343《简单线性规划的应用》课件北师大版必修5
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高中数学必修五北师大版 简单线性规划的应用 课件(42张)
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的
运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎
样编制调动方案，才能使总运费最小？
②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品
需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额
例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品 .已知生产甲产品 1桶需耗A原料1千
克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产
品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的
计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，
从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、
B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元 / 辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21辆，且B型车不多于A型车7 辆，则租金最少为多少？
解析答案
题型三 实际问题中的整数解问题
模型建立方法.
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可
行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的
方案.
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题型探究
重点突破
题型一
与最大值有关的实际问题
例1
某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书
橱出售.已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板2 m2，生产每个
北师大版高中数学必修五简单线性规划课件
例2.营养学家指出，成人良
好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白 质，0.06 kg的脂肪。1 kg食物A 含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28 元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳 水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元。 假如你是一个主妇你会如何合理 的购买食用食物A和食物B多少 kg呢？
课堂练习
P103 ： １ ，２，
求z=3x＋5y的最大值和最小值， 使式中的x，y满足以下不等式组
A
3, 2
5 2
,
zmax
17
B 2, 1 , zmax 11
5x＋3y≤15 y≤ x＋1 x－5y≤3
【解析】
5x3y1 50
xy10
A
x5y30
B
小结
通过本节课,你有什么收获?
解线性规划问题的步骤:
x 4y 3
3
x
5
y
25
y x 1
x 1
x4y30
x
O
3x5y25 0
在不等式组表示的平面区域内
问题1:x 有无最大（小）值？ 问题2:y 有无最大（小）值？ 问题3:z=2x+y 有无最大（小）值？
y
y2x12
y2x3 任何一个满足不等式组的（x,y）
1 kg食物A含有0.
A(5.00, 2.00)
【解】
x y 5 0,
画
出
满
足
不
等
式
组
x
y
0,
的可行域，如图所示.
1画
y 0.
A
作 直 线 l : 2 x 4 y 0,即 x 2 y 0并 平 移 ， 2移
好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白 质，0.06 kg的脂肪。1 kg食物A 含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28 元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳 水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元。 假如你是一个主妇你会如何合理 的购买食用食物A和食物B多少 kg呢？
课堂练习
P103 ： １ ，２，
求z=3x＋5y的最大值和最小值， 使式中的x，y满足以下不等式组
A
3, 2
5 2
,
zmax
17
B 2, 1 , zmax 11
5x＋3y≤15 y≤ x＋1 x－5y≤3
【解析】
5x3y1 50
xy10
A
x5y30
B
小结
通过本节课,你有什么收获?
解线性规划问题的步骤:
x 4y 3
3
x
5
y
25
y x 1
x 1
x4y30
x
O
3x5y25 0
在不等式组表示的平面区域内
问题1:x 有无最大（小）值？ 问题2:y 有无最大（小）值？ 问题3:z=2x+y 有无最大（小）值？
y
y2x12
y2x3 任何一个满足不等式组的（x,y）
1 kg食物A含有0.
A(5.00, 2.00)
【解】
x y 5 0,
画
出
满
足
不
等
式
组
x
y
0,
的可行域，如图所示.
1画
y 0.
A
作 直 线 l : 2 x 4 y 0,即 x 2 y 0并 平 移 ， 2移
高中数学必修五北师大版 简单线性规划课件(36张)
[分析]
由题目可获取以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值；
1 － y － 2y＋1 2 ②求 z＝ ＝2· 的取值范围． x＋1 x－－1
解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何 知识求最值．
[解析]
解析：由于 z＝ y＋1 y－－1 ＝ ，所以 z 的几何意义是点(x，y)与点 x＋1 x－－1
是多少？
当 x，y 取何值时，z＝3x－2y 取最值，其值
解析：本题是求目标函数 z＝3x－2y 的最值问题，应先画出可行域， 再将目标函数化成直线方程的斜截式，将问题转化为求这条直线经过可 行域时的纵截距的最大值、最小值问题． 3 z 3 作出可行域如图所示． 将目标函数改写成 y＝2x－2， 它表示斜率为2， z 纵截距为－2的平行直线系． 其中过 E 点的那条纵截距最小(这时 z 最大)， 过 B 点的那条纵截距最大(这时 z 最小)，
x＋y－6＝0， 24 6 由 得 E 5 ，5. 2x－3y－6＝0，
24 6 又 B(0,3)，因此当 x＝ 5 ，y＝5时，zmax＝12；当 x＝0，y＝3 时，zmin ＝－6.
