3.4.3《简单线性规划的应用》课件(北师大版必修5)
合集下载
北师大版高中数学必修五课件§44.3简单线性规划的应用
产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设
全月生产甲、乙两种产品分别为 x、y 千克，月利润总额为 z 元， 那么，用于求使总利润 z＝d1x＋d2y 最大的数学模型中，约束条
件为_________
解析：生产甲、乙产品所需 A 原料之和应不大于 c1，故 a1x＋a2y≤c1； 同理生产甲、乙产品所需 B 原料之和应不大于 c2，故 b1x＋b2y≤c2；
利润目标函数 z＝20x＋10y， 如上图：可行域为阴影部分 ABOC，且 A(4,1)， 经分析当 l0 平移到 l，即过 A(4,1)时 y 最大，故选 A.
答案：A
解线性规划应用题的一般步骤： ①设出未知数； ②列出约束条件； ③建立目标函数； ④图解法求最优解； ⑤还原作答．
预备十二分的力量，才能希望有十分的成 功。——张太雷
A
0.3x y 0
o 12 x
0.3x y 0.9
答 该厂应安排生产该产品 3.3kg/h，直接排入河流的污水为
0.09 m3 / h 时，其每小时净收益最大。
线性规划应用问题的解法步骤： (1)根据题意，设出变量x,y (2)找出线性约束条件； (3)确定线性目标函数z=f(x,y)
该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利
润为(
)
A．36 万元
B．31.2 万元
C．30.4 万元
D．24 万元
解析：设投资甲为 x 万元，投资乙为 y 万元，获得利润为 z 万元， 则 z＝0.4x＋0.6y，
x＋y≤60，
2 x≥ y，
且
3
x≥5， y≥5.
作出不等式组表示的区域，如下图所示，作
解方程组
，
全月生产甲、乙两种产品分别为 x、y 千克，月利润总额为 z 元， 那么，用于求使总利润 z＝d1x＋d2y 最大的数学模型中，约束条
件为_________
解析：生产甲、乙产品所需 A 原料之和应不大于 c1，故 a1x＋a2y≤c1； 同理生产甲、乙产品所需 B 原料之和应不大于 c2，故 b1x＋b2y≤c2；
利润目标函数 z＝20x＋10y， 如上图：可行域为阴影部分 ABOC，且 A(4,1)， 经分析当 l0 平移到 l，即过 A(4,1)时 y 最大，故选 A.
答案：A
解线性规划应用题的一般步骤： ①设出未知数； ②列出约束条件； ③建立目标函数； ④图解法求最优解； ⑤还原作答．
预备十二分的力量，才能希望有十分的成 功。——张太雷
A
0.3x y 0
o 12 x
0.3x y 0.9
答 该厂应安排生产该产品 3.3kg/h，直接排入河流的污水为
0.09 m3 / h 时，其每小时净收益最大。
线性规划应用问题的解法步骤： (1)根据题意，设出变量x,y (2)找出线性约束条件； (3)确定线性目标函数z=f(x,y)
该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利
润为(
)
A．36 万元
B．31.2 万元
C．30.4 万元
D．24 万元
解析：设投资甲为 x 万元，投资乙为 y 万元，获得利润为 z 万元， 则 z＝0.4x＋0.6y，
x＋y≤60，
2 x≥ y，
且
3
x≥5， y≥5.
作出不等式组表示的区域，如下图所示，作
解方程组
，
高中数学北师大版必修五3.4《简单线性规划》ppt参考课件2
例1画出直线2x＋ｙ－６＜0 表示的平面区域。
解：先画直线2x+y –6 =0（画成虚线）
Y
取原点（0，0）代入2x+y- 6
6
∵2×0+ 0 – 6= - 6＜0 ∴原点在2x+y –6 ＜0 表示
O
3X
平面区域 内
小结：以直线定出界，再以特殊点定出区域。
③巩固：
画出下列不等式表示的平面区域：
因为点Ｐ（ｘ０，ｙ０）是直线ｘ＋ｙ－ １＝０上任意点，所以对于直线ｘ＋ｙ
－１＝０右上方的任意点（ｘ，ｙ），
Y （x，y）
⊕⊕ P1
O1
X
ｘ＋ｙ－１＞０都成立
同理，对于直线ｘ＋ｙ－１＝0左下方的任意点（ｘ， ｙ），ｘ＋ｙ－１＜０都成立。
所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式ｘ＋ｙ－1＞0
的解为坐标的点的集合是在直线ｘ＋ｙ－1＝0右上方的平面
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
4
x
-2
Y
3
O 23
X
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
高中数学必修五北师大版 简单线性规划的应用 课件(42张)
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的
运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎
样编制调动方案，才能使总运费最小？
②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品
需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额
例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品 .已知生产甲产品 1桶需耗A原料1千
克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产
品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的
计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，
从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、
B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元 / 辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21辆，且B型车不多于A型车7 辆，则租金最少为多少？
解析答案
题型三 实际问题中的整数解问题
模型建立方法.
