高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.11导数及其应用
【全程复习方略】高考数学第一轮总复习 2.11 导数在研究函数中的应用课件 文 新人教A版
③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断
左正右负 左增右减),那 y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果_________(
极大值 如果_________( 左负右正 左减右增),那么 么f(x)在这个根处取得_______,
极小值 如果左右两侧符号一样,那么这个 f(x)在这个根处取得_______.
11年(13考)：山东T21 三年 考题 陕西T21 浙江T21
湖南T22 天津T19 广东T19
江苏T19 江西T20 辽宁T11
福建T10
北京T18
福建T22
安徽T18
1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单 调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热 考情 点 播报 2.常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等 式、方程等交汇命题,主要考查转化与化归思想、分 类讨论思想的应用
其中正确的是( A.①③ B.②④
) C.③⑤ D.④⑤
【解析】选C.①错误.f′(x)>0能推出f(x)为增函数,反之不一 定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.所以 f′(x)>0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件.②错误. 一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个 .③正 确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 ,极大值可 能比极小值大,也可能比极小值小.④错误.对可导函数f(x), f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件,如y=x3在x=0时 f′(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不是极值点.⑤正确.当 函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值.
2.(2014·湘潭模拟)函数y= 1 x2-lnx的单调递减区间
高考数学导数及应用知识点
高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学必考的知识点。
掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。
本文将以“step by step thinking”为主线，逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。
一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
对于给定的函数f(x)，在某一点x上的导数表示为f’(x)，它的定义如下：f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。
二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数为f’(x) = 0。
因为常数函数在任意一点的函数值都相同，所以其变化率为0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。
幂函数的导数是指数函数。
3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。
指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。
4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数是关于自变量的倒数。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.切线和法线：导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。
切线是曲线在该点处的斜率，即导数；法线则是与切线垂直的直线，其斜率为导数的负倒数。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)课后作业 文-人
2．11 导数在研究函数中的应用(一)[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·某某模拟)函数f (x )＝axx 2＋1(a >0)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 D解析 f ′(x )＝(2x －2)e x ＋(x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x，令f ′(x )<0，∴－2<x <2， 即函数f (x )的单调递减区间为(－2，2)． ∴b －a 的最大值为2 2.故选D.3．函数f (x )＝(x －1)(x －2)2在[0,3]上的最小值为( ) A ．－8 B ．－4 C ．0 D.427答案 B解析 f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合单调性，只要比较f (0)与f (2)即可．f (0)＝－4，f (2)＝0.故f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)＝－4.故选B.4．(2017·豫南九校联考)已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，满足f ′(x )－2f (x )<0，且f (－1)＝0，则f (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞) 答案 A 解析 设g (x )＝f xe2x，则g ′(x )＝f ′x －2f xe2x<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上递减，又因为g (－1)＝0，f (x )>0⇔g (x )>0，所以x <－1.故选A.5．(2017·某某某某一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为( )A ．a <1B ．a ≤1 C．a <2 D ．a ≤2 答案 D解析 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x， ∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.故选D.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．b <c <a 答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )可得对称轴为x ＝1，故f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)． 