初中二次函数复习带答案

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中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1；（2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4．（2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米．（3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4．（2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8．（3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带参考答案一、选择题1．抛物线y=−2x2+3的顶点为（）.A．(0，3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(0，−3)2．将抛物线y=4x2向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（）．A．y=4(x+9)2+6B．y=4(x−9)2+6C．y=4(x+9)2−6D．y=4(x−9)2−63．一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．4．已知二次函数y=ax2+bx+2（a≠0），经过点P（m，12）．当y≤−1时，x的取值范围为t−1≤x≤−3−t．则如下四个值中有可能为m的是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已二次函数y=mx2+(m−2)x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（）.A．m=2B．抛物线的开口向上C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x=2时，函数有最小值26．已知二次函数y=(x−1)(x−2)，若关于x的方程(x−1)(x−2)=m(m<0)的实数根为α，β，且α<β，则下列不等式正确的是（）A．α<1，β<2B．1<α<β<2C．1<α<2<βD．α<1<β<27．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为y= (x−3)2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点A的坐标为(0，−1916)，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）9A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m8．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①4ac ＜b 2；②abc ＞0；③方程ax 2+bx+c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；④当x ＜0时，y 随x 增大而增大；⑤8a+c ＜0．其中结论正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题9．若抛物线y =x 2−x +k 与x 轴只有一个交点，则k 的值为 . 10．二次函数y ＝﹣3（x+1）2的最大值为．11．若二次函数y =ax 2−bx −1的图象经过点(2，1)，则2023−2a +b = .12．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y 元，设平均每次降价的百分率是x ，则y 关于x 的函数表达式为．13．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象过点（3，0），对称轴为直线x ＝1，则下列结论：①abc ＜0；②ax 2+bx+c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；③当x ＜1时，y 随着x 的增大而增大；④4a+2b+c ＜0．（填写序号）．三、解答题14．已知二次函数y =14x 2+x ．（1）确定该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？15．已知抛物线2y x bx c =++经过()3,0A ，对称轴是直线1x =．点()11,B n y -，()222,C n y +两点在抛物(1)求抛物线的解析式；(2)当n 取何值时，12y y -取最大值．16．如图，交易会上主办方利用足够长的一段围墙，用围栏围成一个长方形的空地，中间用围栏分割出2个小长方形展厅，并且在与墙平行的一边上各开了一扇宽为1.5m 的门，总共用去围栏36m ．(1)若长方形展厅ABCD 的面积为290m ，求边AB 的长为多少米？ (2)当边AB 的长为多少米时，长方形展厅ABCD 的面积最大？17．某商店以每顶60元的价格新进一批头盔，经市场调研发现，售价定为每顶100元时，每月可售出200顶为配合交管部门“一带（安全带）一盔（头盔）”整治活动，计划将头盔降价出售，经调查发现：每降价4元，每月可多售出40顶，设该商店降价后每个头盔的价格为元，每月销售的头盔数量为y 顶．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）若该商店销售头盔每月的利润为w 元，求w 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x 取何值时，每月销售头盔的利润w 有最大值？最大值是多少？18．如图，抛物线252y ax bx =++与直线AB 交于点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．点D 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A B 、重合），经过点D 且与y 轴平行的直线交直线AB 于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D 为抛物线的顶点，点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线AB 上的动点．是否存在以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1．A 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．14 10．0 11．202212．y =16x 2−32x +16 13．①②③14．（1）解：∵y =14x 2+x =14(x 2+4x)=14(x 2+4x +4−4)=14(x +2)2−1 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2，−1)，对称轴为直线x =−2 （2）解：∵对称轴为直线x =−2，抛物线开口朝上当x <−2时，y 随x 的增大而减小，当x >−2时，y 随x 的增大而增大． 15．（1）解：由题可得：09312b cb =++⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为2=23y x x --；（2）解：∵点()11,B n y -，()223,C n y +两点在抛物线上∴()()22112134y n n n n =----=- ()()22223223348y n n n n =+-+-=+ ∴()22123123212y y n n n -=--=-++ ∵30-<∴当2n =-时12y y -取最大值．16．（1）解：设AB 的长为x 米，则()3632 1.5393BC x x =-+⨯=-米，根据题意得：()39390x x -=解得13x = 210x = 答：AB 的长为3或10米．（2）解：设AB 的长为x 米，则()393BC x =-米，长方形展厅ABCD 的面积为S 由题意可得()2213507393339324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴为132x = ∴当132AB =时，所围成的长方形展厅ABCD 的面积最大． 17．（1）解：；（2）解：由题知与之间的函数关系式为；（3）解：抛物线开口向下又当时，有最大值，最大值为9000．即当元，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是9000元．18．（1）解：由题意，将点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入252y ax bx =++中得5025516422a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为215222y x x =-++；（2）解：存在以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形．由()221519222222y x x x =-++=--+得顶点D 坐标为92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AB 的解析式为y kx t =+将点()51,0,4,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，得0542k t k t -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1212k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AB 的解析式为1122y x =+ 当2x =时1132222y =⨯+=，∴32,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴93322CD =-= ∵以点,,,P Q C D 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形，CD 在抛物线对称轴上 ∴PQ y ∥轴，且3PQ CD ==由题意，设215,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则11,22Q m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴2151122222PQ m m m ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭2132322m m =-++=∴2132322m m -++=①或2132322m m -++=-②解①得1m =或2m =（舍去），则()1,1Q ；解②得2m =-或5m =，则12,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()5,3Q ,综上，符合条件的Q 坐标为()1,1或12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()5,3．。

2024年中考数学总复习：二次函数(附答案解析)

2024年中考数学总复习：二次函数一．选择题（共25小题）1．抛物线y＝（x+1）2﹣1的对称轴是（）A．直线x＝0B．直线x＝1C．直线x＝﹣1D．直线y＝12．将抛物线y＝﹣x2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1C．y＝﹣（x+2）2+5D．y＝﹣（x﹣2）2+53．已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0 4．把抛物线y＝x2+bx+2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y＝x2﹣4x+7，则b＝（）A．2B．4C．6D．85．已知点（﹣3，y1），（2，y2），(−12，y3)都在函数y＝x2﹣1的图象上，则（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④9a+c＞3b；其中正确的结论是（）A．①B．②C．③D．④7．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图像上有三点A（√2，y1），B（3，y2），A（0，y3），则y1，y2，y3为的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y18．A(−12，y1)，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1第1页（共17页）。