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可
行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的
方案.
返回
题型探究
重点突破
题型一
与最大值有关的实际问题
例1
某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书
橱出售.已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板2 m2，生产每个
北师大版高中数学必修五课件§4.3简单线性规划的应用.pptx
• 1、已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取 解法1：值由范待围定。系数法:设 解法2：∵-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3
a+3b=m(a+b)+n(a-2b)
∴-2≤2a+2b≤2，
=(m+n)a+(m-2n)b
-3≤2b-a≤-1
∴m+n=1，m-2n=3
∴-1/3≤a≤5/3
怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我 们今天要学习的线性规划问题。
2019/11/9
6
我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2,
纵截距为z的直线,把z看成参y 数,方程表示的是一组平行线．
要求z的范围，现在就
转化为求这一组平行线 x y 4 6 x y 6
解答明显错了．
4
x y 4
从图中我们可以看出
3
解得
3 0
x y
5 2
没错
2 1
D
A
C
但不等式
4 2
x x
y y
6 4
-2 -1 0 1 2 3 4 B 5 6 7 x -1
与不等式
3 x 5 0 y 2
-2
xy4 x y6
所表示的平面区域却不同？
4 x y 6 例1.若实数x,y满足求22x+xy的y取 值4 范围
解法2：由待定系数法:设
2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)y ∴m+n=2，m-n=1 m=3/2，n=1/2
高中数学北师大版必修五课件：3.3.3.3-简单线性规划的应用ppt讲练课件
D(4，0)． 平移直线 y＝－2x＋z， 当直线过(3， 2)或(4， 0)时 z 有最大值． 即工厂每天制造甲种家电 3 件，乙种家电 2 件或仅制造甲种家 电 4 件，可获利最大．
寻找整点最优解的三种方法 (1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线 l，最先经过或 最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点 最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且 整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经 比较求最优解．
(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出 来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值． (3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程 的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
2.两类药片有效成分如下表所示， 若要求至少 提供 12 毫克阿司匹林，70 毫克小苏打，28 毫克可待因，问两 类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？ 成分 种类 A(毫克/片) B(毫克/片) 阿司 匹林 2 1 小苏 打 5 7 可待 因 1 6 每片价 格 (元 ) 0.1 0.2
1.某养鸡场有 1 万只鸡，用动物饲料和谷物 饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5 kg，其中动物 1 饲料不能少于谷物饲料的 .动物饲料每千克 0.9 元，谷物饲料 5 每千克 0.28 元， 饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50 000 kg， kg，动物饲料 y kg，每周总的饲料 费用为 z 元， x＋y≥35 000， y≥1x， 由题意得 5 0≤x≤50 000， y≥0， 而 z＝0.28x＋0.9y.
【解】 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为 x 件、y 件， 获取的利润为 z 百元， 6x＋2y≤24， x＋y≤5， 则 z＝2x＋y，满足 5y≤15， x，y∈N， 作出可行域，如图中阴影的整点部分：
北师版数学必修5讲义： 第3章 4.3 简单线性规划的应用
4.3简单线性规划的应用1．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的意识．3．能够找出实际问题的约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．(难点)[基础·初探]教材整理简单线性规划的实际应用阅读教材P105～P107“练习”以上部分，完成下列问题．1．简单线性规划应用问题的求解步骤：(1)设：设出变量x、y，写出约束条件及目标函数．(2)作：作出可行域．(3)移：作一条直线l，平移l，找最优解．(4)解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．(5)答：写出答案．总之，求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．2．若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解时，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点．可考虑以下方法：(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．(2)调整最值法：先求非整点最优解及最值，再借助不定方程的知识调整最值，最后筛选出整点最优解．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)线性规划实际问题中的可行域可能是有界的，也可能是无界的．()(2)线性目标函数的最优整数解不唯一．()(3)线性目标函数的整点最优解是离非整点最优解最近的整点．()【解析】(1)若约束条件中的不等式中没有等于号可行域是无界的，若有等号则是有界的．(2)当目标函数与约束条件对应的直线平移时有无穷多个．(3)离非整点最近的点不一定在可行域中．【答案】(1)√(2)√(3)×[小组合作型]生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．。
3.4.3《简单线性规划的应用》课件(北师大版必修5)
由图可知，最优解为P(3,4)， ∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
• 答：企业可获得的最大利润为27万元．
• [题后感悟] 线性规划的应用问题，关键是
根据题目正确的列出变量的约束条件与目 标函数，准确地画出可行域，确定其最优 解．
• 1.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产
品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作 日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg可获 利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现 在此工厂只有煤360 t，电力200 KW，劳动力 300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克获得最大经济效益？
• 解析： 设此工厂应分别生产甲、乙产品x
kg、y kg，利润z万元，则依题意可得约束 条件：
9x＋4y≤360 4x＋5y≤200 ② 3x＋10y≤300 ③ x≥0 ④ y≥0 ⑤ 利润目标函数为： z＝7x＋12y.
