3=8C 20213D.a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2 021=1-32 02113.(2021安徽蚌埠高三开学考试(理))若二项式(x +12)n展开式中第4项的系数最大,则n 的所有可能取值的个数为 .14.(2021福建宁德三模)已知(a +1x)(1+x )5展开式中的所有项的系数和为64,则实数a= ;展开式中常数项为 .创新应用组15.设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220,a≡b(mod 10),则b的值可以是()A.2 018B.2 019C.2 020D.2 02116.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如下图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为.课时规范练50 二项式定理1.C 解析∵(a+b )n的二项式通项为T k+1=C n k ·a n-k·b k,∴(x +12x )6的展开式中的第3项是T 3=T 2+1=C 62·x 6-2·(12x )2=154x 2. 2.D 解析(1x-1)5的二项式通项T k+1=C 5k (1x )5-k ·(-1)k =(-1)k ·C 5k x k-5,当k=3时,T 4=-C 53x -2=-10x -2,即x -2的系数为-10.3.C 解析由题得,(1x -2)5的二项式通项为T r+1=C 5r (-2)r x r-5,令r=3,r=5,得展开式的常数项为C 53×(-2)3+(-2)5=-112.故选C .4.A 解析(x √x 3)8的二项式通项为T r+1=C 8r x 8-r (√x3)r=C 8r (-a )r x 8-43r .令8-43r=4,解得r=3,所以展开式中x 4的系数为C 83(-a )3=7,解得a=-12,所以(x √x3)8的二项式通项为T r+1=C 8r (12)rx 8-43r .令8-43r=0,解得r=6,所以展开式的常数项为C 86×(12)6=716.故选A .5.C 解析令x=1,a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(1+3)2+(1+2)3+(1+1)4=59.故选C . 6.B 解析由(x +1x -2)6=(x 2-2x+1x)6=(x -1)12x 6,则(x-1)12的二项式通项为T r+1=C 12rx12-r(-1)r=(-1)rC 12rx12-r.当r=1,此时T 2=-1×C 121x 11=-12x 11,可得(x -1)12x 6展开式中x 5项的系数为-12.故选B .7.D 解析设(1x +x 3)n (n ∈N *)的二项式通项为T k+1,则T k+1=C n k (1x )n -k(x 3)k =C n k x4k-n,不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故①正确,②错误;令n=3,则当k=1时,展开式中有含x 的项,故③错误,④正确.故选D .8.60 解析∵(x+1)6=[(x-1)+2]6,∴展开式通项T r+1=C 6r(x-1)6-r 2r.由题知,a 4对应6-r=4,则可得r=2.∴T 3=C 62(x-1)4·22=4C 62(x-1)4,即a 4=4C 62=60.9.358 解析(x -12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则由二项式系数性质知,展开式共有9项,则n=8.(x -12x )8的二项式通项为T r+1=C 8r x 8-r·(-12x )r =(-12)rC 8rx 8-2r,令8-2r=0,解得r=4.所以展开式中常数项为T 5=(-12)4×C 84=116×70=358.10.B 解析∵(x -y 2x)(x+y )5=x (x+y )5-y 2x (x+y )5, 则x (x+y )5的二项式通项为T k+1=x C 5k x 5-k y k=C 5k x 6-k y k, y 2x(x+y )5的二项式通项为T r+1=y 2xC 5r x 5-r y r=C 5rx 4-r y r+2,由{6-k =3,4-r =3,解得{k =3,r =1. 故式子(x -y 2x)(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为C 53−C 51=5. 故选B .11.A 解析由二项展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为(x 2√x)10=(x 2+x -12)10.二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A 不正确;由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x 2与x -12的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确;若展开式中存在常数项,由二项式通项T k+1=C 10k x 2(10-k )·x -12k 可得2(10-k )-12k=0,解得k=8,故C 正确;由二项式通项T k+1=C 10kx2(10-k )x -12k 可得2(10-k )-12k=15,解得k=2,所以展开式中含x 15的项的系数为C 102=45,故D 正确.故选A .12.D 解析令x=0,则12021=a 0,即a 0=1,故A 错误;令x=1,则(1-2)2021=a 0+a 1+a 2+…+a 2021,即a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-1,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-2,故B 错误;根据二项式通项得,a 3=C 20213×12018×(-2)3=-8C 20213,故C 错误;令x=1,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-1, 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 2021=(1+2)2021=32021,两式相加可得a 0+a 2+…+a 2020=32021-12, ① 两式相减可得a 1+a 3+…+a 2021=-1-320212,②②-①可得-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2021=-1-32021-32021+12=-32021,所以a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2021=1-32021,故D 正确.故选D .13.4 解析因为(x +12)n的二项式通项为C n r x n-r (12)r=C n r (12)r x n-r.由题意可得{C n 3(12)3≥C n 2(12)2,C n 3(12)3≥C n 4(12)4,即{n -2≥6,8≥n -3,故8≤n ≤11.又因为n 为正整数,所以n=8或9或10或11,故n 的所有可能取值的个数为4.14.1 6 解析令x=1,可得(a +1x)(1+x )5展开式中的所有项的系数和为32(a+1)=64,解得a=1.则展开式中常数项为a ×C 50+C 51=1+5=6.15.D 解析a=C 200+C 201·2+C 202·22+…+C 2020·220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1.又因为a ≡b (mod10),所以b 的值可以是2021.16.56 解析由题意第10行的数就是(a+b )10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为C 104C 105=56.。
