人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.2.4诱导公式1
高中数学人教B版必修4作业：1.2.4-第1课时 诱导公式一、二 Word版含解析
一、选择题1．cos(－41π3)的值为()A.12B．－12C.32 D.36【解析】cos(－41π3)＝cos(－14π＋π3)＝cosπ3＝12.【答案】A2．sin(－1 560°)的值是()A．－32B．－12C.12 D.32【解析】sin(－1 560°)＝－sin 1 560°＝－sin(4×360°＋120°)＝－sin 120°＝－32.【答案】A3．α是第四象限的角，cos α＝1213，则sin(20kπ－α)＝() A.513B．－513C.512D．－512【解析】由题意得sin α＝－1－cos2α＝－513，∴sin(20kπ－α)＝sin(－α)＝－sin α＝513.【答案】A4.1－2sin(2π＋2)cos(2π－2)等于()A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2【解析】原式＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|.而sin 2＞cos 2，故应选A.【答案】A5．设f(α)＝2sin(2π－α)cos(2π＋α)－cos(－α)1＋sin2α＋sin(2π＋α)－cos2(4π－α)，则f(－236π)的值为()A.33B．－33C. 3 D．－3【解析】f(α)＝2sin(－α)cos α－cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α＝－cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝－1tan α.∴f(－236π)＝－1tan(－236π)＝－1tanπ6＝－ 3.【答案】D二、填空题6．(2019·沈阳高一检测)cos 1 110°的值为________．【解析】cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝3 2.【答案】3 27．sin 690°＋cos(－1 140°)＋tan 1 020°的值为________．【解析】原式＝sin(2×360°－30°)＋cos(－3×360°－60°)＋tan(3×360°－60°)＝sin(－30°)＋cos(－60°)＋tan(－60°)＝－sin 30°＋cos 60°－tan 60°＝－12＋12－3＝－ 3.【答案】－38．若tan(－α－π6)＝－3，则tan(136π＋α)＝________.【解析】∵tan(－α－π6)＝tan[－(α＋π6)]＝－3，∴tan(α＋π6)＝3.∴tan(136π＋α)＝tan[2π＋(α＋π6)]＝tan(α＋π6)＝3. 【答案】 3 三、解答题 9．化简求值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos(－233π)＋tan 17π4.【解】 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π) ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cot (－α－2π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π).【解】 原式＝sin 2α·cos α·cot (－α)tan (－α)cos 3(－α)＝sin 2αcos α·cos α(－sin αcos α)·cos 3α·sin (－α)＝sin 2α·cos 2αsin 2α·cos 2α ＝1.11．已知sin(2π＋α)＋cos(－α)＝23，α∈(π2，π)，求sin α－cos α的值． 【解】 由sin(2π＋α)＋cos(－α)＝sin α＋cos α，故sin α＋cos α＝23. 两边平方并整理得sin αcos α＝－718.又由α∈(π2，π)，得sin α＞cos α，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2×(－7 18)＝43.。
高一数学人教b版必修4同步训练：1.2.4 诱导公式(一) 含解析
＝ × ＝ .
当n为奇数时，n＝2k＋1，k∈Z.
原式＝sin(2kπ＋π－ π)·cos(2kπ＋π＋ π)
＝sin ·cos
＝sin ·cos
＝sin ×cos ＝ × ＝ .
∴sin(nπ－ π)·cos(nπ＋ π)＝ ，n∈Z.
11．解 原式＝
＝ ＝
A. B. C．－1D．1
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于()
A. B．－
C. D．－
6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈ ，则cos(π＋α)的值为()
A. B．－
C．± D．以上都不对
7．已知cos ＝ ，则cos ＝________.
8．代数式 的化简结果是____．
1.2.4
一、基础过关
1．sin 585°的值为()
A．－ B. C．－ D.
2．若n为整数，则代数式 的化简结果是()
A．±tanαB．－tanα
C．tanαD． tanα
3．若cos(π＋α)＝－ ， π<α<2π，则sin(2π＋α)等于()
A. B．± C. D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则 的值为()
13．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－ sin(π－B)， cos A＝－ cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
答案
1．A2.C3.D4.A5.B6.B
7．－ 8.－19.3
10．解 当n为偶数时，n＝2k，k∈Z.