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0.即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即c <a <b .故选B. 7．若函数f (x )＝e －x·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x·e －x＝e －x⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12x ＝e －x ·1－2x 2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1e·12＝12e.故选B. 8．已知函数f (x )＝ax－1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >2B ．a <3C ．a ≤1 D．a ≥3 答案 C解析 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式a x－1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，令h (x )＝x －x ln x ，可得h ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，令h ′(x )＝0，可得x ＝1，当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，可得当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.故选C.9．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4] 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2a＋1≥0， 解得a ＝4.综上所述，a ＝4.故选C.10．(2018·某某一模)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0) 答案 B解析 由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x 在[1，e]上有解，即m 2<ln xx在[1，e]上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e .故选B.二、填空题11．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值X 围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立．m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.12．(2017·西工大附中质检)已知f (x )是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值是1，则a ＝________.答案 1解析 由题意，得x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12有最大值－1，f ′(x )＝1x －a ，由f ′(x )＝0，得x ＝1a ∈(0,2)，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝－1，解得a ＝1.13．(2018·东北三校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象为一条连续不断的曲线，f (1＋x )＝f (1－x )，f (1)＝a ，且当0<x <1时，f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为________．答案 a解析 由f (1＋x )＝f (1－x )可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，且f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )是以4为周期的周期函数，则f (x )在[2017,2018]上的图象与[1,2]上的图象形状完全相同．令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex<0，函数g (x )在(0,1)上递减，则g (x )<g (0)＝0，所以f ′(x )<f (x )<0，则函数f (x )在(0,1)上单调递减．又由函数的对称性质可得f (x )在(1,2)上单调递增，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为f (2017)＝f (1)＝a .14．(2018·启东中学调研)已知函数f (x )＝e x＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题：①对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数； ②对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；③存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； ④存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ②④解析 由f (x )＝e x＋a ln x ，可得f ′(x )＝e x ＋a x，若a >0，则f ′(x )>0，得函数f (x )是D 上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f (x )<0即得命题①③不正确；若a <0，设e x＋a x＝0的根为m ，则在(0，m )上f ′(x )<0，在(m ，＋∞)上f ′(x )>0，所以函数f (x )存在最小值f (m )，即命题②正确；若f (m )<0，则函数f (x )有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.B 级三、解答题15．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a.当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.综上得，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无递减区间；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )的最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a . 16．(2017·某某某某联考)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值X 围．解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ， 所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )， 函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立， 当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤e xx.