2020年高考数学(文科)一轮复习 第九单元 听课手册 第52讲随机事件的概率
听课手册第52讲随机事件的概率1.概率和频率(1)频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f n(A)= 为事件A出现的.(2)概率:对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小,并把这个常数称为随机事件A的,记作P(A).(3)频率与概率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个的值,因此,人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.2.事件的关系与运算3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:.(2)必然事件A的概率P(A)= .(3)不可能事件A的概率P(A)= .(4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= .(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)= .题组一常识题1.[教材改编]一次射击训练中,66名队员各射击一次,所得环数统计如下:3环,2人;4环,4人;5环,9人;6环,18人;7环,11人;8环,12人;9环,7人;10环,3人.则不少于7环的频数为;不少于7环的概率约为.2.[教材改编]给出下列命题,其中真命题有个.①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.3.[教材改编]如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张,那么取到红心的概率是,取到方块的概率是,则“取到红心”与“取到方块”是(填“互斥事件”“对立事件”),取到黑色牌的概率是.题组二常错题◆索引:混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误;频率与概率的关系理解不清致错.4.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,给出下列四组事件:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②两个都是偶数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述每组事件中,是互斥事件的有;是对立事件的有.5.击中靶心的概率约为.6.同时掷3枚硬币,至少有1枚正面向上的概率是.探究点一事件关系的判断例1 (1)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率为的事件是()A.至多有1张移动卡B.恰有1张移动卡C.都不是移动卡D.至少有1张移动卡(2)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球,从中取出2个小球.事件A=“取出的2个小球同色”,事件B=“取出的2个小球中至少有1个黄球”,事件C=“取出的2个小球中至少有1个白球”,事件D=“取出的2个小球不同色”,事件E=“取出的2个小球中至多有1个白球”.下列结论中,正确结论的序号为.①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C∪E)=1.[总结反思] 判断事件关系时的常用方法:(1)利用集合观点判断事件关系;(2)写出所有的试验结果,看所求事件中包含哪几个试验结果,从而判断所求事件的关系.变式题(1)口袋中装有形状相同的3个白球和4个黑球,从中任取3个球,则:①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中,是对立事件的为()A.①B.②C.③D.④(2)有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A.互斥但不对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对探究点二随机事件的频率与概率例2[2017·全国卷Ⅲ]某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.[总结反思] (1)概率与频率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率随着试验次数的变化而变化,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.(2)求频率的关键是确定频数,解题时要将已知条件转化为确定频数的条件,从而计算频数.变式题某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表,将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率.(1)求这30(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择一天做促销活动,求这一天恰好是在日销售量低于50枝时的概率.探究点三互斥事件与对立事件的概率例3 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:求:(1)至多2(2)至少3人排队等候的概率.[总结反思] 求复杂事件概率的两种常用方法:(1)直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接法:先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P()求得,即运用逆向思维(正难则反)求解,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法往往会比较简便.变式题某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖分别为事件A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.完成课时作业(五十二)。
2019-2020年高中数学《第52课时计数原理和排列组合》教学案新人教A版必修3
2019-2020年高中数学《第52课时计数原理和排列组合》教学案新人教A版必修3基础训练1. 有四位老师在同一年级的4个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法总数是________种．2． 4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有________种．3．从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不能当班长，b不能当副班长．不同选法总数为________种．4．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．5．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．重点讲解1．分类计数原理完成一件事，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事，需要分成n个不同的步骤，完成第1步有m1种不同的方法，完成第2步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n、m∈N*，且m≤n.(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝14．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．(3)组合数的计算公式：C m n ＝A m n A m m ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n __；②C m n ＋1＝C m n __＋C m －1n __. 典题拓展例1.高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人。