①
• 作出可行域，作直线l：7x＋12y＝0，把直线l
产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要 原料和产生的利润分别为：磷酸盐2 t，硝酸盐 9 t，利润8 000元或磷酸盐2 t，硝酸盐5 t，利 润6 000元．工厂现有库存磷酸盐20 t，硝酸盐 70 t，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最 大利润？
解析： 设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车 2x＋2y≤20 皮数．由题意得9x＋5y≤70， x≥0，y≥0 工厂利润z＝8 000x＋6 000y.
，
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
• • • • • • •
作直线l′：320x＋504y＝0， 作一组与l′平行的直线l：320x＋504y＝t(t∈R)， 由题设x，y是可行域内的整点的横、纵坐标． 在可行域内的整点中，点(8,0)使t取最小值， 即当l过点(8,0)时，t最小， 即zmin＝8×320＝2 560(元)． 答：每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务， 且公司所花成本费最低．
高中数学北师大版必修五3.4.3【教学课件】《简单线性规划的应用 》
北京师范大学出版社
| 必修五
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点， 图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0) 当直线 z＝2 100x＋ 900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，
zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)。
北京师范大学出版社
| 必修五
探索新知
教材整理 简单线性规划的实际应用
阅读教材 P105～P107“练习”以上部分，完成下列问题。 1．简单线性规划应用问题的求解步骤： (1)设：设出变量 x、y，写出约束条件及目标函数。 (2)作：
作出可行域
。
北京师范大学出版社
| 必修五
(3)移：作一条直线 l，平移 l，找最优解。 (4)解：联立方程组求 最优 解，并代入目标函数，求出 最值 。 (5)答：写出答案。 总之，求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组， 求最值。
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
北京师范大学出版社
| 必修五
例题解析 例1.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原 料。生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨 数如下表所示：
原料 肥料
A
B
C
甲
乙
4
5
8
5
3
10
北京师范大学出版社
| 必修五
现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨。在此基础上生
【精彩点拨】
先设出变量，建立目标函数，并确定约束条件， 转化为线性规划问题来求解。
北京师范大学出版社
| 必修五
解： 设需要甲种原料 x 张，乙种原料 y 张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的 点M，且与原点距离最大，此时z＝7x＋12y取 最大值．
3x＋10y＝300， 解方程组 4x＋5y＝200，
得M点坐标为(20,24)． 即应生产甲种产品20 t，乙种产品24 t，才能使此工厂 获得最大利润．
•
某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有 货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运 给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商 店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6 元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙， 每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应 如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货 物到三个商店的总运费最少？
• 解析： 设此工厂应分别生产甲、乙产品x
kg、y kg，利润z万元，则依题意可得约束 条件：
9x＋4y≤360 4x＋5y≤200 ② 3x＋10y≤300 ③ x≥0 ④ y≥0 ⑤ 利润目标函数为： z＝7x＋12y.