令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －1x 2， 当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ， 所以a ≤e，故实数a 的取值X 围是(0，e]．17．(2017·某某湘中名校联考)设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，则方程x 2－ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4. ①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． (2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)， 所以k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a .则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.亦即x2－1x2－2ln x2＝0(x2>1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－1x2－2ln x2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
高考一轮总复习数学(理)课件 第2章 函数、导数及其应用 2-11 板块一 知识梳理 自主学习ppt版本
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞
B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符
高三数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11课时导数应用精品课件文北师大.ppt
解y′＝3x2－6x<0，得0<x<2. ∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)， 单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)可知函数在x＝0时取得极大值c，在x＝2时取得极小值c－4， ∴函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.
• (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出 实际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定 定义域；
• (2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝ 0得出定义域内的实根，确定极值点；
• (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数 值大小，获得所求的最大(小)值；
【变式训练】 3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝
1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
10 10
，
若x＝23时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析： (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax ＋b.
• 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可 导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步 骤
• (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
• (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值．
高考数学1轮复习 热点难点精讲精析 2.11导数及其应用
2021年（高|考）一轮复习热点难点精讲精析：一、变化率与导数、导数的运算 (一 )利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接(1 )根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆ ,简记作：一差、二比、三极限 .(2 )函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数 ,而导数值是导函数在某一点的函数值 ,导数值是常数 .2、例题解析 〖例1〗求函数x =1处的导数 .解析：y∆=-=x 0x 0x 1y x y 1limlim[.x 21y |.2∆→∆→==∆=∆∆==-∆∴'=-〖例2〗一质点运动的方程为283s t =- .（1） 求质点在[1 ,1 +Δt]这段时间内的平均速度；（2） 求质点在t =1时的瞬时速度 (用定义及求求导两种方法 )分析 (1 )平均速度为s t∆∆； (2 )t =1时的瞬时速度即283s t =-在t =1处的导数值 . 解答： (1 )∵283s t =-∴Δs =8 -3(1 +Δt)2-(8 -3×12) = -6Δt -3(Δt)2,63sv t t-∆==--∆∆. （3） 定义法：质点在t =1时的瞬时速度00lim lim(63)6t t sv t t ∆→∆→∆==--∆=-∆（4） 求导法：质点在t 时刻的瞬时速度2()(83)6v s t t t ''==-= ,当t =1时 ,v = -6×1 = -6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系 .对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系 .根据导数的定义求导数是求导数的根本方法 ,请按照 "一差、二比、三极限〞的求导步骤来求 .(二 )导数的运算 1、相关链接(1 )运用可导函数求导法那么和导数公式 ,求函数()y f x =在开区间 (a,b )内的导数的根本步骤： ①分析函数()y f x =的结构和特征； ②选择恰当的求导法那么和导数公式求导； ③整理得结果 .(2 )对较复杂的函数求导数时 ,诮先化简再求导 ,特别是对数函数真数是根式或分式时 ,可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便 .(3 )复合函数的求导方法求复合函数的导数 ,一般是运用复合函数的求导法那么 ,将问题转化为求根本函数的导数解决 . ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些根本函数复合而成的 ,适中选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 ,而其中特别要注意的是中间变量；③根据根本函数的导数公式及导数的运算法那么 ,求出各函数的导数 ,并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后 ,中间步骤可以省略 ,不必再写出函数的复合过程 . 