2017盐城市盐都区九年级数学上期中试卷(有答案和解释)

2017盐城市盐都区九年级数学上期中试卷（有答案和解释）2016-2017学年江苏省盐城市盐都区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．1．下列方程为一元二次方程的是（）A．ax2﹣bx+=0（a、b、为常数）B．x（x+3）=x2﹣1．x（x﹣2）=3D．2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A．1条B．2条．3条D．无数条3．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有．有两个相等的实数根D．没有实数根4．⊙的半径为，点A到圆心的距离A=3，则点A与圆的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内．点A在圆外D．无法确定．已知△AB的三边长分别为6，8，10，此三角形外接圆的半径为（）A．10B．6．4D．6．如图，△AB内接于⊙，D⊥B于D，∠A=0°，则∠D的度数是（）A．40°B．4°．0°D．60°7．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2= B．（1+x）2= ．1+2x= D．1+2x=8．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁N竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A．B．．D．二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．9．一元二次方程x2=2x的根是．10．已知⊙的半径为，圆心到直线l的距离为4，那么直线l与⊙的位置关系是．11．在圆内接四边形ABD中，∠B=2∠D，则∠B=．12．半径为2的圆的内接正六边形的边长为．13．直径为12的⊙中，弦AB=6，则弦AB所对的圆周角是．14．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★=32﹣3×3+，若x★2=6，则实数x的值是．1．如图，一块直角三角板AB的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是8°，则∠AD的度数为．16．如图，AB是⊙的弦，AB=4，点是⊙上的一个动点，且∠AB=4°．若点，N分别是AB，B的中点，则N长的最大值是．17．若非零实数a、b、满足4a﹣2b+=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+=0一定有一个根为．18．如图，已知直线= x﹣3与x轴、轴分别交于A、B两点，P在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB 面积的最大值是．三、解答题：本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出字说明、推理过程或演算步骤．19．解下列方程（1）x2+6x=0；（2）x2﹣x+3=0（用配方法解）20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径．21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．22．如图，AB是⊙的直径，点在⊙上，过点的切线交AB的延长线于点D，∠AD=120°．（1）求证：A=D；（2）若⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积．23．如图，线段AB 的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段A．（1）请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段A及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点的坐标为；（3）线段AB在旋转到线段A的过程中，线段AB扫过区域的面积为；（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为．24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条：如果一次性购买不超过10，单价为80元；如果一次性购买多于10，那么每增加1，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于0元．按此优惠条，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少这种服装？2．如图，Rt△AB中，∠AB=90°以AB为直径的⊙交AB于点D，点E为B的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙的切线．（2）若∠BA=30°，DE=3，求AD的长．26．若一元二次方程ax2+bx+=0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1x2= ．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：（1）应用一：用检验解方程是否正确．本卷第19题中的第（2）题是：解方程x2﹣x+3=0检验：先求x1+x2=，x1x2=．再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）（2）应用二：用求一些代数式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；②若、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根，求代数式2++n的值．27．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△AB中，AB=A，∠BA=90°，D是△AB外一点，且AD=A，求∠BD的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点、D必在⊙A上，∠BA是⊙A的圆心角，而∠BD是圆周角，从而可容易得到∠BD=°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABD中，∠BAD=∠BD=90°，∠BD=2°，求∠BA的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△AD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BA的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△AB中，∠BA=4°，AD是B边上的高，且BD=6，D=2，求AD的长．