运筹学-线性规划模型在实际生活中的应用
简单的运筹学实际应用案例
简单的运筹学实际应用案例运筹学（Operations Research）是一门研究如何有效利用有限资源进行决策的学科，它通过数学、统计学和经济学等方法，帮助管理者做出最佳决策。
下面将介绍几个简单的运筹学实际应用案例。
1.生产线优化假设一公司拥有多条生产线，每条生产线对应不同的产品。
公司希望通过优化生产线的调度，以达到最大的产出和利润。
运筹学可以通过数学模型和算法，对生产线进行优化调度。
例如，可以使用线性规划模型来确定每条生产线的产量和调度，以最大化总利润；也可以使用整数规划模型来考虑生产线的限制和约束条件。
2.物流网络设计一家物流公司需要设计其物流网络，以最小化成本并满足客户对快速物流的需求。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助物流公司优化物流网络的设计。
例如，可以使用网络流模型来确定货物在物流网络中的最佳路线和节点，以最小化总运输成本；也可以使用线性规划模型来决定在不同节点上的仓库和货物库存量，以满足客户的需求。
3.航班调度问题一家航空公司需要制定最佳航班调度计划，以最大化航班利润并排除延误风险。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助航空公司优化航班调度。
例如，可以使用线性规划模型来决定不同航班的起降时间和机型，以最大化航班利润；也可以使用排队论模型来评估航班的延误风险，并制定相应的调度策略。
4.人员调度问题一家超市需要制定最佳的员工调度计划，以最大化服务质量和节约人力成本。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助超市优化员工调度。
例如，可以使用整数规划模型来决定不同时间段需要多少员工，并考虑员工的技能匹配和工作时间的合理安排；也可以使用模拟仿真方法来评估不同调度策略的效果，并做出相应的决策。
以上是几个简单的运筹学实际应用案例，运筹学在实际生产和管理中有着广泛的应用。
通过数学模型和算法的应用，可以帮助企业优化资源配置、提高效率和决策质量，从而实现最佳的经济效益。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
运筹学在生活中的运用
运筹学在生活中的运用运筹学是运用科学的数量方法，研究对有限的人、财、无、时、空、信息等资源进行合理运筹和运用，寻找管理及决策最优化的综合性学科。
运筹学作为一门新型科学，其应用范围是十分广泛的。
对于不同类型问题，运筹学都有着不同的解决方法，因而形成了许多分支科学。
它采用定量化的方法为管理决策提供科学依据，在工业、农业、经济和社会生活等各个领域都得到广泛的应用。
运筹学在经济管理中的运用在经济管理中，常用的运筹方法有线性规划和动态规划。
线性规划是目前经济管理中应用最广泛的一种优化法。
它主要研究两类问题：一类是在有限的劳动力、设备、资金等资源条件下，已取得最大的经济效益；另一类是为了实现某一特定目标，研究如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等等，以使消耗的资料最少。
动态规划是运筹学的另一个分支，是一种解决多阶段决策过程最优化的数学问题，他把复杂的多阶段问题分解成一系列相互联系较容易解决的单阶段决策问题来解决多阶段决策问题，寻求最优决策序列的方法。
在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等，所以它是现在经济管理中一种重要的决策方法。
运筹学在物流方面的应用在流通领域，应该大力推广运用各种新型高效的交通运输工具，实现公路、铁路、水运和空运等各种运输方式合理配置机及优化组合，提高运输效率。
主要应用方面是：物资存储。
合理的库存是生产和生活顺利进行的必要保障，可以减少资金的占用，减少费用的指出和不必要的周转环节，缩短物资流通周期，加速再生产的过程等。
在物流领域中的各个环节点：工厂、港口、配送中心、物流中心、仓库、零售店等都或多或少地保有库存，为了实现物流活动总成本最小火利息最大化，金额以运用存储理论的相关知识辅助决策。
物流中的决策就是在充分占有资料的基础上，根据物流系统的客观环境，借助于科学的数学分析、实验仿真或经验判断，在已提出的若干物流系统方案中，选择一个合理的、满意方案的决策行为。
运筹学
《线性规划在实际生活中的应用》说课稿海口市第一中学潘峰一．教材分析1．教材分析“线性规划”这节课是高中新教材人教A版必修5第三章《不等式》第三节中的内容，是在学习了必修2中《直线与方程》的基础上，介绍直线方程的一个简单的应用，是教材改版之后增加的一个新内容，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．当然，中学所学的线性规划只是规划论、运筹学中的极小一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生解决实际问题提供了良好素材。
