高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案新人教版

§3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点).

知识点 三种函数模型的性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数

图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 随n值而不同

增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢 ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.( ) (2)函数y＝log2x增长的速度越来越慢.( ) (3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.( ) 提示 (1)√ 因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值. (2)√ 由函数y＝log2x的图象可知其增长的速度越来越慢. (3)× 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.

题型一 几类函数模型的增长差异 【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A.y＝2 017x B.y＝x2 017 C.y＝log2 017x D.y＝2 017x (2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30

y1 2 26 101 226 401 626 901

y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109

y3 2 10 20 30 40 50 60

y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907

则关于x呈指数型函数变化的变量是________. 解析 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A. (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化. 答案 (1)A (2)y2 规律方法 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”. (4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定. 【训练1】 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )

A.y＝1100ex B.y＝100 ln x C.y＝x100 D.y＝100·2x 解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A. 答案 A 典例 迁移 题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较

【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x12. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小. 解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x1<6x2，从图象上可以看出，当x1x2

时，f(x)>g(x)，所以f(2 011)>g(2 011).又因为g(2 011)>g(6)，所以f(2 011)>g(2

011)>g(6)>f(6). 【迁移1】 (变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)题呢？ 解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.

【迁移2】 (变换所求)本例条件不变，例2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小.

解 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x1<8x2，从图象上可以看出，当x1(8)，当

x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 015)>g(2 015)，又因为g(2 015)>g(8)，所以f(2 015)>g(2

015)>g(8)>f(8). 规律方法 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数. 题型三 函数模型的选择问题 【例3】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈

N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解 根据题意可列方程组f（1）＝a＋b＋c＝100，f（2）＝4a＋2b＋c＝120，f（3）＝9a＋3b＋c＝130. 解得a＝－5，b＝35，c＝70. 所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.① 同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.② 再将x＝4分别代入①与②式得 f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).

与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好. 规律方法 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题. 【训练2】 某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？

解 A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为51.4－5050，所以

100元一年到期的本息和为1001＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为1001＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元.通过以上分析，应购买B种债券.

课堂达标 1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( ) x 4 5 6 7 8 9 10

y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析 随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.故选A. 答案 A 2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A.y＝3x B.y＝log3x C.y＝x3 D.y＝3x 解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 答案 D 3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )

解析 设该林区的森林原有蓄积量为a， 由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)， ∴y＝f(x)的图象大致为D中图象. 答案 D 4.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( ) A.2x＞x2＞log2x B.x2＞2x＞log2x C.2x＞log2x＞x2 D.x2＞log2x＞2x 解析 法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x. 法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B. 答案 B 5.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入

资金m(万元)的关系式为p＝15m，q＝35m.今有3万元资金投入这两种商品. 若设甲商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值.