28．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、轴于点A、B，⊙的半径为2 个单位长度，点P为直线=﹣x+8上的动点，过点P作⊙的切线P、PD，切点分别为、D，且P⊥PD．（1）试说明四边形PD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）若直线=﹣x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线1=﹣x+b，此直线将⊙的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；（4）若将⊙沿x轴向右平移（圆心始终保持在x轴上），试写出当⊙与直线=﹣x+8有交点时圆心的横坐标的取值范围．（直接写出答案）2016-2017学年江苏省盐城市盐都区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．1．下列方程为一元二次方程的是（）A．ax2﹣bx+=0（a、b、为常数）B．x（x+3）=x2﹣1．x（x﹣2）=3D．【考点】一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程必须满足四个条：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条对四个选项进行验证，满足这四个条者为正确答案．【解答】解：A、缺少a≠0，不是一元二次方程；B、整理后为3x+1=0，不是一元二次方程；、整理后为x2﹣2x﹣3=0，是一元二次方程；D、含有分式，不是一元二次方程．故选：．2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A．1条B．2条．3条D．无数条【考点】生活中的轴对称现象．【分析】根据圆的性质：沿经过圆心的任何一条直线对折，圆的两部分都能重合，即可得到经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴，据此即可判断．【解答】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条．故选D．3．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有．有两个相等的实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】先计算△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4，由于4a2≥0，则4a2+4＞0，即△＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断即可．【解答】解：△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4，∵4a2≥0，∴4a2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．4．⊙的半径为，点A到圆心的距离A=3，则点A与圆的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内．点A在圆外D．无法确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙的半径为，点A到圆心的距离为3，即点A到圆心的距离小于圆的半径，∴点A在⊙内．故选B．．已知△AB的三边长分别为6，8，10，此三角形外接圆的半径为（）A．10B．6．4D．【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△AB为直角三角形，斜边长为10，然后利用直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解．【解答】解：∵62+82=102，∴△AB为直角三角形，斜边长为10，∴△AB的外接圆的直径为10，∴此三角形外接圆的半径为．故选D．6．如图，△AB内接于⊙，D⊥B于D，∠A=0°，则∠D的度数是（）A．40°B．4°．0°D．60°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】首先连接B，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠B的度数，又由B=，根据等边对等角的性质，即可求得∠D的度数．【解答】解：连接B，∵∠A=0°，∴∠B=2∠A=100°，∵B=，∴∠D=∠B= =40°．故选：A．7．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2= B．（1+x）2= ．1+2x= D．1+2x=【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】股票一次跌停就跌到原价格的90%，再从90%的基础上涨到原的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．【解答】解：设平均每天涨x．则90%（1+x）2=1，即（1+x）2= ，故选B．8．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁N竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A．B．．D．【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．【分析】先连接P，易知P是Rt△AB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得P= AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么P就是一个定值，那么P点就在以为圆心的圆弧上．【解答】解：如右图，连接P，由于P是Rt△AB斜边上的中线，所以P= AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是P是一个定值，点P就在以为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．9．