中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案) 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知二次函数2281y x x =-+，当11x -≤≤时，函数y 的最小值是（）A ．1B ．5-C ．6-D ．7-2．把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的解析式为22y x =，则原抛物线的解析式为（） A ．()2213y x =-+B ．()2213y x =++C ．()2213y x =+-D ．()2213y x =--3．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A 与()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．若二次函数2y x x c =--+的图像在31x -<<的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（）A ．45c -≤<B ．43c -≤<-C ．164c -≤<D ．114c -≤< 4．如图为2y x bx c =++的图象，则（）A ．0b > 0c <B ．0b > 0c >C ．0b < 0c >D ．0b < 0c < 5．把抛物线22y x =-先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A ．22(6)2y x =-++B ．22(6)2y x =-+-C ．22(6)2y x =--+D ．22(6)2y x =---6．如图，抛物线2y ax c =-经过正方形OACB 的三个顶点A ，B ，C ，点C 在y 轴上，则ac 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，菱形ABCD 的边长为3cm ，=60B ∠︒动点P 从点B 出发以3cm /s 的速度沿着边BC CD DA --运动，到达点A 后停止运动；同时动点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达点A 后停止运动．设点P 的运动时间为(s)x ，BPQ 的面积为()2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．B ．C ．D ．8．已知在平面直角坐标系中，抛物线1C 的图象如图所示，对称轴为直线2x =-，将抛物线1C 向右平移2个单位长度得到抛物线2C ：2y ax bx c =++ （a 、b 、c 为常数，且0a ≠），则代数式b c a +-与0的大小关系是（）A ．0b c a +-<B ．0b c a +-=C ．0b c a +->D ．不能确定二、填空题9．若关于x 的二次函数2321y x x m =-+-的值恒为正数，则m 的取值范围为． 10．将抛物线2(1)2y x =++先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则所得抛物线的解析式为．11．小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系为：2412h t t =-+，则足球距离地面的最大高度为 m ．12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽度增加 m ．（结果可保留根号）13．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，且抛物线与x 轴交于A ，B两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；①()220a c b +->；①50a c +=；①若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的是 .（填序号）三、解答题 14．已知抛物线23y ax bx =++交x 轴于()()1030A B ，，，两点 (1)求抛物线的函数表达式；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．15．如图，抛物线214y x bx c =++过点()0,0O ，()10,0E 矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上．设动点B 坐标为(),0t ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)当t 为何值时矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？16．“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重500g 一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元．(1)求每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)若超市想每月销售柠檬即食片所得利润w 稳定在900元，销售单价应定为多少元？17．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系212123y x x c =-++．已知铅球落地时的水平距离为10m ．(1)求铅球出手后水平距离与这名同学相距多远时，铅球离地面最高？(2)在铅球出手后的行进过程中，当它离地面的高度为5m 3时，此时铅球的水平距离是多少？18．我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规x x≥人生产乙产品．定甲产品每天至少生产20件．设每天安排()1(1)根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品生产成本（元）甲10-乙x402x(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？参考答案：1．B2．D3．A4．D5．D6．B7．D8．C9．43m > 10．2(2)2y x =--11．912．()264-13．③④/④③14．(1)243y x x =-+(2)当2x <，y 随x 的增大而减小15．(1)抛物线的函数表达式为21542y x x =-，顶点坐标为2554⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)当1t =时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．16．(1)()480201018y x x =-≤≤； (2)当销售单价定为17元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为980元．(3)当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．17．(1)铅球出手后水平距离与这名同学相距3m 远时，铅球离地面最高为3m(2)此时铅球的水平距离为8m18．安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元。

二次函数综合复习附答案

二次函数综合复习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（） A ．函数图象的开口向下 B ．函数图象的顶点坐标是()1,5- C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大2．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC 的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN ，其中点P 在AC 上，点NM 分别在BC，AB 上，记PM=x ，PN=y ，图中阴影部分的面积为S ，若NP 在一定范围内变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（）A ．反比例函数关系，一次函数关系B ．二次函数关系，一次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．一次函数关系，二次函数关系3．二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，已知抛物线22y ax bx =+-的对称轴是=1x -，直线l x ∥轴，且交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y ，下列结论错误．．的是（）A ．28b a >-B ．若实数1m ≠-，则2a b am bm -<+C ．320a ->D ．当2y >-时，120x x ⋅<5．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为直线x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a +b ＝0；①4a ﹣2b +c ＞0；①abc ＞0；①当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞3．其中正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①6．记某商品销售单价为x 元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y 元，且y 是关于x 的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y 与x 的函数关系式是（） A ．y ＝﹣（x ﹣60）2+1825 B ．y ＝﹣2（x ﹣60）2+1850 C ．y ＝﹣（x ﹣65）2+1900D ．y ＝﹣2（x ﹣65）2+20007．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线的对称轴为直线2x = C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大8．已知抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴为x =1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；①2c ﹣3b <0；①5a +b +2c =0；①若B （43，y 1）、C （13，y 2）、D （13-，y 3）是抛物线上的三点，则y 1<y 2<y 3．其中正确结论的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 9．如图，已知P 是函数y 214x =-1图象上的动点，当点P 在x 轴上方时，作PH ①x 轴于点H ，连接PO ．小华用几何画板软件对PO ，PH 的数量关系进行了探讨，发现PO ﹣PH 是个定值，则这个定值为 _____．10．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像过点(－1，0)，对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；①9a +c <3b ；①8a +7b +2c >0；①若点A (－3，1y )、点B (21,2y -)、点C (37,2y )在该函数图像上，则132y y y <<：①若方程()()153a x x +-=-的两根为12,x x ，且12x x <，则1215.x x <-<<其中正确的结论有__________． (只填序号)11．已知二次函数223y x x =--+，当12a x 时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．12．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．13．北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱．有一草莓种植大户，每天草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完．经调查发现，零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为___元时，该种植户一天的销售收入最大．14．如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面53米时，足球飞行的水平距离为__________米．三、解答题 15．某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y 件．（1）求y 与x 的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？ 16．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x 元（x 为整数），每个月的销售量为y 件．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）设每月的销售利润为W ，请直接写出W 与x 的函数关系式．17．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m ，顶点距水面6m ，小孔顶点距水面4.5m ．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．18．如图，点(),3P a 在抛物线C ：()246y x =--上，且在C 的对称轴右侧．(1)写出C 的对称轴和y 的最大值，并求a 的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P 及C 的一段，分别记为P '，C '．平移该胶片，使C '所在抛物线对应的函数恰为269y x x =-+-．求点P '移动的最短路程．19．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w 元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？20．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)直接写出y 与x 的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点为P ，且与y 轴交于点A ，与直线y a =-交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时，请直接写出“W 区域”内的整点个数；①当“W 区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.22．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （28x ≤≤，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y 关于x 的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 23．在平面直角坐标系中，设二次函数22y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）． (1)若1a =，当=1x -时，4y =．求y 的函数表达式．(2)写出一题a ，b 的值，使函数22y ax bx =++的图象与x 轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．(3)已知，二次函数22y ax bx =++的图象和直线4y ax b =+都经过点（2，m ），求证2212a b +≥．24．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为m h （h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++≠．(1)c的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时19,5010a b=-=，求基准点K的高度h；①若150a=-时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．参考答案：1．