区间估计 (3)ppt课件
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数理统计之区间估计(ppt 50页)
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2]，使
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
教材上讨论了以下几种情形：
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比
的区间估计.
2 1 2 2
比例 p 的区间估计.
下面我们举几个例子，其余部分请自己看.
休息片刻继续
例2 已知某地区新生婴儿的体重X~N(,2),
, 2未知,
…
随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 X1,X2,…,X100
相应的置信区间平均长度越长.
也就是说，要想得到的区间估计可靠 度高，区间长度就长，估计的精度就差. 这是一对矛盾.
实用中应在保证足够可靠的前提下， 尽量使得区间的长度短一些 .
例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费， 观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准 差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值 的区间估计（置信水平为0.95）.
(ˆ1 ˆ2) 满足
P {ˆ1ˆ2}1
则称区间 [ˆ1,ˆ2]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2]，使
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
教材上讨论了以下几种情形：
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比
的区间估计.
2 1 2 2
比例 p 的区间估计.
下面我们举几个例子，其余部分请自己看.
休息片刻继续
例2 已知某地区新生婴儿的体重X~N(,2),
, 2未知,
…
随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 X1,X2,…,X100
相应的置信区间平均长度越长.
也就是说，要想得到的区间估计可靠 度高，区间长度就长，估计的精度就差. 这是一对矛盾.
实用中应在保证足够可靠的前提下， 尽量使得区间的长度短一些 .
例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费， 观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准 差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值 的区间估计（置信水平为0.95）.
(ˆ1 ˆ2) 满足
P {ˆ1ˆ2}1
则称区间 [ˆ1,ˆ2]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
区间估计ppt课件
极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。
2024年度区间优秀ppt课件
模拟生物进化过程，通过选择、交叉、变异等操作寻找全局最优 解。
粒子群优化算法
模拟鸟群觅食行为，通过个体和群体的历史最优位置来更新粒子的 速度和位置。
模拟退火算法
模拟物理退火过程，以一定的概率接受劣解，从而避免陷入局部最 优。
22
06
区间计算软件工具介绍
2024/2/2
23
MATLAB软件区间计算功能
12
经济预测中置信区间构建
2024/2/2
经济数据特点
01
经济数据具有不确定性、波动性等特点，需要采用置信区间进
行预测。
置信区间构建方法
02
根据历史数据、经济模型等信息，构建一定置信水平的预测区
间。
实际应用案例
03
例如，在宏观经济预测中，通过构建GDP增速的置信区间，为
政策制定提供参考。
13
医学诊断中参考值范围设定
16
置信水平及置信区间计算
置信水平
又称置信度或置信系数，指在特定个体对待特定命题真实性相信的程度上。也就是概率是对个人信念合理性的量 度。
置信区间计算
是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。在统计学中，一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总 体参数的区间估计。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被 测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。
性的影响。
2024/2/2
10
03
区间在实际问题中的应用
2024/2/2
11
工程测量中误差范围确定
误差来源分析
工程测量中，误差主要来源于仪 器误差、观测误差、环境误差等
。
2024/2/2
粒子群优化算法
模拟鸟群觅食行为，通过个体和群体的历史最优位置来更新粒子的 速度和位置。
模拟退火算法
模拟物理退火过程，以一定的概率接受劣解，从而避免陷入局部最 优。
22
06
区间计算软件工具介绍
2024/2/2
23
MATLAB软件区间计算功能
12
经济预测中置信区间构建
2024/2/2
经济数据特点
01
经济数据具有不确定性、波动性等特点，需要采用置信区间进
行预测。
置信区间构建方法
02
根据历史数据、经济模型等信息，构建一定置信水平的预测区
间。
实际应用案例
03
例如，在宏观经济预测中，通过构建GDP增速的置信区间，为
政策制定提供参考。
13
医学诊断中参考值范围设定
16
置信水平及置信区间计算
置信水平
又称置信度或置信系数，指在特定个体对待特定命题真实性相信的程度上。也就是概率是对个人信念合理性的量 度。
置信区间计算
是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。在统计学中，一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总 体参数的区间估计。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被 测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。
性的影响。
2024/2/2
10
03
区间在实际问题中的应用
2024/2/2
11
工程测量中误差范围确定
误差来源分析
工程测量中，误差主要来源于仪 器误差、观测误差、环境误差等
。
2024/2/2
概率论与数理统计第6章参数区间估计2,3节
n
E(X
k
)
E(X
k)
i1
i1
二、有效性
未知参数 的无偏估计量不是唯一的.