2、例题解析〖例〗求以下函数的导数 .()()()()()()()222x x x 251y 2x 1(3x 1)x x 12y x x 13y 3e 2elnx 4y x 15y 32x =-+-+=++=-+=+=-思路分析：此题考查导数的有关计算 ,借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数 ,可以容易求得.解答：(1)方法一：由题可以先展开解析式然后 再求导：y =(2x 2-1)(3x +1) =6x 3+2x 2-3x -1 , ∴y ′ =(6x 3+2x 2 -3x -1)′=(6x 3)′ +(2x 2)′ -(3x)′ =18x 2+4x -3. 方法二：由题可以利用乘积的求导法那么进行求导： y ′ =(2x 2 -1)′(3x +1) +(2x2 -1)(3x +1)′ =4x(3x +1) +3(2x 2-1) =12x 2+4x +6x 2-3 =18x 2+4x -3.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：()()()()22222222222x x 1x x 12x 2x y 1,x x 1x x 1x x 12x x 12x 2x 12x 2y x x 1x x 1-+++-===-++++++++-+-∴'=-=++++ (3)根据求导法那么进行求导可得：y ′ =(3x e x )′ -(2x )′ +e ′ =(3x )′e x +3x (e x )′ -(2x )′ =3x ln3·e x +3x e x -2x ln2 =(3e)x ln3e -2x ln2(4)根据题意利用除法的求导法那么进行求导可得：()()()()()()()2222222222(lnx)x 1lnx x 1y x11x 1lnx 2x x 12lnx 1x .x 1x x 1'+-+''=++--+==++(5)设μ =3 -2x ,那么y =(3 -2x)5是由y =μ5与μ =3 -2x 复合而成 ,所以y ′ =f ′μ·μ′x =(μ5)′·(3 -2x)′ =5μ4·( -2) = -10μ4 = -10(3 -2x)4.规律总结：一般说来 ,分式函数求导 ,要先观察函数的结构特征 ,可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导 ,可先化为和、差的形式；三角函数的求导 ,先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最|外层 ,直到求到最|里层为止.所谓最|里层是指此函数已经可以直接引用根本初等函数导数公式进行求导.(三 )导数的几何意义 【例】曲线31433y x =+ , （1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3） 求斜率为4的曲线的切线方程 .思路分析： "该曲线过点P(2 ,4)的切线方程〞与 "该曲线在点P(2 ,4)处的切线方程〞是有区别的：过点P(2 ,4)的切线中 ,点P(2 ,4)不一定是切点；在点P(2 ,4)处的切线 ,点P(2 ,4)是切点.解答： (1 )(2,4)P 在曲线31433y x =+上 ,且2y x '=∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =2|x y =' =4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y -4 =4(x -2),即4x -y -4 =0.(2 )设曲线31433y x =+与过点P(2,4)的切线相切于点 A (x 0 ,301433x + ) ,那么切线的斜率020|x x k y x ='== ,∴切线方程为y - (301433x + ) =20x (x -0x ) ,即23002433y x x x =-+∵点P(2,4)在切线上 ,∴4 =220x -302433x + ,即3200340x x -+= ,∴322000440x x x +-+= ,∴ (x 0 +1 )(x 0 -2)2=0 解得x 0 = -1或x 0 =2故所求的切线方程为4x -y -4 =0或x -y +2 =0. (3 )设切点为 (x 0,y 0 )那么切线的斜率为k =x 02=4, x 0 =±2.切点为 (2 ,4 ) , ( -2 , -4/3 ) ∴切线方程为y -4 =4(x -2)和y +4/3 =4(x +2) 即4x -y -4 =0和12x -3y +20 =0注：(1)求函数f(x)图象上点P(x 0,f(x 0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ,由导数的几何意义知k =f′(x0) ,故当f′(x0)存在时 ,切线方程为y -f(x0) =f′(x0)(x -x0).(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线.(3 )可以利用导数求曲线的切线方程 ,由于函数y =f(x)在x =x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率 ,因此 ,曲线y =f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程 ,可按如下方式求得：第|一 ,求出函数y =f(x)在x =x0处的导数 ,即曲线y =f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；第二 ,在切点坐标和切线斜率的条件下 ,求得切线方程y =y0 +f′(x0)(x -x0)；如果曲线y =f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时 ,由切线的定义可知 ,切线的方程为x =x0.二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例(一 )利用导数研究函数的单调性1、相关链接(1 )求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ,如以下图：即：①确定函数f(x)的定义域;②求f ,(x) ,令f ,(x) =0 ,求出它们在定义域内的一切实根；③把函数f(x)的间断点 (即f(x)无定义点 )的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 ,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成假设干个小区间 .④确定f ,(x)在各个开区间内的符号 ,根据f ,(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性 .注：当f(x)不含参数时 ,也可通过解不等式f ,(x)>0 (或f ,(x)<0 )直接得到单调递增 (或递减 )区间 .(2 )证明可导函数f(x)在 (a,b )内的单调性的步骤①求f ,(x);②确认f ,(x)在 (a,b )内的符号；③作出结论：f ,(x)>0时为增函数；f ,(x)<0时为减函数 .