D【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y =（x -1）2+5， ①a =1>0，故抛物线开口向上，故A 错误；顶点坐标为（1，5），故B 错误；该函数有最小值，最小值是5，故C 错误；当1x >时，y 随x 的增大而增大，故D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 2．D【分析】先求出AM =PM ，利用矩形的性质得出y =﹣x +m ，最后利用S =S △ABC －S 矩形PMBN 得出结论．【详解】设AB =m （m 为常数）．在△AMP 中，①A =45°，AM ①PM ， ①△AMP 为等腰直角三角形， ①AM =PM ，又①在矩形PMBN 中，PN =BM ，①x +y =PM +PN =AM +BM =AB =m ，即y =﹣x +m ， ①y 与x 成一次函数关系，①S =S △ABC －S 矩形PMBN =12m 2-xy =12m 2-x （﹣x +m ）=x 2-mx +212m ，①S 与x 成二次函数关系．故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用，解题的关键是掌握根据题意求出y 与x 之间的函数关系式． 3．A【分析】先分析二次函数21y ax bx =++的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2ba-，即可得出正确选项．【详解】二次函数21y ax bx =++的对称轴为2bx a=-，一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2b a -，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(,0)2ba-，只有A 选项符合题意．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2ba-，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 4．C【分析】先根据抛物线对称轴求出2b a =，再由抛物线开口向上，得到0a >，则228480b a a a +=+>由此即可判断A ；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B ；根据当1x =时，20y a b =+-<，即可判断C ；根据2y >-时，直线l 与抛物线的两个交点分别在y 轴的两侧，即可判断D ．【详解】解：①抛物线22y ax bx =+-的对称轴是=1x -， ①12ba-=-， ①2b a =，①抛物线开口向上， ①0a >，①228480b a a a +=+>，①28b a >-，故A 说法正确，不符合题意； ①抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x =-1， ①当x =-1时，=2y a b --最小值，①当实数1m ≠-，则222a b am bm --<+-，①当实数1m ≠-时，2a b am bm -<+，故B 说法正确，不符合题意； ①当1x =时，20y a b =+-<，①a +2a -2＜0，即3a -2＜0，故C 说法错误，符合题意； ①2y >-，①直线l 与抛物线的两个交点分别在y 轴的两侧，①120x x ⋅<，故D 说法正确，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．5．C【分析】根据对称轴为x ＝1可判断①；当x ＝﹣2时，4a ﹣2b +c ＜0即可判断①；根据开口方向，对称轴以及与y 轴交点即可判断①，求出A 点坐标，根据图象即可判断①．【详解】解：①对称轴为x ＝1，①x ＝﹣2b a＝1， ①b ＝﹣2a ，①2a +b ＝0，故选项①正确；①点B 坐标为（﹣1，0），①当x ＝﹣2时，4a ﹣2b +c ＜0，故选项①错误；①图象开口向下，①a ＜0，①b ＝﹣2a ＞0，①图象与y 轴交于正半轴上，①c ＞0，①abc ＜0，故选项①错误；①对称轴为x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0），①A 点坐标为：（3，0），①当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞3．故选项①正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x ＝﹣2b a；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2﹣4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2﹣4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2﹣4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．6．D【分析】设二次函数的解析式为：y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意列方程组即可得到结论．【详解】解：设二次函数的解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，①当x ＝55，y ＝1800，当x ＝75，y ＝1800，当x ＝80时，y ＝1550，①222555518007575180080801550a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，解得a ＝−2，b ＝260，c ＝−6450，①y 与x 的函数关系式是y ＝﹣2x 2+260x ﹣6450＝﹣2（x ﹣65）2+2000，故选：D ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确的列方程组是解题的关键．7．D【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．【详解】解：抛物线22()1y x =-+中，a ＞0，抛物线开口向上，因此A 选项正确，不符合题意；由解析式得，对称轴为直线2x =，因此B 选项正确，不符合题意；由解析式得，当2x =时，y 取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为(2,1)，因此C 选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，因此当2x <时，y 随x 的增大而减小，因此D 选项错误，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在()2y a x h k =-+中，对称轴为x h =，顶点坐标为(,)h k ． 8．B【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y 轴负半轴有交点，则0a >，0c <，对称轴为直线12b x a=-=，则20b a =-<， ①0abc >，故①正确；当3x =时，930y a b c =++=，①2b a =-，①30a c +=，即3a c =-①()()2323320c b a a -=⨯--⨯-=，故①错误；①对称轴为直线12b x a=-=， ①抛物线与x 轴负半轴的交点为（1-，0），①0a b c -+=，①930a b c ++=，两式相加，则10220a b c ++=，①50a b c ++=，故①错误； ①14133--=，12133-=，41133-=， ①421333>>， ①根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有321y y y >>，故①正确； ①正确的结论有2个，故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．9．2【分析】设p (x ，14x 2-1)，则OH =|x |，PH =|14x 2-1|，因点P 在x 轴上方，所以14x 2-1>0，由勾股定理求得OP =14x 2+1，即可求得OP -PH =2，得出答案．【详解】解：设p (x ，14x 2-1)，则OH =|x |，PH =|14x 2-1|，当点P 在x 轴上方时，①14x 2-1>0, ①PH =|14x 2-1|=14x 2-1，在Rt △OHP 中，由勾股定理，得OP 2=OH 2+PH 2=x 2+(14x 2-1)2=(14x 2+1)2， ①OP =14x 2+1， ①OP -PH =（14x 2+1）-（14x 2-1）=2，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．10．①①①①【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由对称轴可知：x ＝−2b a＝2， ①4a ＋b ＝0，故①正确；①由图可知：x ＝−3时，y ＜0，①9a −3b ＋c ＜0，即9a ＋c ＜3b ，故①正确；①令x ＝−1，y ＝0，①a −b ＋c ＝0，①b ＝−4a ，①c ＝−5a ，①8a ＋7b ＋2c＝8a −28a −10a＝−30a由开口可知：a ＜0，①8a ＋7b ＋2c ＝−30a ＞0，故①正确；①由抛物线的对称性可知：点C 关于直线x ＝2的对称点为（12，y 3），①−3＜−12＜12，①y 1＜y 2＜y 3故①错误；①由题意可知：（−1，0）关于直线x ＝2的对称点为（5，0），①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a （x ＋1）（x −5），令y ＝−3，①直线y ＝−3与抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）的交点的横坐标分别为x 1，x 2，①x 1＜−1＜5＜x 2故①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．11．1-1【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当1x <-时，y 随x 的增大而增大，当1x >-时，y 随x 的增大而减小，然后分两种情况讨论：若1a ≥-；若1a <-，即可求解．【详解】解：()222314y x x x =--+=-++，①当1x <-时，y 随x 的增大而增大，当1x >-时，y 随x 的增大而减小，若1a ≥-，当12a x时，y 随x 的增大而减小，此时当12x =时，函数值y 最小，最小值为74，不合题意，若1a <-，当x a =时，函数值y 最小，最小值为1，①2231a a --+=，解得：1a =-1-；综上所述，a 的值为1-故答案为：1-【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12．﹣3＜x ＜1【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时，x 的取值范围．【详解】解：①抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，①抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y ＜0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为：﹣3＜x ＜1．【点睛】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．13．25【分析】设草莓的零售价为x 元/千克，销售收入为y 元，由题意得y =-30x 2+1500x -11880，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：设草莓的零售价为x 元/千克，销售收入为y 元，由题意得，y =x [300-30（x -22）]+18×30（x -22）=-30x 2+1500x -11880，当150025260b x a =-=-=-时，y 最大， ①当草莓的零售价为25元/千克时，种植户一天的销售收入最大．故答案为：25．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 14．10【分析】设抛物线的解析式为2(6)3y a x =-+，代入原点，确定解析式为2112y x x =-+，当y =53米时，求得x 的值即可．【详解】设抛物线的解析式为2(6)3y a x =-+，代入原点，得：20(06)3a =-+，解得a =112-， ①抛物线的解析式为2112y x x =-+，当y =53米时， 215123x x -+=，解得x =10，x =2（舍去），足球飞行的水平距离为10米，故答案为：10．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，已知函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．15．（1）y ＝-10x+900；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．【详解】解：（1）根据题意，y ＝300﹣10（x ﹣60）=-10x+900，①y 与x 的函数表达式为：y ＝-10x+900；（2）设利润为w ，由（1）知：w ＝（x ﹣50）（-10x+900）=﹣10x 2＋1400x ﹣45000， ①w ＝﹣10（x ﹣70）2＋4000，①每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．16．（1）260(5080)4203(80140)x x y x x -<⎧=⎨-<⎩；（2）2230010400(5080)354016800(80140)x x x W x x x ⎧-+-<=⎨-+-<⎩【分析】（1）根据题意先分类讨论，当售价超过50元但不超过80元时，上涨的价格是()50x -元，就少卖()50x -件，用原来的210件去减()50x -得到销售量；当售价超过80元，超过80的部分是()80x -元，就少卖()380x -件，用原来的210件先减去售价从50涨到80之间少卖的30件再减去()380x -得到最终的销售量．（2）根据利润=（售价-成本）⨯销量，现在的单件利润是()40x -元，再去乘以（1）中两种情况下的销售量，得到销售利润关于售价的式子．【详解】（1）当5080x <时，210(50)y x =--，即260y x =-．当80140x <时，210(8050)3(80)y x =----，即4203y x =-，则260(5080),4203(80140).x x y x x -<⎧=⎨-<⎩ （2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为2230010400(5080),354016800(80140).x x x W x x x ⎧-+-<=⎨-+-<⎩【点睛】本题考查二次函数实际应用中的利润问题，关键在于根据题意列出销量与售价之间的一次函数关系式以及熟悉求利润的公式，需要注意本题要根据售价的不同范围进行分类讨论，结果要写成分段函数的形式，还要标上x 的取值范围．