设 ^1 和 ^2 都是参数 的无偏估计量,
θˆ 1
θˆ 2
集中
分散
蓝色是采用估^ 计量 1 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值. 紫色是采用估^ 计量 2 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值.
若limD(ˆ)0， 则ˆ是的一致估 . 计量 n
回顾例子.设总体X的概率密度为
f(x)6x3 (x),0x;
0, 其他
X1, X2,…, Xn 是取自总体X 的简单随机样本, (1) 求的矩估计量 ˆ；
(2) 求ˆ的方差D(ˆ).
解：矩估计 ˆ量 2X. D(ˆ)4D(X)4D(X)2
若滚珠直径服从正态分布X ~ N( , 2), 并且已知 = 0.16(mm),求滚珠直径均值的置信水平为95%
的置信区间.
解：由上面求解的置信水平为1- 的置信区间
Xσn 0 uα/,2 Xσn 0 uα/2
已 n 知 1,0 0 0 .1,6 0 .0,5 x110i110xi 14.92,
若进行n次独立重复抽样，得到n个样本观测值,
每个样本观测 个值 随确 机(定 ˆ1区 ,ˆ2一 )间 .那么
每个区间的 可真 能 ， 或 值 包不 含包 的含 真 , 值
根据伯努利大数定理, 在这n个随机区间中,
包含 真值1 的 0(1 0 约 )% 占 ,不包含 10 的 % 0. 约
便得 k的 到 最大似 ˆk(X 1,然 X 2, ,估 X n).计
第二节 判别估计量好坏的标准
区间估计
x
）
x
） ）
x x
（
有时在实际中常用的还有单侧置信区间:
ˆ ˆ ( X ,..., X ) 是统计量, 若对给定的 定义3: 设 L L 1 n
α(0< α <1)，对任意的θΘ,有
ˆ } 1- P{ L
ˆ 是θ的置信水平为 1- α的(单侧)置信下限. 则称 L
ˆ ˆ ( X ,..., X )是统计量, 若对给定的 定义4: 设 U U 1 n
(3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
2 (n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 1 (n 1) (n 1) 2 2 注：两边开方即得到 的置信区间
(3)
(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少）
解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， u1-/2=1.96 应抽取的样本量为
n
( u1 2 )2 2
E2 96.04 97
(1.96)2 2000 2 4002
即应抽取97人作为样本。
四、大样本置信区间
若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限 定理, 可近似地视为 2 x ~ N (, )
例如: 设 X1,…, Xn 是取自 N ( , 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
1、明确问题,是求哪个参数的置信区间? 置信水平是多少？
解： 选
的点估计为 X ,
2、寻找未知 参数的一个良 好估计.
3、寻找一个待估参数和样本的函数，要求其 分布为已知.
