运筹学资料3多目标规划1
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
多目标规划方法讲义
max(min)Z f1( x1, x2,, xn )
i ( x1, x2,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f
min j
fj
f
max j
(
j
2,3,,
k)
方法四 目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1( X )
min
F
(
x
)
min
f2
(X
)
fk
(
X
)
1
(
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描 写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
Z F ( X ) max(min) f2 ( X )
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题 有了新的限制，既目标约束。
目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起 作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
目标规划的图解法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
运筹学目标规划
目标规划举例
• 例1. 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据如 表。试求获利最大的生产方案。
产品I 产品II 拥有量 1 11 原材料(kg) 2 1 2 10 设备(hr) 10 利润(元/件) 8
• • • • •
实际上，工厂在作决策时，要考虑一系列因素： (1) 产品I的产量不大于产品II； (2)原材料超过时，采购成本增加； (3) 设备台时尽量用完； (4) 尽可能达到并超过计划利润指标56元。
第 5章
目标规划
(Goal programming)
第1节 目标规划的数学模型
第2节 目标规划的图解法
第3节 目标规划的单纯形法
第1节 目标规划的数学模型 一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管 理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函 数取得最优解，在实际问题中，可能会同时考虑几个 方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好， 利润最大，环境达标，运输满足等。 目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系， 求得更切合实际要求的解。
解: 分析 第一目标：min z1= P 1d1
设备(台时) 单件利润
1 8
2 10
10
第二目标：min z2= P (d d )
第三目标：min z3= P d
2 2 3 3
2
规划模型：
min Z P d P2 (d d ) P3d 2 x1 x2 11 x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x 10 x d d 56 1 2 3 3 x1, 2 0, d , d 0 ( j 1 , 2 , 3 ) j j
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
运筹学
目标规划
( Goal programming )
本章主要内容：
目标规划问题及其数学模型
目标规划问题及其数学模型
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问题的提出：
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目 标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。
由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复 杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
含量 食物
甲
乙
成分
A1 A2 A3 原料单价
0.1
0.15
1.7
0.75
1.10 1.30
2
1.5
最低 需要量
1.00 7.50 10.00
线性规划在管理中的应用
解：设Xj 表示Bj 种食物用量
min Z 2 x1 1.5 x2
0.10x1 0.15x2 1.00
1.7 1.1
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
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运筹学简述
Page 6
运筹学（Operations Research） 运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：
“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
x5 x6 30
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。
多目标规划及案例
• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
∗1 ∗
微积分
5
∗2 ∗
线性代数
4
∗ 3 ∗ 最优化方法
4
4
数据结构
3
5∗
应用统计
4
∗6
计算机模拟
3
∗ 7 ∗ 计算机编程
2
8
预测理论
2
∗9 ∗
数学实验
3
9
增加约束 ∑ xi = 6 ， i =1
A/(h/件)
22
12
B/(h/件)
40
16
C/(h/件)
05
15
赢利/(元/件) 200 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型
设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型：
Max z = 200 x1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤12,
4x1 ≤16,
5x2 ≤15,
x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优
解
x1 = 3, x2 = 3, z* = 1500.
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
Max
s. t.
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎪⎧min{d −}; ⎪⎩⎨200x1 + 300x2 + d − − d + = 1500.