17．此时大孔的水面宽度为10m ．【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A 、B 、M 的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC 的长度，得出函数值y ，代入解析式，即可得出E 、F 的坐标，进而得出答案．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M 点坐标为（0，6），A 点坐标为（-10，0），B 点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y =ax 2+6，①点B 在此抛物线上，①0=a ×102+6，解得a =-350， ①函数式为y =-350x 2+6． ①NC =4.5m ，①令y =4.5，代入解析式得-350x 2+6=4.5， x 1=5，x 2=-5， ①可得EF =5-（-5）=10．此时大孔的水面宽度为10m ．【点睛】本题是二次函数的实际应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，解答时求出函数的解析式是关键．18．(1)对称轴为直线6x =，y 的最大值为4，7a =(2)5【分析】（1）由2()y a x h k =-+的性质得开口方向，对称轴和最值，把(),3P a 代入()246y x =--中即可得出a 的值；（2）由2269(3)y x x x =-+-=--，得出抛物线269y x x =-+-是由抛物线C ：()246y x =-+-向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点P '移动的最短路程．（1）()2244)6(6y x x -=--=-+，①对称轴为直线6x =，①10-<，①抛物线开口向下，有最大值，即y 的最大值为4，把(),3P a 代入()246y x =--中得： 24(6)3a --=，解得：5a =或7a =，①点(),3P a 在C 的对称轴右侧，①7a =；（2）①2269(3)y x x x =-+-=--，①2(3)y x =--是由()246y x =-+-向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，5，①P '移动的最短路程为5．【点睛】本题考查二次函数2()y a x h k =-+的图像与性质，掌握二次函数2()y a x h k =-+的性质以及平移的方法是解题的关键．19．(1)2100y x =-+；(2)40元或20元；(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根据题意，列出w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y kx b =+，把点（25，50）和点（35，30）代入，得25503530k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =-⎧⎨=⎩， ①一次函数的解析式为2100y x =-+；（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x 元，则(10)(2100)600x x -⨯-+=，解得：140x =，220x =，①当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）解：根据题意，则(10)(2100)w x x =-⨯-+，整理得：22(30)800w x =--+；①20-<，①当30x =时，w 有最大值，最大值为800；①当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．20．(1)y ＝﹣2x +160(2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元【分析】（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为y ＝kx +b ，用待定系数法可得y ＝﹣2x +160；（2）根据题意得（x ﹣30）•（﹣2x +160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；（3）设每天获利w 元，w ＝（x ﹣30）•（﹣2x +160）＝﹣2x 2+220x ﹣4800＝﹣2（x ﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【详解】（1）解：设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为y ＝kx +b ，把（35，90），（40，80）代入得：35904080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2160k b =-⎧⎨=⎩， ①y ＝﹣2x +160；（2）根据题意得：（x ﹣30）•（﹣2x +160）＝1200，解得x 1＝50，x 2＝60，①规定销售单价不低于成本且不高于54元，①x ＝50，答：销售单价应定为50元；（3）设每天获利w 元，w ＝（x ﹣30）•（﹣2x +160）＝﹣2x 2+220x ﹣4800＝﹣2（x ﹣55）2+1250，①﹣2＜0，对称轴是直线x ＝55，而x ≤54，①x ＝54时，w 取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．21．（1）顶点P 的坐标为()2,2a -；（2）① 6个；①112a <≤，112a -≤<-．【分析】（1）由抛物线解析式直接可求；（2）①由已知可知A （0，2），C （，-2），画出函数图象，观察图象可得； ①分两种情况求：当a ＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a=12 ，则12＜a≤1；当a ＜0时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=-12，则-1≤a<-12．【详解】解：（1）①y=ax 2-4ax+2a=a （x-2）2-2a ，①顶点为（2，-2a ）；（2）如图，①①a=2，①y=2x 2-8x+2，y=-2，①A（0，2），C （，-2），①有6个整数点；①当a ＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，，12a =； ① 112a <≤．当a<0时，抛物线顶点经过点（2，2）时，1a =-；抛物线顶点经过点（2，1）时，12a =-； ① 112a -≤<-． ①综上所述：112a <≤，112a -≤<-．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．22．(1)0.55y x =-+（28x ≤≤，且x 为整数）(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；（2）设每平方米小番茄产量为W 千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．【详解】（1）解：①每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ①40.5(2)0.55y x x =--=-+（28x ≤≤，且x 为整数）；（2）解：设每平方米小番茄产量为W 千克，22(0.55)0.550.5(5)12.5=-+=-+=--+w x x x x x ．①当5x =时，w 有最大值12.5千克．答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．23．(1)y ＝x 2−x ＋2(2)（−1，0）(3)见解析【分析】（1）把a ＝1代入二次函数的关系式，再把x ＝−1，y ＝4代入求出b 的值，进而确定二次函数的关系式；（2）令y ＝0，则ax 2＋bx ＋2＝0，当Δ＝0时，求得b 2＝8a ，据此写出一组a ，b 的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；（3）根据题意得到4a ＋2b ＋2＝2a ＋4b ，整理得b ＝a ＋1，则a 2＋b 2＝2a 2＋2a ＋1＝2（a ＋12）2＋12，根据二次函数的性质即可得到a 2＋b 2≥12．（1）解：把a ＝1代入得，y ＝x 2＋bx ＋2，①当x ＝−1时，y ＝4，①4＝1−b ＋2，①b ＝−1，①二次函数的关系式为y ＝x 2−x ＋2；（2）解：令y ＝0，则ax 2＋bx ＋2＝0，当Δ＝0时，则b 2−8a ＝0，①b 2＝8a ，①若a ＝2，b ＝4时，函数y ＝ax 2＋bx ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，①此时函数为y＝2x2＋4x＋2＝2（x＋1）2，①此函数的顶点坐标为（−1，0）；（3）证明：①二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象和直线y＝ax＋4b都经过点（2，m），①4a＋2b＋2＝2a＋4b，①2a＋2＝2b，①b＝a＋1，①a2＋b2＝a2＋（a＋1）2＝2a2＋2a＋1＝2（a＋12）2＋12，①a2＋b2≥12．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a＋1；（3）熟知二次函数的性质．24．(1)66(2)①基准点K的高度h为21m；①b＞9 10；(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣150，b＝910，知y＝﹣150x2+910x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；①运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣150×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．【详解】（1）解：①起跳台的高度OA为66m，①A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）解：①①a＝﹣150，b＝910，①y＝﹣150x2+910x+66，①基准点K到起跳台的水平距离为75m，①y＝﹣150×752+910×75+66＝21，①基准点K的高度h为21m；①①a＝﹣150，①y＝﹣150x2+bx+66，①运动员落地点要超过K点，①当x＝75时，y＞21，即﹣150×752+75b+66＞21，解得b＞9 10，故答案为：b＞9 10；（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：①运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，①抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣2 125，①抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣2125×（75﹣25）2+76＝36，①36＞21，①他的落地点能超过K点．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．。

人教版初中数学二次函数知识点总复习含答案

人教版初中数学二次函数知识点总复习含答案一、选择题1．某二次函数图象的极点为2, 1，与 x 轴交于P、 Q 两点，且 PQ 6 ．若此函数图象经过 1,a、 3,b 、 1,c、3,d 四点，则a、 b 、c、d之值何者为正？（）A．aB．b C．cD．d【答案】 D【分析】【剖析】依据题意能够获得该函数的对称轴，张口方向和与x 轴的交点坐标，从而能够判断a、 b、c、 d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的极点坐标为（2， -1），此函数图象与x 轴订交于P、 Q 两点，且PQ=6，∴该函数图象张口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3， 0）=（ -1， 0），和（ 2+3， 0） =（ 5， 0），∵此函数图象经过（1， a）、（ 3， b）、（ -1， c）、（ -3，d）四点，∴a＜ 0， b＜ 0， c=0， d＞0，应选：D．【点睛】本题考察抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特色，解题的重点是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．对于二次函数y ax212a x a 0 ，以下说法正确的个数是（）2① 对于任何知足条件的 a ，该二次函数的图象都经过点2,1 和0,0 两点；② 若该函数图象的对称轴为直线x x0，则必有 0 x01；③当 x0时， y 随x的增大而增大；④若 P4, y1，Q 4m, y2m0 是函数图象上的两点，假如y1y2总建立，则1．a12A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B【分析】【剖析】依据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐一判断即可．【详解】对于 yax 21 2a x a 02当 x2 时， y4a2(12a)1，则二次函数的图象都经过点2,12当 x 0 时， y0 ，则二次函数的图象都经过点0,0则说法 ① 正确x1 2a112此二次函数的对称轴为2a4aQ a1114ax 0 1 ，则说法 ② 错误由二次函数的性质可知，抛物线的张口向下，当x1 1时， y 随 x 的增大而增大；当4ax1 1时， y 随 x 的增大而减小4a因1 11 04a则当 0x1 x1 1时， y 随 x 的增大而增大；当1时， y 随 x 的增大而减小4a4a即说法 ③ 错误Q m 04 m 4由 y 1y 2 总建立得，其对称轴 x1 1 44a解得 a1④ 正确，则说法12综上，说法正确的个数是 2 个应选： B ．【点睛】本题考察了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），娴熟掌握二次函数的图象与性质是解题重点．3．已知，二次函数 y=ax 2+bx+a 2+b （a ≠0）的图象为以下图象之一，则a 的值为（）A．-1B．1C．-3D．