学生情况分析：学生已经学习了必修2中《直线与方程》，并且掌握了如何用平面区域表示二元一次不等式组。
依据教材分析及学情分析，我确定如下教学目标和重、难点2．教学目标（1）知识与技能：会用线性规划的知识解决一些较简单的实际问题，培养学生的观察能力、分析能力和作图能力，渗透化归和数形结合的数学思想，提高学生解决实际问题的能力；（2）过程与方法：从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（包括：①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；②能用平面区域表示二元一次不等式组，并用线性规划知识加以解决）；（3）情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦，同时融入集体荣誉感教育．3．教学重、难点教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即数学建模．建模是解决线性规划问题极为重要的环节．一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容．对初学者来说，面对文字长、数据多的应用题，要明确目标函数和约束条件有相当的难度．解决这个难点的关键是引导学生通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理地表述出来．教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2．寻找整点最优解．线性规划中寻找整点最优解的问题，教材中提供了利用作图解决问题的方法，这种方法简单方便，学生容易掌握，体现了数形结合的数学思想．教师要引导学生规范地作出精确图形，并从图形中观察出整点最优解．另外，教师在本节课后还可介绍其它一些代数求解方法．教学中为了达到上述目标，突破上述重、难点，我将采用如下方法与手段二．教学方法与手段1．教学方法：诱导启发、自主探究的互动式教学方法在教学过程中，教师适当的设置疑问，学生通过自己的努力解决问题，同时教学过程中，应着重学生的动手训练．2．教学工具：多媒体课件、实物投影仪、印发准备好的习题纸多媒体辅助教学的采用：①由于本课例题文字过长，作图比较复杂，所以采用多媒体辅助教学。
生活中的运筹学案例
生活中的运筹学案例生活中的运筹学案例700字运筹学是一门应用数学学科，研究如何在有限资源下，进行有效的决策和优化问题的解决方案。
在生活中，我们可以看到许多与运筹学相关的案例。
以下是一个关于旅行规划的案例：小明计划去旅行，他希望在有限的时间和预算内尽可能多地游览不同的城市。
他事先收集了一些信息，包括各个城市之间的距离、景点的开放时间和门票价格等。
他希望通过运筹学的方法来制定最佳的旅行计划。
首先，小明将问题抽象为一种图论问题。
他将每个城市表示为图中的一个节点，城市之间的距离表示为节点之间的边。
然后，他使用运筹学的方法来解决该问题。
他使用最短路径算法来确定游览不同城市的最佳路线。
他还利用旅行时间来优化他的旅游计划，以便在每个城市的开放时间内尽可能多地游览。
然后，小明使用线性规划来确定在有限预算内的最佳旅行路径。
他将每个城市的开销作为变量，并设置目标函数来最小化总成本。
他还添加了一些约束条件，例如每个城市的开销不能超过他的预算，以及他必须在旅行时间内完成游览。
最后，小明使用调度理论来制定他的旅行日程。
他将每个景点的开放时间和游览时间作为变量，并设置目标函数来最大化他的游览时间。
他还添加了一些约束条件，例如每个景点的开放时间不能与其他景点冲突，以及他的总游览时间不能超过他的旅行时间限制。
通过运筹学的分析和优化，小明制定了最佳的旅行计划。
他按照所确定的路线和日程，游览了尽可能多的城市和景点，并在有限的时间和预算内取得了最好的旅行体验。
这个案例展示了运筹学在生活中的应用。
通过分析问题，抽象问题，使用适当的数学模型和方法，可以制定最佳的解决方案。
运筹学并不仅仅适用于旅行规划，还可以应用于许多其他领域，如供应链管理、生产调度、资源分配等。
运筹学的方法和技术可以帮助人们在有限的资源下做出更好的决策，达到最优化的结果。
线性规划问题在经济生活中的应用
Hale Waihona Puke 关键词线性规 划 问题
数 学模 型 运筹 学
一
线性 规 划 问 题 是 数 学 的一 个 重 要 分 支 ， 它 们 所 研 究 的 问 题 是讨 论在 众 多的方 案 中什么 样 的方 案是 最优 的 、 以 及 怎 么 找 出这 些 最 优 方 案 。 在 现 实 的 生 产 活 动 中 这 类 问题 普 遍 存
问题并 为求 解这 些 问题 提供 理论 基础 与方 法而 应运 而 生 的 、 实 用 性 强 的 学科 。
奠定了基础。同年美 国数学家 Ｊ ． ｖ ｏ ｎ诺 伊曼提 出对偶理论 ， 开创
了 线 性 规 划 的许 多新 的研 究 领 域 ，扩 大 了它 的应 用 范 围 和 解 题
能力。