一元二次方程x2=2x的根是x1=0，x2=2．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．【解答】解：移项，得x2﹣2x=0，提公因式得，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．10．已知⊙的半径为，圆心到直线l的距离为4，那么直线l与⊙的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意得出d＜r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．【解答】解：∴⊙的半径为，如果圆心到直线l的距离为4，∴4＜，即d＜r，∴直线l与⊙的位置关系是相交．故答案为：相交．11．在圆内接四边形ABD中，∠B=2∠D，则∠B=120°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可．【解答】解：∵四边形ABD是圆内接四边形，∴∠B+∠D=180°，又∵∠B=2∠D，∴∠D= ×180°=120°；故答案为：120°．12．半径为2的圆的内接正六边形的边长为2．【考点】正多边形和圆．【分析】不妨设⊙的内接正六边形为ABDEF，连接A、B，则可证明△AB为等边三角形，可求得边长．【解答】解：如图，⊙的内接正六边形为ABDEF，连接A、B，∵六边形ABDEF为正六边形，∴∠AB= =60°，∴△AB为等边三角形，∴AB=A=2，故答案为：2．13．直径为12的⊙中，弦AB=6，则弦AB所对的圆周角是30°或10°．【考点】圆周角定理．【分析】连接A、B，如图，先证明△AB为等边三角形得到∠AB=60°，则利用圆周角定理得到∠AB= ∠AB=30°，再利用圆内接四边形的性质得到∠A′B=10°，从而得到弦AB所对的圆周角．【解答】解：连接A、B，如图，∵A=B=AB，∴△AB为等边三角形，∴∠AB=60°，∴∠AB= ∠AB=30°，∴∠A′B=180°﹣∠AB=10°，即弦AB所对的圆周角为30°或10°．故答案为30°或10°．14．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★=32﹣3×3+，若x★2=6，则实数x的值是﹣1或4．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，解得：x1=4，x2=﹣1，则实数x的值是﹣1或4．故答案为：﹣1或41．如图，一块直角三角板AB的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是8°，则∠AD的度数为61°．【考点】圆周角定理．【分析】首先连接D，由直角三角板AB的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，，D共圆，又由点D对应的刻度是8°，利用圆周角定理求解即可求得∠BD的度数，继而求得答案．【解答】解：连接D，∵直角三角板AB的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，，D共圆，∵点D对应的刻度是8°，∴∠BD=8°，∴∠BD= ∠BD=29°，∴∠AD=90°﹣∠BD=61°．故答案为：61°．16．如图，AB是⊙的弦，AB=4，点是⊙上的一个动点，且∠AB=4°．若点，N分别是AB，B的中点，则N长的最大值是 2 ．【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据中位线定理得到N的最大时，A最大，当A最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点，N分别是AB，B的中点，∴N= A，∴当A取得最大值时，N就取得最大值，当A时直径时，最大，如图，∵∠AB=∠D=4°，AB=4，∴AD=4 ，∴N= AD=2 ，故答案为：2 ．17．若非零实数a、b、满足4a﹣2b+=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+=0一定有一个根为x=﹣2．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣2代入方程ax2+bx+=0能得出4a﹣2b+=0，即可得出答案．【解答】解：当把x=﹣2代入方程ax2+bx+=0能得出4a﹣2b+=0，即方程一定有一个根为x=﹣2，故答案为：x=﹣2．18．如图，已知直线= x﹣3与x轴、轴分别交于A、B两点，P在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB 面积的最大值是．【考点】一次函数综合题．【分析】过点作D⊥AB于D，延长DP交⊙于另一点P′，此时△P′AB 的面积最大，将x=0、=0代入= x﹣3中求出与之相对应的、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由∠AB=∠BD、∠AB=∠DB=90°即可证出△AB∽△DB，再根据相似三角形的性质求出D的长度，将其+1即可得出DP′的长度，利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值．【解答】解：过点作D⊥AB于D，延长DP交⊙于另一点P′，此时△P′AB 的面积最大，如图所示．当x=0时，=﹣3，∴点B（0，﹣3）；当= x﹣3=0时，x=4，∴点A（4，0）．∵点（0，1），∴B=1﹣（﹣3）=4，A=4，B=3，AB= =．∵∠AB=∠BD，∠AB=∠DB=90°，∴△AB∽△DB，∴，∴D= = ，∴DP′=D+P′= +1= ．∴S△P′AB= AB•P′D= ×× = ．故答案为：．三、解答题：本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出字说明、推理过程或演算步骤．19．解下列方程（1）x2+6x=0；（2）x2﹣x+3=0（用配方法解）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得．【解答】解：（1）∵x（x+6）=0，∴x=0或x+6=0，解得：x=0或x=﹣6；（2）x2﹣x=﹣3，x2﹣x+ =﹣3+ ，即（x﹣）2= ，∴x﹣=±，即x1= ，x2= ．20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD= AB= ×16=8，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．【解答】解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点连接A，作弦A的垂直平分线，两线交点作为圆心，A作为半径，画圆即为所求图形．