-4【答案】 A【分析】【剖析】分别对图形进行议论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其极点坐标为(0， a2)，与图形中的极点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，依据极点坐标有a2=3，由抛物线与 x 的交点坐标获得x2=-a，因此 a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1 ， 0)代入分析式获得 a-b+a2+b=0，解得 a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2， 0)和(0， 0)分别代入分析式可计算出 a 的值．【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y 轴，则 b=0， y=ax2+a2，其极点坐标为 (0，a2)，而 a2>0，因此二次函数的图形不可以为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y 轴，则 b=0， y=ax2+a2， a2 =3，而当 y=0 时，x2=-a ，因此 - a=4， a=-4 ，因此二次函数的图形不可以为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=-1 ，y=0，则 a-b+a 2+b=0，因此 a=-1 ；若二次函数的图形为第四个，令x=0， y=0，则 a2+b=0 ①；令 x=-2 ， y=0，则4a-2b+a 2+b=0 ②，由①②得a=-2，这与图象张口向上不切合，因此二次函数的图形不可以为第四个 .应选 A.【点睛】本题考察了二次函数 y=ax2+bx+c(a ≠的0)图象与系数的关系：a＞ 0，张口向上； a＜0，张口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；极点坐标为 (-，)；也考察了点在抛物线上则点的坐标知足抛物线的分析式.4．要将抛物线y = x2平移后获得抛物线y x22x 3 ，以下平移方法正确的选项是（）A．向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B．向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位C．向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D．向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位【答案】 A【分析】【剖析】原抛物线极点坐标为（ 0， 0），平移后抛物线极点坐标为（-1， 2），由此确立平移方法．【详解】y=x2+2x+3=（ x+1）2+2，该抛物线的极点坐标是（-1， 2），抛物线 y=x2的极点坐标是（ 0，0），则平移的方法能够是：将抛物线y=x2向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度．应选： A．【点睛】本题考察二次函数图象与几何变换．解题重点是将抛物线的平移问题转变为极点的平移，找寻平移方法．5．如图是抛物线一个交点在点（y＝ ax2+bx+c（ a≠0）的部分图象，其极点坐标为（1，m），且与 x 铀的3， 0）和（ 4， 0）之间，则以下结论：① abc＞0；② a﹣b+c＞0；③ b2＝4a（ c﹣ m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝ m+1 有两个不相等的实数根，此中正确结论的个数是（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】C【分析】【剖析】依据抛物线的张口方向和与坐标轴的交点及对称轴可鉴别a， b， c 的正负；依据抛物线的对称轴地点可鉴别在x 轴上另一个交点；依据抛物线与直线y=m的交点可判断方程的解．【详解】∵函数的图象张口向上，与y 轴交于负半轴∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=－b=1 2a∴b<0∴abc＞ 0；① 正确；∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（ 3， 0）和（ 4， 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（ -1， 0）之间．∴当 x=-1 时， y<0，即 a-b+c<0，因此②不正确；∵抛物线的极点坐标为（ 1， m），∴4ac b2=m，4a∴ b 2=4ac-4am=4a （ c-m ），因此 ③ 正确；∵抛物线与直线 y=m 有一个公共点，∴抛物线与直线 y=m+1 有 2 个公共点，∴一元二次方程 ax 2+bx+c=m+1 有两个不相等的实数根，因此④ 正确．应选 :C ．【点睛】查核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是重点．6．如图是抛物线 y=ax 2+bx+c （ a ≠0）的部分图象，其极点是（ 1，n ），且与 x 的一个交点在点（ 3， 0）和（ 4， 0）之间，则以下结论： ①a -b+c ＞ 0； ②3a+b=0 ； ③b 2=4a （ c-n ）；④ 一元二次方程 ax 2+bx+c=n-1 有两个不等的实数根．此中正确结论的个数是（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】 C 【分析】【剖析】利用抛物线的对称性获得抛物线与 x 轴的另一个交点在点（ -2， 0）和（ -1， 0）之间，则当 x=-1 时， y>0，于是可对 ① 进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-b=1，即 b=-2a2a ，则可对 ② 进行判断；利用抛物线的极点的纵坐标为n 获得4acb 2 =n ，则可对 ③ 进行4a判断；因为抛物线与直线 y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1 有 2 个公共点，于是可对 ④ 进行判断．【详解】∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（ 3 ， 0）和（ 4， 0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（ -2，0）和（ -1， 0）之间．∴当 x=-1 时， y ＞ 0，即 a-b+c ＞ 0，因此 ① 正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b=1，即 b=-2a ，2a∴ 3a+b=3a-2a=a ，因此 ② 错误；∵抛物线的极点坐标为（ 1， n ），∴4ac b2=n，4a∴b2=4ac-4an=4a（ c-n），因此③正确；∵抛物线与直线 y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线 y=n-1 有 2 个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根，因此④ 正确．应选 C．【点睛】本题考察了二次函数图像与系数的关系，娴熟掌握二次函数性质是解题的重点.7．抛物线 y1=ax2 +bx+c 与直线 y2=mx+n 的图象以下图，以下判断中：① abc＜0；② a+b+c＞ 0；③5 a-c=0；④当 x＜或x＞6时，y1＞y2，此中正确的个数有（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】 C【分析】【剖析】【详解】解：依据函数的张口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知： a 0， b 0， c0，则abc 0，则①正确；依据图形可得：当x=1 时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；依据函数对称轴可得：- b=3，则 b=-6a，依据 a+b+c=0 可知： a-6a+c=0，-5a+c=0，则 5a-2ac=0，则③正确；依据函数的交点以及函数图像的地点可得④正确.点睛：本题主要考察的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,假如函数张口向上，则 a 大于零，假如函数张口向下，则 a 小于零；假如函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与 a 同样，假如函数的对称轴在y 轴右边，则 b 的符号与 a 相反；假如函数与x 轴交于正半轴，则 c 大于零，假如函数与x 轴交于负半轴，则 c 小于零；对于出现a+b+c、 a-b+c、 4a+2b+c、 4a-2b+c 等状况时，我们需要找详细的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界限，而后进行分状况议论.8．二次函数y ＝ax2bx c （a≠0）图象以下图，以下结论：① abc＞0；② 2a b＝0；③当m≠1时，a b＞am2bm；④ a b c ＞0；⑤若 ax12bx1＝ ax22bx2，且 x1≠x2，则 x1 x2＝2．此中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤【答案】 D【分析】【剖析】由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，而后依据对称轴及抛物线与x 轴交点状况进行推理，从而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的张口向下，则a＜ 0；抛物线的对称轴为x=1，则 -b=1， b=-2a2a∴b>0， 2a+b=0 ②抛物线交 y 轴于正半轴，则c＞ 0；由图像知 x=1 时 y=a+b+c 是抛物线极点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=am2bm +c不是极点纵坐标，不是最大值∴ a b＞am2bm （故③正确）：b ＞0， b+2a=0；（故②正确）又由①②③得： abc＜ 0 （故①错误）由图知：当 x=-1时， y＜ 0；即 a-b+c＜ 0，b ＞a+c；（故④错误）⑤若 ax12bx1＝ ax22bx2得 ax12bx1-( ax22bx2)= ax12bx1-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1-x2） +b(x1-x2 )= （ x1 -x2） [a(x1+x2)+b]= 0∵x1≠x2∴a(x1+x2)+b=0∴x1+x2=应选 D．b2a=2 （故⑤正确）a a考点：二次函数图像与系数的关系.9．若二次函数 y＝ x2﹣ 2x+2 在自变量 x 知足 m≤x≤m+1时的最小值为6，则 m 的值为（）A．5, 5,15,1 2B．5,51C ．1D ．5,1 5【答案】 B【分析】【剖析】由抛物线分析式确立出其对称轴为 x=1，分 m ＞1 或 m+1 ＜1 两种状况，分别确立出其最小值，由最小值为 6，则可获得对于 m 的方程，可求得 m 的值．【详解】∵ y ＝x 2﹣ 2x+2＝（ x ﹣ 1） 2+1，∴抛物线张口向上，对称轴为x ＝ 1，当 m ＞ 1 时，可知当自变量x 知足 m ≤x ≤m+1时， y 随 x 的增大而增大，∴当 x ＝ m 时， y 有最小值，∴m 2﹣ 2m+2＝ 6，解得 m ＝ 1+ 5 或 m ＝ 1﹣ 5 （舍去），当 m+1＜1 时，可知当自变量 x 知足 m ≤x ≤m+1时， y 随 x 的增大而减小，∴当 x ＝ m+1 时， y 有最小值，∴（ m+1） 2﹣2（ m+1）+2＝ 6，解得 m ＝ 5 （舍去）或 m ＝﹣ 5 ，综上可知 m 的值为 1+ 5或﹣ 5．应选 B ．【点睛】本题主要考察二次函数的性质，用 m 表示出其最小值是解题的重点．10．如图，抛物线 y ax 2bx c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0），极点坐标（ 1， n ），与 y轴的交点在（ 0， 3），（ 0， 4）之间（包含端点），则以下结论： ① abc ＞0； ②3a+b ＜4 2+bm （ m 为随意实数）； ⑤ 一元二次方程 ax2bx c n0；③ ﹣ ≤a ≤﹣ 1；④ a+b ≥am3有两个不相等的实数根，此中正确的有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个【答案】 B 【分析】b 解：∵抛物线张口向下，∴a ＜ 0，∵极点坐标（ 1， n ），∴对称轴为直线 x=1，∴2a=1，∴ b=﹣ 2a ＞0 ，∵与 y 轴的交点在（ 0， 3），（ 0， 4）之间（包含端点），∴ 3≤c ≤4，∴abc ＜ 0，故 ① 错误；3a+b=3a+（﹣ 2a） =a＜ 0，故②正确；∵与 x 轴交于点A（﹣ 1 ，0），∴ a﹣b+c=0，∴ a﹣（﹣ 2a）+c=0，∴ c=﹣3a，∴ 3≤﹣43a≤4，∴﹣≤a≤﹣ 1，故③正确；3∵极点坐标为（ 1， n），∴当 x=1 时，函数有最大值n，∴ a+b+c≥am 2+bm+c，∴a+b≥am2+bm ，故④正确；一元二次方程ax2bx c n 有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误．综上所述，结论正确的选项是②③④共 3 个．应选 B．点睛：本题考察了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的张口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特色，重点在于依据极点横坐标表示出 a、 b 的关系．11．已知二次函数y ax22ax 3a(a0) ，对于此函数的图象及性质，以下结论中不必定建立的是 ()A．该图象的极点坐标为1,4a B．该图象与x轴的交点为1,0 , 3,0C．若该图象经过点2,5，则必定经过点4,5D．当x 1时，y随x的增大而增大【答案】 D【分析】【剖析】依据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解： y=a（ x2-2x-3）=a（ x-3）（ x+1）令 y=0，∴x=3 或 x=-1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3， 0）与（ -1， 0），故 B 建立；∴抛物线的对称轴为：x=1，令 x=1 代入 y=ax2-2ax-3a，∴y=a-2a-3a=-4a，∴极点坐标为（ 1， -4a），故 A 建立；因为点（ -2， 5）与（ 4， 5）对于直线x=1 对称，∴若该图象经过点（-2， 5），则必定经过点（4， 5），故 C 建立；当 x＞ 1， a＞ 0 时， y 跟着x 的增大而增大，当x＞ 1，a＜ 0 时， y跟着x 的增大而减少，故D不必定建立；应选： D．