每周两练(9)答案

边城高级中学理科数学每周双练【第九期】答案
1、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45A = ，4cos 5
B =. （Ⅰ）求sin
C 的值；
（Ⅱ）若10,BC D =为AB 的中点，求AB 、CD 的长. 解（1）在三角形中,54cos =
B ,故B 为锐角∴5
3sin =B 所以10
2
7sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C
（2）三角形ABC 中，由正弦定理得A
BC
C AB sin sin =
, ∴14=AB ， 又D 为AB 中点，所以BD=7
在∆BCD 中，由余弦定理得: 37cos 2222=⋅⋅-+=B BD BC BD BC CD ∴37=CD 2、如图所示，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，22CD AB AD ==. （Ⅰ）求证:BC BE ⊥；
（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正切值；
（Ⅲ）在EC 上找一点M ，使得BM ∥平面ADEF ，请确定M 点的位置，并给出证明. 解：（１）由已知：面ADEF ⊥面ABCD ，面ADEF 面ABCD AD =.
DE AD DE ADEF ⊥⊂，面，DE ABCD DE BC ∴⊥∴⊥面. 取CD P
BP ABPD 中点，连结，则四边形
为正方形.
设222CD AB AD a BC BD ====，则可求得，, 22224BD BC CD a BC BD ∴+==∴⊥, , 从而,BC BDE BC BE ⊥∴⊥面.
（2）由(1)可知: BC BDE ⊥面，CEB ∴∠即为
CE 与面BDE 所成的角.
Rt CBE ∆中，BE BC =，
，
tan BC CEB BE ∴∠=
== （3）取EC 中点M ,则BM ∥面ADEF ，证明如下： 连结MB 、MP ，由（1）知BP ∥AD ，
∴BP ∥面ADEF ，EDC 中,△M 、P 分别为EC 、DC 的中点，
MP ∴∥ED ，∴MP ∥面ADEF ，∴面BMP ∥面ADEF ，∴BM ∥面ADEF .
3、已知等比数列{}n a 各项都是正数，12a =，14n
n n a a m +⋅=⋅，*
n N ∈.
（Ⅰ）求数列{
}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求证：
...4⋅<.
解：（1）设{}n a 的公比为q ，由已知11
124
(*)4
n
n n n n n a a m n N a a m ++++⎧⋅=⋅⎪∈⎨⋅=⋅⎪⎩， 两式相除得：
2
1
4n n a a ++=，故24,2q q =∴=，111222n n n n a a q --==
⋅= （2）由（1）知1222,(2)
2n
n
n
n
n n a ===，
1
2
1
21
2
1
2 (2222)
22
......2222n
n n
n +
++⋅=⋅⋅=
设1212...222n n n T =
+++，则231112 (2222)
n n n
T +=+++，两式相减得： 121111111 (12222222)
n n n n n n n
T ++=+++-=--，112222n n n n T -∴=--<，
1212 (2222)
2
24n n
+++∴<=
，即...4⋅.
4、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且||||OA OF =，AOF △的面积
为1（其中O 为坐标原点）. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P .证明：
OM OP ∙
为定值；
解：(1)由已知: 112
b c
bc =⎧⎪⎨=⎪⎩
,222
4b c a b c ∴==+=, ,所以椭圆方程为22142x y +=.
（2）由（1）知，(2,0),(2,0)C D -.由题意可设11:(2),(,)CM y k x P x y =+.
(2,4).MD CD M k ⊥∴ ，
由22
142(2)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消去y ，整理得:2222(12)8840k x k x k +++-=, 2222(8)4(12)(84)0k k k ∴=-+->△
22
1122
84242,1212k k x x k k --∴-==
++即. 1124(2)12k
y k x k ∴=+=+,222
244(,).1212k k P k k -∴++点
22222
2444(12)244121212k k k OM OP k k k k -+∴⋅=⋅+⋅==+++ (定值).
综上：OM OP ∙
为定值；
5、设函数2
()ln (),f x x x a a R =+-∈
（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；
（Ⅱ）若函数()f x 在1
[,2]2
存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数()f x 的极值点.
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1
'()20f x x x
=+>，
()f x ∴在[1,]e 上增函数，当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =， ()f x ∴在[1,]e 上的最小值为1.
（2）21221
'()2()x ax f x x a x x
-+=+-=,设2()221g x x ax =-+.
依题意,在区间1
[,2]2
上存在子区间使得不等式()0g x >成立.
注意到抛物线2()221g x x ax =-+开口向上,所以只要(2)0,g >或1
()02
g >即可.
由(2)0g >得8410a -+>,解得94
a <
， 由1()02g >得1102a -+>,得32
a <，
94a ∴<
，即实数a 取值范围是9(,)4
-∞.
（3）2221
'()x ax f x x
-+= ，令2()221h x x ax =-+。

①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时'()0f x >，此时，函数()f x 没有极值点.
②当0a >时，
1°当0≤△即0a <≤时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时'()0f x ≥，此时，函数()f x 没有极值点.
2°当0△>即a >
x <时，易知()0h x <，这时'()0f x <；
当0x <<x >()0h x >，这时'()0f x >.
a ∴>当,x =是函数()f x 的极大值点；x =()f x 的极小值点.
综上所述，当a ≤()f x 没有极值点；
a >当x =()f x 的极大值点；x =()f x 的极小值点.
6、【选修4-4；坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t α
α=+⎧⎨=⎩
（t 是参数)．
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值．
解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，于是有224x y x +=，化简可得22(2)4x y -+=
（2）将1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )4t t αα-+=，化简得22cos 30t t α--=．
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3t t t t α+==-,
12AB t t =-
24cos 1214α+=，24cos 2α=，cos α=
344
ππα=或.。