（2）过作E⊥AB于D，交弧AB于E，连接B．∵E⊥AB∴BD= AB= ×16=8由题意可知，ED=4设半径为x，则D=（x﹣4）在Rt△BD中，由勾股定理得：D2+BD2=B2∴（x﹣4）2+82=x2解得x=10．即这个圆形截面的半径为10．21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4a＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4a=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．如图，AB是⊙的直径，点在⊙上，过点的切线交AB的延长线于点D，∠AD=120°．（1）求证：A=D；（2）若⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）连接，由切线的性质可求得∠A=∠D，可证得结论；（2）在Rt△D中可求得D，D，可求得△D的面积和扇形B的面积，再利用面积差可求得阴影部分面积．【解答】（1）证明：如图，连接，∵D切⊙于点，∴∠D=90°，∴∠A=∠A=30°，∠AD=30°，∴∠A=∠D，∴A=D；（2）解：由（1）知∠D=90°，∠AD=30°，∠D=60°，∴D=2=4，D=2 ，∴S△D= D•= ×2 ×2=2 ，S扇形B= = ，∴S阴影=S△D﹣S扇形B=2 ﹣．23．如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段A．（1）请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段A及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点的坐标为（，0）；（3）线段AB在旋转到线段A的过程中，线段AB扫过区域的面积为；（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为．【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算；圆锥的计算．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接建立坐标系得出答案；（3）直接利用扇形面积公式求法进而得出答案；（4）直接利用弧长等于圆锥的底面周长进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：点B经过的路径为弧B；（2）如图所示：点的坐标为：（，0）；故答案为：（，0）；（3）线段AB在旋转到线段A的过程中，线段AB扫过区域的面积为：= ；故答案为：；（4）设该圆锥底面圆的半径长为r，由题意可得：= = π，则2πr= π，解得：r= ．故答案为：．24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条：如果一次性购买不超过10，单价为80元；如果一次性购买多于10，那么每增加1，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于0元．按此优惠条，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少这种服装？【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据一次性购买多于10，那么每增加1，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【解答】解：设购买了x这种服装且多于10，根据题意得出：[80﹣2（x﹣10）]x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞0元，符合题意；当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜0元，不合题意，舍去；答：她购买了20这种服装．2．如图，Rt△AB中，∠AB=90°以AB为直径的⊙交AB于点D，点E为B的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙的切线．（2）若∠BA=30°，DE=3，求AD的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）如图，作辅助线；根据题意结合图形，证明∠DE=90°，即可解决问题．（2）首先求出B=6，进而求出BD的值；运用直角三角形的性质求出AD的值，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接D、BD，∵AB为⊙的直径，∴∠ADB=∠DB=90°；又∵点E为B的中点，∴BE=DE，∴∠BDE=∠EBD；∵A=D，∴∠AD=∠DA；又∵∠AD+∠BD=90°，∠EBD+∠BD=90°，∴∠AD=∠EBD，即∠DA=∠BDE；∴∠DE=∠BDE+∠DB=∠DA+∠DB=90°，又∵点D在⊙上，∴DE是圆⊙的切线．（2）解：由（1）知B=2DE=6，又∵∠BD=∠BA=30°，∴D=3，BD=3∴AB=6 ；由勾股定理得：AD=9．26．若一元二次方程ax2+bx+=0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1x2= ．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：（1）应用一：用检验解方程是否正确．本卷第19题中的第（2）题是：解方程x2﹣x+3=0检验：先求x1+x2=，x1x2=3．再将你解出的两根相加、相乘，即可判断解得的根是否正确．（本小题完成填空即可）（2）应用二：用求一些代数式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）值；②若、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根，求代数式2++n的值．【考点】根与系数的关系．【分析】（1）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=、x1x2=3，此题得解；（2）①根据根与系数的关系可得出x1+x2=4、x1x2=2，将（x1﹣1）（x2﹣1）展开代入数值即可得出结论；②根据根与系数的关系以及一元二次方程的解可得出+n=﹣4、n=﹣2016、2+4=2016，将其代入2++n中即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，得：x1+x2=﹣=，x1x2= =3．