高考数学(人教文科)总复习(福建专用)配套训练：课时规范练52 Word版含解析
课时规范练52古典概型基础巩固组1.(2017安徽马鞍山一模,文6)从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是()A. B. C. D.2.同时抛掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是()A. B. C. D.3.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A. B. C. D.4.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为()A. B. C. D.5.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为()A. B. C. D.6.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.7.将一颗质地均匀的骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使直线l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率为p1,不平行的概率为p2,若点(p1,p2)在圆(x-m)2+y2=的内部,则实数m的取值范围是.8.(2017江西宜春中学3月模拟,文19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.9.(2017辽宁鞍山一模,文18)上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组[40,50);第二组[50,60);……第六组[90,100],并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率.〚导学号24190953〛综合提升组10.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为()A. B. C. D.11.(2017湖北武昌1月调研,文14)已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数: 57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.12.抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过的概率为.13.(2017湖南邵阳一模,文19)空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.现统计邵阳市市区2017年10月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这60天中属轻度污染的天数;(2)求这60天空气质量指数的平均值;(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,……第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为x,y,求事件|x-y|≤150的概率.〚导学号24190954〛创新应用组14.已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈M,则函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数的概率是()A. B. C. D.15.(2017北京丰台一模,文18)某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送.学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度,采用问卷的形式,随机抽取了40名学生对两家公司分别评分.根据收集的80份问卷的评分,得到如图A公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表.[90,100]2(1)根据A公司的频率分布直方图,估计该公司满意度评分的中位数;(2)从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份,求这两份问卷都是给A公司评分的概率;(3)请从统计角度,对A,B两家公司做出评价.答案：1.C从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点,基本事件总数为n=10,它们作为顶点的三角形是锐角三角形的方法种数为5,故以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是P=.故选C.2.C同时抛掷两枚骰子,基本事件总数为36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A,则事件A包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4个,故P(A)=.3.B从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为.4.B依题意,以(x,y)为坐标的点共有6×6=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率P=.5.A由题意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.因为m⊥n,即m·n=0,所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5),共2个,故所求的概率为.6.(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为.(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则表示“向上的点数之和不小于10”,的基本事件共有6个,所以P()=,P(A)=1-P()=.7.由题意可知直线l1的斜率k1=-,直线l2的斜率k2=-.∵l1∥l2,∴k1=k2.∴-=-.∴ab=6.∴能使l1∥l2的情况有(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),共4种.又总的基本事件有36种,∴能使l1∥l2的概率为p1=,不平行的概率为p2=.∴由-,解得m的取值范围是.8.解(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1,4和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3,共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1,3和2,1两个.因此所求事件的概率P=.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.又满足条件n≥m+2的事件为:(1,3),(1,4),(2,4),共3个,所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=.