①
• 作出可行域，作直线l：7x＋12y＝0，把直线l
由图可知，最优解为P(3,4)， ∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
• 答：企业可获得的最大利润为27万元．
• [题后感悟] 线性规划的应用问题，关键是
根据题目正确的列出变量的约束条件与目 标函数，准确地画出可行域，确定其最优 解．
• 1.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产
品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作 日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg可获 利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现 在此工厂只有煤360 t，电力200 KW，劳动力 300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克获得最大经济效益？
用料要求如表所示(单位：千克)
原 料 甲 乙
药 剂
A 2 5 B 5 4 • 药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售 价分别为100元、200元．现有原料甲20千克， 原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为 ________百元．
解析： 设药剂A、B分别配x剂、y剂， 2x＋5y≤20 则5x＋4y≤25 x、y∈N ＋
• 1．线性目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)把直
增大 线l0：ax＋by＝0向右平移时，所对应的z随之 ，把l0向左平移时，所对应的z随之 减小 首先 ．在平移过程中与可行域 相交的 最后 点和 相交的点，可使目标函数z＝ax＋by＋ c取得最值．也就是最优解．
2．设z＝2x＋y，其中变量x，y满足条件
• 线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题
中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定 一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的 人力、物力、资金等资源来完成这项任务． • 在生产和生活中，常用于：①下料问题；②优 化安排活动问题；③优化运营问题等． • 利用线性规划的方法解决实际问题的过程可分 为假设分配方案、确定目标函数、列出约束条 件、画出可行域、确定最优解、确定目标函数 最值、回归实际问题．
A，B两种外壳的数量，同时又能使总的用 料面积最小．
• 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少
运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重 为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车， 有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是： A型卡车为4次，B型卡车为3次．每辆卡车每 天往返的成本费为：A型卡车为320元，B型卡 车为504元，请你为该公司调配车辆，使公司 所花成本费最低．
，销售额z＝x＋2y，
作出可行域如图．
令z＝0得直线x＋2y＝0， 平移此直线过点M时z最大，
2x＋5y＝20 由 5x＋4y＝25
，
45 50 得M17，17，调整得最优解(2,3)，
∴zmax＝2＋2×3＝8(百元)．
• 答案： 8
• 3．有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生
，
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
• • • • • • •
作直线l′：320x＋504y＝0， 作一组与l′平行的直线l：320x＋504y＝t(t∈R)， 由题设x，y是可行域内的整点的横、纵坐标． 在可行域内的整点中，点(8,0)使t取最小值， 即当l过点(8,0)时，t最小， 即zmin＝8×320＝2 560(元)． 答：每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务， 且公司所花成本费最低．
2x＋2y＝20 由 9x＋5y＝70 x＝5 得 ’ y＝5
• 即当直线8 000x＋6 000y－z＝0过(5,5)点时，z
取得最大值． • 即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大
•
某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每 吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每 吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每 吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获 得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该 企业可获得最大利润是多少？
解析： 设需要安排x艘轮船和y架飞机， 300x＋150y≥2 000 250x＋100y≥1 500 则有x≥0 y≥0 x，y∈N 6x＋3y≥40 5x＋2y≥30 ，即x≥0 y≥0 x，y∈N
，
目标函数为：z＝x＋y.作出可行域，如图所示，
吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的 货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从 两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
• [题后感悟] (1)线性规划问题中条件往往较多，
需注意借助表格或图形梳理题目中的条件． • (2)在切实认真审题的基础上，将约束条件全 部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量 是否为正整数或有其他范围的限制．
• [题后感悟] 对于线性规划中的最优整数解的
问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可 用下面的方法求解： • (1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描 整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整 点坐标是整点最优解． • (2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时， 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比 较得最优解．
• 1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，
设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆， 则要运送最多的货物，完成这项运输任务的线 性目标函数为( ) • A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y • C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y • 答案： A
• 2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，
x≥0 y≥0
下的最小值．
作出上述不等式组所表示的平面区 域，即可行域， 作出直线l：x－2y＝0，把直线l作 平行移动，显然当直线l移动到过点 A(0,8)时2×8＋126＝110. 即x＝0，y＝8时，总运费最少．
• 答：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0
x－4y≤－3， 3x＋5y≤25， x≥1.
z的最大值和最小值分别为 12,3 .
• 线性规划的应用 • 线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范
围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列 限制条件 出所有 ，不能有遗漏的部分，如有时变 量要求为正实数或自然数，其次是准确找到 目标函数 ，如果数量关系多而杂，可以用列表等方 法把关系理清．
• 2.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装
置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳， 已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每 张面积2 m2，可做A，B外壳分别为3个和5个， 乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A，B外壳各6 个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用 料面积最小． 解析： 设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则
• 4．3 简单线性规划的应用
• 1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性
规划问题，并能加以解决． • 2.培养学生应用线性规划的有关知识解决实际 问题的意识.