求非线性目标函数最值
x－y＋2≥0， [例 2] 已知x＋y－4≥0， 求： 2x－y－5≤0， (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围． x＋1
M(1,1)，则 x＋y 的最小值为 2.
答案：C
x＋y≥0， 3．若 x，y 满足约束条件x－y＋3≥0， 则 z＝2x－y 的最大值为 0≤x≤3， ________．
解析：作出可行域，如图阴影部分所示．作出直线l0：2x－y＝0， 将l0平移至过点A时，函数z＝2x－y有最大值9.
2018学年高中数学北师大版必修5课件：3.4.3 简单线性
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线 l，最先经过或最后经过的整 点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作 图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目 标函数求值，经比较求最优解． (2)调整最值法：先求非整点最优解及最值，再借助不定方程的知识调整最 值，最后筛选出整点最优解．
[再练一题]
1．某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售， 已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产一个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元，如何安排生产可使所得利润最大？
阶简单线性规划的应用
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． (重点) 2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的意识． 3．能够找出实际问题的约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解． (难点)
[基础· 初探]
教材整理
简单线性规划的实际应用
阅读教材 P105～P107“练习”以上部分，完成下列问题． 1．简单线性规划应用问题的求解步骤： (1)设：设出变量 x、y，写出约束条件及目标函数．
作出可行域 ． (2)作：____________
(3)移：作一条直线 l，平移 l，找最优解．
(4)解：联立方程组求最优 ____解，并代入目标函数，求出最值 ____． (5)答：写出答案． 总之，求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组， 求最值． 2．若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整 数解时，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据， 在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点． 可考虑以下方法：
北师大版高中数学必修五课件§4.3简单线性规划的应用.pptx
• 1、已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取 解法1：值由范待围定。系数法:设 解法2：∵-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3
a+3b=m(a+b)+n(a-2b)
∴-2≤2a+2b≤2，
=(m+n)a+(m-2n)b
-3≤2b-a≤-1
∴m+n=1，m-2n=3
∴-1/3≤a≤5/3
怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我 们今天要学习的线性规划问题。
2019/11/9
6
我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2,
纵截距为z的直线,把z看成参y 数,方程表示的是一组平行线．
要求z的范围，现在就
转化为求这一组平行线 x y 4 6 x y 6
解答明显错了．
4
x y 4
从图中我们可以看出
3
解得
3 0
x y
5 2
没错
2 1
D
A
C
但不等式
4 2
x x
y y
6 4
-2 -1 0 1 2 3 4 B 5 6 7 x -1
与不等式
3 x 5 0 y 2
-2
xy4 x y6
所表示的平面区域却不同？
4 x y 6 例1.若实数x,y满足求22x+xy的y取 值4 范围
解法2：由待定系数法:设
2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)y ∴m+n=2，m-n=1 m=3/2，n=1/2
高中数学3.4.3简单线性规划的应用北师大版必修5
30x＋20y＝300， 5x＋10y＝110
(x≥0，y≥0，x，y∈Z)，
得xy＝＝49，， ∴点 M 坐标为(4,9)． 将 x＝4，y＝9 代入目标函数 z＝6x＋8y， 得 z＝6×4＋8×9＝96(百元)为最大． 答：当月供应量为电子琴 4 架、洗衣机 9 台时， 该公司可获得最大利润为 9600 元．
解析：设该人每天服用甲种胶囊 x 粒，乙种胶囊 y 粒，得到维生素 Z z mg，由题意得
x＋3y≤19， x＋2y≤13， 4x＋y≤24， 4x＋3y≥12， x≥0， y≥0，
目标函数为 z＝5x＋2y.
作出不等式组表示的平面区域如图所示，
作出5x＋2y＝0. 把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z ＝5x＋2y取得最大值．
由35xx＋ ＋63yy＝ ＝115500， ， 解得yx＝＝11570700， ， 即点 P 坐标为(1570，1070)． 故每天生产甲种产品1570吨、乙种产品1070吨时，才能 创造最大的经济效益．
[变式训练2] (图表信息题)北京华欣公司计划在今年 内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK智能型”洗衣 机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销 售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定 产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种 产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到 关于这两种产品有关数据如下表：
(2)若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市．当28台 机器全部调完毕后，用x、y表示总运费P，并求P的最大值 和最小值.