原式＝sin(2kπ－ π)·cos(2kπ＋ π)
＝sin ·cos
＝(－sin π)·cos
12．证明∵sin(α＋β)＝1，
人教新课标版数学高一B版必修4学案 1.2.4 诱导公式(一)
1.2.4诱导公式(一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.1.设α为任意角，则2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的终边与α的终边之间的对称关系2.诱导公式一～三(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(3)公式三：sin＝－sin α，cos＝－cos α，tan＝tan α，其中k∈Z.在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解.本节课将解决这一问题.探究点一诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.思考2诱导公式一的作用是什么？答把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例1求下列各式的值.(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°＝－1＋1＋1－1＝0.探究点二 诱导公式二思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P 1(x ，y )，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P 2坐标如何？答 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称.角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 即诱导公式二sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.思考3 诱导公式二有何作用？答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.探究点三 诱导公式三思考1 设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与单位圆的交点P 2的坐标如何？答 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称.P 2(－x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k ＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 诱导公式三sin ＝－sin α，cos ＝－cos α，tan ＝tan α.思考3 公式三有何作用？答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.小结 公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例2 利用公式求下列三角函数的值：(1)cos 225°；(2)sin 11π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3；(4)cos(－2 040°). 解 (1)cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22； (2)sin 11π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－π3＝－sin π3＝－32； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝32； (4)cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(6×360°－120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角的三角函数值. 跟踪训练2 求下列三角函数值.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°). 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32； (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.例3 化简：cos (180°＋α)·sin (α＋360°)sin (－α－180°)·cos (－180°－α).解 sin(－α－180°)＝sin＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，cos(－180°－α)＝cos＝cos(180°＋α)＝－cos α，所以，原式＝－cos α·sin αsin α·(－cos α)＝1. 反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3 化简：tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ). 解 原式＝tan (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－tan θ)·(－sin θ)·cos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33. 反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.跟踪训练4 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.1.求下列三角函数的值.(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π；(3)tan(－1 845°). 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.2.化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 3.证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边.当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边.综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、基础过关1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.32答案 A2.若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( ) A.±tan α B.－tan α C.tan α D.12tan α 答案 C3.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B.±32 C.32 D.－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角).4.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C.－1D.1 答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 5.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB.－1－k 2kC.k 1－k 2D.－k 1－k 2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－(π6＋θ)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33.7.化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34.∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53 B.－53C.±53 D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－ 1－49＝－53. 9.已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为 . 答案 －m ＋22m ＋110.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数.若f (2 015)＝1，则f (2 016)＝ .答案 3解析 ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.11.若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值. 解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12.已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值.解 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根， 所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1， 可得k 2＝163. 因为3π<α<7π2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0， 又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ， 所以k >0，故k ＝433， 所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433， 所以sin αcos α＝34， 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32. 因为cos α＋sin α<0，所以cos α＋sin α＝－3＋12. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋12.三、探究与拓展13.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角.解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，∴cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去.∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，C ＝712π.。
高中数学人教B版必修4导学案：1.2.4诱导公式一