故满足条件n<m+2的事件的概率为1-P1=1-.9.解(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间[80,90)内的频率为1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1,所以平均分为0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68(分),众数的估计值是65.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”,由题意可知成绩在区间[80,90)内的学生有:40×0.1=4,记这4名学生分别为a,b,c,d,成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40=2(人),记这2名学生分别为e,f,则从这6人中任选2人的基本事件空间为:Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c)(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)}共15种, 事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为:A={(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)},共9种,故所求事件的概率为P(A)=.10.C因为f(x)=x3+ax-b,所以f'(x)=3x2+a.因为a∈{1,2,3,4},所以f'(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则f(1)f(2)≤0,解得a+1≤b≤8+2a.因此,可使函数在区间[1,2]上有零点的有:a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8,共有3种情况;a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12,共有2种情况.所以有零点共有3+3+3+2=11种情况.而构成函数共有4×4=16个,根据古典概型可得有零点的概率为.11.0.75由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:572702939857034743738636964746986233261680453661959774244281,共15组随机数,故所求概率约为=0.75.12.由题意可知抛掷两枚质地均匀的骰子得到的点数(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种.因为直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交,且所得弦长不超过,所以1>,即1<a2+b2≤9.故满足直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交,且所得弦长不超过的(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,因此所求的概率为.13.解(1)依题意知,轻度污染即空气质量指数在151~200之间,共有0.003×50×60=9(天).(2)由直方图知这60天空气质量指数的平均值为=25×0.1+75×0.4+125×0.3+175×0.15+225×0.05=107.5.(3)第一组和第五组的天数分别为60×0.1=6,60×0.05=3,则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种,由|x-y|≤150知两天只能在同一组中,而两天在同一组中的基本事件有18种,用M表示|x-y|≤150这一事件,则P(M)=.14.A记事件A为“函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数”.因为f(x)=ax3+bx2+x-3,所以f'(x)=3ax2+2bx+1.当函数f(x)在R上为增函数时,f'(x)≥0在R上恒成立.又a>0,所以Δ=(2b)2-4×3a=4b2-12a≤0在R上恒成立,即a≥.当b=1时,有a≥,故a可取1,2,3,4,共4个数;当b=2时,有a≥,故a可取2,3,4,共3个数;当b=3时,有a≥3,故a可取3,4,共2个数;当b=4时,有a≥,故a无可取值.综上,事件A包含的基本事件有4+3+2=9种.又a,b∈{1,2,3,4},所以所有的基本事件共有4×4=16种.故所求事件A的概率为P(A)=.故选A.15.解(1)设A公司调查的40份问卷的中位数为x,则有0.015×10+0.025×10+0.03×(x-70)=0.5,解得x≈73.3,所以,估计该公司满意度得分的中位数为73.3.(2)满意度高于90的问卷共有6份,其中4份评价A公司,设为a1,a2,a3,a4,2份评价B公司,设为b1,b2.从这6份问卷中随机取2份,所有可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共有15种.其中2份问卷都评价A公司的有以下6种:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4).设两份问卷均是评价A公司为事件C,则有P(C)=.(3)由所给两个公司的调查满意度得分知:A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数,A公司得分集中在[70,80)这组,而B公司得分集中在[70,80)和[80,90)两个组,A公司得分的平均数低于B公司得分的平均数,A公司得分比较分散, 而B公司得分相对集中,即A公司得分的方差高于B公司得分的方差.。
高三江苏专版数学一轮复习课时作业(52)概率综合问题.pdf
课时作业(五十二) [第52讲 概率综合问题] [时间：45分钟 分值：100分] 1．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：(1) “取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3) “取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4) “取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的有________． 2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________． 3．某饭店有11张餐桌．据统计，在就餐时间，在4张或4张以下餐桌上有顾客的概率为0.20 ，在5至8张餐桌上有顾客的概率为0.35；在9至11张餐桌上有顾客的概率为0.30，则顾客到饭店后因没有餐桌而到别的饭店就餐的概率为________． 4．把红，黑，白，蓝四张纸牌随机地分给甲，乙，丙，丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”和事件“乙分得红牌”是________．(填“不是互斥事件”或“互斥但非对立事件”或“对立事件”) 5．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲不胜的概率是________． 图K52－1 6．如图K52－1，圆形靶子被分成面积相等的三部分，并分别染上红色、黄色、蓝色．两人分别向靶子上投射一支飞镖，假设一定中靶，且投中靶面上任一点都是等可能的，则两人所投中区域的颜色不同的概率是________． 7．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 8．