【点睛】本题考察二次函数，解题的重点是娴熟运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．12．如图，已知二次函数 y=ax2 +bx+c（ a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣ 1， 0），与 y 轴的交点 B 在（ 0，﹣ 2）和（ 0，﹣ 1）之间（不包含这两点），对称轴为直线 x=1．以下结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞ 0；③1＜ a＜2；④b＞ c．此中含全部正确结论的选项是33（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【答案】B【分析】【剖析】依据对称轴为直线x=1 及图象张口向下可判断出a、 b、 c 的符号，从而判断① ；依据对称性获得函数图象经过（3， 0），则得②的判断；依据图象经过（-1， 0）可获得a、 b、 c 之间的关系，从而对④ 作判断；从图象与y 轴的交点 B 在（ 0，-2）和（0， -1）之间能够判断 c 的大小得出③的正误．【详解】① ∵函数张口方向向上，∴a＞ 0；∵对称轴在 y 轴右边∴a b 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c＜ 0，∴a bc＞ 0，故① 正确；② ∵图象与x 轴交于点A（ -1， 0），对称轴为直线x=1，∴图象与x 轴的另一个交点为（3， 0），∴当 x=2 时， y＜0，∴4a+2b+c＜ 0，故② 错误；③ ∵图象与y 轴的交点 B 在（ 0， -2）和（ 0，-1）之间，∴-2＜ c＜-1∵-b1，2a∴ b =-2a ，∵函数象（ -1， 0）， ∴ a -b+c=0， ∴ c =-3a ， ∴ -2＜ -3a ＜ -1，∴ 1 ＜ a ＜ 2；故 ③ 正确33④ ∵函数象（ -1， 0），∴a-b+c=0， ∴b-c=a ， ∵a ＞ 0，∴b-c ＞ 0，即 b ＞ c ；故④ 正确；故 B ．【点睛】主要考象与二次函数系数之的关系．解关是注意掌握数形合思想的用．13．二次函数 y ＝ ax 2+bx+c （ a ≠0）中的 x 与 y 的部分以下表：x ⋯ 3 2 1 0 1 2 3 4 ⋯ y⋯1253435⋯1）二次函数 y ＝ ax 2+bx+c 有最小，最小3；（ 2）当1 出以下：（＜ x ＜ 22， y ＜ 0；（ 3）已知点 A （ x 1， y 1）、 B （x 2， y 2）在函数的象上，当 1＜x 1 ＜0， 3＜x 2＜4 ， y 1＞ y 2．上述中正确的个数（）A ．0B ． 1C ． 2D ． 3【答案】 B【分析】【剖析】依据表格的数据，以及二次函数的性，即可每个行判断 .【解】解：（ 1）函数的称： x ＝1，最小4，故，不切合意；（2）从表格能够看出，当1＜ x ＜ 2 ， y ＜ 0，切合意；2（ 3） 1＜ x 1＜0 ，3＜ x 2＜ 4 ， x 2 离称，故，不切合意；故： B ．【点睛】本考了二次函数的最，抛物与x 的交点，仔剖析表格数据，熟掌握二次函数的性质是解题的重点．14．已知二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c 的图像以下图，则以下结论正确的个数有（）① c＞ 0；② b2－ 4ac＜ 0；③ a－ b＋ c＞0；④当 x＞－ 1 时， y 随 x 的增大而减小．A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】 C【分析】【剖析】由抛物线的张口方向判断 a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，而后依据抛物线与 x 轴交点及 x=-1 时二次函数的值的状况进行推理，从而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知， a＜ 0， c＞ 0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则 b2-4ac>0,故②错误 ;∵当 x=-1 时， y>0,即 a-b+c>0，故③正确 ;由图象可知，图象张口向下，对称轴x＞ -1，在对称轴右边， y 随 x 的增大而减小，而在对称轴左边和 -1 之间，是 y 随 x 的增大而减小，故④ 错误．应选： C．【点睛】本题考察了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小．当a＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜0时，抛物线向下张口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地点：当 a 与 b 同号时，对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项 c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（ 0， c）．抛物线与 x 轴交点个数由鉴别式确立：△=b2-4ac＞ 0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2-4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．15．下边所示各图是在同向来角坐标系内，二次函数y＝ax2 +（ a+c） x+c 与一次函数y＝ax+c 的大概图象．正确的（）A．B．C．D．【答案】 D【分析】【剖析】依据题意和二次函数与一次函数的图象的特色，能够判断哪个选项切合要求，从而获得结论．【详解】令 ax2+（ a+c） x+c=ax+c，ca∴二次函数 y=ax2+（ a+c） x+c 与一次函数 y=ax+c 的交点为（ 0， c），（ -c， 0），a选项 A 中二次函数 y=ax2+（ a+c） x+c 中 a＞0， c＜0，而一次函数y=ax+c 中 a＜ 0， c＞ 0，应选项 A 不符题意，选项 B 中二次函数 y=ax2+（ a+c）x+c 中 a＞ 0， c＜ 0，而一次函数y=ax+c 中 a＞ 0， c＜0，两个函数的交点不切合求得的交点的特色，应选项 B 不符题意，选项 C 中二次函数 y=ax2+（a+c）x+c 中 a＜ 0，c＞0，而一次函数y=ax+c 中 a＜ 0， c＞ 0，交点切合求得的交点的状况，应选项 D 切合题意，选项 D 中二次函数 y=ax2+（ a+c）x+c 中 a＜ 0， c＞0，而一次函数y=ax+c 中 a＞ 0， c＜0，应选项 C 不符题意，应选： D．【点睛】考察一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的重点是明确题意，利用数形联合的思想解答．16．如图 1，在△ABC中，∠ B＝90°，∠ C＝ 30°，动点 P 从点 B 开始沿边 BA、AC向点 C 以恒定的速度挪动，动点Q 从点 B 开始沿边 BC向点 C以恒定的速度挪动，两点同时抵达点C，设△BPQ的面积为 y（ cm2）．运动时间为x（ s）， y 与 x 之间关系如图 2 所示，当点 P 恰巧为 AC 的中点时， PQ 的长为（）A．2B． 4C．2 3D．4 3【答案】 C【分析】【剖析】点 P、 Q 的速度比为3： 3 ，依据x＝2，y＝6 3 ，确立P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设 AB＝ a，∠ C＝ 30°，则 AC＝ 2a ，BC＝3 a，设 P、 Q 同时抵达的时间为T，则点 P 的速度为3a，点 Q 的速度为3a，故点 P、 Q 的速度比为3： 3 ，T T故设点 P、 Q 的速度分别为：3v、 3 v，由图 2知，当 x＝ 2 时， y＝6 3，此时点 P 抵达点 A 的地点，即 AB＝ 2×3v＝ 6v，BQ＝2×3 v＝ 2 3 v，1AB×BQ＝13 ，解得：v＝1，y＝6v×23 v＝ 622故点 P、 Q 的速度分别为：3， 3 ，AB＝6v＝6＝a，则 AC＝ 12， BC＝6 3，如图当点P 在 AC的中点时， PC＝6，此时点 P 运动的距离为AB+AP＝ 12，需要的时间为12÷3＝ 4，则 BQ＝3 x＝43CQBCBQ63 ﹣43 ＝23 ，，＝﹣＝过点 P 作 PH⊥ BC于点 H，1PC＝ 6，则 PH＝ PCsinC＝ 6×＝3，同理CH＝3 3 ，则HQ＝CH﹣CQ＝33 ﹣2 3 ＝23，PQ＝PH2HQ2＝ 3 9＝23，应选： C．【点睛】本题考察的是动点图象问题，此类问题重点是：弄清楚不一样时间段，图象和图形的对应关系，从而求解．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（ a≠0）与 x 轴交于（ -1， 0），（ 3， 0）两点，则以下说法：① abc＜0 ；② a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞ 0；⑤若 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜ x1＜ x2＜1， x3＞ 3，则 y2＜ y1＜ y3，此中正确的结论是（）A．①⑤B．②④C．②③④D．②③⑤【答案】 D【分析】【剖析】① abc ＜ 0，由图象知c＜ 0， a、 b 异号，因此，① 错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③ 2a+b=0 ，函数对称轴 x=-b=1，故正确；④ 2a+c ＞ 0，由②、③知：2a3a+c=0，而 -a＜ 0，∴ 2a+c＜0，故错误；⑤若 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， C（ x3， y3）为抛物线上三点，且 -1＜x1＜x2＜ 1， x3＞ 3，则 y2＜ y1＜ y3，把 A、 B、 C坐标大概在图上标出，可知正确．【详解】解：①abc ＜0，由图象知c＜ 0， a、 b 异号，因此，①错误；②a-b+c=0，当 x=-1 时， y=a-b+c=0，正确；b③ 2a+b=0 ，函数对称轴x=-=1，故正确；2a④2a+c ＞0，由②、③知： 3a+c=0，而 -a＜0，∴ 2a+c＜ 0，故错误；⑤若 A（ x1， y1）， B（x2， y2）， C（ x3， y3）为抛物线上三点，且-1＜ x1＜ x2＜ 1，x3＞ 3，则 y2＜ y1＜ y3，把 A、 B、 C 坐标大概在图上标出，可知正确；应选 D．【点睛】考察图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、y 的值．18．已知二次函数y＝ a（ x﹣ h）2+k 的图象以下图，直线y＝ ax+hk 的图象经第几象限（）x=±1等特别点A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四【答案】 D【分析】【剖析】依据二次函数的图象和性质可得a＜ 0， h＜ 0， k＞ 0，以此判断一次函数的图象所经过的象限即可．【详解】解：由函数图象可知，2y＝a（ x﹣ h） +k 中的 a＜0， h＜ 0， k＞ 0，∴直线 y＝ ax+hk 中的 a＜ 0，hk＜0 ，∴直线 y＝ ax+hk 经过第二、三、四象限，【点睛】本题考察了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的重点．19．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为1,2，将抛物线 y 1 x23x 2 沿坐标轴平移2一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（）1B． 1C． 55A．D．22【答案】 B【分析】【剖析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】解： y 1 x23x 2 =1x325，222当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标同样，把y=2 代入得：解得： x=0 或 6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标同样，把x=1 代入得：解得： y=1，2平移的最短距离为 21 = 5，2 2即平移的最短距离是 1，应选 B. 【点睛】本题考察了二次函数图象上点的坐标特色，能求出平移后对应的点的坐标是解本题的重点．20．已知二次函数 y ＝ ax 2+bx+c 的图象以下图，以下结i 论： ① abc ＞ 0； ②b 2﹣ 4ac ＞ 0；③ 2a+b ＝ 0；④a﹣ b+c ＜ 0．此中正确的结论有（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】 C【分析】【剖析】第一依据张口方向确立a 的取值范围，依据对称轴的地点确立b 的取值范围，依据抛物线与 y 轴的交点确立c 的取值范围，依据抛物线与x 轴能否有交点确立b 2﹣ 4ac 的取值范围，依据 x ＝﹣ 1 函数值能够判断．【详解】解： Q 抛物线张口向下，a0，b 1，Q 对称轴 x2ab 0 ，Q 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，c0 ，abc 0，故 ① 错误；Q 抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac 0 ，故 ② 正确；b 1，Q 对称轴 x2a2a b ，2a b 0 ，故 ③ 正确；依据图象可知，当 x1 时， y a b c 0，故④ 正确；应选： C．【点睛】本题主要考察图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的变换，根的鉴别式的娴熟运用是解题重点．。

数学人教版九年级上册参考答案及习题解析

