高中数学：函数模型及其应用练习

高中数学:函数模型及其应用练习1．已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S＝f(x)的图象是(D)解析:依题意知当0≤x≤4时,f(x)＝2x；当4＜x≤8时,f(x)＝8；当8＜x≤12时,f(x)＝24－2x,观察四个选项知D项符合要求．2．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(B)x 1.99234 5.15 6.126y 1.517 4.041 87.51218.01A.y＝2x－2 B．y＝12(x2－1)C．y＝log2x D．y＝log 1 2x解析:由题中表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B.3．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4,[5]＝5；{4.3}＝5,{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推．若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C) A．2[x＋1] B．2([x]＋1)C．2{x} D．{2x}解析:如x＝1时,应付费2元,此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4,排除A、B；当x＝0.5时,付费为2元,此时{2x }＝1,排除D,故选C.4．(福建质检)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C )A ．8B ．9C ．10D ．11解析:设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”．故选C. 5．(贵州遵义模拟)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后,盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本),则n 等于( B )A ．6B ．7C ．8D ．7或8解析:盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝416.所以当n ＝7时取最大值,即盈利总额达到最大值,故选B.6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示:①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①③B．①④C．②③D．②④解析:买小包装时每克费用为3100元,买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元,而3100＞2.8100,所以买大包装实惠,卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元),卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元),而2.3＞2.1,所以卖1大包盈利多,故选D.7．如图,矩形ABCD的周长为8,设AB＝x(1≤x≤3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN＝1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y＝f(x)的图象大致为(D)解析:由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD的周长为8,AB＝x,则AD＝8－2x2＝4－x,所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3), 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分, 且当x ＝2时,y ＝4－π4∈(3,4),故选D.8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元,每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额),则从第 5 年开始盈利．解析:由题知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n (n －1)2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )＞0,即－n 2＋19n －60＞0, 解得4＜n ＜15,所以从第5年开始盈利．9．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内,根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入 4 万元时,该公司的年利润最大．解析:由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≤512－2x 2·8x ＝21.5,当且仅当x 2＝8x ,即x ＝4时等号成立． 此时L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大．10．某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)之间的函数关系式为P ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30,t ∈N ),则这种商品日销售金额最大的一天是30天中的第 25 天．解析:设日销售金额为W (t )元,则W (t )＝P ·Q ＝⎩⎨⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N ，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N .令f (t )＝(t ＋20)(－t ＋40)＝－t 2＋20t ＋800(0<t <25,t ∈N ),易知f (t )max ＝f (10)＝900,令g (t )＝(－t ＋100)(－t ＋40)＝t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30,t ∈N ),易知g (t )max ＝g (25)＝1 125.综上,当t ＝25,即第25天时,日销售金额W (t )最大．11．某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出；若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算,每辆自行车的日租金x (元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多？ 解:(1)当x ≤6时,y ＝50x －115, 令50x －115＞0,解得x ＞2.3, ∵x 为整数,∴3≤x ≤6,x ∈Z .当x ＞6时,y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115. 令－3x 2＋68x －115＞0,有3x 2－68x ＋115＜0, 结合x 为整数得6＜x ≤20,x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ).(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6,x ∈Z ), 显然当x ＝6时,y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20,x ∈Z ),当x ＝11时,y max ＝270. ∵270＞185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多．12．(山东德州模拟)某地自来水苯超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后,经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x ),其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋2，0＜x ≤5，x ＋192x －2，x ＞5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂的质量为m ＝5,试问自来水达到有效净化总共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ,为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解:(1)当m ＝5时,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋10，0＜x ≤5，5x ＋952x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时,x 25＋10＞10,显然符合题意； 当x ＞5时,由5x ＋952x －2≥5,解得5＜x ≤21.综上,0＜x ≤21,所以自来水达到有效净化总共可持续21天．(2)y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 225＋2m ，0＜x ≤5，m (x ＋19)2x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时,y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增, 所以2m ＜y ≤3m ；当x ＞5时,y ′＝－40m(2x －2)2＜0,所以函数y ＝m (x ＋19)2x －2在(5,9]上单调递减,所以7m 4≤y ＜3m .综上可知7m4≤y ≤3m . 为使5≤y ≤10恒成立,只要⎩⎪⎨⎪⎧7m 4≥5，3m ≤10，解得207≤m ≤103,所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207.13．(嘉定模拟)某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现,一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23,x ∈[0,24],其中a 是与气象有关的参数,且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数,并记为M (a ),若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标,则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时,a 的取值范围为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，49 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 解析:设t ＝x x 2＋1,当x ≠0时,可得t ＝1x ＋1x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12,当x ＝0时,t ＝0,因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ＜t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76,g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14,因而M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14＜a ≤12，即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12，当0≤a ≤14时,M (a )＜2,当14＜a ≤49时,M (a )≤2,当49＜a ≤12时,M (a )＞2,所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时,a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49.14．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时,年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时,年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元,则y (万元)与x (件)的函数关系式为 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) ,该工厂的年产量为 16 件时,所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析:当x ≤20时,y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100； 当x ＞20时,y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0＜x ≤20时,y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156, 当x ＝16时,y max ＝156. 当x ＞20时,160－x ＜140, 故x ＝16时取得最大年利润．15．(潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q (单位:元/100 kg)与上市时间t (单位:天)的数据如下表:t 的变化关系:Q ＝at ＋b ,Q ＝at 2＋bt ＋c ,Q ＝a ·b t ,Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数,求得:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 120 ； (2)最低种植成本是 80 (元/100 kg)． 解析:根据表中数据可知函数不单调, 所以Q ＝at 2＋bt ＋c ,且开口向上, 对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120,代入数据⎩⎨⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎨⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120,最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．16．(西安质检)我国加入WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足:y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率,且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12,x 为市场价格,b ,k 为正常数),当t ＝18时的市场供应量曲线如图:(1)根据图象求b ,k 的值；(2)若市场需求量为Q ,它近似满足Q (x )＝.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t 的最小值．解:(1)由图象知函数图象过(5,1),(7,2)．解得⎩⎨⎧k ＝6，b ＝5.(2)当P ＝Q 时,2(1－6t )(x －5)2＝211－x 2, 则(1－6t )(x －5)2＝11－x2,所以1－6t ＝11－x 2(x －5)2＝12·22－x (x －5)2＝ 12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5.令m ＝1x －5(x ≥9),m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.设f (m )＝17m 2－m ,m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14,对称轴为m ＝134, 所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316,所以,当m＝14,即x＝9时,1－6t取得最大值为12×1316,则1－6t≤12×1316,解得t≥19192,所以税率的最小值为19192.。