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.7，则两人都达标的概率是________，两人中至少有一人达标的概率是________． 9．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型ABABO该血型的人所占的比(%)2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率是________． 10．[2011·南通二模] 把一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________． 11．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，nN)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________． 12．[2011·江西卷] 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 13．(8分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 14．(8分)[2011·东莞一模] 某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示(如图K52－2)． (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值； (2)该班主任用分层抽样方法(按学习时间分五层)选出10个学生谈话，求在学习时间为1个小时的学生中选出的人数； (3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2 h，乙每天连续学习3 h，求22时甲、乙都在学习的概率． 图K52－2 15．(12分)[2011·南通三模] 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下： 组号分组频数频率第一组[230,235)80.16第二组[235,240)0.24第三组[240,245)15第四组[245,250)100.20第五组[250,255]50.10合 计501.00(1)写出表中位置的数据； (2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数； (3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率． 16．(12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C.求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 课时作业(五十二) 【基础热身】 1． [解析] 由定义可得互斥事件是，其中“取出3只红球”不发生，则“取出3个球中至少有一个白球”必然发生，因此是对立事件． 2．两次都不中靶 [解析] “连续射击2次”包含的基本事件有“(＋，＋)，(＋，－)，(－，＋)，(－，－)”(“＋”表示“中靶”，“－”表示“没有中靶”)，“至少一次中靶”与“两次都不中靶”不可能同时发生，所以“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”． 3．0.15 [解析] 所求的概率为P＝1－0.20－0.35＋0.30＝0.15. 4．互斥但非对立事件 [解析] “甲分得红牌”不发生，事件“乙分得红牌”不一定发生，有可能丙或丁分得红牌． 【能力提升】 5. [解析] 甲不胜包含和棋和乙胜，所以所求的概率为P＝＋＝. 6. [解析] 两人分别向靶子上投射一支飞镖，有9种不同的结果，颜色相同的情况有3种，则颜色相同的概率为＝，所以颜色不同的概率为P＝1－＝. 7．0.25 [解析] 通过阅读可知20组随机数中，只有191,271,932,812,393为恰好有两次命中，据此可知20组中占了5组，故其概率是0.25. 8．0.56 0.94 [解析] 两人均达标为0.8×0.7＝0.56，两人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.7)＝0.06，所以两人中至少有一人达标为1－0.06＝0.94. 9．0.64 [解析] 对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. 10. [解析] 因“至少有一面涂有红漆”的对立事件是“每面都没有红漆”，只有中心一块如此，所以，所求概率为P＝1－＝. 11．3和4 [解析] 总事件数为6.只要求出当n＝2，3,4,5时的基本事件个数即可． 当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点为(1,1)； 当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点为(1,2)、(2,1)； 当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点为(1,3)、(2,2)； 当n＝5时，落在直线x＋y＝5上的点为(2,3)． 显然，当n＝3,4时，事件Cn的概率最大为. 12. [解析] 设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－P(C)＝1－＝. 13．[解答] 从袋中任取一球，记事件“得到红球”、“得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为A、B、C、D， 则有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝； P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝； 又P(A)＝，P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1， 解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、. 14．[解答] (1)平均学习时间为 ＝1.8小时． (2)20×＝4. (3)设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|18≤x≤21,18≤y≤20}，面积SΩ＝2×3＝6.事件A表示“22时甲、乙正在学习”，所构成的区域为A＝{(x，y)|20≤x≤21,19≤y≤20}，面积为SA＝1×1＝1，这是一个几何概型，所以P(A)＝＝. [点评] 根据以上的解法，我们把此类问题的解决总结为以下四步： (1)构设变量．从问题情景中，发现哪两个量是随机的，从而构设为变量x、y. (2)集合表示．用(x，y)表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果．一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集． (3)作出区域．把以上集合所表示的平面区域作出来，先作不等式对应的直线，然后取一特殊点验证哪侧是符合条件的区域． 计算求解．根据几何概型的公式，易从平面图形中两个面积的比求得． 15．[解答] (1)位置的数据分别为12、0.3； (2)第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1； (3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}， 共有15种． 记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种． 所以P(A)＝＝，故2人中至少有1名是第四组的概率为. 16．[解答] (1)P(A)＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝. (2)A、B、C两两互斥， P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＝. (3)P()＝1－P(A＋B)＝1－＝.。