解析：第一步，列表、分析条件： 表1
供方
Байду номын сангаас
运费
A
B
高中数学 3.4.3 简单线性规划的应用同步课件 北师大版必修5
第二十九页，共60页。
【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量 为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石 (kuàngshí)至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡 车每辆每天可往返8次，甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙 型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各 多少辆，车队所花成本费最低? 【审题指导】弄清题意，设出与运输成本有关的各型车的辆数， 找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
第二十八页，共60页。
2.求目标函数的最优整数解常有两种处理方法： (1)通过打出网格求整点，关键是作图要准确． (2)先确定区域内点的横坐标范围，确定x的所有整数值，再代回 原不等式组，得出(dé chū)y的一元一次不等式组，再确定y的所 有相应整数值，即先固定x，再用x制约y.
利用图解法求最优整数解时，一定要注意作图要 准确，特别是目标函数对应直线的倾斜程度.
第六页，共60页。
运用线性规划解题时需注意的几点： (1)作图应尽可能地准确，图上操作要规范(guīfàn); (2)明确目标函数的几何意义，即要明白做什么事； (3)一般情况下，最优解在可行域的顶点(有些实际问题可能在附近的 整点)或边界取得，要注意边界的虚实．
第七页，共60页。
第八页，共60页。
第四页，共60页。
线性规划问题的最优解一定(yīdìng)在边界上吗？ 提示：不一定(yīdìng)，若所求问题的最优解是整数解，则最优解 不一定(yīdìng)在边界上．
第五页，共60页。
二、常见的线性规划(xiàn xìnɡ ɡuī huá)问题 1.物资调运问题； 2.产品安排问题； 3.合理下料问题； 4.产品配方问题．
【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量 为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石 (kuàngshí)至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡 车每辆每天可往返8次，甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙 型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各 多少辆，车队所花成本费最低? 【审题指导】弄清题意，设出与运输成本有关的各型车的辆数， 找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
第二十八页，共60页。
2.求目标函数的最优整数解常有两种处理方法： (1)通过打出网格求整点，关键是作图要准确． (2)先确定区域内点的横坐标范围，确定x的所有整数值，再代回 原不等式组，得出(dé chū)y的一元一次不等式组，再确定y的所 有相应整数值，即先固定x，再用x制约y.
利用图解法求最优整数解时，一定要注意作图要 准确，特别是目标函数对应直线的倾斜程度.
第六页，共60页。
运用线性规划解题时需注意的几点： (1)作图应尽可能地准确，图上操作要规范(guīfàn); (2)明确目标函数的几何意义，即要明白做什么事； (3)一般情况下，最优解在可行域的顶点(有些实际问题可能在附近的 整点)或边界取得，要注意边界的虚实．
第七页，共60页。
第八页，共60页。
第四页，共60页。
线性规划问题的最优解一定(yīdìng)在边界上吗？ 提示：不一定(yīdìng)，若所求问题的最优解是整数解，则最优解 不一定(yīdìng)在边界上．
第五页，共60页。
二、常见的线性规划(xiàn xìnɡ ɡuī huá)问题 1.物资调运问题； 2.产品安排问题； 3.合理下料问题； 4.产品配方问题．
高中数学北师大版必修5 简单线性规划 课件(38张)
4．2
简单线性规划
4．3 简单线性规划的应用• 学习导航1.了解可行域、可行解、约束条件、线性约束条 件、目标函数、线性目标函数、最优解等概念． 学习 2．掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定 目标 最优解的方法．(重点) 3．会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划 问题．(难点) 求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行 学法 域，再作出目标函数对应的直线，然后根据题意 指导 确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值.
求线性目标函数的最值
2y≤x， 设 z＝ 2x＋ y 中的变量 x，y 满足条件x＋ y≤ 1， y≥－1， 求 z 的最大值和最小值． (链接教材 P101 例 6、 P103 例 7)
2y≤x， [解 ] 约束条件为x＋ y≤ 1， y≥－ 1， 作出可行域，如图所示的阴影部分．
视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规
定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公 司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分 配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大，最大收益是多少万元？
(链接教材P105例9)
[解 ] (1)模型建立． 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分 钟和 y 分钟，总收益为 z 元， x＋ y≤ 300， 由题意得约束条件为500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥ 0. 目标函数为 z＝ 3 000x＋2 000y. (2)模型求解． x＋ y≤ 300， 二元一次不等式组等价于5x＋ 2y≤ 900， x≥0， y≥ 0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域． 如图， 3 z 把 z＝ 3 000x＋2 000y 变形为 y＝－ x＋ ， 得到斜率为－ 2 2 000 3 z ，在 y 轴上的截距为 的一组平行直线． 2 2 000
简单线性规划
4．3 简单线性规划的应用• 学习导航1.了解可行域、可行解、约束条件、线性约束条 件、目标函数、线性目标函数、最优解等概念． 学习 2．掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定 目标 最优解的方法．(重点) 3．会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划 问题．(难点) 求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行 学法 域，再作出目标函数对应的直线，然后根据题意 指导 确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值.