诱导公式（一）崔文 .3.6一、学习目标：1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．2．理解诱导公式的推导过程．3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．二、重点与难点：重点：诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：诱导公式的推导、记忆及符号的判断；三、自学检测1.背诵诱导公式一～三(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ ，cos(α＋2kπ)＝ ，tan(α＋2kπ)＝ ，其中k ∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，tan(－α)＝ .(3)公式三：sin[α＋(2k ＋1)π]＝ ，cos[α＋(2k ＋1)π]＝ ，tan[α＋(2k ＋1)π]＝ ，其中k ∈Z.2.计算(1)sin 390°＝ ； (2)sin 1 860°＝ ；(3)sin(－315°)＝ ； (4)sin(－630°)＝ .(5)sin(－390°)＝ ，(6)cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝ ， (7)tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝ . (8)sin 76π＝ ，(9)cos 54π＝ ，(10)tan 240°＝ .四、典型例题例1 求下列三角函数的值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π；(2)cos 960°. 跟踪训练1 求下列三角函数的值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)．例2 化简：sin 2(α＋3π)cos (α＋π)tan (α＋π)cos 3(－α－π).跟踪训练2 化简：tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).例3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．跟踪训练3 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 五、课堂小结12．诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.六、课后作业一、基础过关1． sin 585°的值为 ( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322． 若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是 ( ) A ．±tan α B ．－tan αC ．tan αD ．12tan α 3． 若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于 ( ) A.12 B ．±32 C.32 D ．－324． tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为 ( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．15． 记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于 ( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k 26． 若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为 ( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对7． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 8． 代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是____． 二、能力提升9． 设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 013)＝1，则f (2 014)＝________. 10．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .11．若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.。
高二数学新人教B版必修4 1.2.4 诱导公式
1.2.4 （第二课时）角α与(21),k k Z απ++∈的三角函数关系
一、教学目标
知识目标 要求学生掌握诱导公式的简单综合运用
能力目标 运用数形结合的思想探究问题、解决问题，理解对称变换思想在学生学习过程中
的渗透
素养目标 培养学生由特殊到一般的归纳问题意识，养成勤于联想、善于探索的习惯
二、教学重点、难点
重点是诱导公式以及这诱导公式的综合运用
难点是公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透
三、 教学方法
在老师的引导下采取由学生亲自动手总结规律，由一般到特殊，由简单到复杂。
变换的思想贯穿始终，在数学教学中将数学思想渗透于知识的传授之中，让学生充分了解对称变换思想在研究数学问题中的作用，初步形成用对称变思想解决问题的习惯。
知识的纵向延伸可以获得知识，而加强知识间的横向联系根能发展学生的思维能力，提高灵活运用知识分析和解决问题的能力，所以在习题的安排上遵循由浅入深，循序渐进的原则。
四、 教学过程
五、课堂小节
通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性。
知识的纵向延伸可以获得知识，而加强知识间的横向联系根能发展学生的思维能力，提高灵活运用知识分析和解决问题的能力。
六、布置作业。
高中数学人教B版必修4教案：1.2.4 诱导公式(一) Word版含答案
1.2.4 诱导公式（一）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+πk2，-α角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.。
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.2.4 诱导公式(一) Word版含答案
1.2.4诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点一角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系思考角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢？梳理诱导公式(一)知识点二角α与－α的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(二)知识点三角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？思考2根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(三)特别提醒：公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°；(2)sin 11π4； (3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°).反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：(1)“负化正”：用公式一或二来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°之间的角.(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°).命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.类型二 利用诱导公式化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若将本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.反思与感悟 三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. 跟踪训练3 化简下列各式.(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.322.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A.－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－334.sin 750°＝________.5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.答案精析问题导学知识点一思考 角α与α＋k ·2π(k ∈Z )的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等． 梳理 cos α sin α tan α知识点二思考1 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y )．思考2 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 梳理 cos α －sin α －tan α知识点三思考1 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称．P 2(－x ，－y )．思考2 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 梳理 －cos α －sin α tan α题型探究例1 (1)cos 210°＝－32. (2)sin 11π4＝22. (3)sin(－43π6)＝12. (4)cos(－1 920°)＝－12. 跟踪训练1 解 (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 例2 D跟踪训练2 解 由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵0<α<π，∴sin α＝22， ∴α＝π4或α＝34π. 把α＝π4，α＝34π分别代入②， 得cos β＝32或cos β＝－32. 又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π. ∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π. 例3 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究 解 当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.综上，原式＝－tan α.跟踪训练3 (1)1 (2)12当堂训练1．A 2.C 3.D 4.125．解 原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α) ＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.。
数学人教B版必修4教案：1.2.4 诱导公式(一) Word版含答案
1.2.4 诱导公式（一）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+πk2，-α角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.。
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A.cos
B.-cos
C.sin
D.sin
解析: 答案:B 7.tan 2 205° = 答案:1 8.sin · cos (n∈Z)的值为 . . 解析:tan 2 205° =tan(6×360° +45° )=tan 45° =1.
=-cos .
解析: 原式=sin
· cos =-
=- .
答案: -
1.2.4
第 1 课时 诱导公式(1)
诱导公式
课时过关· 能力提升
1.cos
的值为(
)
A.
B.-
C.
D.
解析:cos 答案:A
=cos
=cos
.
2.已知 sin α= ,则 cos(2π-α)的值等于(
)
A. 或-
B.-
C.
D.
解析:cos(2π-α)=cos(-α)=cos α=± 答案:A 3.已知 tan 5° =t,则 tan(-365° )等于( A.t C.-t 答案:C B.360+t D.与 t 无关 )
=±
பைடு நூலகம்
=± .
解析:tan(-365° )=-tan 365° =-tan(360° +5° )=-tan 5° =-t.
4.已知函数 f(x)=cos ,则下列等式成立的是( A.f(4π-x)=-f(x) C.f(-x)=f(x) 解析: f(-x)=cos B.f(4π+x)=-f(x) D.f(-x)=-f(x) =cos =f(x).
★9.sin sin sin 解 =sin · sin
sin
·…·sin 析
的值等于 : · …· sin
. 原 式 ×…×
· sin
2
=(-1)100×
.
答案:
10.设 f(x)=
g(x)=
求g 解
+f
+g
+f
的值. : 原 +1= +sin +cos +sin +3= 式 +3=
=cos +f 3. ★11.已知
=
.
3
)
1
答案:C 5.若|sin(360° -α)|=sin(-α+720° ),则 α 的取值范围是 A. (k∈Z) ( )
B.
(k∈Z)
C.[2kπ,2kπ+π](k∈Z) D.[2kπ-π,2kπ](k∈Z) 解析: 由已知可得|sin α|=-sin α,因此 sin α≤0,所以 2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z). 答案:D 6.化简 的结果为( )
+1+g
+1+f
=3+2
,求 cos2(-θ)+sin(2π-θ)· cos(-θ)+2sin2(2π+θ)的值.
解: 由已知可得
=3+2
,解得 tan θ= .
因此 cos2(-θ)+sin(2π-θ)· cos(-θ)+2sin2(2π+θ) =cos2θ-sin θcos θ+2sin2θ =