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课时达标 第52讲[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查．一、选择题1．(2018·宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则p2－(－3)＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .故选B ．2．(2018·江西九江第一次统考)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |＝( C ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶2D ．1∶3解析 由题意知直线l 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，得N ⎝⎛⎭⎫p 4，－22p . 所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|MF |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C ．3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →＝( A )A ．5B ．－5C ．4D ．－4解析 设A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，由已知得直线l 过定点E (－1,0)，因为E ，A ，B 三点共线，所以⎝⎛⎭⎫y 214＋1y 2＝⎝⎛⎭⎫y 224＋1y 1， 即y 1y 24(y 1－y 2)＝y 1－y 2，因为y 1≠y 2，所以y 1y 2＝4， 所以OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝5.4．(2018·吉林长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |＝( A )A ．13B ．23C ．34D ．43解析 设抛物线的准线为l ：x ＝－p2，|FB |＝m ，|F A |＝n ，过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ， 由抛物线定义知|AC |＝|F A |＝n ，|BD |＝|FB |＝m ， 过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，则|AE |＝|CE |－|AC |＝|BD |－|AC |＝m －n ， |AB |＝|F A |＋|FB |＝n ＋m .在Rt △ABE 中，∠BAE ＝60°，cos 60°＝|AE ||AB |＝m －n m ＋n ＝12， 即m ＝3n .故|AF ||BF |＝n m ＝m3m ＝13.5．已知点A (2,1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则点P 的坐标为( D )A ．(2,1)B ．(1,1)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．⎝⎛⎭⎫14，1 解析 由抛物线定义知，|PF |等于P 到准线x ＝－1的距离，当P A 与准线垂直时|P A |＋|PF |最小，∴P 点的纵坐标为1，代入方程得x ＝14.6．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( D )A ．34B ．32C ．1D ．2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2. 因为6＝|AB |≤|AF |＋|BF |，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3， 故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D ． 二、填空题7．(2018·福建福州质检)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛物线的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是__1__.解析 由题意得四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形，|PP 1|＋|QQ 1|＝|PQ |＝2，|P 1Q 1|＝|PQ |sin 30°＝1，∴S ＝|PP 1|＋|QQ 1|2·|P 1Q 1|＝1.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽米．解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米． 9．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝__6__.解析 依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为点N 在y 轴上，M 为FN 的中点，所以点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6. 三、解答题10．已知抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析 (1)易知抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F (p,0)，依题意设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)，所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33.(2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，代入y 2＝4px 中，得y 2－43py －4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2，所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p ， 因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，得p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x .11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0. y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ， 则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.12．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线：C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 即(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫x ＋122＝8516.。