求线性目标函数的最值
2y≤x， 设 z＝ 2x＋ y 中的变量 x，y 满足条件x＋ y≤ 1， y≥－1， 求 z 的最大值和最小值． (链接教材 P101 例 6、 P103 例 7)
2y≤x， [解 ] 约束条件为x＋ y≤ 1， y≥－ 1， 作出可行域，如图所示的阴影部分．
视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规
定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公 司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分 配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最 大，最大收益是多少万元？
(链接教材P105例9)
[解 ] (1)模型建立． 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分 钟和 y 分钟，总收益为 z 元， x＋ y≤ 300， 由题意得约束条件为500x＋200y≤90 000， x≥0， y≥ 0. 目标函数为 z＝ 3 000x＋2 000y. (2)模型求解． x＋ y≤ 300， 二元一次不等式组等价于5x＋ 2y≤ 900， x≥0， y≥ 0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域． 如图， 3 z 把 z＝ 3 000x＋2 000y 变形为 y＝－ x＋ ， 得到斜率为－ 2 2 000 3 z ，在 y 轴上的截距为 的一组平行直线． 2 2 000
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，
24x＋30y≥180
4x＋5y≤30
x，y∈N
x，y∈N
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
• 作直线l′：320x＋504y＝0， • 作一组与l′平行的直线l：320x＋504y＝t(t∈R)， • 由题设x，y是可行域内的整点的横、纵坐标． • 在可行域内的整点中，点(8,0)使t取最小值， • 即当l过点(8,0)时，t最小， • 即zmin＝8×320＝2 560(元)． • 答：每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务，
• 答：企业可获得的最大利润为27万元．
• [题后感悟] 线性规划的应用问题，关键是
根据题目正确的列出变量的约束条件与目 标函数，准确地画出可行域，确定其最优 解．
• 1.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产
品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作 日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg可获 利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现 在此工厂只有煤360 t，电力200 KW，劳动力 300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克获得最大经济效益？
• 解答本题可先转化为线性规划问题，再利用
线性规划问题的知识求解，注意车辆数应为
整数．
[解题过程] 设每天从该公司调出A型卡车x辆，B型卡 车y辆，公司每天所花成本为z元，则z＝320x＋504y，其中 x，y满足约束条件
0≤x≤8
0≤x≤8
0≤y≤4 x＋y≤10
0≤y≤4
，即x＋y≤10
解析： 设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车
2x＋2y≤20 皮数．由题意得9x＋5y≤70，
x≥0，y≥0
工厂利润z＝8 000x＋6 000y.
由29xx＋ ＋25yy＝ ＝2700 得xy＝ ＝55’
• 即当直线8 000x＋6 000y－z＝0过(5,5)点时，z
取得最大值．
• 即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大
部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量 是否为正整数或有其他范围的限制．
• 2.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装
置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳， 已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每 张面积2 m2，可做A，B外壳分别为3个和5个， 乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A，B外壳各6 个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用 料解面析积： 最设小用．甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则
53xx＋＋66yy≥≥5455，， x≥0，y≥0，
所以总面积为z＝2x＋3y.
作出可行域如图所示．当直线经过交点A时，z取得最 小值．
由35xx＋ ＋66yy＝ ＝4555， ， 得xy＝ ＝55， .
• 所以zmin＝2×5＋3×5＝25. • 即甲、乙两种钢板各用5张时，能保证制造
A，B两种外壳的数量，同时又能使总的用 料面积最小．
300x＋150y≥2 000
6x＋3y≥40
250x＋100y≥1 500
5x＋2y≥30
则有x≥0
，即x≥0，Biblioteka y≥0y≥0x，y∈N
x，y∈N
目标函数为：z＝x＋y.作出可行域，如图所示，
作出直线l0：x＋y＝0，平移直线经过直线6x＋3y－40＝ 0和y＝0的交点A230，0得直线l1的方程为x＋y＝230.由于230不 是整数，而最优解(x，y)中x，y必须都是整数，所以，可行 域内点 230，0 不是最优解．经过可行域内的整点(横、纵坐 标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是 (7,0)，即为最优解．
题形式考查.