斜齿轮传动应用在减速机上是新的创新 。渐开线齿轮减速 机 具 有 一 般 斜 齿 轮 减 速 所 具 有 的 的 全 部 优 点 。优 良 的性 能 使 其 可 广 泛 的应 用 于各 行 业 需 要 减速 的设 备 上 。 ３ ． ２斜 齿 轮 蜗 轮 减速 机 斜 齿蜗轮减速 的结构为一级斜 齿轮加一级蜗 轮蜗杆传 动 。 斜齿轮采用应吃面， 承载能力大 。斜齿轮涡轮减速机采用 电机直
用２ ２ ０ ＃齿轮油 ， 添加剂 的使用 一般在使用坏 境较差 时 ， 例如负 荷较大， 启 动 频 繁造 成 的不 稳 定 等现 象 。 （ ３ ） 减速机安装位置 的选择 在位 置允许的情况下， 尽量不采用立式安装。立式安装会 引 起漏油等不 良状况 的发生。 （ ４ ） 建立润滑维护制度 “ 五定原则 ” 是润滑维护制度之＿ 。首先是定人定期检查 ， 做 到责任 的明确分工； 然后是对温度 的严格控制 ， 一般控制在升温 幅度不超过 ４ Ｏ 度 ， 油 的温 度 不 超 过 ８ Ｏ度 ； 对 油 的量 要 严 格 把 关， 以使减速机得到 正确 的润滑 ， 当油的质量下降或有噪音等情 况发生时， 应立即停止使用 ， 做好检修等工作。
线性规划问题在经济生活中的应用
线性规划问题在经济生活中的应用线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料；二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。
线性规划所研究的是在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最优。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
文章根据线性规划问题在现实生活中的意义进行相关讨论与探究，介绍了线性规划问题产生的背景、特点和实际运用情况，以及线性规划问题在经济生活中运用的意义。
关键词：线性规划问题数学模型运筹学线性规划问题是数学的一个重要分支，它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的、以及怎么找出这些最优方案。
在现实的生产活动中这类问题普遍存在，例如在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高产值、利润；在原料配给问题中，怎样确定各种成分的比例，才能使提高质量、降低成本的目标得以实现；在资源的分配问题中，怎样分配有限的资源，使得分配方案既能满足于各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；在农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产、稳定，以发挥地区优势；在经济管理中如何使产出率最大，即单位成本的产值最大，或者赢利率最大。
诸如此类问题不胜枚举，线性规划就是为了求解这类问题并为求解这些问题提供理论基础与方法而应运而生的、实用性强的学科。
线性规划问题的发展1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。
同年美国数学家J.von 诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
线性规划模型在生活中的实际应用
线性计划模型在生活中实际应用一、线性计划基础概念线性计划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟一个关键分支,它是辅助大家进行科学管理一个数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提升经济效果是大家不可缺乏要求，而提升经济效果通常经过两种路径：一是技术方面改善，比如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织和计划改善，即合理安排人力物力资源.线性计划所研究是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达成最好.通常地，求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题，统称为线性计划问题.满足线性约束条件解叫做可行解，由全部可行解组成集合叫做可行域.决议变量、约束条件、目标函数是线性计划三要素.二、线性计划模型在实际问题中应用（1）线性计划在企业管理中应用范围线性计划在企业管理中应用广泛，关键有以下八种形式：1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是赢利最大.2.劳动力安排：用最少劳动力来满足工作需要.3.运输问题：怎样制订运输方案，使总运费最少.4.合理利用线材问题：怎样下料，使用料最少.5.配料问题：在原料供给限制下怎样取得最大利润.6.