《二次函数》单元复习答案及习题解析武穴市思源实验学校文武军一．选择题.1．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．y=（x+2）（x﹣2）﹣x 2C．D．考点：二次函数的定义．分析：整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．解答：解：A、函数式整理为y=x2﹣x，是二次函数，正确；B、函数式整理为y=﹣4，不是二次函数，错误；C、是正比例函数，错误；D、是反比例函数，错误．故选A．点评：本题考查二次函数的定义．2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A．y=B．y=﹣C．y=﹣D．y=考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y=ax2，把点A 或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式．解答：解：依题意设抛物线解析式y=ax2，把B（5，﹣4）代入解析式，得﹣4=a×52，解得a=﹣，所以y=﹣x2．故选C．点评：根据抛物线在坐标系的位置，合理地设抛物线解析式，是解答本题的关键．3．二次函数y=kx 2+2x+1（k＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．分析：由图象判定k＜0，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，选择符合条件的选项．解答：解：因为二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=﹣＞0，观察图象可知，符合上述条件的只有C．故选C．点评：应熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象有关性质：开口方向、顶点坐标、对称轴．4.已知抛物线y=ax 2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞0时，x的取值范围．解答：解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．故选B．点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．5抛物线y=x 2﹣4x﹣7的顶点坐标是（）A．（2，﹣11）B．（﹣2，7）C．（2，11）D．（2，﹣3）考点：二次函数的性质．分析：直接根据顶点公式或配方法求解即可．解答：解：∵=2，=﹣11，∴顶点坐标为（2，﹣11）．故选A．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．6．若抛物线y=x 2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为 4 D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：把（0，﹣3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．解答：解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c中得c=﹣3，抛物线为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x=1时，y的最小值为﹣4，与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；C错误．故选C．点评：要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．7．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m考点：二次函数的应用．分析：由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+，由题意，得10=a+，a=﹣．∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+．当y=0时，0=﹣（x﹣1）2+，解得：x1=﹣1（舍去），x2=3．OB=3m．故选：B．点评：此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．8．如图，有一座抛物线拱桥，当水位在AB位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽CD为（）A．5m B．6m C．m D．m考点：二次函数的应用．分析：设抛物线的解析式为y=ax2将A点代入抛物线方程求得a，得到抛物线解析式，再把y=﹣3代入抛物线解析式求得x0进而得到答案．解答：解：设抛物线方程为y=ax2，将A（2，﹣2）代入y=ax2，解得：a=﹣，∴y=﹣x2，代入B（x0，﹣3）得x0=，∴水面宽CD为2，故选D．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．二．填空题.9．函数与y2=x+2的图象及交点如图所示，则不等式x 2＜x+2的解集是﹣1＜x＜2．考点：二次函数与不等式（组）．分析：利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图象上方时，不等式x2＜x+2，进而得出答案．解答：解：利用图象得出函数与y2=x+2的图象交点坐标分别为：（﹣1，1）和（2，4），∴不等式x2＜x+2的解集为：﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．点评：此题主要考查了二次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是解题关键．10．如图是二次函数y=ax 2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．解答：解：由图可知，二次函数图象为直线x=2，所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．故答案为：﹣1＜x＜5．点评：本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图象与x轴的另一个交点是解题的关键．11．抛物线y=x 2﹣4x+3的顶点坐标和对称轴分别是（4，﹣5），x=4．考点：二次函数的性质．分析：根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求出顶点坐标，对称轴．解答：解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣4）2﹣5，∴顶点坐标为（4，﹣5），对称轴为x=4．故答案为（4，﹣5），x=4．点评：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．通常有两种方法：（1）公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=﹣；（2）配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12．抛物线y=x 2﹣（m2﹣3m+2）x+m2﹣4的图象的对称轴是y轴，且顶点在原点，则m的值为2．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据二次函数对称轴直线x=﹣=0，得到m2﹣3m+2=0，再由顶点在原点得到m2﹣4=0，然后分别解两个一元二次方程，再得到它们的公共解即可．解答：解：根据题意得m2﹣3m+2=0且m2﹣4=0，解m2﹣3m+2=0得m=1或2，解m2﹣4=0得m=2或﹣2，所以m的值为2．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．13．若抛物线y=ax 2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a=4或﹣1．考点：二次函数的性质．分析：直接利用二次函数顶点坐标公式得出=3，进而求出即可．解答：解：∵抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，∴=3，整理得出：a2﹣3a﹣4=0，解得：a1=4，a2=﹣1，检验：当a=4或﹣1时，都是方程的根，故答案为：4或﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的性质，直接利用顶点公式求出是解题关键．三．解答题.14．如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：把两条路进行平移，与长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，那么草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式，其中自变量的取值应根据原来长方形的长、宽确定．解答：解：依题意得把两条路分别进行平移，长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，∴草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，∴y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800，自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即0＜x＜60．故填空答案：y=（80﹣x）（60﹣x）=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．点评：解决本题的关键是把两条路进行平移，使草坪的面积成为一长方形的面积．15．已知正方形的面积为y（cm 2），周长为x（cm）．（1）请写出y与x的函数关系式．（2）判断y是否为x的二次函数．考点：根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的定义．分析：（1）根据正方形的周长为x（cm），即可得出边长，进而得出正方形的面积为y与x之间的函数关系式；（2）利用函数的定义判断得出即可．解答：解：（1）∵正方形的周长为x（cm），∴正方形的边长为：xcm，∴y与x的函数关系式为：y=x×x=x2；（2）利用二次函数的定义得出y是x的二次函数．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用正方形的性质得出是解题关键．16．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym 2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．解答：解：由题意得：y=x×=﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．17．如图，二次函数y=ax 2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）观察图象直接写出三点的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；（2）将解析式配成顶点式即可解决问题；（3）运用二次方程根的判别式列出不等式求解即可解决问题．解答：解：（1）由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）；设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，由题意得：，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，∴该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．（2）由（1）知：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．（3）由题意得：x2﹣2x﹣3=m，即x2﹣2x﹣3﹣m=0①，若该方程组有两个不相等的实数根，则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，解得：m＞﹣4．即当m＞﹣4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．点评：该命题以平面直角坐标系为载体，重点考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．18．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且经过点（1，﹣）．（1）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据题意设出抛物线的顶点形式，把已知点代入求出a的值，确定出解析式，画出函数图象即可；（2）利用二次函数的增减性求出x的范围即可．解答：解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2﹣3，把x=1，y=﹣代入得：﹣=a﹣3，即a=，则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1；（2）当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y=x2+bx+c上．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线y=x2+bx+c的解析式；（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y=x2+bx+c上，求平移的距离．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由图中的三个小正方形的边长为1，根据图形可以知道B点的横坐标为1，做那个坐标为3，从而得出点B的坐标．（2）根据图象求出点A的坐标，再把A、B的坐标代入解析式，根据待定系数法就可以求出b、c的值，从而求出抛物线的解析式．（3）实际上就是当y=1时代入解析式就可以求出平移后点F′的横坐标，就可以求出E′点的坐标，此时OE′﹣3就是平移的距离．解答：解：（1）由图象，得B（1，3）．（2）由题意，得A（0，2）∴，解得：，∴，∴抛物线的解析式为：．（3）当y=1时，∴解得：x=或（不符合题意应舍去），∴F′（，1），∴E′（，0），∴OE′=，∴平移的距离为：．点评：本题是一道二次函数综合试题，考查了求点的坐标，用待定系数法求函数的解析式，平移的运用等知识．20.如图，已知二次函数y=﹣x 2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；点的坐标；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；三角形的面积；等腰三角形的判定．分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．（2）根据（1）中点的坐标得出AB，BC，AC的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可；（3）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．解答：解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，∴点A的坐标为（0，4），令y=0得：，即：x2﹣6x﹣16=0，∴x=﹣2和x=8，∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．故答案为：A（0，4），C（8，0）；（2）∵点A的坐标为（0，4），∴AO=4，∵点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0），∴BO=2，CO=8，∴BC=10，∴AC==4，∴AB==2，∴AB2+AC2=100，∵BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）易得D（3，0），CD=5，设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：，解得；∴y=﹣x+4；①当DE=DC时，∵CD=5，∴AD=5，∵D（3，0），∴OE==4，∴E1（0，4）；②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+=，进而将x=代入y=﹣x+4，得出y=，可得E2（，）；③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴，即EG=，CG=2 ，∴E3（8﹣2 ，）；综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8﹣2 ，）．点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、图形面积的求法等知识，（3）题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．。