解：已知Ｘ ~ N(，2)，n=16, 1- = 95%，t1-/2=2.131 根据样本数据计算得： x 1490
概率论区间估计
(n 1)S 2
2
当置信水平为1-时，由
P
2
1
(n 1)
2
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)
1
查2- 分布表，拟定双侧分位数 2 (n 1), 2 (n 1)
1 2
2
从而得2旳置信水平为1-旳置信区间为
(n 1)S 2
2 (n 1) 2
,
(n 1)S 2
2 1
2
(n
1)
例4 设某灯泡旳寿命X~N（，2）， ，2未知，现 从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0， 11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为 90%旳2旳区间估计。
小结
总体服从正态分布旳均值或方差旳区间估计 假设置信水平为1- （1）方差已知，对均值旳区间估计
构造U-统计量，反查原则正态分布表，
拟定U旳双侧分位数 u 2
得EX旳区间估计为
X
u
2
,
n
X
u 2
n
小结
总体服从正态分布旳均值或方差旳区间估计
假设置信水平为1-
（2）方差未知，对均值旳区间估计
构造T-统计量，查t-分布临界值表，
精确度降低 ——原因：样本容量降低
在实际应用中，方差未知旳均值旳区间估计 较有应用价值。
练习 假设某片居民每月对某种商品旳需求量X服从正态
分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为
10公斤，方差为9，假如某商店供给10000户，试就居民
对该种商品旳平均需求量进行区间估计（=0.01），并
依此考虑至少要准备多少这种商品才干以99%旳概率满
拟定T旳双侧分位数 t 2 (n 1)
概率论第七章参数估计2区间估计
1 2
2 / 2 ( n 1)
即
置信区间：
标准差σ的一个置信水平为 1 的置信区间
2 (n 1) S , 2 (n 1) 2
(n 1) S 2 1 (n 1) 2
2
注意：在密度函数不对称时，如 2分布和F 分布，
置信度 1 下，来确定 的置信区间[ , ]
⑴ 已知方差 ，估计均值μ
2
n 1 2 设已知方差 2 0 ，且 X X i 是 的 n i 1 一个无偏点估计，
又
X ~ N (0 , 1) 0 / n
且 对于给定的置信度 查正态分布表，找出
临界值
使得：
2 1 2 2
一个无偏估计， 因为X与Y 相互独立,所以
X Y ~ N ( 1 2 ,
X Y ( 1 2 )
2 1
n1
2 2
n2
)
2 1
n1 n2 所以 1 2 的置信水平为1-α的置信区间为
2 2
~ N (0,1)
( X Y z / 2
已知
由样本值算得：
查表 t0.025 (6) 2.447
得区间：
对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验, 测 例 5： 得最大飞行速度(单位: 米/秒)为 422.2, 417.2, 425.6 420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5 413.5, 441.3, 423.0, 428.2, 根据长期经验, 可以认为 最大飞行速度服从正态分布. 求飞机最大飞行速度
第三节 区间估计 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极 大似然估计为1000条.
2 / 2 ( n 1)
即
置信区间：
标准差σ的一个置信水平为 1 的置信区间
2 (n 1) S , 2 (n 1) 2
(n 1) S 2 1 (n 1) 2
2
注意：在密度函数不对称时，如 2分布和F 分布，
置信度 1 下，来确定 的置信区间[ , ]
⑴ 已知方差 ，估计均值μ
2
n 1 2 设已知方差 2 0 ，且 X X i 是 的 n i 1 一个无偏点估计，
又
X ~ N (0 , 1) 0 / n
且 对于给定的置信度 查正态分布表，找出
临界值
使得：
2 1 2 2
一个无偏估计， 因为X与Y 相互独立,所以
X Y ~ N ( 1 2 ,
X Y ( 1 2 )
2 1
n1
2 2
n2
)
2 1
n1 n2 所以 1 2 的置信水平为1-α的置信区间为
2 2
~ N (0,1)
( X Y z / 2
已知
由样本值算得：
查表 t0.025 (6) 2.447
得区间：
对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验, 测 例 5： 得最大飞行速度(单位: 米/秒)为 422.2, 417.2, 425.6 420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5 413.5, 441.3, 423.0, 428.2, 根据长期经验, 可以认为 最大飞行速度服从正态分布. 求飞机最大飞行速度
第三节 区间估计 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极 大似然估计为1000条.