投资问题：从投资项目中选择方案，是投资回报最大.7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，怎样控制库存量从而取得更高利益.8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中怎样是风险最小.（2）怎样实现线性计划在企业管理中应用在线性计划应用前要建立经济和金融体系评价标准及企业计量体系，摸清企业资源.首先经过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统各相关部分特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统相关原因和系统目标关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白很好数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不一样参数获取不一样结果和实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决议.3.3 线性计划在运输问题中应用运输是物流活动关键步骤，线性计划是运输问题常见数学模型，利用数学知识能够得到优化运输方案.运输问题提出源于怎样物流活动中运输路线或配送方案是最经济或最低成本.运输问题处理是已知产地供给量，销地需求量及运输单价，怎样寻求总配送成本最低方案；运输问题包含产销平衡运输问题和产销不平衡运输问题；通常将产销不平衡问题转化为产销平衡问题来处理；运输问题条件包含需求假设和成本假设.需求假设指每一个产地全部有一个固定供给量全部供给量全部必需配送到目标地.和之类似，每一个目标地全部有一个固定需求量，整个需求量全部必需有出发地满足；成本假设指从任何一个产地到任何一个销地配送成本和所配送数量线性百分比关系.产销平衡运输问题通常提法是：假设某物资有m 个产地a 1，a 2，⋯，a m ;各地产量分别为b 1，b 2，⋯，b n ，物资从产地A i 运往销地B j 单位运价为c ij ,满足：∑∑===nj j m i i b a 11.其数学模型为：Min Z=∑∑==m i nj ij ij x c 11∑==n j ij x1 a i (i =1,2,⋯,m)产地约束s.t =∑=m i ij x1b j (j =1,2,⋯,n)销地约束 （a ）x ij ≥0(i =1,2,⋯,m; j =1,2,⋯,n)非负约束1：产销不平衡运输问题分两种情况：（1）总产量大于总销量，既满足∑∑==>nj j m i i b a 11，此时其数学模型和表示式(a)基础相同，只需将表示式（a ）中产地约束条件∑==n j ij x1a i 改为 ∑=≤n j ij x 1 a i .（2）总产量小于总销量，既满足∑∑==<n j j m i i b a 11，此时其数学模型和表示式(a)也基础相同，只需将表示式（a ）中产地约束条件∑==n j ij x1 b j 改为 ∑=≤n j ij x 1 b j .2.运输问题处理策略现实生产情况往往比较复杂，很多实际问题不一定完全符合运输问题假设，可能部分特征近似但其中一个或多个特征却并不符合运输问题条件.通常来说，假如一个问题中包含两大类对象之间联络或往来，且该问题能提供运输问题所需要三类数据:供给量、需求量、单位运价，那么这个问题(不管其中是否包含运输)经合适约束条件处理后，基木全部能够应用运输问题模型来处理.比如:（1）追求目标是效益最大而非成木最低，此时仅将表示式(a)中目标函数中“Min Z ”改为“Max Z ”即可.（2）部分(或全部)供给量(产量)代表是从产地提供最大数量(而不是一个固定数值)，此时只需将表示式(a)中产地约束中部分(或全部)“∑==nj ij x 1 a i ”改成“∑=<nj ij x 1 a i ”即可.(3)部分(或全部)需求量(销量)代表是销地接收最大数量(而不是一个固定数值)，此时只需将表示式(a)中销地约束条件中“=∑=m i ij x 1b j ”部分(或全部)改成“<∑=mi ij x 1b j ”即可.(4)一些目标地同时存在最大需求和最小需求，此时处理措施是将表示式(a)中对应销地约束中“=∑=mi ij x 1b j ”一个式子分解成最大需求和最小需求两个式子即可.三、结论现在，线性计划求解方法有很多，很多学者全部对原先求解方法进行了不停改善，计算机时代发展也加紧了处理复杂线性计划问题速度。
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线性规划模型在实际生活中的应用【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。
解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。
本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。
【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。