• 1.对利用线性规划解决实际问题的考查是本节
的热点． • 2.本节内容常与实际问题结合问题． • 3.多以选择题、填空题形式考查，也可以解答 题形式考查.
12－x－y≥0 • z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y) 7－x≥0 ＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126. 8－y≥0 z＝x－2y＋126在约束条件 • 则问题转化为求总运费 x＋y－7≥0
0≤x≤7 0≤y≤8 即在 x＋y≥7 x＋y≤12
• 3.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两
种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输 效果见下表： 方式 轮船运 飞机运 效果 输量 输量 (t) (t) 种类 300 150 粮食 250 100 石油 • 现在要在一天内运输2 000t粮食和1 500t石油需 至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
• 本题解答可先设出企业生产甲、乙两产品
的吨数，再根据原料限制条件列出约束条 件，建立目标函数求解．
[解题过程] 设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且 x≥0， y≥0， 3x＋y≤13， 2x＋3y≤18
3x＋y＝13， 联立 2x＋3y＝18 x＝3， ，解得 y＝4.
标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是 (7,0)，即为最优解． 答：至少安排7艘轮船和0架飞机．
• 解答本题可先转化为线性规划问题，再利用
线性规划问题的知识求解，注意车辆数应为 整数．
[解题过程] 设每天从该公司调出A型卡车x辆，B型卡 车y辆，公司每天所花成本为z元，则z＝320x＋504y，其中 x，y满足约束条件 0≤x≤8 0≤y≤4 x＋y≤10 24x＋30y≥180 x，y∈N 0≤x≤8 0≤y≤4 ，即x＋y≤10 4x＋5y≤30 x，y∈N
• 先设仓库A运给甲、乙商店的货物吨数，利
3x＋10y＝300， 解方程组 4x＋5y＝200，
得M点坐标为(20,24)． 即应生产甲种产品20 t，乙种产品24 t，才能使此工厂 获得最大利润．
•
某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有 货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运 给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商 店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6 元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙， 每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应 如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货 物到三个商店的总运费最少？
• 解析： 设此工厂应分别生产甲、乙产品x
kg、y kg，利润z万元，则依题意可得约束 条件：
9x＋4y≤360 4x＋5y≤200 ② 3x＋10y≤300 ③ x≥0 ④ y≥0 ⑤ 利润目标函数为： z＝7x＋12y.
①
• 作出可行域，作直线l：7x＋12y＝0，把直线l
由图可知，最优解为P(3,4)， ∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
• 答：企业可获得的最大利润为27万元．
• [题后感悟] 线性规划的应用问题，关键是
根据题目正确的列出变量的约束条件与目 标函数，准确地画出可行域，确定其最优 解．
• 1.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产
品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作 日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg可获 利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现 在此工厂只有煤360 t，电力200 KW，劳动力 300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克获得最大经济效益？
用料要求如表所示(单位：千克)
原 料 甲 乙
药 剂
A 2 5 B 5 4 • 药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售 价分别为100元、200元．现有原料甲20千克， 原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为 ________百元．
解析： 设药剂A、B分别配x剂、y剂， 2x＋5y≤20 则5x＋4y≤25 x、y∈N ＋
• 1．线性目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)把直
增大 线l0：ax＋by＝0向右平移时，所对应的z随之 ，把l0向左平移时，所对应的z随之 减小 首先 ．在平移过程中与可行域 相交的 最后 点和 相交的点，可使目标函数z＝ax＋by＋ c取得最值．也就是最优解．
2．设z＝2x＋y，其中变量x，y满足条件
• 线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题
中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定 一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的 人力、物力、资金等资源来完成这项任务． • 在生产和生活中，常用于：①下料问题；②优 化安排活动问题；③优化运营问题等． • 利用线性规划的方法解决实际问题的过程可分 为假设分配方案、确定目标函数、列出约束条 件、画出可行域、确定最优解、确定目标函数 最值、回归实际问题．
A，B两种外壳的数量，同时又能使总的用 料面积最小．
• 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少
运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重 为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车， 有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是： A型卡车为4次，B型卡车为3次．每辆卡车每 天往返的成本费为：A型卡车为320元，B型卡 车为504元，请你为该公司调配车辆，使公司 所花成本费最低．
，销售额z＝x＋2y，
作出可行域如图．
令z＝0得直线x＋2y＝0， 平移此直线过点M时z最大，
2x＋5y＝20 由 5x＋4y＝25
，
45 50 得M17，17，调整得最优解(2,3)，
∴zmax＝2＋2×3＝8(百元)．
• 答案： 8
• 3．有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生
，
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
• • • • • • •
作直线l′：320x＋504y＝0， 作一组与l′平行的直线l：320x＋504y＝t(t∈R)， 由题设x，y是可行域内的整点的横、纵坐标． 在可行域内的整点中，点(8,0)使t取最小值， 即当l过点(8,0)时，t最小， 即zmin＝8×320＝2 560(元)． 答：每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务， 且公司所花成本费最低．