区间ppt课件
区间端点处理不当
在处理区间端点时，需要注意开闭区间的区别，否则可能导致结 果不准确。
混淆不同类型区间概念
1 2 3
混淆开闭区间 开区间和闭区间在数学上有明确的定义，但解题 者容易混淆二者概念，导致解题错误。
误解区间表示方法 在数学中，区间可以用不同的方式表示，如不等 式、集合等。解题者需要熟悉各种表示方法，避 免误解。
不等式求解与证明
01
02
03
04
区间分析法
将不等式中的变量限制在某个 区间内，通过分析函数在该区
间内的性质来求解不等式。
放缩法
通过适当的放缩，将复杂的不 等式转化为简单的不等式进行
求解。
构造函数法
构造适当的函数，利用函数的 性质来证明不等式。
数学归纳法
对于某些与自然数有关的不等 式，可以利用数学归纳法进行
些变化对函数性质的影响。
谢谢聆听
利用图像求解值域
对于难以直接求解的函数，可以通过绘制函数图像来观察其值域范 围。
多变量不等式处理方法
分离变量法
将多变量不等式中的各个变量分离开来，分别求解每个变量的取 值范围，再综合得出解集。
利用基本不等式性质
利用均值不等式、柯西不等式等基本不等式性质来简化多变量不等 式，降低求解难度。
转化为单变量不等式
B
C
区间乘法
区间乘法稍微复杂一些，需要考虑区间内元 素的符号。如果两个区间内的元素同号，则 它们的积为正；如果异号，则积为负。具体 的积的范围可以通过比较区间端点的大小来 确定。
区间除法
区间除法与乘法类似，只是将乘法运算改为 除法运算。需要注意的是，除数不能为0， 因此在进行区间除法时需要排除这种情况。
经济预测中置信区间计算
在处理区间端点时，需要注意开闭区间的区别，否则可能导致结 果不准确。
混淆不同类型区间概念
1 2 3
混淆开闭区间 开区间和闭区间在数学上有明确的定义，但解题 者容易混淆二者概念，导致解题错误。
误解区间表示方法 在数学中，区间可以用不同的方式表示，如不等 式、集合等。解题者需要熟悉各种表示方法，避 免误解。
不等式求解与证明
01
02
03
04
区间分析法
将不等式中的变量限制在某个 区间内，通过分析函数在该区
间内的性质来求解不等式。
放缩法
通过适当的放缩，将复杂的不 等式转化为简单的不等式进行
求解。
构造函数法
构造适当的函数，利用函数的 性质来证明不等式。
数学归纳法
对于某些与自然数有关的不等 式，可以利用数学归纳法进行
些变化对函数性质的影响。
谢谢聆听
利用图像求解值域
对于难以直接求解的函数，可以通过绘制函数图像来观察其值域范 围。
多变量不等式处理方法
分离变量法
将多变量不等式中的各个变量分离开来，分别求解每个变量的取 值范围，再综合得出解集。
利用基本不等式性质
利用均值不等式、柯西不等式等基本不等式性质来简化多变量不等 式，降低求解难度。
转化为单变量不等式
B
C
区间乘法
区间乘法稍微复杂一些，需要考虑区间内元 素的符号。如果两个区间内的元素同号，则 它们的积为正；如果异号，则积为负。具体 的积的范围可以通过比较区间端点的大小来 确定。
区间除法
区间除法与乘法类似，只是将乘法运算改为 除法运算。需要注意的是，除数不能为0， 因此在进行区间除法时需要排除这种情况。
经济预测中置信区间计算
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当两样本为成对资料时，在置信度为P＝1- α 时，两总体平均数差数µ 1-µ 2的置信区间可估 计为：
0+1.96x
临界值
u x
P ( 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 1 . 96 ) P ( x 1 . 96 ) 0 . 05 x x
P ( 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
当为大样本时，不论总体方差σ2为已 知或未知，可以利用样本平均数 x 和总体 方差σ2作出置信度为P＝1-α的中体平均数 的区间估计为：
( L x u , L x u ) 1 2 x x
其置信区间的下限L1和上限L2为
L u 1 x x
L u 2 x x
总体平均数的点估计L为：
L x tsx
tа为正态分布下置信度P＝1－ α时的t临界值