英文缩写LP。
它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。
为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。
在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。
随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。
线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。
本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。
1、简单线性问题步骤简单介绍建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数。
1.1 从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；（1）根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；（2）由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；（3）由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
线性规划的数学模型的一般形式为：目标函数： max(min) z=c1 x1+c2x2+…+cnxn满足约束条件：a11x1+a12x2+…+a1nxn≤ (＝,≥) b1a21x1+a22x2+…+a2nxn≤ (＝,≥) b2…………. ……………………….am1x1+am2x2+…+amnxn≤ (＝,≥) bmx1, x2, …,xn≥01.2 所建立的数学模型具有以下特点：（1）每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。
决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
（2）目标函数是决策变量的线性函数根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。
（3）约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
1.3 线性规划模型的基本结构:（1）变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl ，X2，X3，Xmn等。
（2）目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。
（3）约束条件 约束条件是指实现系统目标的限制因素。
它涉及到企业部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。
约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤。
线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。
把线性规划的知识运用到企业中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，及时、准确、科学的制定生产计划、投资计划、对资源进行合理配置。
过去企业在制定计划，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活，运用线性规划并配合计算机进行测算非常简便易行，几分钟就可以拿出最优方案，提高了企业决策的科学性和可靠性。
其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而在使企业能够在生产的各个环节中优化配置，提高了企业的效率，对企业是大有益处的。
2、线性规划问题的标准形式：由于目标函数和约束条件容和形式上的差别，线性规划可以有多种表达式。
为方便和制定统一算法，规定线性规划问题的标准形式如下：11max (1,,)..0(1,,)nj jj nij j i j jz c x a x b i m s t x i m ===⎧==⎪⎨⎪==⎩∑∑ 标准形式的线性规划模型中，目标函数为极大值（有些书上规定是级小值），约束条件全为等式，约束条件右端为常数项b 全为非负数，变量x 的取值全为非负值。
符合标准形式的线性规划问题，课通过下列方法化为标准式。
（1）目标函数为极小值，即为：1min nj j j z c x ==∑因为求min z 等价于求max(-z),令z’=-z,即化为：1max 'nj j j z c x ==-∑（2）约束条件右端b<0，时，只需要等式或不等式两端同乘（-1），则等式右端必大于0。
（3）约束条件不等式。