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
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多目标的综合
•线性规划致力于某个目标函数的 最优解， 最优解，这个最优解若是超过了实 际的需要， 际的需要，很可能是以过分地消耗 了约束条件中的某些资源作为代价。 了约束条件中的某些资源作为代价。 •线性规划把各个约束条件的重要 性都不分主次地等同看待， 性都不分主次地等同看待，这也不 符合实际情况。 符合实际情况。
1 2 3
270 270 260
108 80 80
130 160 120
目标：（ ：（1 利润达到280百元；（2 百元；（ 目标：（1）利润达到280百元；（2） 钢材不超过100吨 工时不超过120 钢材不超过100吨，工时不超过120 小时； 小时； 对于（ ），三个方案都没有完成 三个方案都没有完成。 对于（1），三个方案都没有完成。 但方案3离目标最远，方案3最差。 但方案3离目标最远，方案3最差。 方案1 方案1与（2）的差距： 的差距： 工时损失= 工时损失= （108-100）*5+（130-120）*1=50 108-100） 5+（130-120）
产品 /资源 资源 原材料钢 （吨）
甲 2 4 6
乙 3 2 4
可利用 的资源 总量 100 120
加工时间（ 小时） 加工时间 （ 小时 ） 单位利润（ 百元） 单位利润 （ 百元 ）
如何安排生产，使利润达到最大。 如何安排生产，使利润达到最大。 用单纯形法求得最优解= 20，20） 用单纯形法求得最优解=（20，20） 最优值=200（百元） 最优值=200（百元）
（3）不使A、B车间停工（权数由 不使A 车间停工（ 生产费用确定）； 生产费用确定）； （4）A车间加班时间限制在20小时 车间加班时间限制在20小时 内； （5）每月销售录音机为100台； 每月销售录音机为100台 （6）两车间加班时数总和要尽可 能小（权数由生产费用确定）； 能小（权数由生产费用确定）；
目标：（ ：（1 利润达到280百元；（2 百元；（ 目标：（1）利润达到280百元；（2） 钢材不超过100吨 工时不超过120小 钢材不超过100吨，工时不超过120小 时； 方案1与方案3都达到了（ ），又没 方案1与方案3都达到了（1），又没 达到（ 达到（2） 方案1 方案1与（2）的差距： 的差距： 工时损失 =（110-100）*5+（130-120）*1=60 110-100） 5+（130-120）
目标优先级作如下约定： 目标优先级作如下约定：
•对同一个目标而言，若有几个 对同一个目标而言， 决策方案都能使其达到， 决策方案都能使其达到，可认为 这些方案就这个目标而言都是最 优方案；若达不到， 优方案；若达不到，则与目标差 距越小的越好。 距越小的越好。
目标优先级作如下约定：
• 不同级别的目标的重要性是不可 比的。 比的。即较高级别的目标没有达到 的损失， 的损失，任何较低级别的目标上的 收获都不可弥补。 收获都不可弥补。所以在判断最优 方案时， 方案时，首先从较高级别的目标达 到的程度来决策， 到的程度来决策，然后再其次级目 标的判断。 标的判断。
方案编号 利润(百元) 钢(吨) 工时(时)
1 2 3 4
290 280 285 270
110 100 95 90
130 115 190 120
目标：（ ：（1 利润达到280百元；（2 百元；（ 目标：（1）利润达到280百元；（2） 钢材不超过100吨 工时不超过120 钢材不超过100吨，工时不超过120 小时； 小时； 对于（1），只有方案4没有完成。 只有方案4 对于（ ），只有方案 没有完成。 排除方案4 排除方案4。 对于（ ），只有方案 达到了， 只有方案2 对于（2），只有方案2达到了，因 此方案2是最优。 此方案2是最优。
例4-1：一个企业需要同一种原 材料生产甲乙两种产品， 材料生产甲乙两种产品，它们 的单位产品所需要的原材料的 数量及所耗费的加工时间各不 相同， 相同，从而获得的利润也不相 如下表）。那么， ）。那么 同（如下表）。那么，该企业 应如何安排生产计划， 应如何安排生产计划，才能使 获得的利润达到最大？ 获得的利润达到最大？
方案2 方案2与（2）的差距： 的差距： 工时损失 =0*5+（160-120） =0*5+（160-120）*1=40 方案2优于方案1 方案2优于方案1
方案2优于方案1优于方案3 方案2优于方案1优于方案3
4-2 多目标规划问题的数学模型
多目标的处理 为了将不同级别的目标的重要 性用数量表示，引进P 性用数量表示，引进P1，P2，…., 用它表示一级目标，二级目标， 用它表示一级目标，二级目标，….， 的重要程度，规定P 的重要程度，规定P1》P2 》 .,为级别系 P3 》….。称P1，P2，….,为级别系 数。
（1）生产量达到210件/周； 生产量达到210件 （2） A生产线加班时间限制在 15小时内； 15小时内 小时内； （3）充分利用工时指标，并依 充分利用工时指标， A、B产量的比例确定重要性。 产量的比例确定重要性。