2x＋2y＝20 由 9x＋5y＝70 x＝5 得 ’ y＝5
• 即当直线8 000x＋6 000y－z＝0过(5,5)点时，z
取得最大值． • 即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大
•
某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每 吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每 吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每 吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获 得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该 企业可获得最大利润是多少？
解析： 设需要安排x艘轮船和y架飞机， 300x＋150y≥2 000 250x＋100y≥1 500 则有x≥0 y≥0 x，y∈N 6x＋3y≥40 5x＋2y≥30 ，即x≥0 y≥0 x，y∈N
，
目标函数为：z＝x＋y.作出可行域，如图所示，
吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的 货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从 两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
• [题后感悟] (1)线性规划问题中条件往往较多，
需注意借助表格或图形梳理题目中的条件． • (2)在切实认真审题的基础上，将约束条件全 部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量 是否为正整数或有其他范围的限制．
• [题后感悟] 对于线性规划中的最优整数解的
问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可 用下面的方法求解： • (1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描 整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整 点坐标是整点最优解． • (2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时， 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比 较得最优解．
• 1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，
设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆， 则要运送最多的货物，完成这项运输任务的线 性目标函数为( ) • A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y • C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y • 答案： A
• 2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，
x≥0 y≥0
下的最小值．
作出上述不等式组所表示的平面区 域，即可行域， 作出直线l：x－2y＝0，把直线l作 平行移动，显然当直线l移动到过点 A(0,8)时2×8＋126＝110. 即x＝0，y＝8时，总运费最少．
• 答：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0
x－4y≤－3， 3x＋5y≤25， x≥1.
z的最大值和最小值分别为 12,3 .
• 线性规划的应用 • 线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范
围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列 限制条件 出所有 ，不能有遗漏的部分，如有时变 量要求为正实数或自然数，其次是准确找到 目标函数 ，如果数量关系多而杂，可以用列表等方 法把关系理清．
• 2.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装
置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳， 已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每 张面积2 m2，可做A，B外壳分别为3个和5个， 乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A，B外壳各6 个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用 料面积最小． 解析： 设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则
• 4．3 简单线性规划的应用
• 1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性
规划问题，并能加以解决． • 2.培养学生应用线性规划的有关知识解决实际 问题的意识.
• 1.对利用线性规划解决实际问题的考查是本节
的热点． • 2.本节内容常与实际问题结合问题． • 3.多以选择题、填空题形式考查，也可以解答 题形式考查.
12－x－y≥0 • z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y) 7－x≥0 ＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126. 8－y≥0 z＝x－2y＋126在约束条件 • 则问题转化为求总运费 x＋y－7≥0
0≤x≤7 0≤y≤8 即在 x＋y≥7 x＋y≤12
• 3.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两
种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输 效果见下表： 方式 轮船运 飞机运 效果 输量 输量 (t) (t) 种类 300 150 粮食 250 100 石油 • 现在要在一天内运输2 000t粮食和1 500t石油需 至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
• 本题解答可先设出企业生产甲、乙两产品
的吨数，再根据原料限制条件列出约束条 件，建立目标函数求解．
[解题过程] 设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且 x≥0， y≥0， 3x＋y≤13， 2x＋3y≤18
3x＋y＝13， 联立 2x＋3y＝18 x＝3， ，解得 y＝4.
标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是 (7,0)，即为最优解． 答：至少安排7艘轮船和0架飞机．
• 解答本题可先转化为线性规划问题，再利用
线性规划问题的知识求解，注意车辆数应为 整数．
[解题过程] 设每天从该公司调出A型卡车x辆，B型卡 车y辆，公司每天所花成本为z元，则z＝320x＋504y，其中 x，y满足约束条件 0≤x≤8 0≤y≤4 x＋y≤10 24x＋30y≥180 x，y∈N 0≤x≤8 0≤y≤4 ，即x＋y≤10 4x＋5y≤30 x，y∈N
• 先设仓库A运给甲、乙商店的货物吨数，利