(3 )函数的单调性 ,求参数的取值范围 ,应注意函数f(x)在 (a,b )上递增 (或递减 )的充要条件应是f ,(x)≥0 (或f ,(x)≤0 ) ,x∈ (a,b )恒成立 ,且f ,(x) 在 (a,b )的任意子区间内都不恒等于0 ,这就是说 ,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f ,(x) =0 ,甚至|可以在无穷多个点处f ,(x0) =0 ,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 .2、例题解析〖例〗】(2021·北京模拟)假设函数f(x) =lnx -12ax2-2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.思路解析：函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f′(x)≤0有实数解,考虑到函数的定义域为(0, +∞),所以此题就是要求f′(x)≤0在(0, +∞)上有实数解.解答：f′(x) = 1x-ax -2 =2ax2x1x+--.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f′(x)≤0有解.又因为函数的定义域为(0, +∞),那么ax2 +2x -1≥0在x∈(0, +∞)内有解.(1)当a＞0时,y =ax2 +2x -1为开口向上的抛物线,ax2 +2x -1≥0,总可以找到x＞0的解;(2)当a＜0时,y =ax2 +2x -1为开口向下的抛物线,要使ax2 +2x -1≥0总有大于0的解,那么Δ =4 +4a ≥0且方程ax2 +2x -1 =0至|少有一个正根,此时 -1≤a＜0.(3)当a =0时,显然符合题意.综上所述,实数a的取值范围是［ -1, +∞).(二 )利用导数研究函数的极值与最|值1、相关链接(1 )求函数f(x)极值的步骤即：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f ,(x);③求方程f ,(x) =0的根 .④检查在方程的根的左右两侧的符号 ,确定极值点 (最|好通过列表法 ) .如果左正右负 ,那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正 ,那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f ,(x)在点x0的左右两侧符号不变 ,那么f(x0)不是函数极值 .(2 )可导函数极值存在的条件①可导函数的极值点x0一定满足 f ,(x0) =0,但当 f ,(x0) =0时 ,x0不一定是极值点 .如f(x) =x3,f ,(0) =0,但x =0不是极值点 .②可导函数y =f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ,(x) =0 ,且在x0左侧与右侧f ,(x0)的符号不同 .(3 )设函数f(x)在[a,b]上连续 ,在 (a,b )内可导 ,求f(x)在[a,b]上的最|大值和最|小值的步骤①求函数y =f(x)在 (a,b )内的极值；②将函数y =f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比拟 ,其中最|大的一个是最|大值 ,最|小的一个是最|小值 .③根据最|值的定义 ,求在闭区间[a,b]上连续 ,开区间 (a,b ),内可导的函数的最|值时 ,可将过程简化 ,即不用判断使f ,(x) =0成立的点是极大值点还是极小值点 ,直接将极值点与端点的函数值进行比拟 ,就可判定最|大 (小 )值 .④定义在开区间 (a,b )上的可导函数 ,如果只有一个极值点 ,该极值点必为最|值点 .2、例题解析〖例1〗函数f(x) =x3 +ax2 +bx +5,记f(x)的导数为f′(x).(1)假设曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3 ,且x =23时 ,y =f(x)有极值,求函数f(x)的解析式.(2)在(1)的条件下 ,求函数f(x)在［ -4,1］上的最|大值和最|小值.思路解析：在求解(1)时 ,可以通过切线斜率和极值点求得a,b 的值 ,从而求得函数的解析式.在求解(2)时只需要列出极值变化表 ,比照区间端点值求得最|值即可.解答：(1 )由题意 ,得解得 ,所以(2 )由 (1 )知 ,令,得当x 变化时 ,的变化情况如表：∴在上的最|大值为13 ,最|小值为 -11.〖例2〗函数()2f x x |x a |,a R.=-∈(1 )当0a ≤时 ,求证函数()()f x ,-∞+∞在上是增函数；(2 )当a =3时 ,求函数()f x 在区间[0 ,b]上的最|大值 .解答：(1)a 0≤时 ,()()()23230f x x x a x ax,f x x a '=-=-=-≥因故()f x 在R 上是增函数 .(4分)(2)3a =时 ,()((323333303x x x f x x |x |x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-<≤⎪⎩①假设03b <≤时 ,()()323330f x x x ,f x x '=-=-=由得：1x =(Ⅰ)假设01b <≤时 ,()()0f x ,f x '≥在[0 ,b]上单增 ,故()()33max f x f b b b ,==- (Ⅱ)假设13b <≤时 ,因()()01010x ,f x ;x b,f x .''<<><<<故()()12max f x f ==. ②假设3b >时 ,由①知()f x 在03,⎡⎤⎣⎦上的最|大值为2 ,下求()f x 在(3,b ⎤⎦上的最|大值 ,因()2330f x x '=-> ,故()()33maxf x f b b b.==-又()()()()323323212202b b b b b b b b ⎧-≥⎪--=+-=⎨<<⎪⎩ 综合①、② 知：()()()()3332212301maxb b b f x b b b b ⎧-≥⎪=<<⎨⎪-<≤⎩ (12分)(四 )利用导数解决实际生活中的优化问题 1、相关链接利用导数解决生活中的优化问题时：(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 ,还要注意确定函数关系式中自变量的定义区间.(2)一定要注意求得函数结果的实际意义 ,不符合实际的值应舍去.(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点 ,那么根据实际意义该极值点就是最|值点. 2、例题解析〖例〗⊥BC,OA ∥BC,且AB =BC =2AO =4 km,曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC 上,且一个顶点落在曲线段OC 上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最|大?并求出最|大的用地面积(精确到0.1 km 2).思路解析：矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段OC 上的具体位置有关 ,因此应设法将落在OC 上的点用一个变量表示出来 ,然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积 ,而要设出相应的变量 ,那么应首|先建立直角坐标系.解答：以O点为坐标原点 ,OA所在的直线为y轴建立直角坐标系(如下图) ,依题意可设抛物线为y2 =2px(p＞0)且C(4,2).∴22 =2p·4,∴p =12,故所设抛物线方程为y2 =x(0≤x≤4).设x≤x≤4)是曲线段OC上的任意一点 ,那么在矩形PQBN中 ,|PQ| =2 x=4 -x,所以工业区的面积为S =|PQ|·x =32x- -2x +412x +8 ,∴S′ =123x2- -2 +212x- ,令S′ =0 ,得3x +412x -4 =0,(12x +2)(312x -2) =0,∴x =49.故当x∈［0,49)时 ,S′＞0,S是关于x的增函数；当x∈［49,4］时 ,S′＜0,S是关于x的减函数 , ∴x =49时 ,S取得最|大值 ,此时x 83,|PN| =4 -x =329,∴S =8322563927⨯=≈9.5,∴S max≈9.5(km2).∴把工业园规划成长为329km,宽为83km的矩形 ,工业园的面积最|大 ,最|大面积约为9.5 km2.注：①生活中的优化问题 ,往往涉及到函数的最|值 ,求最|值可利用单调性 ,也可直接利用导数求公众号：惟微小筑最|值 ,要掌握求最|值的方法和技巧 .②在求实际问题中的最|大值或最|小值时 ,一般先设自变量、因变量 ,建立函数关系式 ,并确定其定义域 ,利用求函数最|值的方法求解 ,注意结果应与实际情况相符合 .用导数求解实际问题中的最|大(小 )值时 ,如果函数在区间内只有一个极值点 ,那么根据实际意义该极值点也就是最|值点 .。