• 1．线性目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)把直
线l0：ax＋by＝0向右平增大移时，所对应的z随之
，减小把l0向左平移时，所对首应先的z随之
最后．在平移过程中与可行域
相交的
点和 相交的点，可使目标函数z＝ax＋by＋
c取得2．最设z值＝2．x＋也y，就其是中最变量优x，解y满．足条件
• 则z问＝x题－2转y＋化12为6在求约总束条运件费8x＋－yy－≥70≥0
x≥0
0≤x≤7
y≥0
即在0x＋≤yy≥≤78
下的最小值．
x＋y≤12
作出上述不等式组所表示的平面区
域，即可行域，
作出直线l：x－2y＝0，把直线l作
平行移动，显然当直线l移动到过点
A(0,8)时，在可行域内，z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－ 2×8＋126＝110.
如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货 物到三个商店的总运费最少？
• 先设仓库A运给甲、乙商店的货物吨数，利
用题设等量关系表示出其他运物吨数，从而 表示出目标函数—总运费，列出线性约束条
件，建立线性规划模型．
• [解题过程] 将实际问题的一般语言翻译成数
学语言可得下表(即运费表，单位：元)
商店 每吨运费 甲 乙 丙 仓库
• 利用线性规划的方法解决实际问题的过程可分
为假设分配方案、确定目标函数、列出约束条 件、画出可行域、确定最优解、确定目标函数 最值、回归实际问题．
• 1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，
设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆，
则要运送最多的货物，完成这项运输任务的线
性目标函数为( )
• 3.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两
种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输
效果见下表：
方式 轮船运 飞机运
效果
输量 输量
种类
(t) (t)
粮食
300 150
• 现在要在一石天油内运输2205000t粮食10和01 500t石油需
至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
解析： 设需要安排x艘轮船和y架飞机，
• (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以
判断；
• (3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限
法把关系理清．
• 线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题
中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定 一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的 人力、物力、资金等资源来完成这项任务．
• 在生产和生活中，常用于：①下料问题；②优
化安排活动问题；③优化运营问题等．
• 答案： 8
• 3．有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生
产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要 原料和产生的利润分别为：磷酸盐2 t，硝酸盐 9 t，利润8 000元或磷酸盐2 t，硝酸盐5 t，利 润6 000元．工厂现有库存磷酸盐20 t，硝酸盐 70 t，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最 大利润？
3x－x＋45y≤y≤－253，， x≥1.
z的最大值和最小值分别为12,3 .
• 线性规划的应用
• 线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范
围之下的最大值或最小值的问题限，制条其件关键是列
出所有
，不能有遗漏的部分，如有时变
量要求目标为函正数实数或自然数，其次是准确找到 ，如果数量关系多而杂，可以用列表等方
且公司所花成本费最低．
• [题后感悟] 对于线性规划中的最优整数解的
问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可 用下面的方法求解：
• (1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描
整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整 点坐标是整点最优解．
• (2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，
也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比 较得最优解．
• 4．3 简单线性规划的应用
• 1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性
规划问题，并能加以解决．
• 2.培养学生应用线性规划的有关知识解决实际
问题的意识.
• 1.对利用线性规划解决实际问题的考查是本节
的热点．
• 2.本节内容常与实际问题结合问题．
• 3.多以选择题、填空题形式考查，也可以解答
• A．z＝6x＋4y
B．z＝5x＋4y
• C．z＝x＋y
D．z＝4x＋5y
• 答案： A
• 2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，
用料要求如表所示(单位：千克)
药剂 原料甲 乙
A
25
• 药剂A、B至少各B 配一剂，且5药剂A4、B每剂售
价分别为100元、200元．现有原料甲20千克，
原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为
• (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，
从而将实际问题转化为数学上的线性规划问 题．
• (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
• (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
• 2．解答线性规划应用题应注意的问题
• (1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的
条件较多，因此认真审题非常重要；
A
869
• 设仓库A运给甲B、乙商店3的货物4 分别5 为x吨、y
吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)
吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应
分别为(7－x)吨，(8－y)吨，[5－(12－x－y)]吨，
即(x＋y－7)吨，于是总运费为
• z＋＝58(xx＋＋y6－y＋7)9＝(1x2－－2xy－＋17y12－)－2＋x6≥x.－30(y7≥－0 x)＋4(8－y)
答：至少安排7艘轮船和0架飞机．
• 1．解答线性规划应用题的一般步骤： • (1) 审 题 —— 仔 细 阅 读 ， 对 关 键部 分 进行 “ 精
读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件， 起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用 题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的 关系，有时可借助表格来理顺．
• 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少