当约束条件为“≤”时，如：6x 1+2x 2≤24,可令x 3=24-6x 1-2x 2,得6x 1+2x 2+x 3=24，显然，x 3≥0.当约束条件为“≥”时，如有10x 1+12x 2≥18，可令x 4=10x 1+12x 2-18，得10x 1+12x 2- x 4=18，x 4≥0. x 3，x 4是新加上去的变量，取值均为非负值，加到原约束条件中去的变量，其目的是使不等式转化为等式，其中x 3为松弛变量，x 4一般称为一般变量，等也称松弛变量。
松弛变量或剩余变量在实际问题中分别表示为未被允分利用的资源和超出的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进模型后他们在目标函数中的系数为零。
（4）取值无约束的变量。
如果变量x 代表某产品当年计划与上一年计划数之差，显然x的取值可能是正的也可能是负的，这时令x=x ’-x ’’，将其代入线性规划模型。
（5）对x ≤0的情况，令x ’=-x ，显然x ’ ≥3、 简单线性规划问题的解法线性规划作为数学规划中最简单的一种问题.它的研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题，解决的主要问题是在给定条件下，按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。
它可以表示成求函数在满足约束条件下的极大或极小值问题.如果约束条件和目标函数都是呈线性关系的就叫线性规划.要解决线性规划问题，从理论上讲都要解线性方程组，而解线性方程组的常见方法是图象法和单纯元法。
将实际生活中的线性规划问题,抽象为数学形式,目的在于找到解决问题的方法.为此,我们作以下一些讨论.3.1 最大利润问题例1 某工厂在计划期要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗.如表1所示:表a该厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元,每生产一件产品Ⅱ可获利3元.问应如何安排计划,使该工厂在限定条件下获利最多?显见,这个问题可以用以下的数学模型来描述:设21,x x 分别表示在计划期产品Ⅰ、Ⅱ的产量.因为设备的有效台时是8,这是一个限制产量的条件,所以确定产品Ⅰ、Ⅱ的产量时,要考虑不超过设备的有效台时数,即可用不等式表示为:8221≤+x x .同理,因原材料的限量,可以得到两个不等式:1641≤x ,1242≤x .该厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下,如何确定产量21,x x 以得到最大的利润.用z 表示利润,这时2132x x z +=.综合上述,此计划问题可用数学模型表示为:目标函数: 1223z x x =+约束条件: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x3.2 两个变量的线性规划问题的图解法 现在我们用图解法来解上述的例1:在以21,x x 为坐标轴的直角坐标系中,非负条件0,021≥≥x x 是指第一象限.每一个约束条件都代表一个半平面,如约束条件8221≤+x x 是代表以直线8221=+x x 为边界的左下方的半平面.若同时满足:0,021≥≥x x ,8221≤+x x ,1641≤x 和1242≤x 的约束条件的点,必然落在21,x x 坐标轴和由这三个半平面交成的区域(如下图).阴影区域中的每一个点(包括边界)都是这个线性规划问题的解,因而此区域是此线性规划问题的解集合,称它为可行域.再来分析目标函数2132x x z +=.在这个坐标平面上,它可表示以z 为参数,以32-为斜率的一族平行线:3)32(12zx x +-=.位于同一直线上的点,具有相同的目标函数值,因而称它为“等值线”.当z 值由小变大时,直线3)32(12zx x +-=沿其法线方向向右上方移动．当移动到2Q 点时，使z 值在可行域边界上实现最大化（如下图）:x 1x 2Ox 1 +2x 2 =84x 1 =16 4x 2 =12Q 3Q 2Q 1Q 4x 1x 2Ox 1+2x 2=84x 1=164x 2=12Q 3Q 2Q 1Q 4这就得到了例１的最优解对应的点2Q ,2Q 点的坐标为)2,4(.于是可计算出满足所有约束条件的最大值14=z ．这说明该厂的最优生产计划方案是：生产４件产品Ⅰ，生产２件产品Ⅱ，可得最大利润为14元．【拓展延伸探究】例2 预算有2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子和椅子各购买多少？[分析]这是生活实际中的一个物资采购问题，可归结为线性规划问题，利用图解法进行求解。
[解]设桌子和椅子各购买x 、y ，则x 、y 必须满足线性约束条件50202000,0,x y x y x y x y N+≤⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩其目标函数z=x+y 。
由 解得故图14中点A 的坐标为。