高考数学一轮复习 2.11导数的概念及运算课件 文
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1．(2014·郑州质量预测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且
满足 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则 f′(e)＝( )
A．1
B．－1
C．－e－1
D．－e
解析：f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，
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(2)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
Δy
lim
Δx→0
Δx
，称其为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或 y′|x＝x0 ，
即f ′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
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(3)导函数
∴f′(e)＝－1e＝－e－1，选 C.
答案：C
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2．曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为(
)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
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解析：∵y′＝x＋x＋2－22x＝x＋2 22， ∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为－12＋22＝2. ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.
求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、 积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具 备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数， 如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此 时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
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2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.11导数及其应用一、变化率与导数、导数的运算 （一）利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接（1）根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限。
（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
2、例题解析 〖例1〗求函数y=1x的在x=1处的导数。
解析：1111x y1x 11x-+∆∆=-=+∆+∆()()()x 0x 0x 1x,1x 11xy 1x 1x 11xy 11limlim[.x 21x 11x 1y |.2∆→∆→=-∆=+∆++∆∆=-∆+∆++∆∆=-=-∆+∆++∆∴'=-，〖例2〗一质点运动的方程为283s t =-。
（1） 求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）分析（1）平均速度为s t∆∆； （2）t=1时的瞬时速度即283s t =-在t=1处的导数值。
解答：（1）∵283s t =-∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,63sv t t-∆==--∆∆. （3） 定义法：质点在t=1时的瞬时速度00lim lim(63)6t t sv t t ∆→∆→∆==--∆=-∆（4） 求导法：质点在t 时刻的瞬时速度2()(83)6v s t t t ''==-=，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。
对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系。
根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
（二）导数的运算 1、相关链接（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数()y f x =在开区间（a,b ）内的导数的基本步骤： ①分析函数()y f x =的结构和特征； ②选择恰当的求导法则和导数公式求导； ③整理得结果。
（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
（3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。
2、例题解析〖例〗求下列函数的导数。
