线性规划应用题

线性规划应用题
1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业可获得最大利润。

解析：设甲、乙种两种产品各需生产x 、
y 吨，可使利润z 最大，故本题即
已知约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
01832133y x y x y x ，求目标函数y x z 35+=的最大
值，可求出最优解为⎩
⎨⎧==43
y x ，故271215max =+=z 。

2.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产
A 类产品5件和
B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,求所需租赁费的最少值.
【解析】:设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产
y 天,该公司所需租赁费为z 元,则
200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 A 类产品 (件)(≥50)
B 类产品 (件)(≥140)
租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备
6
20
300
则满足的关系为565010201400,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩即:6
105
214
0,0
x y x y x y ⎧+≥⎪⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩,
作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线6
10
5
214
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的交点(4,5)时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元.
答案:2300
3.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v nmi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50nmi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去应该在同一天下午4至9点到达C 市设
乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h
（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；
（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元）， 那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
分析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围 解：（1）依题意得v =
y 50，w =x
300，4≤v ≤20，30≤w ≤100 ∴3≤x ≤10，25≤y ≤2
25
①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在
9至14个小时之间， 即9≤x +y ≤14②
因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图 中阴影部分（包括边界）
（2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ）， ∴3x +2y =131－p
设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－
2
3
的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小
此时，v =125，w =30，p 的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义
4.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有
关数据如下表：(表中单位:百元)
资金 单位产品所需资金 月资金供应量
空调机 洗衣机 成本 30 20 300 劳动力:工资 5 10 110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则
P =6x +8y ，由题意有
30x +20y ≤300，5x +10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x 、y 均为整数
由图知直线y =－
43x +8
1
P 过M （4，9）时，纵截距最大这时P 也取
最大值P max =6×4+8×9=96（百元）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元
3
9 10 14
x
O
2.5 9 14 y
5.某矿山车队有4辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天
至少要运360t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡
车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元问每天派出甲型车与乙型车各多少
辆，车队所花成本费最低?
分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解
解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么
9
106683604,7,x y x y x x N y y N
+≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪
⎨
≤∈⎪⎪≤∈⎩ z =252x +160y ，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l 0：252x +160y =0，把直线l 向右上方平移，
使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小观察图形，可见当直线=t 经过点（2，5）时，满足上述要求
此时，z =252x +160y 取得最小值，即x =2，y =5时，z min =252×2+160×5=1304
答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低
解题回顾:用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f
（x ，y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点
6.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价05元，
米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价04元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭
至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克）， 所需费用为S =05x +04y ，且x 、y 满足
6x +3y ≥8，4x +7y ≥10，x ≥0，y ≥0，
由图可知，直线y =－
45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小 故每盒盒饭为面食1513百克，米食15
14
百克时既科学又费用最少
7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3mg ，乙料5mg ；配一剂B 种药需甲料5mg ，乙料4mg 今有甲料20mg ，乙料25mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?
解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1，y ≥1，3x +5y ≤20，5x +4y ≤25
上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法
8.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：
每张钢板的面积为：第一种1m 2，第二种2
m 2
，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，
且使所用钢板面积最小？
解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m 2，则有：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧∈≥≥≥+≥+≥+N
y x y x y x y x y x ,,0,027315212，y x z 2+=， 作出可行域，得1l 与3l 的交点为A （2
15
,29），
当直线y x z 2+=过点A 时z 最小，但A 不 是整点，而在可行域内，整点（4，8）和 （6，7）都使z 最小，且
20726824min =⨯+=⨯+=z ，所以应分别截第一、第二种钢板4张、8张，或6张、7张，能满足
要求.
块数规格 种类
A B C
第一种钢板 1 2 1 第二种钢板
1
1
3
8
l 1
12
28
l 2 x y
l 3
O
12
16 A。