中考数学二次函数的综合复习附详细答案

中考数学二次函数的综合复习附详细答案一、二次函数1．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为（32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）．【解析】【分析】（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标．【详解】（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为（32528，-）．（2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2．当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）∵顶点D的坐标为（325 28，-），∴抛物线的对称轴为x32=．∵抛物线y12=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322x=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y12=x﹣2．当x32=时，y1352224=⨯-=-，∴点M的坐标为（3524-，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94，当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.3．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似；（3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-++；（2）t 的值为3011或5013；（3）t 的值为103或6017或258；（4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）. 【解析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38a c =-=， ∴228833y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =；综上所述，t 的值为3011或5013. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=()31025t -，∴()61025t t -=，∴6017t =； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35t ，∴61025t t -=，∴258t =；综上所述，t 的值为103或6017或258. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -++=-，解得2x =±∵x ﹥0，∴2x =+∴()28+-.综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．4．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或412或5-41②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0）， ∵B （5，0），C （0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM ⊥BC ，∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴AM=2AB=2×4=22， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ， ∴PQ=AM=22，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，∴222=4，设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5），当P 点在直线BC 上方时，PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4，当P 点在直线BC 下方时，PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 15+41，m 25-41，综上所述，P 点的横坐标为4或5+412或5-412； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（5524,）；（4）符合条件的点F的坐标（17171，71，27【解析】【分析】（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y ＝kx+2，求得k；（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD2122m+=②当DF＝BD 24522m m-+=，③当BF＝DF22145m m m+-+m＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，将B（2，0）代入，0＝a（2﹣1）2﹣1，∴a＝1，抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，将B（2，0）代入y＝kx+2，0＝2k +2， k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩，解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩，∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0）， ∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2， AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20， BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18， ∴AB 2+BC 2＝AC 2， ∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°， ∴点A 与A '关于直线BC 对称， AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ）， ∵A （1，﹣1），B （2，0） ∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1， ∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3， ∴A '（3，1）， ∵C （﹣1，3）， ∴直线A 'C ：1522y x =-+，联立：215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴E （52，54）；（4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1， ∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2； ∴D （0，2） ∵B （2，0），∴BD ＝12x xBF ==DF ==①当BF ＝BD= m ＝∴F 坐标（11②当DF ＝BD=， m ＝∴F 坐标（1，1，2③当BF ＝DF， m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F 的坐标（111，1，2﹣【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-，求a 的取值范围.【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c a am bm c b⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =-(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.7．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．8．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(ca，ba)与原点O的距离OP的取值范围．【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；2≤OP＜2且OP≠1．【解析】【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）①由直线解析式可求得x 1＝﹣cb，联立直线和抛物线解析式消去y ，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝ca，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c ＝0，可得c ＝﹣(a+b)，由a ＞2b ＞3c 可求得ba的取值范围，令m ＝ba，利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围，从而可求得OP 的取值范围．【详解】（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、12、13， ∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数kx(k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3t k +， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”， ∴有以下三种情况：当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k +，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4；当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k +，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2；当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2；∴t 的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a 、b 、c 均不为0，∴x 1，x 2，x 3都不为0，∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)， ∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣c b，联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0， ∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点， ∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根， ∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a-＝﹣b c ＝11x ，∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ②∵x 2＝1， ∴a+b+c ＝0， ∴c ＝﹣a ﹣b ， ∵a ＞2b ＞3c ，∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a>⎧⎨>-⎩，解得﹣35＜b a ＜12，∵P(c a ，ba)， ∴OP 2＝(c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12，令m ＝b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2＝2(m+12)2+12， ∵2＞0，∴当﹣35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2有最大临界值1325，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12，当﹣12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12，当m ＝12时，OP 2有最大临界值52， ∴12≤OP 2<52且OP 2≠1， ∵P 到原点的距离为非负数，∴2≤OP＜10且OP≠1．2【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．9．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

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二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。