()()()()()()()222x x x 251y 2x 1(3x 1)x x 12y x x 13y 3e 2elnx 4y x 15y 32x =-+-+=++=-+=+=-思路分析：本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得.解答：(1)方法一：由题可以先展开解析式然后 再求导：y=(2x 2-1)(3x+1)=6x 3+2x 2-3x-1， ∴y ′=(6x 3+2x 2-3x-1)′=(6x 3)′+(2x 2)′-(3x)′=18x 2+4x-3.方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导： y ′=(2x 2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x 2-1)=12x 2+4x+6x 2-3 =18x 2+4x-3.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：()()()()22222222222x x 1x x 12x 2x y 1,x x 1x x 1x x 12x x 12x 2x 12x 2y x x 1x x 1-+++-===-++++++++-+-∴'=-=++++ (3)根据求导法则进行求导可得：y ′=(3x e x )′-(2x )′+e ′=(3x )′e x +3x (e x )′-(2x )′=3x ln3·e x +3x e x -2x ln2=(3e)x ln3e-2x ln2 (4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：()()()()()()()2222222222(lnx)x 1lnx x 1y x 11x 1lnx 2x x 12lnx 1x .x 1x x 1'+-+''=++--+==++(5)设μ=3-2x ，则y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x 复合而成，所以y ′=f ′μ·μ′x =(μ5)′·(3-2x)′=5μ4·(-2)=-10μ4=-10(3-2x)4.规律总结：一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层，直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.（三）导数的几何意义 【例】已知曲线31433y x =+， （1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3） 求斜率为4的曲线的切线方程。
思路分析：“该曲线过点P(2，4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点.解答：（1）(2,4)P 在曲线31433y x =+上，且2y x '=∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|x y ='=4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线31433y x =+与过点P(2,4)的切线相切于点A （x 0，301433x +），则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y -（301433x +）=20x （x -0x ），即23002433y x x x =-+∵点P(2,4)在切线上，∴4=220x -302433x +，即3200340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴（x 0+1）(x 0-2)2=0 解得x 0=-1或x 0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. （3）设切点为（x 0,y 0）则切线的斜率为k=x 02=4, x 0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3） ∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注：(1)求函数f(x)图象上点P(x 0,f(x 0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知k=f′(x0)，故当f′(x0)存在时，切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线.（3）可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y=y0+f′(x0)(x-x0)；如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为x=x0.二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例（一）利用导数研究函数的单调性1、相关链接（1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法，如下图：即：①确定函数f(x)的定义域;②求f’(x) ，令f’(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根；③把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。
④确定f’(x)在各个开区间内的符号，根据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f’(x)>0（或f’(x)<0）直接得到单调递增（或递减）区间。
（2）证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤①求f’(x);②确认f’(x)在（a,b）内的符号；③作出结论：f’(x)>0时为增函数；f’(x)<0时为减函数。
（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f’(x)≥0（或f’(x)≤0），x∈（a,b）恒成立，且f’(x) 在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f’(x) =0，甚至可以在无穷多个点处f’(x0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。
2、例题解析〖例〗】(2011·北京模拟)若函数f(x)=lnx-12ax2-2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.思路解析：函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f′(x)≤0有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+∞),所以本题就是要求f′(x)≤0在(0,+∞)上有实数解.解答：f′(x)= 1x-ax-2=2ax2x1x+--.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f′(x)≤0有解.又因为函数的定义域为(0,+∞),则ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)内有解.(1)当a＞0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1≥0,总可以找到x＞0的解;(2)当a＜0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-1≥0总有大于0的解,则Δ=4+4a≥0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,此时-1≤a＜0.(3)当a=0时,显然符合题意.综上所述,实数a的取值范围是［-1,+∞).（二）利用导数研究函数的极值与最值1、相关链接（1）求函数f(x)极值的步骤即：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f’(x);③求方程f’(x)=0的根。