故答案为：；3．（2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣=4，x1x2= =2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=2﹣4+1=﹣1；②∵、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根，∴+n=﹣4，n=﹣2016，2+4=2016，∴2++n=2+4+（+n）=2016+（﹣4）=2012．27．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△AB中，AB=A，∠BA=90°，D是△AB外一点，且AD=A，求∠BD的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点、D必在⊙A上，∠BA是⊙A的圆心角，而∠BD是圆周角，从而可容易得到∠BD=4°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABD中，∠BAD=∠BD=90°，∠BD=2°，求∠BA 的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△AD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BA的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△AB中，∠BA=4°，AD是B边上的高，且BD=6，D=2，求AD的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、、D共圆，得出∠BD=∠BA，（3）如图3，作△AB的外接圆，过圆心作E⊥B于点E，作F⊥AD 于点F，连接A、B、．利用圆周角定理推知△B是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE=F=2；在等腰Rt△BE中，利用勾股定理得到E=DF=4；则在Rt△AF中，易得AF=2 ，故AD=2 +4．【解答】解：（1）如图1，∵AB=A，AD=A，∴以点A为圆心，点B、、D必在⊙A上，∵∠BA是⊙A的圆心角，而∠BD是圆周角，∴∠BD= ∠BA=4°，故答案是：4；（2）如图2，取BD的中点，连接A、．∵∠BAD=∠BD=90°，∴点A、B、、D共圆，∴∠BD=∠BA，∵∠BD=2°，∴∠BA=2°，（3）如图3，作△AB的外接圆，过圆心作E⊥B于点E，作F⊥AD 于点F，连接A、B、．∵∠BA=4°，∴∠B=90°．在Rt△B中，B=6+2=8，∴B==4 ．∵E⊥B，为圆心，∴BE= B=4，∴DE=F=2．在Rt△BE中，B=4 ，BE=4，∴E=DF=4．在Rt△AF中，A=4 ，F=2，∴AF=2 ，∴AD=2 +4．28．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、轴于点A、B，⊙的半径为2 个单位长度，点P为直线=﹣x+8上的动点，过点P作⊙的切线P、PD，切点分别为、D，且P⊥PD．（1）试说明四边形PD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）若直线=﹣x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线1=﹣x+b，此直线将⊙的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；（4）若将⊙沿x轴向右平移（圆心始终保持在x轴上），试写出当⊙与直线=﹣x+8有交点时圆心的横坐标的取值范围．（直接写出答案）【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接、D，如图甲，根据切线的性质得⊥P，PD⊥PD，加上\P⊥PD，则可判断四边形PD为矩形，然后利用=D可判断四边形PD为正方形；（2）作PF⊥x轴于F，如图甲，利用正方形的性质得P= D=2 ，设P （t，﹣t+8），利用勾股定理得到t2+（﹣t+8）2=（2 ）2，然后解方程求出t即可得到P点坐标；（3）如图乙，利用直线1=﹣x+b将⊙的圆周分得两段弧长之比为1：3可得到直线1=x+b与坐标的交点A和点B为⊙与坐标的交点，然后讨论：当点A和点B都在坐标轴的正半轴上或当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，易得b的值为±2 ；（4）先确定A点和B点坐标，再判断△AB为等腰直角三角形，则∠AB=4°，然后讨论：当圆移动到点′时与直线AB相切，作′⊥AB，如图丙，根据切线的性质得′=2 ，利用等腰直角三角形的性质得B′= ′B=2 ，则′=8﹣2 ，所以点′的坐标为（8﹣2 ，0）；当圆移动到点″时与直线AB相切，作″N⊥AB，如图丙，同理可得B″=2 ，则′=8+2 ，所以点″的坐标为（8+2 ，0），于是根据直线与圆的位置关系可得到⊙与直线=﹣x+8有交点时圆心的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）四边形PD为正方形．理由如下：连接、D，如图甲，∵P和PD为切线，∴⊥P，PD⊥PD，而\P⊥PD，∴∠P=∠DP=∠PD=90°，∴四边形PD为矩形，而=D，∴四边形PD为正方形；（2）作PF⊥x轴于F，如图甲，∵四边形PD为正方形，∴P= D= •2 =2 ，设P（t，﹣t+8），∴t2+（﹣t+8）2=（2 ）2，解得t1=2，t2=6，∴P点坐标为（2，6）或（6，2）；（3）如图乙，∵直线1=﹣x+b将⊙的圆周分得两段弧长之比为1：3，即直线1=﹣x+b将⊙的圆周分得的劣弧为圆周的，∵直线1=﹣x+b与坐标轴的夹角为4°，∴直线1=x+b与坐标的交点A和点B为⊙与坐标的交点，当点A和点B都在坐标轴的正半轴上时，b=2 ；当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，b=﹣2 ，即b的值为±2 ；（4）当x=0时，=﹣x+8=8，则A（0，8），当=0时，﹣x+8=0，解得x=8，则B（8，0），∴A=B，∴△AB为等腰直角三角形，∴∠AB=4°，当圆移动到点′时与直线AB相切，作′⊥AB，如图丙，则′=2 ，∵∠B′=4°，∴△′B为等腰直角三角形，∴B′= ′B=2 ，∴′=8﹣2 ，∴点′的坐标为（8﹣2 ，0），当圆移动到点″时与直线AB相切，作″N⊥AB，如图丙，同理可得B″=2 ，∴′=8+2 ，∴点″的坐标为（8+2 ，0），∴当⊙与直线=﹣x+8有交点时圆心的横坐标的取值范围为8﹣2 ≤≤8+2 ．2017年2月24日。