蛋白质含量的点估计为：
L x u 14 . 5 1 . 96 0 . 50 14 . 5 0 . 98 x
说明小麦蛋白质含量有95％的把握落在13.52％～ 15.48％的区间里。
P ( x 2 . 58 ) P ( x 2 . 58 ) 0 . 01 x x
P ( x 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
总体平均数的点估计未知时，
σ2需由样本方差s2来估计，于是置信度为P
＝1-α的总体平均数μ的置信区间可估计为
( x t s , x t s ) x x
其置信区间的下限L1和上限L2为：
( L x t s , L x t s ) 1 x 2 x
P ( x u x u ) 1 x x
uα：正态分布下置信度P=1- α时的u临界值 1- α：置信水平
P ( x u x u ) 1 x x
知道 x ，但不知道μ 1- α置信区间、置信距
( x u , x u ) x x
( L x u , L x u ) 1 x 2 x
( L x u , L x u ) 1 x 2 x
用样本平均数 x 对总体平均数μ的置信度为P=1-α 的区间估计。
Lx u x
用样本平均数 x 对总体平均数μ的置信度为P=1-α 的点估计。
' ' 1 1 2 2 1 2 ( d ) f ( d ) f x x x x 1 2 1 2
两个总体平均数差数µ 1-µ 2的点估计Ｌ为：
L x x t s ' 1 2 x x , df 1 2
上面三式中，tα，df '为置信度为 P=1- α时自由度为df '的t临界值。
一、参数区间估计与点估计的原理
参数的区间估计也可用于假设检验。 置信区间是在一定置信度P=1-α 下总体参数的所在 范围，故对参数所进行的假设如果落在该区间内， 就说明这个假设与真实情况没有不同，因而就可以 接受零假设。 对参数所进行的假设如果落在该区间之外，就说明 这个假设与真实情况有本质的不同，因而就否定零 假设，接受备择假设。
区间估计 (3)
一、参数区间估计与点估计的原理
参数的区间估计与点估计是建立在一定理论基础 上的一种方法。
由中心极限定理和大数定律，只要抽样为大样本， 不论其总体是否为正态分布，其样本平均数都近似
服从正态分布N(μ ，σ 2/n)。
0.025
0.95（接受区）
0.025
0-1.96x
0 接受区
一、参数区间估计与点估计的原理
无论区间估计还是点估计，都与概率显著水平α 的大 小联系在一起。 α 越小，则相应的置信区间就越大，也就是说用样本 平均数对总体平均数估计的可靠程度越高，但这时 估计的精度就降低了。
在实际应用中，应合理选取概率显著水平α 的大小， 不能认为α 取值越小越好。
二、总体平均数μ的区间估计和点估计
于是对虾体长的区间估计为
L x t s 120 2 . 861 3 . 354 110 . 4 ( mm ) 1 x
L x t s 120 2 . 861 3 . 354 129 . 6 ( mm ) 2 x
对虾体长的点估计为：
L x t s x 120 2 . 861 3 . 354 120 9 . 6 ( mm )
例题 从某渔场收对虾的总体中，随机取20尾 对虾，测的平均体长x＝120mm，标准差是＝ 15mm，试估计置信度为99％的对虾总体平均数 本例中，由于总体方差σ 2未知，需用s2估计 σ2，当df＝20－1＝19时，t0.01＝2.861。具体计 算如下
s 15 s 3 . 354 x n 20
下，两总体平均数差数µ1-µ2的区间估计为：
x x t s , ( x x ) t s
' ' 1 2( 1 2 x x x x df ) ( df ) 1 2 1 2
其置信区间的下限Ｌ1和上限L2为：
L x x t s , L ( x x ) t s
说明对虾体长有99％把握落在110.4mm～129.6mm 区间里
当两个样本为小样本，总体方差σ12和σ22未知，且两总体
方差不相等，即σ12 ≠ σ22时，可由两样本方差s12和s22对总体方
差σ12和σ22的估计而算出的t值，已不是自由度df＝n1+n2-2的t 分布，而是近似的服从自由度df '的t分布，在置信度为P＝1-α