例4-3：某电器公司经营的唱机和 录音机均有车间A 录音机均有车间A、B流水作业组 数据见下表。 装。数据见下表。 要求按以下目标制订月生产计划： 要求按以下目标制订月生产计划： （1）库存费用不超过4600元； 库存费用不超过4600元 （2）每月销售唱机不少于80台； 每月销售唱机不少于80台
问题： 问题：该厂提出如下目标 （1）利润达到280百元； 利润达到280百元 百元； （2）钢材不超过100吨，工时不 钢材不超过100吨 超过120小时 小时； 超过120小时； 如何安排生产？ 如何安排生产？
例4-2：某车间有A、B两条设备 某车间有A 相同的生产线， 相同的生产线，它们生产同一种 产品。 生产线每小时可制造2 产品。A生产线每小时可制造2 件产品， 件产品，B生产线每小时可制造 1.5件产品。如果每周正常工作 1.5件产品 件产品。 时数为45小时 小时， 时数为45小时，要求制定完成下 列目标的生产计划： 列目标的生产计划：
方案3 方案3与（2）的差距： 的差距： 工时损失=0*5+ 190-120） 工时损失=0*5+（190-120）*1=70 方案1优于方案3 方案1优于方案3。
方案2优于方案1优于方案3 方案2优于方案1优于方案3优于方 案4
例4-4：继续上例
方 案 编号 利 润 (百 元 ) 钢 (吨 ) 工 时 (时 )
•求解线性规划问题，首先要求 求解线性规划问题， 约束条件必须相容， 约束条件必须相容，如果约束 条件中，由于人力， 条件中，由于人力，设备等资 源条件的限制， 源条件的限制，使约束条件之 间出现了矛盾， 间出现了矛盾，就得不到问题 的可行解， 的可行解，但生产还得继续进 行，这将给人们进一步应用线 性规划方法带来困难。 性规划方法带来困难。
目 标 规 划
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型 目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
同时考虑多个决策目标 称为多目标规划问题。 时，称为多目标规划问题。
4-0
引言
从线性规划问题可看出： 从线性规划问题可看出： •线性规划只研究在满足一定条件下，单 线性规划只研究在满足一定条件下， 一目标函数取得最优解， 一目标函数取得最优解，而在企业管理 经常遇到多目标决策问题， 中，经常遇到多目标决策问题，如拟订 生产计划时，不仅考虑总产值， 生产计划时，不仅考虑总产值，同时要 考虑利润，产品质量和设备利用率等。 考虑利润，产品质量和设备利用率等。 这些指标之间的重要程度（即优先顺序） 这些指标之间的重要程度（即优先顺序） 也不相同， 也不相同，有些目标之间往往相互发生 矛盾。 矛盾。
产品 /资源 资源 原材料钢 4
可利用 的资源 总量 100 120
加工时间（ 小时） 加工时间 （ 小时 ） 单位利润（ 百元） 单位利润 （ 百元 ）
如何安排生产，使利润达到最大。 如何安排生产，使利润达到最大。 前面已经求得最优解= 20，20） 前面已经求得最优解=（20，20） 最优值=200（百元） 最优值=200（百元）
项目品种
工时消耗 （ 时 /台 ） 台 A B 2 1 180 100 1 3 200 50
库存费用 利润 （ 元 /台 月 ） （ 元 /台 ） 台 台
唱机 录音机 总 工 时 /月 生 产 费 用 /时 时
50 30
250 150
多目标优先级 先将目标等级化：将目 先将目标等级化： 标按重要性的程度不同依次 分成一级目标、二级目标…..。 分成一级目标、二级目标…..。 最次要的目标放在次要的等 级中。
多目标规划解的概念： 多目标规划解的概念： •若多目标规划问题的解能使所 有的目标都达到， 有的目标都达到，就称该解为 多目标规划的最优解； 多目标规划的最优解； •若解只能满足部分目标，就称 若解只能满足部分目标， 该解为多目标规划的次优解； 该解为多目标规划的次优解；
多目标规划解的概念： 多目标规划解的概念： •若多目标规划问题的解能使所 有的目标都达到， 有的目标都达到，就称该解为 多目标规划的最优解； 多目标规划的最优解； •若解只能满足部分目标，就称 若解只能满足部分目标， 该解为多目标规划的次优解； 该解为多目标规划的次优解； •若找不到满足任何一个目标的 就称该问题为无解。 解，就称该问题为无解。
例4-4：（例4-1）一个企业需要 ：（例 同一种原材料生产甲乙两种产品， 同一种原材料生产甲乙两种产品， 它们的单位产品所需要的原材料 的数量及所耗费的加工时间各不 相同， 相同，从而获得的利润也不相同 如下表）。那么， ）。那么 （如下表）。那么，该企业应如 何安排生产计划， 何安排生产计划，才能使获得的 利润达到最大？ 利润达到最大？
•为了弥补线性规划问题的局限 性，解决有限资源和计划指标 之间的矛盾， 之间的矛盾，在线性规划基础 建立目标规划方法， 上，建立目标规划方法，从而 使一些线性规划无法解决的问 题得到满意的解答。 题得到满意的解答。